Контрольная работа
Дисциплина: Высшая математика
Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций
1. Таблица производных
Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.
1.  .
Найдем производную, когда  .
Зададим приращение аргументу  , что даст  . Так как
, а  , то
Отсюда  и  ,
то есть  . Если  , результат тот же.
2.  .
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а  , то
 .
Отсюда  и  , то есть  .
3.  .
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а  , то
 .
Отсюда  и  , то есть  .
4.  .
По определению  . Будем дифференцировать  как частное:
 , то есть  .
5.  .
По определению  . Будем дифференцировать  как частное:
 , то есть  .
6.  .
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а  , то
 .
Отсюда  и
 ,
то есть  . Здесь была использована формула для второго замечательного предела.
7.  .
Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим  :  . Значит,  .
8.  .
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а  , то  . Отсюда
 и  , то есть  .
Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела.
9.  .
Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим :  . Значит,  .
Прежде чем перейти к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если  , то  .
Теорема
. Если для некоторой функции существует обратная ей , которая в точке  имеет производную не равную нулю, то в точке функция имеет производную  равную  , то есть  .
Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента:  . Так как функция имеет производную, то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть  , откуда  . Значит, .
Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций.
10.  .
В данном случае обратной функцией будет  . Для нее  . Отсюда
 ,
то есть  .
11.  .
Так как
 , то  .  .
В данном случае обратной функцией будет  . Для нее
 .
Отсюда  , то есть  .
13.  .
Так как
 , то  .
2. Производная сложной функции
Пусть дана функция  и при этом  . Тогда исходную функцию можно представить в виде  . Функции такого типа называются сложными. Например,  .
В выражении аргумент  называется промежуточным аргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как они охватывают практически все виды существующих функций.
Теорема
. Пусть функция имеет производную в точке  , а функция имеет производную в соответствующей точке . Тогда сложная функция  в точке также будет иметь производную равную производной функции  по промежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по  , то есть  .
Для доказательства дадим приращение аргументу , то есть от перейдем к  . Это вызовет приращение промежуточного аргумента , который от  перейдет к  . Но это, в свою очередь, приведет к изменению  , который от перейдет к  . Так как согласно условию теоремы функции  и  имеют производные, то в соответствии с теоремой о связи дифференцируемости и непрерывности функции (теорема 11.2.2) они непрерывны. Значит, если  , то и  , что, в свою очередь, вызовет стремление  к нулю.
Составим  . Отсюда,
и, следовательно, .
Если функция  имеет не один, а два промежуточных аргумента, то есть ее можно представить в виде , где  , а  , или  , то, соответственно,  и так далее.
3. Дифференцирование параметрически заданной функции
Выше были рассмотрены производные элементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций, составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций, которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов является параметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изучении уравнения прямой линии.
При обычном задании функции уравнение связывало между собой две переменных: аргумент и функцию. Задавая  , получаем значение , то есть пару чисел, являющихся координатами точки  . При изменении меняется , точка начинает перемещаться и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бывает удобно переменные и связывать не между собой, а выражать их через третью переменную величину.
Пусть даны две функции:  где  . Для каждого значения  из данного промежутка будет своя пара чисел и , которой будет соответствовать точка . Пробегая все значения, заставляет меняться и , то есть точка движется и описывает некоторую кривую. Указанные уравнения называются параметрическим заданием функции, а переменная – параметром.
Если функция  взаимно однозначная и имеет обратную себе, то можно найти  . Подставляя в , получим  , то есть обычную функцию. Указанная операция называется исключением параметра. Однако при параметрическом задании функции эту операцию не всегда делать удобно, а иногда и просто невозможно.
Так, в механике принят способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям  и  в зависимости от времени , то есть в виде параметрически заданной функции  Такой способ значительно удобнее при решении целого ряда задач. В трехмерном случае сюда добавляется еще и уравнение  .
В качестве примера рассмотрим несколько параметрически заданных кривых.
1. Окружность.
Возьмем точку на окружности с радиусом  . Выражая и через гипотенузу прямоугольного треугольника, получаем:
Это и есть уравнение окружности в параметрической форме (рис. 3.1). Возводя каждое уравнение в квадрат, отсюда легко получить обычное уравнение окружности  .
Рис. 3.1
2. Эллипс.
Известно, что уравнение эллипса –  . Отсюда  . Возьмем две точки  и  на окружности и эллипсе, имеющие одинаковую абсциссу  (рис. 3.2). Тогда из уравнения окружности следует, что  . Подставим это выражение в :  . Значит, уравнение эллипса в параметрической форме имеет вид
Рис. 3.2
3. Циклоида.
Пусть по ровной горизонтальной поверхности катится без скольжения окружность с радиусом  . Зафиксируем точку O
ее соприкосновения с поверхностью в начальный момент. Когда окружность повернется на угол t
, точка O
перейдет в точку C
(рис. 3.3). Найдем ее координаты:
Значит, параметрическое уравнение циклоиды имеет вид:
Рис. 3.3
4. Астроида.
Пусть внутри окружности радиуса без скольжения катится другая окружность радиуса  . Тогда точка меньшей окружности, которая в начальный момент времени была точкой соприкосновения с большей, в процессе движения опишет астроиду (рис. 3.4), параметрическое уравнение которой имеет вид:
Рис. 3.4
Рассмотрев ряд примеров, перейдем теперь к вопросу о дифференцировании параметрически заданных функций.
Пусть функция  от задана параметрически:  где  . Пусть на этом отрезке обе функции имеют производные и при этом  . Найдем  .
Составим отношение  . Тогда
 .
Следовательно,  . Это и есть правило дифференцирования параметрически заданных функций.
Литература
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Т. 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2006. – 284с.
2. Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с.
3. Никольский С.М., Бугров Я.С. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-Х ТОМАХ Т. 2 Дифференциальное и интегральное исчисление 8-е изд. Изд-во: ДРОФА, 2007. – 509с.
4. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.
|