Контрольная работа: Решение задач по эконометрике
Название: Решение задач по эконометрике Раздел: Рефераты по математике Тип: контрольная работа | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
СОДЕРЖАНИЕ Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Список использованной литературы Задание 1 Имеются данные за 12 месяцев года по району города о рынке вторичного жилья ( y – стоимость квартиры (тыс. у.е.), x – размер общей площади (м 2 )). Данные приведены в табл. 1.4. Таблица 1
Задание: 1. Рассчитайте параметры уравнений регрессий и . 2. Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации. 3. Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом. 4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели. 5. С помощью F -статистики Фишера (при ) оцените надежность уравнения регрессии. 6. Рассчитайте прогнозное значение , если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для . 7. Расчеты должны быть подробны, как показано в примере 1, и сопровождены пояснениями. Решение Составим таблицу расчетов 2. Все расчеты в таблице велись по формулам . Таблица 2
Тогда , и линейное уравнение регрессии примет вид: . Рассчитаем коэффициент корреляции: . Связь между признаком и фактором заметная. Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции. R 2 = 0,606 2 = 0,367 Средний коэффициент эластичности позволяет проверить, имеют ли экономический смысл коэффициенты модели регрессии.
Для оценки качества модели определяется средняя ошибка аппроксимации: , допустимые значения которой 8 - 10 %. Вычислим значение -критерия Фишера. , где – число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной ); – объем совокупности. . По таблице распределения Фишера находим . Так как , то гипотеза о статистической незначимости параметра уравнения регрессии отклоняется. Так как , то можно сказать, что 36,7% результата объясняется вариацией объясняющей переменной. Выберем в качестве модели уравнения регрессии , предварительно линеаризовав модель. Введем обозначения: . Получим линейную модель регрессии . Рассчитаем коэффициенты модели, поместив все промежуточные расчеты в табл. 3. Таблица 3
Рассчитаем параметры уравнения: , , . Коэффициент корреляции . Коэффициент детерминации , следовательно, только 9,3% результата объясняется вариацией объясняющей переменной . , , следовательно, гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии принимается. По всем расчетам линейная модель надежнее, и последующие расчеты мы сделаем для нее.
. Используем для этого t -распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу о статистической незначимости параметров, т.е. . . Определим ошибки . , , , , , . Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза. Рассчитаем . Тогда . Средняя ошибка прогноза , где , . Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью : , , . Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность ) и достаточно точен, т.к. . Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии . Используем для этого t -распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу о статистической незначимости параметров, т.е. . . Определим ошибки . , , , , , . Следовательно, и не случайно отличаются от нуля, а сформировались под влиянием систематически действующей производной. 1. , следовательно, качество модели не очень хорошее. 2. Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза. Рассчитаем . Тогда . 3. Средняя ошибка прогноза , где , . Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью : , , . Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность ) и достаточно точен, т.к. . Задание 2 Имеются данные о деятельности крупнейших компаний в течение двенадцати месяцев 199Х года. Данные приведены в табл. 4. Известны – чистый доход ( у ), оборот капитала ( х 1 ), использованный капитал ( х 2 ) в млрд у.е. Таблица 4
Задание: 1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии. 2. Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности. 3. Оцените статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (α=0,01). 4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод. 5. Составьте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы. 6. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке. Решение Результаты расчетов приведены в табл. 5. Таблица 5
Рассматриваем уравнение вида: . Параметры уравнения можно найти из решения системы уравнений: Или, перейдя к уравнению в стандартизированном масштабе: , где – стандартизированные переменные, – стандартизированные коэффициенты: Коэффициенты определяются из системы уравнений: , ; ; , ; , ; , ; , ; , ; . Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид: . Естественная форма уравнения регрессии имеет вид: . Для выяснения относительной силы влияния факторов на результативный признак рассчитываются средние коэффициенты эластичности: , , . Следовательно, при увеличении оборота капитала ( x 1 ) на 1% чистый доход ( y ) уменьшается на 0,14% от своего среднего уровня. При повышении использованного капитала на 1% чистый доход повышается на 0,73% от своего среднего уровня. Линейные коэффициенты частной корреляции для уравнения определяются следующим образом: , . Линейный коэффициент множественной корреляции рассчитывается по формуле . Коэффициент множественной детерминации . , где - объем выборки, - число факторов модели. В нашем случае . Так как , то и потому уравнение незначимо. Выясним статистическую значимость каждого фактора в уравнении множественной регрессии. Для этого рассчитаем частные -статистики. . Так как , то и следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора после фактора . . Так как , то следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора после фактора . Результаты расчетов позволяют сделать вывод : 1) о незначимости фактора и нецелесообразности включения его в уравнение регрессии; 2) о незначимости фактора и нецелесообразности включения его в уравнение регрессии. Задание 3 1. Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое уравнение модели. 2. Определите тип модели. 3. Определите метод оценки параметров модели. 4. Опишите последовательность действий при использовании указанного метода. 5. Результаты оформите в виде пояснительной записки. Модель денежного и товарного рынков: R t = a 1 + b 12 Y t + b 14 M t + e 1 , Y t = a 2 + b 21 R t + b 23 I t + b 25 G t + e 2 , I t = a 3 + b 31 R t + e 3 , где R – процентные ставки; Y – реальный ВВП; M – денежная масса; I – внутренние инвестиции; G – реальные государственные расходы. Решение 1. Модель имеет три эндогенные ( R t Y t I t ) и две экзогенные переменные ( M t G t ). Проверим необходимое условие идентификации: 1-е уравнение: в =1, H =2, в +1= H - уравнение идентифицировано. 2-е уравнение: в =1, H =1, в +1=2 - уравнение сверхидентифицировано. 3-е уравнение: в =1, H =2, в +1= H - уравнение идентифицировано. Следовательно, необходимое условие идентифицируемости выполнено. Проверим достаточное условие: В первом уравнении нет переменных I t , G t Строим матрицу:
det M = det , rank M =2. Во втором уравнении нет переменных M t det M ¹ 0 В третьем уравнении нет переменных Y t , M t , G t Строим матрицу: det M/ Следовательно, достаточное условие идентифицируемости выполнено. Система точно идентифицируема. 2. Найдем структурные коэффициенты модели. Для этого: Запишем систему в матричной форме, перенеся все эндогенные переменные в левые части системы: R t -b 12 Y t =a 1 +b 12 M t Y t -b 21 R t -b 23 I t =a 2 +b 25 G t I t -b 31 R t =a 3 откуда , и , , , . Решаем систему относительно : . Найдем , где – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы , – минор, т.е. определитель, полученный из матрицы вычеркиванием i -й строки и j -го столбца. , , , . Поэтому В данном случае эти коэффициенты можно найти значительно проще. Находим из второго уравнения приведенной системы и подставим его в первое уравнение этой системы. Тогда первое уравнение системы примет вид: , откуда , . Из третьего уравнения системы находим и подставляем во второе уравнение системы, получим: , решая его совместно с уравнением и, исключая , получим . Сравнивая это уравнение со вторым уравнением системы получим . Выражая из второго уравнения, и подставляя в третье системы (3.2), получим . Сравнивая это уравнение с третьим уравнением системы, получим . Задание 4 Имеются данные за пятнадцать дней по количеству пациентов клиники, прошедших через соответствующие отделения в течение дня. Данные приведены в табл. 6 . Таблица 6
Требуется: 1. Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядка. 2. Обосновать выбор уравнения тренда и определите его параметры. 3. Сделать выводы. 4. Результаты оформить в виде пояснительной записки. Решение Определим коэффициент корреляции между рядами и . Ррасчеты приведены в таблице 7:
Результат говорит о заметной зависимости между показателями и наличии во временном ряде линейной тенденции. Определим коэффициент автокорреляции второго порядка: , Результат подтверждает наличие линейной тенденции. Выбираем линейное уравнение тренда: . Параметры определим, используя МНК. Результаты расчетов приведены в табл. 8. Таблица 8
. Уравнение тренда примет вид: , коэффициент корреляции . Расчетное значение критерия Фишера равно , , уравнение статистически значимо и прогноз имеет смысл. Список использованной литературы 1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998. 2. Катышев П.К., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 1999. 3. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: начальный курс. – М.: Дело, 2000. 4. Практикум по эконометрике. Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. 5. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения. – М.: ЮНИТИ, 1997. 6. Эконометрика. Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. |