|
Пошукова робота на тему:
Частинні похідні і диференціали вищих порядків.
П
лан
- Частинні похідні вищих порядків
- Теорема про рівність змішаних похідних
- Диференціали вищих порядків
6.11.Частинні похідні вищих порядків
Розглянемо функцію двох змінних
. Її частинні похідні
і
є функціями змінних
і
. Від цих похідних також можна знайти частинні похідні. Їх буде чотири, оскільки від кожної з функцій
і
можна знайти частинні похідні по
та по
. Назвемо їх частинними похідними другого порядку і позначатимемо:
- функція
два рази диференціюється по
;
- функція
диференціюється по
, а потім по
;
- функція
диференціюється по
, а потім по
;
- два рази диференціюється по
.
Похідні другого порядку також можна диференціювати по
і
. Одержані при цьому похідні називаються частинними похідними третього порядку функції
. Їх буде вісім. Аналогічно позначаються похідні більш високих порядків.
Приклад.
Знайти другі частини похідних від функції
.
Р о з в ’ я з о к. Знайдемо перші частинні похідні:
;
.
Диференціюємо кожну з них по
і
. Одержуємо частинні похідні другого порядку:
.
В розглянутому прикладі
.
Залежність результату диференціювання від порядку диференціювання за різними змінними визначає така теорема.
Теорема
. Якщо функція
та її частинні похідні
означені і неперервні в точці
і в деякому її околі, то в цій точці
,
тобто результат диференціювання не залежить від порядку диференціювання за різними змінними.
Доведення теореми опускаємо.
Зауваження
. Аналогічна теорема справедлива для будь-якого числа змінних і для похідних більш високих порядків.
Нехай
- диференційована в області
функція двох незалежних змінних
і
. В будь-якій точці
цієї області ми можемо обчислити новий диференціал:
.
Будемо називати його диференціалом першого порядку. Він залежить від значень
і
, тобто є функцією чотирьох змінних. Закріпивши
і
, одержимо функцію двох змінних
і
, означену в області
.
Диференціал від цієї функції в будь-якій точці
області
, якщо він існує, називається диференціалом другого порядку від функції
в точці
. Позначається
або
.
Отже, за означенням
.
Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків. Зокрема,
.
Якщо функція
в області
має неперервні частинні похідні до
- го порядку включно в кожній точці області
існують. Обчислимо їх:
тощо.
Введемо символічну
- у степінь
: вираз, одержаний в результаті піднесення двочлена, записаного в дужках, у звичайну
- у степінь із подальшою зміною степенів
і
, помножених на
, частинними похідними відповідного порядку від функції
.
Тоді
(6.72)
…………………………………………….
Зауваження
. Якщо
- диференційована функція проміжних змінних
і
, які, в свою чергу, є диференційованими функціями
і
, то, обчислюючи
,
і т. д. ,ми уже не одержимо формул (6.78) для обчислення диференціалів.
Так,
Тут
і
- не є постійними (постійні
). Отже, в цьому випадку форма запису другого, третього і т. д. порядків не є інваріантною.
|