Джон Конуэй, Майкл Гай

Разрешены символы и , обычные обозначения для корней и , степени, факториалы и десятичные обозначения и . Само число , логарифмические и тригонометрические функции можно не использовать. Факториалы используются только для натуральных чисел, иначе . Мы также не разрешаем использовать таких монстров, как .

Например,

очень хорошее приближение , и ясно, что его можно модифицировать так, чтобы оно было настолько точным, насколько мы этого хотим. Более того, его можно улучшить так, чтобы использовались только три четверки, поскольку при .

Мы можем вывести похожие “точные’’ формулы для различных чисел, нам интересных. Так, , так что можно получить последовательность приближений и (например, или ). В нашем лучшем результате такого вида для используется семь четверок, и он выведен из формулы

.

Также можно записать с помощью семи четверок, но мы еще не можем найти формулу такого вида для константы Эйлера .

Сейчас мы покажем, что все это не является необходимым. Действительно, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Любое вещественное число может быть сколь угодно точно приближено, используя четыре -ки и обычные действия.

Доказательство. Из формулы

следует, что для достаточно больших

,

поскольку предел этого выражения при равен и . Пусть теперь натуральное число, и , и положительны, так что мы можем записать выражение, приведенное выше, как

где индексы у корня обозначают количество повторений квадратного корня. Извлекая квадратный корень раз, получаем

.

Теперь мы можем взять в виде , так что будут выполняться все указанные выше условия, и выражение между знаками меньше будет содержать только четыре -ки. Так как числа для целых и натуральных плотны в множестве положительных вещественных чисел, то теорема доказана. Для отрицательных чисел нужно просто добавить знак “минус’’.

Теорема 2. Если разрешить использование знака целой части, то любое целое число представимо с помощью четырех четверок, а любое вещественное число — с помощью пяти.

Доказательство. Первая часть теоремы очевидна, а вторая становится следствием первой, если заметить, что любое рациональное число равно для подходящих целых значений и .

Теоремы 1 и 2 могут быть доказаны для любых натуральных чисел, не только для четверок. Есть единственное ограничение, что единицами могут быть не более трех из этих чисел.

Остаются вопросы:

1. Существует ли “точная’’ формула для с менее, чем семью четверками?

2. Существует ли какая-либо точная формула для ?

3. Являются ли числа плотными на множестве ?