? — классическая теорема теории чисел, которая утверждает, что

Если p — простое число, и не делится на , то Другими словами, при делении нацело на даёт в остатке 1.

Равносильная формулировка:

Для любого простого и целого :

делится на

Теорема называется малой во избежание путаницы с Великой теоремой Ферма.

Доказательство

Докажем, что для любого простого p и целого неотрицательного a, делится на p. Доказываем индукцией по a.

База. Для a=0, и делится на p.

Переход. Пусть утверждение верно для a=k. Докажем его для a=k+1.

Но делится на p по предположению индукции. Что же касается остальных слагаемых, то . Для , числитель этой дроби делится на p, а знаменатель — взаимно прост с p, следовательно, делится на . Таким образом, вся сумма делится на p.

Для отрицательных a и нечётных p теорему легко доказать подстановкой b=-a. Для отрицательных a и p=2 истинность теоремы следует из ?

Свойства и некоторые следствия

Если — простое число, а и — такие положительные целые числа, что , тогда . Это утверждение используется в системе шифрования с открытым ключом RSA.

Если — простое число, отличное от 2 и 5, то число , запись которого состоит из одних девяток, делится на . Отсюда легко следует, что для любого целого числа , которое не делится на 2 и на 5, можно подобрать число, состоящее только из девяток, которое делится на [1]. Этот факт используется в теории признаков делимости и периодических дробей.

Обобщения

Малая теорема Ферма является частным случаем теоремы Эйлера, которая, в свою очередь, является частным случаем теорем Кармайкла и Лагранжа для конечных циклических групп.

Малая теорема Ферма также имеет изящное обобщение в теории конечных полей.

Псевдопростые числа

Основная статья: Псевдопростое число

Обращение малой теоремы Ферма неверно, то есть приведенные в определении формулы могут выполняться не только для простых чисел: если и — взаимно простые числа такие, что делится на p, то число может не быть простым. В случае, когда является составным, это число называется псевдопростым по основанию a.

Пример: Ф. Саррус в 1820 году нашёл, что число делится на 341 (потому что N делится на ). Но 341 — составное число: — это первое псевдопростое число по основанию 2.

Число p, являющееся псевдопростым по основанию a для всех a, взаимно простых с p, называется числом Кармайкла (например, 561 — наименьшее из чисел Кармайкла).

Хотя выполнение теоремы Ферма не гарантирует, что p — простое число, теорема может быть полезна для тестирования числа: если не делится на , то p — составное число.

История

Пьер Ферма сформулировал исходное утверждение теоремы около 1636 года. Письмо от 18 октября 1640 года Пьера Ферма к французскому математику Бернару Френиклю (Bernard Frénicle de Bessy) содержало следующее положение: p делит в случае, когда p является простым числом и a не делится на p. Опубликовано в посмертном издании его трудов (1660).

Ещё в древности китайским математикам была известна гипотеза (иногда называемая «Китайской гипотезой»), что p является простым числом в том и только в том случае, когда (фактически, частный случай малой теоремы Ферма)[2]. Тем не менее, обратное утверждение (о том, что из следует, что p простое), а, следовательно, и гипотеза в целом, оказались неверными (см. выше).

Существует также предположение, что китайская гипотеза была выдвинута примерно за 2000 лет до аналогичных работ Ферма. Стоит отметить, что гипотеза могла быть известна и другим математикам древности, даже несмотря на то, что она оказалась частично неверной. Тем не менее, в некоторых источниках[3] утверждается, что предположение относительно столь раннего появления гипотезы является распространённым заблуждением, а в действительности гипотеза была выдвинута лишь в 1872 году.

Сам Ферма оставил свою теорему без доказательства. Первым, кому удалось его найти, был Готфрид Вильгельм Лейбниц, в рукописях которого утверждается, что доказательство ему было известно до 1683 года. Лейбниц не знал о результате Ферма и открыл теорему независимо[1]. Но работа Лейбница не была опубликована, и доказательство (очень похожее) в 1736 году обнародовал Эйлер в статье Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio.

Доказательство малой теоремы Ферма, основанное на том, что целые числа сравнимы в некотором порядке с числами , было опубликовано в 1806 году Джеймсом Айвори.

Список литературы

Винберг Э. Б. Малая теорема Ферма и ее обобщения // Математическое просвещение. — 2008. — В. 12. — С. 43–53.

Гиндикин С. Г. Малая теорема Ферма // Квант. — 1972. — № 10.

Данциг, Т. Числа - язык науки. — М.: Техносфера, 2008. — С. 111. — ISBN 978-5-94836-172-7