| Знакозмінні та знакопостійні ряди.
Абсолютна та умовна збіжність.
План.
1. Означення закономірного ряду.
2. Теорема Коші.
3. Абсолютна та умовна збіжність.
Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди”. Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16-19.
Теорема
. Якщо в ряді з додатними членами загальний член, починаючи з певного значення п
, задовольняє нерівність де q
– стале число, менше за одиницю, то ряд збігається.
Коли ж навпаки, починаючи з певного значення п
, маємо то ряд розбігається.
Доведення
. У першому випадку маємо, починаючи з певного значення п
,
Отже, збіжність ряду й тут безпосередньо встановлюється порівнянням із спадною геометричною прогресією, знаменник якої q
.
Варто зауважити, що нерівність
характеризує при цьому “швидкість” збіжностей даного ряду порівняно з геометричною прогресією.
В другому випадку матимемо з певного моменту , отже, ряд напевне, розбігається, бо навіть основна необхідна умова збіжності не виконується.
Наслідок
. Якщо існує , то при r
< 1 ряд напевне збігається. Випадок r
= 1 і тут взагалі є сумнівний.
Доведення
.
Взявши u
тут якесь число q
, проміжне між r
та 1 (
), ми з певного моменту матимемо – в першому випадку:
Отже, ряж збігається; а в другому: отже, ряд розбігається.
Часто питання про збіжність ряду, що має члени як додатні, так і від’ємні, можна звести до питання про збіжність знакододатного ряду. Розглянемо таку теорему.
Теорема
. Ряди напевне збігається, якщо збігається ряд
Доведення
. Для кожного можна знайти таке , при якому для і при буде:
Але тоді й поготів
Але це й доводить теорему.
Означення.
Збіжний ряд називається абсолютно збіжним. Якщо збігається також і ряд
Розглянемо, наприклад, ряд
(1)
Він ні знакододатний, ні знакозмінний. Ряд
(2)
є знакододатний. Порівнюючи його з рядом
(3)
маємо
Ряд (3) збіжний, як ряд Діріхле-Рімана при , отже, збіжним є ряд (2). Тоді за доведеною теоремою і за означенням ряд (1) є абсолютно збіжним.
Оскільки ряд, члени якого – абсолютні значення членів будь-якого ряду є знако-додатний, то, очевидно, щоб дослідити, чи будь-який ряд є абсолютно збіжним, ми можемо використовувати ознаки збіжності, виведені для знакододатних рядів, замінивши у відповідних виразах члени даного ряду їх абсолютними значеннями. Так, ознака Даламбера збіжності ряду запишеться тоді у вигляді ознака Коші – у вигляді: і т.п.
Означення
. Якщо ряд (*) збіжний, а ряд розбіжний, то даний ряд (*) називається умовно збіжним.
Отже, ряд
умовно збіжний,
Так само ряд
умовно збіжний, бо ряд
є ряд Діріхле-Рімана, в якому
Знакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца.
План.
1. Означення знакочергуючого ряду.
2. Ознака Лейбніца.
3. Оцінка залишку знакочергуючого ряду, збіжного за ознакою Лейбніца.
Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди”. Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16-19.
Означення
. Знакозмінними рядами називаються ряди виду:
де - додатні числа.
Теорема Лейбніца
. Якщо в знакозмінному ряді абсолютне значення загального члена монотонно прямує до нуля (тобто до того ж ), тоді знакозмінний ряд збігається, причому сума його має числове значення, проміжне між нулем та першим членом
Доведення
. Розглянемо спочатку частинну суму парного порядку , причому запишемо її в двох різних виглядах:
1 .
Помічаємо, що чим більше К, тим більше пар, але кожна пара додатна, отже, монотонно зростає при збільшенні К.
2 З другого боку
Бачимо, що < , для всіх значень k > 1. Отже, обмежена зверху.
Зіставляючи обидва факти, приходимо до висновку, що величина монотонна і разом з тим обмежена змінна, том вона, прямує до певної скінченої границі , при чому ця границя, очевидно, більша за а
1
– а
2
і не перевищує а1
:
а
1
– а
2
< < а
1
.
Отже, напевне 0 < < а
1
.
Розглядаючи вже тепер частинну суму непарного порядку +1
, маємо:
= + а
2к+1
.
Отже,
Остаточно приходимо до висновку, що існує єдина границя:
(0 < S < a
1
),
коли індекс n – будь-яке натуральне число як парне, так і непарне, що доводить теорему.
Наслідок
. За умовою теореми Лейбніца остаточна S – Sn
= rn
менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів:
, і має знак цього члена.
Доведення
. Маємо:
,
Ряд в останніх дужках сам по собі є знакозмінний і задовольняє теорему Лейбніца, тому
,
причому
Отже, якщо перший з відкинутих членів непарний, то представляє S з недостачею. Похибка має знак плюс. Якщо ж перший відкинутий член – парний, то , представляє S з надлишком. Похибка має знак мінус. В обох випадках, як бачимо, похибка має знак першого відкинутого члена і менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів.
Диференціювання та інтегрування
степеневих рядів.
План.
1. Знаходження сум степеневих рядів використовуючи почленне диференціювання та інтегрування.
Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди.” Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д. Подільчук. КДТЕУ.К., 1992 р. ст. 22-23.
Диференціювання степеневих рядів.
Теорема
. Якщо степеневий ряд
(1)
має інтеграл збіжності (-р, р), то ряд
, (2)
утворений по членним диференціюванням ряду (1), має той самий інтервал збіжності (-р, р) і його сумою в цьому інтервалі є функція .
Доведення
. Покажемо раніш, що коли ряд (1) збігається при певному значенні , то на кожному сегменті , де , ряд (2) збігається абсолютно й рівномірно.
Для цього, досить виявити збіжність ряду
(3)
що відіграватиме роль мажоруючого ряду.
Позначаючи , де , і беручи до уваги, що , маємо
,
де . Застосуємо до ряду
(4)
ознаку Даламбера:
.
Отже, ряд (4) збіжний, а тому збіжним є ряд (3). Звідси, випливає, що ряд (2) збігається абсолютно при кожному значені х інтервалу (-р, р), тобто інтервалу збіжності ряду (1). Якщо позначити, радіус збіжності ряду (2) через р’, то ми довели, що рр’.
Доведемо тепер, що р’ не може бути ц більшим за р.
Справді, в усякій точці х, в якій абсолютно збігається ряд (2), збігається також і ряд
,
а оскільки , то даний степеневий ряд (1) збігається абсолютно в точці х. Отже,
З нерівностей і випливає що . Беручи до уваги теорему про диференціювання функціональних рядів, приходимо до висновку, що сума ряду (1) в усіх точках в середині спільного інтервалу збіжності рядів (1) і (2), тобто .
Теорему доведено.
Оскільки ми можемо застосувати доведену теорему і до про диференційованого ряду, а далі знову її застосувати і т.д., то можна зробити висновок про те, що сума степеневого ряду f(x) в інтервалі збіжності має похідні будь-якого порядку. Похідна f(
k)
(x) дорівнює сумі ряду, утвореного k-кратним поленим диференціюванням даного степеневого ряду.
Інтегрування степеневих рядів.
Теорема.
Степеневий ряд
(5)
з радіусом збіжності р можна почленно інтегрувати на будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі збіжності (-р, р) ряду (5), зокрема в інтервалі (-р, р):
(6)
і радіус збіжності ряду (6) дорівнює р.
Доведення
. На будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі (-р, р), ряд (5) збігається рівномірно, звідси й випливає можливість його почленного інтегрування. Доведено далі, що радіус збіжності ряду (6) дорівнює р. Згідно з загальною теоремою про інтегрування рядів функцій ряд (6) збігається рівномірно й абсолютно для всякого /х/ < р. Отже, радіус збіжності утвореного ряду не менший р. але він не може бути й більшим за р. це видно з того, що почленно про диференціювавши його, ми приходимо до даного степеневого ряду, а за теоремою про диференціювання степеневих рядів радіуси їх збіжності повинні бути однакові. Теорему доведено.
|