Институт экономики и предпринимательства

(ИНЭП)

Контрольная работа по дисциплине

«Эконометрика»

Вариант 1

Выполнил:

студент группы №

Проверил:

преподаватель ИНЭП,

кандидат технических наук

Ю.М. Давыдов

г. Лосино-Петровский

2008-2009 уч. год

1. Цель работы

Цель контрольной работы – демонстрация полученных теоретических знаний и приобретенных практических навыков по эконометрике – как синтезу экономической теории, экономической статистики и математики, в том числе исследование линейных моделей парной (ЛМПР) и множественной регрессии (ЛММР), трендовых моделей, методом наименьших квадратов (МНК).

Для проведения расчетов использовалось приложение к ПЭВМ типа EXCEL.

2. Исследование линейных моделей парной (ЛМПР) и

множественной регрессии (ЛММР) методом наименьших

квадратов (МНК).

2.1 Контрольная задача № 1

2.1.1. Исследуем зависимость производительности труда Y (т/ч) от уровня механизации Х (%).

Исходные данные для 14 однотипных предприятий приводятся в таблице 1:

Таблица 1

2.1.2 Матричная форма записи ЛМПР (ЛММР):

Y^ = X* A^ (1), где А^ – вектор-столбец параметров регрессии;

x_{i 1} – предопределенные (объясняющие) переменные, n = 1;

ранг матрицы X = n + 1= 2 < k = 14 (2).

Исходные данные представляют в виде матриц.

( 1 32 ) (20 )

( 1 30) (24 )

( 1 36) (28 )

( 1 40 ) (30 )

(1 41 ) (31 )

( 1 47 ) (33)

X = (1 56) Y = (34 )

(1 54) (37 )

(1 60 ) (38 )

(1 55 ) (40 )

( 1 61 ) (41 )

( 1 67 ) (43)

(1 69 ) (45 )

( 1 76 ) (48 )

Значение параметров А^ = (а₀ , а₁ ) ^T и s² – нам неизвестны и их требуется определить (статистически оценить) методом наименьших квадратов.

Так как матрица Х, по условию, является прямоугольной, а обратную матрицу Х^-1 можно рассчитать только для квадратной матрицы, то произведем небольшие преобразования матричного уравнения типаY = X *A, умножив левую и правую части на транспонированную матрицу Х ^Т .

Получим X^T * X * A^{^} = X ^T * Y ,

откуда A^{^} = (X^T * X ) ^–1 *( X^T * Y) (3),

где (X^T * X ) ^–1 - обратная матрица.

2.1.2. Решение.

а) Найдем транспонированную матрицу Х^Т :

( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )

X^T = ( 32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76 )

в) Находим произведение матриц X^T *X :

( 14 724 )

X^T * X = ( 724 40134)

г) Находим произведение матриц X^T * Y:

( 492 )

X^T * Y = ( 26907 )

д) Вычисляем обратную матрицу ( X^T * X) ^–1 :

( 1,064562 -0,0192 )

( X^T * X) ^–1 = (-0,0192 0,000371)

е) Умножаем обратную матрицу ( X^T * X) ^–1 на произведение

матриц (X^T *Y) и получаем вектор- столбец A^ = (a ₀ , a ₁ )^T :

( 7,0361 )

A^ = ( X^T * X) ^–1 * (X^T * Y) = ( 0,543501).

Уравнение парной регрессии имеет следующий вид:

у_i ^{^} = 7,0361 + 0,543501* x_{i 1} (4).

у_i ^{^} (60) = 7,0361 + 0,543501*60 = 39, 646.

2.1.3 Оценка качества найденных параметров

Для оценки качества параметров Â применим коэффициент детерминации R² . Величина R² показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена объясняющей переменной. Чем ближе R² к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует экспериментальные данные.

Q = ∑(y_i - y¯)² (5) – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней; Q_R = ∑(y^_i - y¯)² (6) – сумма квадратов, обусловленная регрессией; Q_е = ∑(y_i – y^_i )² (7) – остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов; Q = Q_R + Q_е (8).

Q = 847,714; Q_R = 795,453; Q_е = 52,261.

Q = Q_R + Q_е = 795,453 + 52,261 = 847,714.

R² = Q_R / Q = 795,453 / 847,714 = 0,9383.

R² = 1 – Q_e / Q = 1 - 52,261 / 847,714 = 0, 9383.

В нашем примере коэффициент детерминации R² , очень высокий, что показывает на хорошее качество регрессионной модели (4).

2.2 Контрольная задача № 2

2.2.1. Исследуем зависимость урожайности зерновых Y от ряда переменных, характеризующих различные факторы:

Х₁ – количество удобрений, расходуемых на гектар (т\га);

Х₂ - количество химических средств защиты растений на гектар ( ц\га) .

Исходные данные для 5 районов области приводятся в таблицах:

Таблица 2

2.2.2. Матричная форма записи ЛММР:

Y^ = X* A^ (1), где А^ – вектор-столбец параметров регрессии ;

х_{i 1} , х_{i 2} – предопределенные (объясняющие) переменные, n = 2;

Ранг матрицы X = n + 1= 3 < k = 5 (2).

Исходные данные представляют в виде матриц.

( 1 0,32 0,14 ) (9,7)

( 1 0,59 0,66 ) ( 8,4

X = ( 1 0,3 0,31 ) Y = (9,3 )

( 1 0,43 0,59 ) (9,6)

(1 0,39 0,16 ) (9,6)

Значение параметров А^ = (а₀ , а₁ , а ₂ ) ^T и s² – нам неизвестны и их требуется определить ( статистически оценить ) методом наименьших квадратов.

Для нахождения параметров A^{^} применим формулу (3) задачи № 1

A^{^} = (X^T * X ) ^–1 * X^T * (3),

где (X^T * X ) ^–1 - обратная матрица.

2.2.3. Решение.

а) Найдем транспонированную матрицу Х^Т :

( 1 1 1 1 1 )

X^T = ( 0,32 0,59 0,38 0,43 0,39 )

( 0,14 0,66 0,53 0,59 0,13 ).

в) Находим произведение матриц X^T *X :

( 5 2,11 2,05 )

X^T * X = ( 2,11 0,932 0,94 )

( 2,05 0,94 1,101).

г) Находим произведение матриц X^T * Y:

( 46,6 )

X^T * Y = ( 19,456 )

( 18,731 ).

д) Вычисляем обратную матрицу ( X^T * X) ^–1 :

( 5,482 - 15,244 2,808 )

( X^T * X) ^–1 = ( -15,244 50,118 -14,805 )

( 2,808 -14,805 7 ,977 ).

е) Умножаем обратную матрицу ( X^T * X) ^–1 на произведение

матриц X^T * Y и получаем вектор- столбец A^ = (a ₀ , a ₁ , a ₂ )^T :

( 11, 556 )

A^ = (X^T * X) ^–1 * (X^T * Y) = ( -5, 08 )

( 0, 0219 )

Уравнение множественной регрессии имеет следующий вид:

y_i ^{^} = 11,456 - 5,08 * x_{i 1} - 0,0219 * x_{i 2} (4) .

2.2.4. Оценка качества найденных параметров

Для оценки качества найденных параметров а^₀ , a^₁ .a^₂ необходимо найти оценку дисперсии по формуле

1

s^² = ------------ (Y – X * A^)^T * (Y – X * A^),

k – n - 1

после чего можно найти среднеквадратические ошибки S_L по формуле S_L = s^√h_ii , где h_ii элементы главной диагонали матрицы (X^T * X) ^–1 .

А. Произведение матриц X * A^:

( 9,833 )

( 8,472 )

Y^{^} =X * A^ = ( 9,536 )

( 9,283 )

(9,476 ).

Б. Разность матриц ( Y - X * A^ ) :

( -0,132 )

( - 0,072 )

( Y - X * A^ ) =(-0,036 )

( 0,116 )

( 0,0835 ).

В. ( Y - X * A^ )^T = (-0,132; -0,072; -0,036; 0,116; 0,0835 )

Г. Произведение ( Y - X * A^ )^T * ( Y - X * A^ ) = 0,04458 .

С учетом того, что в нашем примере к = 5 и n = 2

1 1

s^² = ------------ (Y – X * A^)^T *(Y – X * A^) =------* 0,04458 = 0,0223.

k – n - 1 2

s^ = Ö 0,0223 = 0,1493 .

Г. Среднеквадратические ошибки оценок параметров будут равны:

S ₀ = 0,0223 * Ö 5,482 = 0,3496 ;

S ₁ = 0,0223 * Ö 50,118 = 1,057 ;

S ₂ = 0,0223 * Ö 7,977 = 0,4217 .

Среднеквадратические ошибки имеют различное значения, иногда превышающие оценки параметров, что связано с малым количеством статистических данных.

3. Контрольная задача № 3

Оценки параметров трендовой модели.

3.1. По данным о розничном товарообороте региона нужно

произвести анализ основной тенденции развития товарооборота.

Таблица 3

3.2. Решение задачи будем производить методом множественной регрессии с оценкой параметров а₀ , а₁ , а₂ , а₃ , так как: во-первых, абсолютный прирост неравномерен по годам; во-вторых, темпы роста также неравны между собой, то есть необходимо оценивать параметры а₂ и а₃ .

Матрица Х размерами 5×4 и вектор-столбец Y размерами 5×1, будут иметь следующий вид:

( 1 1 1 1 ) (1,84E+10 )

( 1 2 4 8 ) ( 1,89E+10 )

X = ( 1 3 9 27) Y = ( 1, 98E+10)

( 1 4 16 64) (2, 03E+10)

( 1 5 25 125) ( 2,11E+10 )

Решение задачи с помощью п риложения EXCEL позволило получить следующие оценки параметров Â и соответственно аппроксимируемые значения Y^:

(а₀ ) ( 1,79E+10 ) (1, 838E+10 )

(а₁ ) ( 3,976E+08 ) ( 1,899E+10 )

 = (а₂ ) = ( 8,929E+07 ) Y^ = ( 1, 967E+10 )

(а₃ ) (- 8,333E+06) ( 2, 039E+10)

( 2, 108E+10).

Отрицательное значение параметра а₃ = - 8,333Е+06 говорит о том, что ускорение (темп роста) замедляется, что качественно можно оценить и из вышеприведенной таблицы.

3.3 . Анализ полученной трендовой модели на качество аппроксимации произведем помощью коэффициента детерминации R² .

Значение коэффициента детерминации R² = 0,9931 говорит об очень хорошем качестве трендовой модели

y_t (млрд.руб) = 17,9 + 0,3976 * t + 0,08929*t² – 0,008333*t³ .