| 5
6
вариант
Задача 1
1. Администрация страховой компании приняла решение о введении нового вида услуг – страхование на случай пожара. С целью определения тарифов по выборке из 10 случаев пожаров анализируется зависимость стоимости ущерба, нанесенного пожаром от расстояния до ближайшей пожарной станции:
| № п/п
|
1.
|
2.
|
3.
|
4.
|
5.
|
6.
|
7.
|
8.
|
9.
|
10.
|
| Общая сумма ущерба, млн.руб.
|
26,2
|
17,8
|
31,3
|
23,1
|
27,5
|
36,0
|
14,1
|
22,3
|
19,6
|
31,3
|
| Расстояние до ближайшей станции, км
|
3,4
|
1,8
|
4,6
|
2,3
|
3,1
|
5,5
|
0,7
|
3,0
|
2,6
|
4,3
|
Построить поле корреляции результата и фактора
Поле корреляции результата (общая сумма ущерба) и фактора (расстояние до ближайшей пожарной станции).
На основании поля корреляции можно сделать вывод , что между факторным (Х) и результативным (Y) признаками существует прямая зависимость.
2. Определить параметры а
и b
уравнения парной линейной регрессии:
где n
число наблюдений в совокупности ( в нашем случае 10)
a
и b
искомые параметры
x
и y
фактические значения факторного и результативного признаков.
Для определения сумм составим расчетную таблицу из пяти граф, в графе 6 дадим выравненное значение y (
ŷ).
В графах 7,8,9 рассчитаем суммы, которые использованы в формулах пунктов 4,5 данной задачи.
| №
|
X
|
Y
|
X²
|
x·y
|
y²
|
ŷ
|
(y-ŷ)
|
(x-x)
|
(ŷ-y)²
|
| 1.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
| 2.
|
3,4
|
26,2
|
11,56
|
686,44
|
89,08
|
26,20
|
0,00
|
0,0729
|
1,6384
|
| 3.
|
1,8
|
17,8
|
3,24
|
316,84
|
32,04
|
18,70
|
0,81
|
1,7689
|
36,6884
|
| 4.
|
4,6
|
31,3
|
21,16
|
979,69
|
143,98
|
31,80
|
0,25
|
2,1609
|
47,3344
|
| 5.
|
2,3
|
23,1
|
5,29
|
533,61
|
53,13
|
21,00
|
4,41
|
0,6889
|
15,3664
|
| 6.
|
3,1
|
27,5
|
9,61
|
756,25
|
85,25
|
24,80
|
7,29
|
0,0009
|
0,0144
|
| 7.
|
5,5
|
36
|
30,25
|
1296
|
198
|
36,00
|
0,00
|
5,6169
|
122,7664
|
| 8.
|
0,7
|
14,1
|
0,49
|
198,81
|
9,87
|
13,50
|
0,36
|
5,9049
|
130,4164
|
| 9.
|
3
|
22,3
|
9
|
497,29
|
66,9
|
24,30
|
4,00
|
0,0169
|
0,3844
|
| 10.
|
2,6
|
19,6
|
6,76
|
384,16
|
50,96
|
22,40
|
7,84
|
0,2809
|
6,3504
|
| 11.
|
4,3
|
31,3
|
18,49
|
979,69
|
134,59
|
30,40
|
0,81
|
1,3689
|
30,0304
|
| ∑
|
31,3
|
249,2
|
115,85
|
6628,78
|
863,8
|
249,1
|
25,77
|
17,881
|
390,9900
|
Коэффициент регрессии (b
) показывает абсолютную силу связи между вариацией x
и вариацией y
. Применительно к данной задаче можно сказать, что при применении расстояния до ближайшей пожарной станции на 1 км общая сумма ущерба изменяется в среднем на 4,686 млн.руб.
Таким образом, управление регрессии имеет следующий вид:
3. 
Линейный коэффициент корреляции определяется по формуле:
В соответствии со шкалой Чеддока можно говорить о высокой тесноте связи между y
и
x,
r = 0.957.
Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации
Это означает, что доля вариации y
объясненная вариацией фактора x
включенного в уравнение регрессии равна 91,6%, а остальные 8,4% вариации приходятся на долю других факторов, не учтенных в уравнении регрессии
4. Статистическую значимость коэффициента регрессии «b» проверяем с помощью t-критерия Стьюдента. Для этого сначала определяем остаточную сумму квадратов:
и ее среднее квадратическое отклонение: 
Найдем стандартную ошибку коэффициента регрессии по формуле:
Фактическое значение t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии «b» рассчитывается как
Полученное фактическое значение tb
сравнивается с критическим tk
, который получается по талблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости L
=
0,05 (для вероятности 0,95) и числа степеней свободы
Полученный коэффициент регрессии признается типичным, т.к.
Оценка статистической значимости построенной модели регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера
Фактическое значение критерия для уравнения определяется как
Fфакт
сравнивается с критическим значением Fк
, которое определяется по таблице F-критерия с учетом принятого уровня значимости L
=0,05
(для вероятности 0,95) и числа степеней свободы:
Следовательно, при F
факт
>
Fк
уравнении регрессии в целом признается существенным.
5. По исходным данным полагают, что расстояние до ближайшей пожарной станции
уменьшится на 5% от своего среднего уровня Следовательно, значения факторного признака для точечного прогноза:
а точечный прогноз :
Строим доверительный интервал прогноза ущерба с вероятностью 0,95 (L
=0,05)
по формуле
Табличное значение t
-
критерия Стьюдента для уровня значимости L
=0,05 и числа степеней свободы п-2=10-2=8,
Стандартная ошибка точечного прогноза рассчитываемая по формуле 
Отсюда доверительный интервал составляет:
  Из полученных результатов видно, что интервал от 19,8 до 28,6 млн. руб. ожидаемой величины ущерба довольно широкий. Значительная неопределенность прогноза линии регрессии, это видно из формулы связана прежде всего с малым объемом выборки (n=10)
, а также тем, что по мере удаления xk
от ширина доверительного интервала увеличивается.
Задача 2
Имеются следующие данные о ценах и дивидендах по обыкновенным акциям, также о доходности компании.
| №
|
цена акции лоллар США
|
доходность капитала %
|
уровень дивидендов %
|
| 1
|
25
|
15,2
|
2,6
|
| 2
|
20
|
13,9
|
2,1
|
| 3
|
15
|
15,8
|
1,5
|
| 4
|
34
|
12,8
|
3,1
|
| 5
|
20
|
6,9
|
2,5
|
| 6
|
33
|
14,6
|
3,1
|
| 7
|
28
|
15,4
|
2,9
|
| 8
|
30
|
17,3
|
2,8
|
| 9
|
23
|
13,7
|
2,4
|
| 10
|
24
|
12,7
|
2,4
|
| 11
|
25
|
15,3
|
2,6
|
| 12
|
26
|
15,2
|
2,8
|
| 13
|
26
|
12
|
2,7
|
| 14
|
20
|
15,3
|
1,9
|
| 15
|
20
|
13,7
|
1,9
|
| 16
|
13
|
13,3
|
1,6
|
| 17
|
21
|
15,1
|
2,4
|
| 18
|
31
|
15
|
3
|
| 19
|
26
|
11,2
|
3,1
|
| 20
|
11
|
12,1
|
2
|
1. построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров
Составим расчетную таблицу
| №
|
y
|
X1
|
X2
|
X2*X2
|
X1*X1
|
y*X1
|
y*x2
|
X1*X2
|
| 1
|
25
|
15,2
|
2,6
|
6,76
|
231,04
|
380
|
65
|
39,52
|
| 2
|
20
|
13,9
|
2,1
|
4,41
|
193,21
|
278
|
42
|
29,19
|
| 3
|
15
|
15,8
|
1,5
|
2,25
|
249,64
|
237
|
22,5
|
23,7
|
| 4
|
34
|
12,8
|
3,1
|
9,61
|
163,84
|
435,2
|
105,4
|
39,68
|
| 5
|
20
|
6,9
|
2,5
|
6,25
|
47,61
|
138
|
50
|
17,25
|
| 6
|
33
|
14,6
|
3,1
|
9,61
|
213,16
|
481,8
|
102,3
|
45,26
|
| 7
|
28
|
15,4
|
2,9
|
8,41
|
237,16
|
431,2
|
81,2
|
44,66
|
| 8
|
30
|
17,3
|
2,8
|
7,84
|
299,29
|
519
|
84
|
48,44
|
| 9
|
23
|
13,7
|
2,4
|
5,76
|
187,69
|
315,1
|
55,2
|
32,88
|
| 10
|
24
|
12,7
|
2,4
|
5,76
|
161,29
|
304,8
|
57,6
|
30,48
|
| 11
|
25
|
15,3
|
2,6
|
6,76
|
234,09
|
382,5
|
65
|
39,78
|
| 12
|
26
|
15,2
|
2,8
|
7,84
|
231,04
|
395,2
|
72,8
|
42,56
|
| 13
|
26
|
12
|
2,7
|
7,29
|
144
|
312
|
70,2
|
32,4
|
| 14
|
20
|
15,3
|
1,9
|
3,61
|
234,09
|
306
|
38
|
29,07
|
| 15
|
20
|
13,7
|
1,9
|
3,61
|
187,69
|
274
|
38
|
26,03
|
| 16
|
13
|
13,3
|
1,6
|
2,56
|
176,89
|
172,9
|
20,8
|
21,28
|
| 17
|
21
|
15,1
|
2,4
|
5,76
|
228,01
|
317,1
|
50,4
|
36,24
|
| 18
|
31
|
15
|
3
|
9
|
225
|
465
|
93
|
45
|
| 19
|
26
|
11,2
|
3,1
|
9,61
|
125,44
|
291,2
|
80,6
|
34,72
|
| 20
|
11
|
12,1
|
2
|
4
|
146,41
|
133,1
|
22
|
24,2
|
| итого
|
471
|
276,5
|
49,4
|
126,7
|
3916,59
|
6569,1
|
1216
|
682,34
|
Опрелеляем
 
По Данным таблицы составим систему нормальных уравнений с тремя неизвестными:  Разделим каждое уравнение на коэффициент при a
.
Вычтем первое уравнение из второго и третьего
  
 Разделим каждое уравнение на коэффициент при
Сложим оба уравнения и найдем
Таким образом, уравнение множественной регрессии имеет вид
Экономический смысл коэффициентов  и  в том, что это показатели силы связи, характеризующие изменение цены акции при изменении какого-либо факторного признака на единицу своего измерения при фиксированном влиянии другого фактора. Так, при изменении доходности капитала на один процентный пункт, цена акции измениться в том же направлении на 0,686 долларов; при изменении уровня дивидендов на один процентный пункт цена акции изменится в том же направлении на 11,331 доллара.
2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности.
Будем рассчитывать частные коэффициенты эластичности для среднего значения фактора и результата:
Э- эластичность цены акции по доходности капитала
Э- эластичность цены акции по уровню дивидендов
3. 
Определить стандартизованные коэффициенты регрессии
формулы определения:
 где j-
порядковый номер фактора
 - среднее квадратическое отклонение j-го
фактора (вычислено раньше)
=2,168  = ,0484
 - среднее квадратическое отклонение результативного признака
=6,07 4. сделать вывод о силе связи результата с каждым из факторов.
Коэффициенты эластичности факторов  говорят о том, что при отклонении величины соответствующего фактора от его средней величины на 1% (% как относительная величина) и при отвлечении от сопутствующего отклонения другого фактора входящего в уравнение множественной регрессии, цена акции отклонится от своего среднего значения на 0,403% при действии фактора  (доходность капитала) и на 1,188% при действии фактора  (уровень дивидендов).
Таким образом сила влияния фактора на результат (цену акции) больше, чем фактора , а сами факторы действуют в одном и том же положительном направлениии.
Количественно фактор приблизительно в три раза сильнее влияет на результат чем фактор . ( )
Анализ уравнения регрессии по стандартизованным коэффициентам  показывает, что второй фактор влияет сильнее на результат, чем фактор  ( ), т.е. при учете вариации факторов их влияние более точно.
5. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции.
Парные коэффициенты корреляции определяются по формулам:
Частные коэффициенты корреляции определяются по ф-ле:
Множественный коэффициент корреляции определяется по формуле:
Матрица парных коэффициентов корреляции
Из таблицы видно, что в соответствии со шкалой Чеддока связь между  и  можно оценить как слабую, между и - как высокую, между  и связь практически отсутствует.
Таким образом, по построенной модели можно сделать вывод об отсутствии в ней мультиколлениарности факторов.
Частные коэффициенты корреляции рассчитывались как оценки вклада во множественной коэффициент корреляции каждого из факторов ( и ). Они характеризуют связи между результативными признаками (ценой акции) и соответствующим фактором x
при
Причина различий между значениями частных и парных коэффициентов корреляции состоит в том, что частный коэффициент отражает долю вариации результативного прихнака (цены акции), дополнительно объясняемой при включении фактора (или ) после другого фактора  (или  ) в уравнение регрессии, не объяснимой ранее включенным фактором  (или ).
6
.
|