Реферат: Итерациональные методы решения нелинейных уравнений
Название: Итерациональные методы решения нелинейных уравнений Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА УТВЕРЖДАЮ: Проректор по учебной и методической работе _________________ И.К. Насыров «_____» _______________ 2007 г. ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.Ф.01.05 "ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА" Рекомендуется УМЦ КГТУ им. А.Н. Туполева для направлений (специальностей) направления: 654600 (230100 )* “Информатика и вычислительная техника” 654700 (230200)* «Информационные системы» специальности:220200 (230102)* «Автоматизированные системы обработки информации и управления» 071900 (230201)* «Информационные системы и технологии» специализации: «Автоматизированные системы в административно- организационном управлении» «Информационные системы и технологии в компьютерных сетях» формы обучения: очная, очно – заочная и заочная *) коды направлений и специальностей указаны по Общероссийскому классификатору специальностей по образованию (ОК 009-2003) Цели и задачи дисциплиныЦелью и задачами дисциплины является изучение основных положений вычислительной математики, знакомство с приближенными методами решения реальных инженерных задач на ЭВМ, современными методами решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями, в объеме, достаточном для квалифицированного решения основных профессиональных задач будущими инженерами. Материал курса основан на знаниях, навыках и умениях полученных при обучении в среднем образовательном учреждении, а также получаемых студентами при изучении дисциплин: «Алгебра и геометрия», «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Программирование на языках высокого уровня», «Информатика». Студенты должны быть знакомы с основными алгебраическими структурами («Алгебра и геометрия»); с понятиями функции и ее непрерывности, с понятиями множества, отношения («Математический анализ»); с понятиями обыкновенных и систем обыкновенных дифференциальных уравнений, аналитическими методами их решения («Дифференциальные уравнения»); способами записи алгоритма, стандартными типами данных («Программирование на языках высокого уровня»); с основными приемами работы в операционных системах MS DOS и Windows, а также с основными офисными системами MS Word и MS Excel («Информатика»). Студенты должны иметь практические навыки решения линейных алгебраических и нелинейных уравнений и систем («Алгебра и геометрия»), решения обыкновенных и систем обыкновенных дифференциальных уравнений («Дифференциальные уравнения»), уметь строить схемы алгоритмов и программ («Программирование на языках высокого уровня»). Знания, умения и навыки, полученные в процессе изучения данного курса, могут быть использованы студентами для изучения дисциплин «Технологии программирования», «Операционные системы», «Базы данных», «Управление данными», «Информационные технологии», «Сетевые технологии», «Теория принятия решений», а также при прохождении вычислительной практики студентами второго курса очной формы обучения. Требования к уровню освоения содержания дисциплины В результате изучения дисциплины студенты должны: знать:основные численные методы решения нелинейных уравнений, систем нелинейных и линейных алгебраических уравнений; методы интерполирования, аппроксимирования и экстраполирования функций; методы численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений; условий сходимости методов, областей применения численных методов, условий окончания итерационных процессов по каждому методу. уметь:выводить итерационные формулы для решения конкретной задачи выбранным методом; составлять и отлаживать программу для конкретного метода; объяснять полученные результаты. иметь опыт выбора метода численного решения конкретной задачи. иметь представление:о вычислительной математике как науке о численных (приближенных) методах решения математических и реальных инженерных задач; о методах и алгоритмах численного решения задач, сходимости методов, погрешностях вычислений, теоретическом обосновании ряда методов, достоинствах и недостатках методов; о состоянии и тенденциях развития вычислительной математики. Объем дисциплины и виды учебной работы
Содержание дисциплины Тематический план *):
*) Используемые сокращения: ЛК –лекции, ЛБ – лабораторные работы, ПЗ – практические занятия. Содержание тем 1. Введение, понятие приближенных (численных) методов решения инженерных задач на ЭВМ. Учет погрешностей при вычислениях. Вычислительные программные системы. (очное: 4/8ч.; очно-заочное: 4/11ч.; заочное:2/15ч.). 1.1. Основные понятия дисциплины (очное: 1/2ч.; очно-заочное: 1/1ч.; заочное: 1/1ч.). Понятие приближенных (численных) методов решения математических задач. Место численных методов в математическом анализе. Понятие вычислительной математики, предмет изучения вычислительной математики. Понятия итерационных методов и погрешностей вычислений, вычислительной схемы. Проблема «устойчивости вычислительных методов» и сложности алгоритма. 1.2. Учет погрешностей при вычислениях (очное: 2/4ч.; очно-заочное: 2/6ч.; заочное: 1/8ч.). Источники и классификация погрешностей. Основные понятия и определения теории погрешностей. Округление чисел. Погрешности алгебраической суммы, произведения, частного, степени, корня, функции. Правило сложения приближенных чисел. Обратная задача теории погрешностей. 1.3. Вычислительные программные системы (очное: 1/2ч.; очно-заочное: 1/4ч.; заочное: 0/6ч.).Основы работы с MS Excel, MathCad, MathLab с точки зрения решения задач вычислительной математики. 2. Приближенные методы решения нелинейных уравнений, систем нелинейных уравнений и систем линейных алгебраических уравнений (очное: 14/30ч.; очно-заочное: 14/36ч.; заочное: 4/50ч.). 2.1. Приближенные методы решения нелинейных уравнений (очное: 8/10ч.; очно-заочное: 8/12ч.; заочное: 2/15ч.). Понятия отделения и уточнения корней нелинейных уравнений на отрезке. Графический и аналитический методы отделения корней. Геометрическая интерпретация графического и аналитического методов. Методы уточнения корней: метод дихотомии, метод простых итераций, метод Ньютона (касательных), модифицированный метод Ньютона. Метод простых итераций: понятия начального приближения и итерационного процесса; достаточное условие сходимости итерационного процесса; критерии останова итерационного процесса. Геометрическая интерпретация метода простых итераций. Приведение нелинейного уравнения к виду, допускающего сходящиеся итерации. Достоинства и недостатки метода простых итераций. Метод Ньютона, его геометрическая интерпретация, рабочая формула, выбор начального приближения. Достаточное условие сходимости. Критерий останова итерационного процесса. Достоинства и недостатки метода Ньютона. Модифицированный метод Ньютона, его геометрическая интерпретация и рабочая формула. 2.2. Приближенные методы решения систем нелинейных уравнений (очное: 3/8ч.; очно-заочное: 2/12ч.; заочное: 2/15ч.).Понятие системы нелинейных уравнений (СНУ). Проблема отделения корней СНУ. Приближенные методы решения СНУ. Метод простых итераций, понятия начального приближения, итерационного процесса. Достаточные условия сходимости итерационного процесса. Критерий останова итерационного процесса. Приведение исходной системы к системе, допускающей сходящиеся итерации на примере системы второго порядка. Достоинства и недостатки метода простых итераций для решения СНУ. Метод Ньютона для решения СНУ, его рабочая формула и критерий останова итерационного процесса. Достаточное условие сходимости. Достоинства и недостатки метода Ньютона. Рабочая формула модифицированного метода Ньютона. 2.3. Приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (очное: 3/10ч.; очно-заочное: 3/12ч.; заочное: 0/20ч.).Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций, его рабочие формулы и критерий останова; выбор начального приближения; достаточные условия и необходимые и достаточные условия сходимости итерационного процесса; приведение исходной системы к системе, допускающей сходящиеся итерации; достоинства и недостатки метода простых итераций. Рабочие формулы методы Зейделя, критерий останова, необходимые и достаточные условия сходимости метода. Достоинства и недостатки метода. Метод релаксации. Приведение исходной системы к виду, пригодному для релаксации. Понятие невязки. Рабочие формулы метода. Критерии останова процесса.3. Задачи интерполяции, экстраполяции и аппроксимации функций. Основные приложения теории интерполяции. (очное: 10/20ч.; очно-заочное: 10/26ч.; заочное: 4/35ч.). 3.1. Построение интерполяционных формул Лагранжа, первой и второй формул Ньютона (очное: 3/7ч.; очно-заочное: 3/9ч.; заочное: 3/10ч.). Постановка задачи интерполирования функций по заданной системе точек, понятие равноотстоящих и неравноотстоящих узловых точек. Принципы построения интерполяционной формулы Лагранжа, первой и второй интерполяционной формулы Ньютона, их форма записи и погрешности вычислений по ним. Формулы линейной и квадратичной интерполяции. Понятие табличных разностей различных порядков. 3.2. Основные приложения теории интерполяции (очное: 4/6ч.; очно-заочное: 4/8ч.; заочное: 0/15ч.).Понятие численного дифференцирования. Основные принципы решения задачи численного дифференцирования на примере использования таблицы узловых точек и интерполяционных полиномов. Погрешность построенных формул. Понятие численного интегрирования, квадратурных формул. Построение квадратурной формулы Ньютона-Котеса с использованием интерполяционных формул, коэффициенты Котеса. Частные случаи формулы Ньютона-Котеса (формула трапеций и формула Симпсона) и их геометрическая интерпретация. Погрешность построенных формул. Понятие несобственных интегралов. Приближенное вычисление несобственных интегралов. Случаи бесконечного отрезка интегрирования с непрерывной подынтегральной функцией и разрывной на конечном отрезке интегрирования подынтегральной функцией, их геометрическая интерпретация. Приближенное вычисление двойных интегралов: понятие кубатурных формул; вывод кубатурной и обобщенной кубатурной формул типа Симпсона для различных видов областей интегрирования. 3.3. Метод наименьших квадратов для обработки результатов экспериментов (очное: 3/7ч.; очно-заочное: 3/9ч.; заочное: 1/10ч.).Задача аппроксимирования функций по заданной системе точек. Общая идея метода наименьших квадратов. Понятие отклонения искомой функции от экспериментальной в узловых точках. Алгоритм метода наименьших квадратов и его теоретическое обоснование. Аппроксимация с помощью экспоненциальных функций. 4. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, краевых задач для решения дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. (очное: 6/14ч.; очно-заочное: 6/16ч.; заочное: 2/22ч.). 4.1. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем (очное: 3/5ч.; очно-заочное: 3/4ч.; заочное: 1/6ч.). Классификация методов решения и численных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Понятия задачи Коши и шага интегрирования. Метод последовательных приближений (метод Пиккара). Метод Эйлера: общая идея метода, его графическая интерпретация и рабочая формула. Достоинства и недостатки метода. Рабочие формулы метода Эйлера для решения системы второго порядка дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта. Общая идея методов Рунге-Кутта второго и четвертого порядков, их рабочие формулы. Достоинства и недостатки методов. Решение задачи Коши для системы второго порядка методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Метод Адамса. Достоинства и недостатки метода Адамса. Экстраполяционная и интерполяционная формулы Адамса для решения дифференциальных уравнений. Непрерывные схемы решения нелинейных уравнений, условие их применения. Дифференциальное уравнение в отклонениях, его решение. Достоинства и недостатки непрерывных схем. Дифференциальное уравнение с малым параметром, его решение. Достоинства и недостатки методов решения нелинейных уравнений с использованием дифференциальных уравнений с малым параметром. 4.2. Приближенное решение краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка (очное: 1/4ч.; очно-заочное: 1/6ч.; заочное: 1/8ч.). Метод конечных разностей. Понятие краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка и ее геометрическая интерпретация при различных краевых условиях. Понятие двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка и ее форма записи. Метод конечных разностей для решения двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Метод прогонки. Конечно-разностная и каноническая формы записи двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Алгоритм метода прогонки прямым и обратным ходом вычислений. 4.3. Приближенное решение краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (очное: 2/5ч.; очно-заочное: 2/6ч.; заочное: 1/8ч.). Методы моделирования и Монте-Карло для решения задачи Дирихле. Понятие дифференциального уравнения в частных производных первого порядка эллиптического типа. Понятие краевых задач для уравнений эллиптического типа. Понятие задачи Дирихле. Решение задачи Дирихле методом моделирования и Монте-Карло. Метод сеток и метод прогонки для решения уравнений параболического типа. Понятие дифференциального уравнения в частных производных первого порядка параболического типа. Метод сеток и метод прогонки для решения уравнений параболического типа. Метод сеток для решения уравнений гиперболического типа. Понятие дифференциального уравнения в частных производных первого порядка гиперболического типа. Метод сеток для решения уравнений гиперболического типа. Лабораторный практикум
Курсовой проект (работа) и его содержание Курсовой проект и курсовая работа не предусмотрены. Контрольная работа. Контрольная работа предусмотрена для заочной формы обучения. На выполнение контрольной работы отводится 30 часов самостоятельной работы студентов. Задания контрольной работы включает решение задач по темам 2 и 3 (см. приложение 6 и 7). Подготовка реферата.Реферат не предусмотрен. 5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины 5.1 Рекомендуемая литература а) основная литература:
б) дополнительная литература: 1. Иванов В.С., Ляшев А.С. Лабораторный практикум по дисциплине «Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах». Казань, КАИ, 1984. 2. Вахонина Г.С. Методическое руководство к выполнению лабораторных работ по дисциплине “Методы вычислений”. – Казань: КАИ, 1982. 3. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Применение численных методов для решения инженерных задач на ЭВМ. Лабораторный практикум, Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2002, 44с. 4. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Применение численных методов для решения инженерных задач на ЭВМ. Методические указания для студентов заочной формы обучения, Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2001, 40с. 5. «Журнал вычислительной математики». 6. «Математическое моделирование». 7. «Программирование». 8. «Математика. Реферативный журнал». 9. http://meth.ras.ru («Журналы Отделения Математики РАН»). 10. http://www.exponenta.ru («Образовательный математический сайт»). 5.2 Средства обеспечения освоения дисциплины Программное обеспечение для выполнения лабораторных работ и самостоятельной работы студентов: Windows 98 или более поздних версий. Автоматизированная вычислительная система «MathCad». Автоматизированная вычислительная система «MathLab». MS Excel 97 или более поздних версий. MS Word 97 или более поздних версий. Системы программирования Turbo C V6.0 или 7.0, Borland C++ V6.0 или 7.0. Системы программирования Turbo Pascal V6.0 или 7.0, Borland Pascal V6.0 или 7.0. 6. Материально-техническое обеспечение дисциплины Для проведения лабораторных работ и организации самостоятельной работы студентов необходимо иметь учебный класс оснащенный ПЭВМ со стандартной комплектацией. 7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины 7.1. Организация изучения дисциплины при очной форме обучения Обучение проводится в течение одного семестра. Темы 1-4 и все указанные лабораторные работы рассматриваются в семестре № 3. При проведении лабораторных работ используются программные комплексы, поддерживающие языки программирования Pascal и C, как в учебных лабораториях кафедры, оснащенных компьютерами, так и в ВЦ. При изучении дисциплины используется балльно - рейтинговая система оценки знаний. Контрольные тестирования организуются на 6, 12 и 17 неделях каждого семестра. Каждое тестирование включает задания, предусматривающие ответы на теоретические и практические вопросы (см. приложение № 5). 7.2. Организация изучения дисциплины при заочной форме обучения Изучение дисциплины проводится в течение осеннего семестра и охватывает следующие формы обучения и виды занятий: Установочные лекции (4 часа) охватывают темы № 2,3 (сентябрь); Выполнение контрольной работы по темам №2-4. Задания контрольных работ приведены в приложении № 6. Требования к оформлению контрольных работ приведены в приложении № 7 (октябрь - декабрь); Самостоятельное изучение теоретического материала по теме №1 и некоторых параграфов по темам №2-4 и подготовка к теоретическому экзамену. Список вопросов теоретического курса приведен в приложении № 8. Консультации с преподавателем в университете в последнюю субботу каждого месяца и ежедневные консультации с использованием электронной почты (октябрь - декабрь); Тестирование с целью определения усвоения тем № 2 и № 3. Список тестов приведен в приложении № 4 (январь); Лекции (8 часов) по темам № 1-4 (январь); Выполнение лабораторных работ (январь); Повторение теоретического материала и подготовка к итоговому экзамену (январь). Итоговый экзамен (январь). Программу составили: Горбунов Д.А., к.т.н., доцент каф. ПМИ КГТУ им. А.Н. Туполева _____________________ Программа обсуждена и одобрена на заседании кафедры ПМИ «____» ______________2007г., протокол № __. Зав. кафедрой ПМИ Н.Е. Роднищев д.т.н., профессор Председатель Учебно-методической В.А. Суздальцев комиссии факультета, доцент Декан факультета Л.Ю.Емалетдинова д.т.н., профессор Согласовано: Л.М.Шарнин зав.кафедрой АСОиУ д.т.н., профессор ПРИЛОЖЕНИЕ 5 ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» Вопрос 1. Сделайте вывод о сходимости итерационного процесса сходится для любой точки из отрезка; сходится только из определенной точки отрезка; сходится только для одной из граничных точек отрезка; расходится на всем отрезке; расходится на всей числовой оси. Вопрос 2. Чему равно значение 0.5; 0.875; 0.4; 0.8; 0.9. Вопрос 3. Если итерационный процесс, построенный по методу простых итераций для решения нелинейного уравнения одна из граничных точек отрезка; обе граничные точки отрезка; середина отрезка; любая точка отрезка; все ответы правильные. Вопрос 4. По какой из итерационных формул осуществляется решение нелинейных уравнений вида 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 5. Сформулируйте теорему о существовании хотя бы одного корня нелинейного уравнения Если функция Если функция Если функция Если функция Если функция Вопрос 6. Какое условие является достаточным для сходимости итерационного процесса
Вопрос 7. При нахождении корня нелинейного уравнения 0.5; 2; 1; любой из концов отрезка; любое значение из отрезка. Вопрос 8.К какому виду, допускающему сходящиеся итерации, нужно привести систему нелинейных уравнений второго порядка
Вопрос 9. При решении какого класса задач достаточные условия сходимости итерационного процесса имеют вид: решение нелинейных уравнений; решение систем нелинейных уравнений; решение систем линейных алгебраических уравнений; решение линейных уравнений; все ответы правильные. Вопрос 10. При численном решении СЛАУ 1. 2. 3. 4. 1. Вопрос 11. Чему равно следующее приближение Вопрос 12. Задача интерполяции функций возникает в тех случаях, когда: необходимо знать значения функции для промежуточных значений аргументов между узловыми точками; необходимо знать значения функции для точек, расположенных в начале или в конце таблицы; необходимо представить в аналитическом виде функцию, заданную таблично; необходимо представить в более простом виде сложную аналитически заданную функцию; все ответы правильные. Вопрос 13. По таблице из трех узловых точек
можно построить интерполяционный полином Лагранжа второго порядка вида:
0; 0.5; 1; 0.4; 0.35. Вопрос 14. По таблице из трех узловых точек
найти табличную разность второго порядка
Вопрос 15. В каком пункте алгоритма метода наименьших квадратов допущена ошибка? Задается таблица чисел Вводится функция Находятся необходимые условия экстремума функции Строится и решается СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов Записывается искомый многочлен в виде
Вопрос 16. Как называется следующая квадратурная формула: формула Ньютона-Котеса; формула трапеций; формула Симпсона; формула Ньютона; формула Котеса. Вопрос 17. Как называется следующая интерполяционная формула, построенная для неравноотстоящих узлов:
интерполяционная формула Лагранжа; первая интерполяционная формула Ньютона; вторая интерполяционная формула Ньютона; формула квадратичной интерполяции; формула линейной интерполяции. ПРИЛОЖЕНИЕ 6 ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ. Задание № 1. Доказать графическим и аналитическим методами существование единственного корня нелинейного уравнения на отрезке; построить итерационные формулы по методу простых итераций, методу Ньютона и модифицированному методу Ньютона для поиска корня на отрезке; составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные итерационные процессы (см. Таблицу 1). Таблица 1
Задание № 2. Построить итерационные формулы по методу простых итераций и методу Ньютона для приближенного решения системы нелинейных уравнений второго порядка с указанного начального приближения; составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные итерационные процессы (см. Таблицу 2). Таблица 2
Задание № 3. Вычислить таблицу значений экспериментальной функции для равноотстоящей системы из трех узловых точек на отрезке из области допустимых значений функции; по сформированной системе точек построить интерполяционную формулу Лагранжа, первую и вторую интерполяционные формулы Ньютона, аппроксимационный полином второго порядка; составить программу на любом языке программирования, реализующую процесс построения указанных полиномов для заданной системы точек (см. Таблицу 3). Таблица 3
ПРИЛОЖЕНИЕ 7 Требования к оформлению контрольной работы. Задания выполняются в тонкой тетради в клетку (18-24 листа). Поля обязательны. Тетрадь должна быть подписана ( указать: КГТУ им. А.Н. Туполева, кафедра ПМиИ, дисциплина: "Вычислительная математика", номер группы, фамилия, имя, отчество; учебный год, город проживания студента, адрес электронной почты). Оформление выполнения каждого задания необходимо начинать с номера и текста задания. Помарки и зачеркивания не допускаются. Писать необходимо с интервалом через строку. При записи числа каждую цифру числа писать в одной клетке. Необходимо использовать пасту или чернила черного, синего или фиолетового цвета. Графические работы (схемы, таблицы) выполнять только карандашом, использовать линейку. Текст, поясняющий выполнение заданий, должен быть связанным, логически последовательным. Сокращения слов не допускаются. Особое внимание уделить пунктуации. Все вычисления должны сопровождаться связующим текстом с указанием объекта, вычислений и исходных данных. Например: «Докажем аналитическим методом единственность корня нелинейного уравнения Контрольная работа пересылается в КГТУ им. А.Н. Туполева, кафедра ПМиИ , или по электронной почте (admdo@mail.ru) для проверки. ПРИЛОЖЕНИЕ 8. СПИСОК ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА 1. Источники и классификация погрешностей. 2. Основные понятия и определения теории погрешностей. 3. Значащая и верная цифра приближенной величины. Округление чисел. 4. Погрешность алгебраической суммы. 5. Погрешность произведения и частного. 6. Погрешность степени и корня. 7. Погрешность функции. 8. Обратная задача теории погрешностей. 9. Основные этапы решения нелинейных уравнений. 10. Метод половинного деления. 11. Метод простых итераций для решения нелинейных уравнений. 12. Метод Ньютона (метод касательных) для решения нелинейных уравнений. 13. Модифицированный метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. 14. Метод простых итераций для решения систем нелинейных уравнений. 15. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. 16. Модифицированный метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. 17. Метод простых итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений. 18. Метод Зейделя. 19. Метод релаксации. 20. Интерполяционная формула Лагранжа. 21. Первая интерполяционная формула Ньютона. 22. Вторая интерполяционная формула Ньютона. 23. Численное дифференцирование. 24. Квадратурная формула Ньютона-Котеса. 25. Формула трапеций. 26. Квадратурная формула Симпсона. 27. Приближенное вычисление несобственных интегралов. 28. Метод наименьших квадратов. 29. Метод Эйлера. 30. Метод Рунге-Кутта. 31. Метод Адамса. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 1. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). –М.: Высшая школа, 2000, 370с. 2. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). –М.:ОНИКС 212 век, 2005, 400с. 3. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Применение численных методов для решения инженерных задач на ЭВМ. Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2001, 40с. 4. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Применение численных методов для решения инженерных задач на ЭВМ. Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2002, 48с. 5. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Численные методы. Лабораторный практикум. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2002, 44с. 6. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1970, 664с.. 7. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. -М.: Наука, 1967, 368с. 8. Канторович Л.В. О методе Ньютона. Труды Матем. ин-та им. Стеклова, т.XXVIII, 1949, с.104-144. 9. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Численные методы. –М.: Academia, 2004, 384с. 10. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. –М.: Наука, 1989, 432с. 11. Моисеев В.С., Нестерова Л.Е., Горбунов Д.А. Основные численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебно-методическое пособие по выполнению курсовой работы по дисциплине “Дифференциальные уравнения”. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 1999, 25с.
147 Содержание. Об истории возникновения предмета «Вычислительная математика». 5 Глава 1. Учет погрешностей при вычислениях. §1.1. Источники и классификация погрешностей. 7 §1.2. Основные понятия и определения теории погрешностей. 8 §1.3. Значащая и верная цифра приближенной величины. Округление чисел. 9 §1.4. Погрешность алгебраической суммы. 11 §1.5. Погрешность произведения и частного. 13 §1.6. Погрешность степени и корня. 15 §1.7. Погрешность функции. 16 §1.8. Обратная задача теории погрешностей. 17 Глава 2. Итерационные методы решения нелинейных уравнений. §2.1. Основные этапы решения нелинейных уравнений. 19 §2.2. Метод половинного деления. 21 §2.3. Метод простых итераций. 22 §2.4. Метод Ньютона (метод касательных). 28 §2.5. Модифицированный метод Ньютона. 32 §2.6. Непрерывные схемы решения нелинейных уравнений. 33 Глава 3. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений. §3.1. Метод простых итераций для решения систем нелинейных уравнений. 36 §3.2. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. 40 Глава 4. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. §4.1. Метод простых итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений. 44 §4.2. Метод Зейделя. 47 §4.3. Метод релаксации. 49 Глава 5. Методы приближения функций. §5.1. Постановка задачи аппроксимации и интерполяции функций. 53 §5.2. Конечные разности. Обобщенная степень. 55 §5.3. Первая интерполяционная формула Ньютона. 57 §5.4. Вторая интерполяционная формула Ньютона. 59 §5.5. Интерполяционная формула Лагранжа. 61 §5.6. Метод наименьших квадратов для обработки результатов экспериментов. 65 §5.7.Обработка экспериментальных данных некоторыми другими функциями. 67 Глава 6. Численное дифференцирование. §6.1. Постановка вопроса. 70 §6.2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона. 70 §6.3. Формулы численного дифференцирования для равноотстоящих точек, основанные на интерполяционной формуле Лагранжа. 72 Глава 7. Приближенное интегрирование функций. §7.1. Квадратурная формула Ньютона-Котеса. 74 §7.2. Частные случаи квадратурной формулы Ньютона-Котеса. 76 §7.3. Квадратурная формула Гаусса. 79 §7.4. Приближенное вычисление несобственных интегралов. 82 §7.5. Кубатурные формулы типа Симпсона. 84 Глава 8. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем. §8.1. Метод Эйлера. 88 §8.2. Метод Рунге-Кутта. 91 §8.3. Метод Адамса. 93 Глава 9. Краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка. 95 §9.1. Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка методом конечных разностей. 96 §9.2. Метод прогонки. 98 Глава 10.Численные методы решения краевых задач для дифференци- альных уравнений с частными производными. §10.1. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными. 101 §10.2. Уравнение Лапласа в конечных разностях. 103 §10.3. Решение задачи Дирихле методом сеток. 105 §10.4. Метод сеток для уравнения параболического типа. 108 §10.5. Метод сеток для уравнений гиперболического типа. 113 Лабораторная работа № 1-2. Итерационные методы решения нелинейных уравнений. 115 Лабораторная работа № 3-4. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений. 121 Лабораторная работа № 5. Итерационные методы решения систем линейных алгебраи- ческих уравнений. 128 Лабораторная работа № 6-7. Интерполяция и аппроксимация функций. 133 Лабораторная работа № 8. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. 138 Приложение 1. 143 Приложение 2. 146 Список литературы 147
4 КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА УТВЕРЖДАЮ: Проректор по учебной и методической работе _________________ И.К. Насыров «_____» _______________ 2007 г. ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.Ф.01.05 "ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА" Рекомендуется УМЦ КГТУ им. А.Н. Туполева для направлений (специальностей) направления: 552800 (230000 )* “Информатика и вычислительная техника” специальности: 220100 (230101)* «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» формы обучения: очная, очно – заочная *) коды направлений и специальностей указаны по Общероссийскому классификатору специальностей по образованию (ОК 009-2003) Цели и задачи дисциплины Целью и задачами дисциплины является изучение основных положений вычислительной математики, знакомство с приближенными методами решения реальных инженерных задач на ЭВМ, современными методами решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями, в объеме, достаточном для квалифицированного решения основных профессиональных задач будущими инженерами. Материал курса основан на знаниях, навыках и умениях полученных при обучении в среднем образовательном учреждении, а также получаемых студентами при изучении дисциплин: «Алгебра и геометрия», «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Программирование на языках высокого уровня», «Информатика». Студенты должны быть знакомы с основными алгебраическими структурами («Алгебра и геометрия»); с понятиями функции и ее непрерывности, с понятиями множества, отношения («Математический анализ»); с понятиями обыкновенных и систем обыкновенных дифференциальных уравнений, аналитическими методами их решения («Дифференциальные уравнения»); способами записи алгоритма, стандартными типами данных («Программирование на языках высокого уровня»); с основными приемами работы в операционных системах MS DOS и Windows, а также с основными офисными системами MS Word и MS Excel («Информатика»). Студенты должны иметь практические навыки решения линейных алгебраических и нелинейных уравнений и систем («Алгебра и геометрия»), решения обыкновенных и систем обыкновенных дифференциальных уравнений («Дифференциальные уравнения»), уметь строить схемы алгоритмов и программ («Программирование на языках высокого уровня»). Знания, умения и навыки, полученные в процессе изучения данного курса, могут быть использованы студентами для изучения дисциплин «Технологии программирования», «Операционные системы», «Базы данных», «Управление данными», «Информационные технологии», «Сетевые технологии», «Теория принятия решений», а также при прохождении вычислительной практики студентами второго курса очной формы обучения. Требования к уровню освоения содержания дисциплины В результате изучения дисциплины студенты должны: знать:основные численные методы решения нелинейных уравнений, систем нелинейных и линейных алгебраических уравнений; методы интерполирования, аппроксимирования и экстраполирования функций; методы численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений; условий сходимости методов, областей применения численных методов, условий окончания итерационных процессов по каждому методу. уметь:выводить итерационные формулы для решения конкретной задачи выбранным методом; составлять и отлаживать программу для конкретного метода; объяснять полученные результаты. иметь опыт выбора метода численного решения конкретной задачи. иметь представление:о вычислительной математике как науке о численных (приближенных) методах решения математических и реальных инженерных задач; о методах и алгоритмах численного решения задач, сходимости методов, погрешностях вычислений, теоретическом обосновании ряда методов, достоинствах и недостатках методов; о состоянии и тенденциях развития вычислительной математики. Объем дисциплины и виды учебной работы
Содержание дисциплины Тематический план *):
*) Используемые сокращения: ЛК –лекции, ЛБ – лабораторные работы, ПЗ – практические занятия. Содержание тем 1. Введение, понятие приближенных (численных) методов решения инженерных задач на ЭВМ. Учет погрешностей при вычислениях. Вычислительные программные системы. (очное: 4/8ч.; очно-заочное: 4/11ч.). 1.1. Основные понятия дисциплины (очное: 1/2ч.; очно-заочное: 1/1ч.). Понятие приближенных (численных) методов решения математических задач. Место численных методов в математическом анализе. Понятие вычислительной математики, предмет изучения вычислительной математики. Понятия итерационных методов и погрешностей вычислений, вычислительной схемы. Проблема «устойчивости вычислительных методов» и сложности алгоритма. 1.2. Учет погрешностей при вычислениях (очное: 2/4ч.; очно-заочное: 2/6ч.). Источники и классификация погрешностей. Основные понятия и определения теории погрешностей. Округление чисел. Погрешности алгебраической суммы, произведения, частного, степени, корня, функции. Правило сложения приближенных чисел. Обратная задача теории погрешностей. 1.3. Вычислительные программные системы (очное: 1/2ч.; очно-заочное: 1/4ч.).Основы работы с MS Excel, MathCad, MathLab с точки зрения решения задач вычислительной математики. 2. Приближенные методы решения нелинейных уравнений, систем нелинейных уравнений и систем линейных алгебраических уравнений (очное: 14/30ч.; очно-заочное: 14/36ч.). 2.1. Приближенные методы решения нелинейных уравнений (очное: 8/10ч.; очно-заочное: 8/12ч.). Понятия отделения и уточнения корней нелинейных уравнений на отрезке. Графический и аналитический методы отделения корней. Геометрическая интерпретация графического и аналитического методов. Методы уточнения корней: метод дихотомии, метод простых итераций, метод Ньютона (касательных), модифицированный метод Ньютона. Метод простых итераций: понятия начального приближения и итерационного процесса; достаточное условие сходимости итерационного процесса; критерии останова итерационного процесса. Геометрическая интерпретация метода простых итераций. Приведение нелинейного уравнения к виду, допускающего сходящиеся итерации. Достоинства и недостатки метода простых итераций. Метод Ньютона, его геометрическая интерпретация, рабочая формула, выбор начального приближения. Достаточное условие сходимости. Критерий останова итерационного процесса. Достоинства и недостатки метода Ньютона. Модифицированный метод Ньютона, его геометрическая интерпретация и рабочая формула. 2.2. Приближенные методы решения систем нелинейных уравнений (очное: 3/8ч.; очно-заочное: 2/12ч.).Понятие системы нелинейных уравнений (СНУ). Проблема отделения корней СНУ. Приближенные методы решения СНУ. Метод простых итераций, понятия начального приближения, итерационного процесса. Достаточные условия сходимости итерационного процесса. Критерий останова итерационного процесса. Приведение исходной системы к системе, допускающей сходящиеся итерации на примере системы второго порядка. Достоинства и недостатки метода простых итераций для решения СНУ. Метод Ньютона для решения СНУ, его рабочая формула и критерий останова итерационного процесса. Достаточное условие сходимости. Достоинства и недостатки метода Ньютона. Рабочая формула модифицированного метода Ньютона. 2.3. Приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (очное: 3/10ч.; очно-заочное: 3/12ч.).Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций, его рабочие формулы и критерий останова; выбор начального приближения; достаточные условия и необходимые и достаточные условия сходимости итерационного процесса; приведение исходной системы к системе, допускающей сходящиеся итерации; достоинства и недостатки метода простых итераций. Рабочие формулы методы Зейделя, критерий останова, необходимые и достаточные условия сходимости метода. Достоинства и недостатки метода. Метод релаксации. Приведение исходной системы к виду, пригодному для релаксации. Понятие невязки. Рабочие формулы метода. Критерии останова процесса.3. Задачи интерполяции, экстраполяции и аппроксимации функций. Основные приложения теории интерполяции. (очное: 10/20ч.; очно-заочное: 10/26ч.). 3.1. Построение интерполяционных формул Лагранжа, первой и второй формул Ньютона (очное: 3/7ч.; очно-заочное: 3/9ч.). Постановка задачи интерполирования функций по заданной системе точек, понятие равноотстоящих и неравноотстоящих узловых точек. Принципы построения интерполяционной формулы Лагранжа, первой и второй интерполяционной формулы Ньютона, их форма записи и погрешности вычислений по ним. Формулы линейной и квадратичной интерполяции. Понятие табличных разностей различных порядков. 3.2. Основные приложения теории интерполяции (очное: 4/6ч.; очно-заочное: 4/8ч.).Понятие численного дифференцирования. Основные принципы решения задачи численного дифференцирования на примере использования таблицы узловых точек и интерполяционных полиномов. Погрешность построенных формул. Понятие численного интегрирования, квадратурных формул. Построение квадратурной формулы Ньютона-Котеса с использованием интерполяционных формул, коэффициенты Котеса. Частные случаи формулы Ньютона-Котеса (формула трапеций и формула Симпсона) и их геометрическая интерпретация. Погрешность построенных формул. Понятие несобственных интегралов. Приближенное вычисление несобственных интегралов. Случаи бесконечного отрезка интегрирования с непрерывной подынтегральной функцией и разрывной на конечном отрезке интегрирования подынтегральной функцией, их геометрическая интерпретация. Приближенное вычисление двойных интегралов: понятие кубатурных формул; вывод кубатурной и обобщенной кубатурной формул типа Симпсона для различных видов областей интегрирования. 3.3. Метод наименьших квадратов для обработки результатов экспериментов (очное: 3/7ч.; очно-заочное: 3/9ч.).Задача аппроксимирования функций по заданной системе точек. Общая идея метода наименьших квадратов. Понятие отклонения искомой функции от экспериментальной в узловых точках. Алгоритм метода наименьших квадратов и его теоретическое обоснование. Аппроксимация с помощью экспоненциальных функций. 4. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, краевых задач для решения дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. (очное: 6/14ч.; очно-заочное: 6/16ч.). 4.1. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем (очное: 3/5ч.; очно-заочное: 3/4ч). Классификация методов решения и численных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Понятия задачи Коши и шага интегрирования. Метод последовательных приближений (метод Пиккара). Метод Эйлера: общая идея метода, его графическая интерпретация и рабочая формула. Достоинства и недостатки метода. Рабочие формулы метода Эйлера для решения системы второго порядка дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта. Общая идея методов Рунге-Кутта второго и четвертого порядков, их рабочие формулы. Достоинства и недостатки методов. Решение задачи Коши для системы второго порядка методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Метод Адамса. Достоинства и недостатки метода Адамса. Экстраполяционная и интерполяционная формулы Адамса для решения дифференциальных уравнений. Непрерывные схемы решения нелинейных уравнений, условие их применения. Дифференциальное уравнение в отклонениях, его решение. Достоинства и недостатки непрерывных схем. Дифференциальное уравнение с малым параметром, его решение. Достоинства и недостатки методов решения нелинейных уравнений с использованием дифференциальных уравнений с малым параметром. 4.2. Приближенное решение краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка (очное: 1/4ч.; очно-заочное: 1/6ч.). Метод конечных разностей. Понятие краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка и ее геометрическая интерпретация при различных краевых условиях. Понятие двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка и ее форма записи. Метод конечных разностей для решения двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Метод прогонки. Конечно-разностная и каноническая формы записи двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Алгоритм метода прогонки прямым и обратным ходом вычислений. 4.3. Приближенное решение краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (очное: 2/5ч.; очно-заочное: 2/6ч.). Методы моделирования и Монте-Карло для решения задачи Дирихле. Понятие дифференциального уравнения в частных производных первого порядка эллиптического типа. Понятие краевых задач для уравнений эллиптического типа. Понятие задачи Дирихле. Решение задачи Дирихле методом моделирования и Монте-Карло. Метод сеток и метод прогонки для решения уравнений параболического типа. Понятие дифференциального уравнения в частных производных первого порядка параболического типа. Метод сеток и метод прогонки для решения уравнений параболического типа. Метод сеток для решения уравнений гиперболического типа. Понятие дифференциального уравнения в частных производных первого порядка гиперболического типа. Метод сеток для решения уравнений гиперболического типа. Лабораторный практикум
Курсовой проект (работа) и его содержание Курсовой проект и курсовая работа не предусмотрены. Контрольная работа. Контрольная работа не предусмотрена. Подготовка реферата.Реферат не предусмотрен. 5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины 5.1 Рекомендуемая литература а) основная литература:
б) дополнительная литература: 1. Иванов В.С., Ляшев А.С. Лабораторный практикум по дисциплине «Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах». Казань, КАИ, 1984. 2. Вахонина Г.С. Методическое руководство к выполнению лабораторных работ по дисциплине “Методы вычислений”. – Казань: КАИ, 1982. 3. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Применение численных методов для решения инженерных задач на ЭВМ. Лабораторный практикум, Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2002, 44с. 4. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Применение численных методов для решения инженерных задач на ЭВМ. Методические указания для студентов заочной формы обучения, Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2001, 40с. 5. «Журнал вычислительной математики». 6. «Математическое моделирование». 7. «Программирование». 8. «Математика. Реферативный журнал». 9. http://meth.ras.ru («Журналы Отделения Математики РАН»). 10. http://www.exponenta.ru («Образовательный математический сайт»). 5.2 Средства обеспечения освоения дисциплины Программное обеспечение для выполнения лабораторных работ и самостоятельной работы студентов: Windows 98 или более поздних версий. Автоматизированная вычислительная система «MathCad». Автоматизированная вычислительная система «MathLab». MS Excel 97 или более поздних версий. MS Word 97 или более поздних версий. Системы программирования Turbo C V6.0 или 7.0, Borland C++ V6.0 или 7.0. Системы программирования Turbo Pascal V6.0 или 7.0, Borland Pascal V6.0 или 7.0. 6. Материально-техническое обеспечение дисциплины Для проведения лабораторных работ и организации самостоятельной работы студентов необходимо иметь учебный класс оснащенный ПЭВМ со стандартной комплектацией. 7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины 7.1. Организация изучения дисциплины при очной форме обучения Обучение проводится в течение одного семестра. Темы 1-4 и все указанные лабораторные работы рассматриваются в семестре № 3. При проведении лабораторных работ используются программные комплексы, поддерживающие языки программирования Pascal и C, как в учебных лабораториях кафедры, оснащенных компьютерами, так и в ВЦ. При изучении дисциплины используется балльно - рейтинговая система оценки знаний. Контрольные тестирования организуются на 6, 12 и 17 неделях каждого семестра. Каждое тестирование включает задания, предусматривающие ответы на теоретические и практические вопросы (см. приложение № 5). Программу составили: Горбунов Д.А., к.т.н., доцент каф. ПМИ КГТУ им. А.Н. Туполева _____________________ Программа обсуждена и одобрена на заседании кафедры ПМИ «____» ______________2007г., протокол № __. Зав. кафедрой ПМИ Н.Е. Роднищев д.т.н., профессор Председатель Учебно-методической В.А. Суздальцев комиссии факультета, доцент Декан факультета Л.Ю.Емалетдинова д.т.н., профессор Согласовано: В.А.Песошин зав.кафедрой КС д.т.н., профессор ПРИЛОЖЕНИЕ 5 ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» Вопрос 1. Сделайте вывод о сходимости итерационного процесса сходится для любой точки из отрезка; сходится только из определенной точки отрезка; сходится только для одной из граничных точек отрезка; расходится на всем отрезке; расходится на всей числовой оси. Вопрос 2. Чему равно значение 0.5; 0.875; 0.4; 0.8; 0.9. Вопрос 3. Если итерационный процесс, построенный по методу простых итераций для решения нелинейного уравнения одна из граничных точек отрезка; обе граничные точки отрезка; середина отрезка; любая точка отрезка; все ответы правильные. Вопрос 4. По какой из итерационных формул осуществляется решение нелинейных уравнений вида 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 5. Сформулируйте теорему о существовании хотя бы одного корня нелинейного уравнения Если функция Если функция Если функция Если функция Если функция Вопрос 6. Какое условие является достаточным для сходимости итерационного процесса
Вопрос 7. При нахождении корня нелинейного уравнения 0.5; 2; 1; любой из концов отрезка; любое значение из отрезка. Вопрос 8.К какому виду, допускающему сходящиеся итерации, нужно привести систему нелинейных уравнений второго порядка
Вопрос 9. При решении какого класса задач достаточные условия сходимости итерационного процесса имеют вид: решение нелинейных уравнений; решение систем нелинейных уравнений; решение систем линейных алгебраических уравнений; решение линейных уравнений; все ответы правильные. Вопрос 10. При численном решении СЛАУ 1. 2. 3. 4. 1. Вопрос 11. Чему равно следующее приближение Вопрос 12. Задача интерполяции функций возникает в тех случаях, когда: необходимо знать значения функции для промежуточных значений аргументов между узловыми точками; необходимо знать значения функции для точек, расположенных в начале или в конце таблицы; необходимо представить в аналитическом виде функцию, заданную таблично; необходимо представить в более простом виде сложную аналитически заданную функцию; все ответы правильные. Вопрос 13. По таблице из трех узловых точек
можно построить интерполяционный полином Лагранжа второго порядка вида:
0; 0.5; 1; 0.4; 0.35. Вопрос 14. По таблице из трех узловых точек
найти табличную разность второго порядка
Вопрос 15. В каком пункте алгоритма метода наименьших квадратов допущена ошибка? Задается таблица чисел Вводится функция Находятся необходимые условия экстремума функции Строится и решается СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов Записывается искомый многочлен в виде
Вопрос 16. Как называется следующая квадратурная формула: формула Ньютона-Котеса; формула трапеций; формула Симпсона; формула Ньютона; формула Котеса. Вопрос 17. Как называется следующая интерполяционная формула, построенная для неравноотстоящих узлов:
интерполяционная формула Лагранжа; первая интерполяционная формула Ньютона; вторая интерполяционная формула Ньютона; формула квадратичной интерполяции; формула линейной интерполяции. ПРИЛОЖЕНИЕ 8. СПИСОК ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА 1. Источники и классификация погрешностей. 2. Основные понятия и определения теории погрешностей. 3. Значащая и верная цифра приближенной величины. Округление чисел. 4. Погрешность алгебраической суммы. 5. Погрешность произведения и частного. 6. Погрешность степени и корня. 7. Погрешность функции. 8. Обратная задача теории погрешностей. 9. Основные этапы решения нелинейных уравнений. 10. Метод половинного деления. 11. Метод простых итераций для решения нелинейных уравнений. 12. Метод Ньютона (метод касательных) для решения нелинейных уравнений. 13. Модифицированный метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. 14. Метод простых итераций для решения систем нелинейных уравнений. 15. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. 16. Модифицированный метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. 17. Метод простых итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений. 18. Метод Зейделя. 19. Метод релаксации. 20. Интерполяционная формула Лагранжа. 21. Первая интерполяционная формула Ньютона. 22. Вторая интерполяционная формула Ньютона. 23. Численное дифференцирование. 24. Квадратурная формула Ньютона-Котеса. 25. Формула трапеций. 26. Квадратурная формула Симпсона. 27. Приближенное вычисление несобственных интегралов. 28. Метод наименьших квадратов. 29. Метод Эйлера. 30. Метод Рунге-Кутта. 31. Метод Адамса. КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА УТВЕРЖДАЮ: Проректор по учебной и методической работе _________________ И.К. Насыров «_____» _______________ 2007 г. ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.Р.01 "ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ" Рекомендуется УМЦ КГТУ им. А.Н. Туполева для направлений (специальностей) направления: 090100 * “Информационная безопасность” специальности: 075400 (090104)* «Комплексная защита объектов информатизации» формы обучения: очная *) коды направлений и специальностей указаны по Общероссийскому классификатору специальностей по образованию (ОК 009-2003) Цели и задачи дисциплины Целью и задачами дисциплины является изучение основных положений вычислительной математики, знакомство с приближенными методами решения реальных инженерных задач на ЭВМ, современными методами решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями, в объеме, достаточном для квалифицированного решения основных профессиональных задач будущими инженерами. Материал курса основан на знаниях, навыках и умениях полученных при обучении в среднем образовательном учреждении, а также получаемых студентами при изучении дисциплин: «Алгебра и геометрия», «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Программирование на языках высокого уровня», «Информатика». Студенты должны быть знакомы с основными алгебраическими структурами («Алгебра и геометрия»); с понятиями функции и ее непрерывности, с понятиями множества, отношения («Математический анализ»); с понятиями обыкновенных и систем обыкновенных дифференциальных уравнений, аналитическими методами их решения («Дифференциальные уравнения»); способами записи алгоритма, стандартными типами данных («Программирование на языках высокого уровня»); с основными приемами работы в операционных системах MS DOS и Windows, а также с основными офисными системами MS Word и MS Excel («Информатика»). Студенты должны иметь практические навыки решения линейных алгебраических и нелинейных уравнений и систем («Алгебра и геометрия»), решения обыкновенных и систем обыкновенных дифференциальных уравнений («Дифференциальные уравнения»), уметь строить схемы алгоритмов и программ («Программирование на языках высокого уровня»). Знания, умения и навыки, полученные в процессе изучения данного курса, могут быть использованы студентами для изучения дисциплин «Технологии программирования», «Операционные системы», «Базы данных», «Управление данными», «Информационные технологии», «Сетевые технологии», «Теория принятия решений», а также при прохождении вычислительной практики студентами второго курса очной формы обучения. Требования к уровню освоения содержания дисциплины В результате изучения дисциплины студенты должны: знать:основные численные методы решения нелинейных уравнений, систем нелинейных и линейных алгебраических уравнений; методы интерполирования, аппроксимирования и экстраполирования функций; методы численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений; условий сходимости методов, областей применения численных методов, условий окончания итерационных процессов по каждому методу. уметь:выводить итерационные формулы для решения конкретной задачи выбранным методом; составлять и отлаживать программу для конкретного метода; объяснять полученные результаты. иметь опыт выбора метода численного решения конкретной задачи. иметь представление:о вычислительной математике как науке о численных (приближенных) методах решения математических и реальных инженерных задач; о методах и алгоритмах численного решения задач, сходимости методов, погрешностях вычислений, теоретическом обосновании ряда методов, достоинствах и недостатках методов; о состоянии и тенденциях развития вычислительной математики. Объем дисциплины и виды учебной работы
Содержание дисциплины Тематический план *):
*) Используемые сокращения: ЛК –лекции, ЛБ – лабораторные работы, ПЗ – практические занятия. Содержание тем 1. Введение, понятие приближенных (численных) методов решения инженерных задач на ЭВМ. Учет погрешностей при вычислениях. Вычислительные программные системы. (4/4ч.). 1.1. Основные понятия дисциплины (1/1ч.). Понятие приближенных (численных) методов решения математических задач. Место численных методов в математическом анализе. Понятие вычислительной математики, предмет изучения вычислительной математики. Понятия итерационных методов и погрешностей вычислений, вычислительной схемы. Проблема «устойчивости вычислительных методов» и сложности алгоритма. 1.2. Учет погрешностей при вычислениях (2/2ч.). Источники и классификация погрешностей. Основные понятия и определения теории погрешностей. Округление чисел. Погрешности алгебраической суммы, произведения, частного, степени, корня, функции. Правило сложения приближенных чисел. Обратная задача теории погрешностей. 1.3. Вычислительные программные системы (1/1ч.).Основы работы с MS Excel, MathCad, MathLab с точки зрения решения задач вычислительной математики. 2. Приближенные методы решения нелинейных уравнений, систем нелинейных уравнений и систем линейных алгебраических уравнений (14/30ч.). 2.1. Приближенные методы решения нелинейных уравнений (8/10ч.). Понятия отделения и уточнения корней нелинейных уравнений на отрезке. Графический и аналитический методы отделения корней. Геометрическая интерпретация графического и аналитического методов. Методы уточнения корней: метод дихотомии, метод простых итераций, метод Ньютона (касательных), модифицированный метод Ньютона. Метод простых итераций: понятия начального приближения и итерационного процесса; достаточное условие сходимости итерационного процесса; критерии останова итерационного процесса. Геометрическая интерпретация метода простых итераций. Приведение нелинейного уравнения к виду, допускающего сходящиеся итерации. Достоинства и недостатки метода простых итераций. Метод Ньютона, его геометрическая интерпретация, рабочая формула, выбор начального приближения. Достаточное условие сходимости. Критерий останова итерационного процесса. Достоинства и недостатки метода Ньютона. Модифицированный метод Ньютона, его геометрическая интерпретация и рабочая формула. 2.2. Приближенные методы решения систем нелинейных уравнений (3/10ч.).Понятие системы нелинейных уравнений (СНУ). Проблема отделения корней СНУ. Приближенные методы решения СНУ. Метод простых итераций, понятия начального приближения, итерационного процесса. Достаточные условия сходимости итерационного процесса. Критерий останова итерационного процесса. Приведение исходной системы к системе, допускающей сходящиеся итерации на примере системы второго порядка. Достоинства и недостатки метода простых итераций для решения СНУ. Метод Ньютона для решения СНУ, его рабочая формула и критерий останова итерационного процесса. Достаточное условие сходимости. Достоинства и недостатки метода Ньютона. Рабочая формула модифицированного метода Ньютона. 2.3. Приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (3/10ч.).Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций, его рабочие формулы и критерий останова; выбор начального приближения; достаточные условия и необходимые и достаточные условия сходимости итерационного процесса; приведение исходной системы к системе, допускающей сходящиеся итерации; достоинства и недостатки метода простых итераций. Рабочие формулы методы Зейделя, критерий останова, необходимые и достаточные условия сходимости метода. Достоинства и недостатки метода. Метод релаксации. Приведение исходной системы к виду, пригодному для релаксации. Понятие невязки. Рабочие формулы метода. Критерии останова процесса.3. Задачи интерполяции, экстраполяции и аппроксимации функций. Основные приложения теории интерполяции. (10/18ч.). 3.1. Построение интерполяционных формул Лагранжа, первой и второй формул Ньютона (3/7ч.). Постановка задачи интерполирования функций по заданной системе точек, понятие равноотстоящих и неравноотстоящих узловых точек. Принципы построения интерполяционной формулы Лагранжа, первой и второй интерполяционной формулы Ньютона, их форма записи и погрешности вычислений по ним. Формулы линейной и квадратичной интерполяции. Понятие табличных разностей различных порядков. 3.2. Основные приложения теории интерполяции (4/6ч.).Понятие численного дифференцирования. Основные принципы решения задачи численного дифференцирования на примере использования таблицы узловых точек и интерполяционных полиномов. Погрешность построенных формул. Понятие численного интегрирования, квадратурных формул. Построение квадратурной формулы Ньютона-Котеса с использованием интерполяционных формул, коэффициенты Котеса. Частные случаи формулы Ньютона-Котеса (формула трапеций и формула Симпсона) и их геометрическая интерпретация. Погрешность построенных формул. Понятие несобственных интегралов. Приближенное вычисление несобственных интегралов. Случаи бесконечного отрезка интегрирования с непрерывной подынтегральной функцией и разрывной на конечном отрезке интегрирования подынтегральной функцией, их геометрическая интерпретация. Приближенное вычисление двойных интегралов: понятие кубатурных формул; вывод кубатурной и обобщенной кубатурной формул типа Симпсона для различных видов областей интегрирования. 3.3. Метод наименьших квадратов для обработки результатов экспериментов (3/5ч.).Задача аппроксимирования функций по заданной системе точек. Общая идея метода наименьших квадратов. Понятие отклонения искомой функции от экспериментальной в узловых точках. Алгоритм метода наименьших квадратов и его теоретическое обоснование. Аппроксимация с помощью экспоненциальных функций. 4. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, краевых задач для решения дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. (6/10ч.). 4.1. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем (3/5ч.). Классификация методов решения и численных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Понятия задачи Коши и шага интегрирования. Метод последовательных приближений (метод Пиккара). Метод Эйлера: общая идея метода, его графическая интерпретация и рабочая формула. Достоинства и недостатки метода. Рабочие формулы метода Эйлера для решения системы второго порядка дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта. Общая идея методов Рунге-Кутта второго и четвертого порядков, их рабочие формулы. Достоинства и недостатки методов. Решение задачи Коши для системы второго порядка методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Метод Адамса. Достоинства и недостатки метода Адамса. Экстраполяционная и интерполяционная формулы Адамса для решения дифференциальных уравнений. Непрерывные схемы решения нелинейных уравнений, условие их применения. Дифференциальное уравнение в отклонениях, его решение. Достоинства и недостатки непрерывных схем. Дифференциальное уравнение с малым параметром, его решение. Достоинства и недостатки методов решения нелинейных уравнений с использованием дифференциальных уравнений с малым параметром. 4.2. Приближенное решение краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка (1/2ч.). Метод конечных разностей. Понятие краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка и ее геометрическая интерпретация при различных краевых условиях. Понятие двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка и ее форма записи. Метод конечных разностей для решения двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Метод прогонки. Конечно-разностная и каноническая формы записи двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Алгоритм метода прогонки прямым и обратным ходом вычислений. 4.3. Приближенное решение краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка (2/3ч.). Понятие дифференциального уравнения в частных производных второго порядка эллиптического типа. Понятие краевых задач для уравнений эллиптического типа. Задача Дирихле. Решение задачи Дирихле методом сеток. Понятие дифференциального уравнения в частных производных второго порядка параболического типа. Метод сеток для решения уравнений параболического типа. Понятие дифференциального уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа. Метод сеток для решения уравнений гиперболического типа. Лабораторный практикум
Курсовой проект (работа) и его содержание Курсовой проект и курсовая работа не предусмотрены. Контрольная работа. Контрольная работа не предусмотрена. Подготовка реферата.Реферат не предусмотрен. 5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины 5.1 Рекомендуемая литература а) основная литература:
б) дополнительная литература: 1. Иванов В.С., Ляшев А.С. Лабораторный практикум по дисциплине «Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах». Казань, КАИ, 1984. 2. Вахонина Г.С. Методическое руководство к выполнению лабораторных работ по дисциплине “Методы вычислений”. – Казань: КАИ, 1982. 3. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Применение численных методов для решения инженерных задач на ЭВМ. Лабораторный практикум, Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2002, 44с. 4. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Применение численных методов для решения инженерных задач на ЭВМ. Методические указания для студентов заочной формы обучения, Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2001, 40с. 5. «Журнал вычислительной математики». 6. «Математическое моделирование». 7. «Программирование». 8. «Математика. Реферативный журнал». 9. http://meth.ras.ru («Журналы Отделения Математики РАН»). 10. http://www.exponenta.ru («Образовательный математический сайт»). 5.2 Средства обеспечения освоения дисциплины Программное обеспечение для выполнения лабораторных работ и самостоятельной работы студентов: Windows 98 или более поздних версий. Автоматизированная вычислительная система «MathCad». Автоматизированная вычислительная система «MathLab». MS Excel 97 или более поздних версий. MS Word 97 или более поздних версий. Системы программирования Turbo C V6.0 или 7.0, Borland C++ V6.0 или 7.0. Системы программирования Turbo Pascal V6.0 или 7.0, Borland Pascal V6.0 или 7.0. 6. Материально-техническое обеспечение дисциплины Для проведения лабораторных работ и организации самостоятельной работы студентов необходимо иметь учебный класс оснащенный ПЭВМ со стандартной комплектацией. 7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины 7.1. Организация изучения дисциплины при очной форме обучения Обучение проводится в течение одного семестра. Темы 1-4 и все указанные лабораторные работы рассматриваются в семестре № 3. При проведении лабораторных работ используются программные комплексы, поддерживающие языки программирования Pascal и C, как в учебных лабораториях кафедры, оснащенных компьютерами, так и в ВЦ. При изучении дисциплины используется балльно - рейтинговая система оценки знаний. Контрольные тестирования организуются на 6, 12 и 17 неделях каждого семестра. Каждое тестирование включает задания, предусматривающие ответы на теоретические и практические вопросы (см. приложение № 5). Программу составили: Горбунов Д.А., к.т.н., доцент каф. ПМИ КГТУ им. А.Н. Туполева _____________________ Программа обсуждена и одобрена на заседании кафедры ПМИ «____» ______________2007г., протокол № __. Зав. кафедрой ПМИ Н.Е. Роднищев д.т.н., профессор Председатель Учебно-методической В.А. Суздальцев комиссии факультета, доцент Декан факультета Л.Ю.Емалетдинова д.т.н., профессор Согласовано: В.И.Глова зав.кафедрой СИБ д.т.н., профессор ПРИЛОЖЕНИЕ 5 ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» Вопрос 1. Сделайте вывод о сходимости итерационного процесса сходится для любой точки из отрезка; сходится только из определенной точки отрезка; сходится только для одной из граничных точек отрезка; расходится на всем отрезке; расходится на всей числовой оси. Вопрос 2. Чему равно значение 0.5; 0.875; 0.4; 0.8; 0.9. Вопрос 3. Если итерационный процесс, построенный по методу простых итераций для решения нелинейного уравнения одна из граничных точек отрезка; обе граничные точки отрезка; середина отрезка; любая точка отрезка; все ответы правильные. Вопрос 4. По какой из итерационных формул осуществляется решение нелинейных уравнений вида 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 5. Сформулируйте теорему о существовании хотя бы одного корня нелинейного уравнения Если функция Если функция Если функция Если функция Если функция Вопрос 6. Какое условие является достаточным для сходимости итерационного процесса
Вопрос 7. При нахождении корня нелинейного уравнения 0.5; 2; 1; любой из концов отрезка; любое значение из отрезка. Вопрос 8.К какому виду, допускающему сходящиеся итерации, нужно привести систему нелинейных уравнений второго порядка
Вопрос 9. При решении какого класса задач достаточные условия сходимости итерационного процесса имеют вид: решение нелинейных уравнений; решение систем нелинейных уравнений; решение систем линейных алгебраических уравнений; решение линейных уравнений; все ответы правильные. Вопрос 10. При численном решении СЛАУ 1. 2. 3. 4. 1. Вопрос 11. Чему равно следующее приближение Вопрос 12. Задача интерполяции функций возникает в тех случаях, когда: необходимо знать значения функции для промежуточных значений аргументов между узловыми точками; необходимо знать значения функции для точек, расположенных в начале или в конце таблицы; необходимо представить в аналитическом виде функцию, заданную таблично; необходимо представить в более простом виде сложную аналитически заданную функцию; все ответы правильные. Вопрос 13. По таблице из трех узловых точек
можно построить интерполяционный полином Лагранжа второго порядка вида:
0; 0.5; 1; 0.4; 0.35. Вопрос 14. По таблице из трех узловых точек
найти табличную разность второго порядка
Вопрос 15. В каком пункте алгоритма метода наименьших квадратов допущена ошибка? Задается таблица чисел Вводится функция Находятся необходимые условия экстремума функции Строится и решается СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов Записывается искомый многочлен в виде
Вопрос 16. Как называется следующая квадратурная формула: формула Ньютона-Котеса; формула трапеций; формула Симпсона; формула Ньютона; формула Котеса. Вопрос 17. Как называется следующая интерполяционная формула, построенная для неравноотстоящих узлов:
интерполяционная формула Лагранжа; первая интерполяционная формула Ньютона; вторая интерполяционная формула Ньютона; формула квадратичной интерполяции; формула линейной интерполяции. ПРИЛОЖЕНИЕ 8. СПИСОК ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА 1. Источники и классификация погрешностей. 2. Основные понятия и определения теории погрешностей. 3. Значащая и верная цифра приближенной величины. Округление чисел. 4. Погрешность алгебраической суммы. 5. Погрешность произведения и частного. 6. Погрешность степени и корня. 7. Погрешность функции. 8. Обратная задача теории погрешностей. 9. Основные этапы решения нелинейных уравнений. 10. Метод половинного деления. 11. Метод простых итераций для решения нелинейных уравнений. 12. Метод Ньютона (метод касательных) для решения нелинейных уравнений. 13. Модифицированный метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. 14. Метод простых итераций для решения систем нелинейных уравнений. 15. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. 16. Модифицированный метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. 17. Метод простых итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений. 18. Метод Зейделя. 19. Метод релаксации. 20. Интерполяционная формула Лагранжа. 21. Первая интерполяционная формула Ньютона. 22. Вторая интерполяционная формула Ньютона. 23. Численное дифференцирование. 24. Квадратурная формула Ньютона-Котеса. 25. Формула трапеций. 26. Квадратурная формула Симпсона. 27. Приближенное вычисление несобственных интегралов. 28. Метод наименьших квадратов. 29. Метод Эйлера. 30. Метод Рунге-Кутта. 31. Метод Адамса. 32. Метод конечных разностей. 33. Метод прогонки. 34. Решение задачи Дирихле методом сеток. 35. Метод сеток для дифференциального уравнения параболического типа. 36. Метод сеток для дифференциального уравнения гиперболического типа. 1. Задача интерполяции функций возникает в тех случаях, когда: необходимо знать значения функции для промежуточных значений аргументов между узловыми точками; необходимо знать значения функции для точек, расположенных в начале или в конце таблицы; необходимо представить в аналитическом виде функцию, заданную таблично; необходимо представить в более простом виде сложную аналитически заданную функцию; все ответы правильные. 2. Какой из подходов используется для уплотнения таблицы узловых точек? 1. построение интерполяционной формулы Лагранжа; 2. построение первой интерполяционной формулы Ньютона; 3. построение второй интерполяционной формулы Ньютона; 4. построение аппроксимационного полинома; 5. все ответы правильные. 3. В задаче интерполяция функций для произвольно заданных узлов используется: первая интерполяционная формула Ньютона; вторая интерполяционная формула Ньютона; интерполяционная формула Лагранжа; формула линейной интерполяции; формула квадратичной интерполяции. 4. Какой из подходов применяется при вычислении значений таблично заданной функции в точках, расположенных ближе к началу таблицы? построение интерполяционной формулы Лагранжа; построение первой интерполяционной формулы Ньютона; построение второй интерполяционной формулы Ньютона; построение аппроксимационного полинома; все ответы правильные. 5. Какой из подходов применяется при вычислении значений таблично заданной функции в точках, расположенных ближе к концу таблицы, и для продолжения таблицы? построение интерполяционной формулы Лагранжа; построение первой интерполяционной формулы Ньютона; построение второй интерполяционной формулы Ньютона; построение аппроксимационного полинома; все ответы правильные. 6. Как называется интерполяционная формула, построенная для равноотстоящих узлов: интерполяционная формула Лагранжа; первая интерполяционная формула Ньютона; вторая интерполяционная формула Ньютона; формула линейной интерполяции; формула квадратичной интерполяции. 7. Как называется интерполяционная формула, построенная для равноотстоящих узлов: интерполяционная формула Лагранжа; первая интерполяционная формула Ньютона; вторая интерполяционная формула Ньютона; формула квадратичной интерполяции; формула линейной интерполяции. 8. Как называется интерполяционная формула, построенная для неравноотстоящих узлов: интерполяционная формула Лагранжа; первая интерполяционная формула Ньютона; вторая интерполяционная формула Ньютона; формула квадратичной интерполяции; формула линейной интерполяции. 9. Какая из формул называется интерполяционной формулой Лагранжа? 10. Какая из формул называется первой интерполяционной формулой Ньютона? 11. Какая из формул называется второй интерполяционной формулой Ньютона? 12. Какая из формул называется формулой линейной интерполяции? 13. Какая из формул называется формулой квадратичной интерполяции? 14. Как называется интерполяционная формула 1. интерполяционная формула Лагранжа; 2. первая интерполяционная формула Ньютона; 3. вторая интерполяционная формула Ньютона; 4. формула квадратичной интерполяции; 5. формула линейной интерполяции. 15. Как называется интерполяционная формула 1. интерполяционная формула Лагранжа; 2. первая интерполяционная формула Ньютона; 3. вторая интерполяционная формула Ньютона; 4. формула квадратичной интерполяции; 5. формула линейной интерполяции. 16. По таблице из трех узловых точек
можно построить интерполяционный полином Лагранжа второго порядка. Чему будут равны коэффициенты 1. 2. 3. 4. 5. 17. По таблице из трех равноотстоящих узловых точек
найти табличные разности первого и второго порядка. 1. 2. 3. 4. 5. 18. Какое из приведенных ниже понятий не используется в теории численного интегрирования? квадратурные и кубатурные формулы; квадратурная формула Ньютона-Котеса; коэффициенты Котеса; достаточные условия сходимости; формула Симпсона. 19. Как называется частный случай квадратурной формулы Ньютона-Котеса при формула Ньютона; формула Котеса; формула трапеций; формула Симпсона; формула Эйлера. 20. Как называется частный случай квадратурной формулы Ньютона-Котеса при формула Ньютона; формула Котеса; формула трапеций; формула Симпсона; формула Эйлера. 21. Как называется следующая квадратурная формула: формула Ньютона-Котеса; формула трапеций; формула Симпсона; формула Ньютона; формула Котеса. 22. Как называются коэффициенты вида: коэффициенты Лагранжа; коэффициенты Ньютона; коэффициенты Ньютона-Котеса; коэффициенты Котеса; коэффициенты Симпсона. 23. Как называется следующая квадратурная формула: формула Котеса; формула Ньютона-Котеса; формула Симпсона; формула трапеций; формула Ньютона. 24. Как называются величины табличные разности первого порядка; табличные разности второго порядка; табличные разности различных порядков; равноотстоящие узловые точки; неравноотстоящие узловые точки. 25. Как называется величина табличные разности первого порядка; табличные разности второго порядка; табличные разности различных порядков; равноотстоящие узловые точки; неравноотстоящие узловые точки. 26. Как называется величина табличные разности первого порядка; табличные разности второго порядка; табличные разности различных порядков; равноотстоящие узловые точки; неравноотстоящие узловые точки. 27. Какие понятия используются в задаче аппроксимации? отклонение построенной функции от экспериментальной; узловые точки; полином коэффициенты полинома; все ответы правильные. 28. Какие понятия используются в теории численного интегрирования? однократные и двукратные интегралы; квадратурные и кубатурные формулы; квадратурные формулы Ньютона-Котеса, трапеций, Симпсона; обобщенная кубатурная формула Симпсона; все ответы правильные. 29. Как называется следующая квадратурная формула: формула Ньютона; формула Котеса; формула Симпсона; формула Лагранжа; формула трапеций. 30. В чем состоит основная идея метода наименьших квадратов? по заданной таблице значений построить приближенно функцию таким образом, чтобы построенная функция проходила через узловые точки; по заданной таблице значений построить приближенно функцию таким образом, чтобы построенная функция не проходила через узловые точки; по заданной таблице значений построить приближенно функцию таким образом, чтобы построенная функция могла как проходить через узловые точки, так и не проходить через них; по данным эксперимента построить приближенно функцию таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений построенной функции от экспериментальной в узловых точках была минимальна; по данным эксперимента построить приближенно функцию таким образом, чтобы сумма отклонений построенной функции от экспериментальной в узловых точках была минимальна. 31. В каком пункте алгоритма метода наименьших квадратов допущена ошибка? Задается таблица чисел Вводится функция Находятся необходимые условия экстремума функции Строится и решается СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов Записывается искомый многочлен в виде 32. В каком пункте алгоритма метода наименьших квадратов допущена ошибка? Задается таблица чисел Вводится функция Находятся необходимые условия экстремума функции Строится и решается СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов Записывается искомый многочлен в виде 33. В каком пункте алгоритма метода наименьших квадратов допущена ошибка? Задается таблица чисел Вводится функция Находятся необходимые условия экстремума функции Строится и решается система нелинейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов Записывается искомый многочлен в виде 34. Когда возникает задача численного дифференцирования? необходимо знать значения производных в узловых точках для функций, заданных таблицей, или для функций, имеющих сложный аналитический вид; необходимо знать значения функции между узловыми точками; необходимо знать значения функции в точках, расположенных в начале или в конце таблицы; необходимо представить в аналитическом виде функцию, заданную таблично; необходимо представить в более простом виде сложную аналитически заданную функцию. 35. Продолжите определение собственного интеграла: «Интеграл вида промежуток интегрирования промежуток интегрирования промежуток интегрирования промежуток интегрирования промежуток интегрирования 36. Продолжите определение несобственного интеграла: «Интеграл вида промежуток интегрирования промежуток интегрирования промежуток интегрирования промежуток интегрирования промежуток интегрирования 37. В чем состоит принципиальное отличие теорий интерполяции и аппроксимации функций? в задаче интерполяции искомый полином проходит через узловые точки; в задаче аппроксимации – не проходит через них; в задаче интерполяции искомый полином проходит через узловые точки; в задаче аппроксимации – проходит на расстоянии, минимально удаленном от узловых точек; в задаче интерполяции искомый полином не проходит через узловые точки; в задаче аппроксимации – проходит; в задаче интерполяции искомый полином не проходит через узловые точки; в задаче аппроксимации – проходит на расстоянии, минимально удаленном от узловых точек; принципиальных отличий нет. 38. Когда возникает задача численного интегрирования? необходимо знать значения функции между узловыми точками; необходимо знать значения функции для точек, расположенных в начале или в конце таблицы; необходимо представить в аналитическом виде функцию, заданную таблицей; необходимо представить в более простом виде сложную аналитически заданную функцию; необходимо вычислить определенный интеграл от функций, заданных таблицей, или от функций, имеющих сложный аналитический вид. 39. По таблице узловых точек
![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
1. 2. 3. 4. 5. 40. По таблице узловых точек
![]() ![]() ![]() ![]()
1. 0.05; 2. -0.004; 3. 0.002; 4. 1.0; 5. 0.1. 1. Сделайте вывод о сходимости итерационного процесса сходится для любой точки из отрезка; сходится только из определенной точки отрезка; сходится только для одной из граничных точек отрезка; расходится на всем отрезке; расходится на всей числовой оси. 2. Чему равно значение 0.5; 0.875; 0.4; 0.8; 0.9. 3. Чему равно значение 0.636; 0.543; 1.8; 1.85; 1.9. 4. При нахождении корня нелинейного уравнения 0.5; 2; 1; любой из концов отрезка; любое значение из отрезка. 5. Для решения нелинейного уравнения любую точку из отрезка; только одну из граничных точек, в которых выполняется достаточное условие сходимости любую точку из отрезка, кроме граничных точек; любую точку отрезка, если выполняется достаточное условие сходимости любую точку вне отрезка. 6. Какой из приведенных ниже итерационных методов обладает квадратичной скоростью сходимости? метод простых итераций; метод Ньютона; модифицированных метод Ньютона; метод дихотомии; метод Зейделя. 7. Итерационный процесс для решения нелинейного уравнения процесс расходится хотя бы для одной начальной точки из отрезка. процесс расходится для любой начальной точки из отрезка. процесс расходится для любой начальной точки вне отрезка. процесс расходится для любой начальной точки из отрезка, а вне его - сходится. процесс сходится для любой начальной точки из отрезка, а вне его - расходится. 8. Какой из приведенных ниже итерационных методов является универсальным, самоисправляющимся и простым для реализации на ЭВМ? метод простых итераций; метод Ньютона; модифицированных метод Ньютона; метод дихотомии; метод Зейделя. 9. Итерационный процесс для решения нелинейного уравнения процесс сходится для любой начальной точки из отрезка. процесс сходится для конкретной начальной точки из отрезка. процесс сходится для одной из граничных точек отрезка, выбираемой в качестве начальной. процесс сходится для любой начальной точки вне отрезка. процесс сходится для обеих граничных точек отрезка, выбираемых в качестве начальных. 10. В каком из приведенных ниже итерационных методов для вычисления метод простых итераций; метод Ньютона; модифицированный метод Ньютона; метод Зейделя; метод дихотомии. 11. Если итерационный процесс, построенный по методу простых итераций для решения нелинейного уравнения одна из граничных точек отрезка; обе граничные точки отрезка; середина отрезка; любая точка отрезка; все ответы правильные. 12. Для решения нелинейного уравнения любая точка из отрезка; любая из граничных точек отрезка; одна из граничных точек отрезка; середина отрезка; одна из граничных точек отрезка, удовлетворяющая условиям 13. По какой из итерационных формул осуществляется решение нелинейных уравнений вида 1. 2. 3. 4. 5. 14. Какое число неизвестных постоянных необходимо определить для построения сходящегося итерационного процесса при решении системы нелинейных уравнений третьего порядка методом простых итераций? 1; 2; 4; 9; 16. 15. Что не характерно для графического метода отделения корней нелинейного уравнения представление функции построение графиков функций построение графика функции определение точек пересечения графиков функций определение интервалов, в которых находится единственный корень. 16. Для чего предназначен этап отделения корней нелинейного уравнения для доказательства единственности корня на отрезке; для доказательства существования корней на отрезке; для доказательства отсутствия корней на отрезке; для определения количества корней уравнения на отрезке для непосредственного определения значения корня на отрезке 17. Итерационной формулой решения нелинейных уравнений вида все ответы правильные. 18. В чем состоит принципиальное отличие метода Ньютона от метода простых итераций для решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений? другая итерационная формула; требование к существованию производных (частных производных) от функций в левых частях уравнений (систем уравнений) на всей области; более быстрая скорость сходимости, близкая к квадратичной; трудность в выборе начальных условий; все ответы правильные. 19. Какое условие является достаточным для сходимости итерационного процесса 20. Приведите условие окончания итерационного процесса по методу простых итераций для решения нелинейного уравнения одновременное выполнение условий 21. Решение нелинейного уравнения определения знака производной записи итерационной формулы записи итерационной формулы отделения корней исходного нелинейного уравнения; определение начальных условий для начала итерационного процесса. 22. По какой из итерационных формул осуществляется решение нелинейного уравнения вида 23. При решении какого класса задач достаточные условия сходимости итерационного процесса имеют вид: 1. решение нелинейных уравнений; 2. решение систем нелинейных уравнений; 3. решение систем линейных алгебраических уравнений; 4. решение линейных уравнений; 5. все ответы правильные. 24. К какому виду, допускающему сходящиеся итерации, необходимо привести СЛАУ все ответы правильные. 25. Решение системы нелинейных уравнений 26. Продолжите формулировку теоремы, применяемой для отделения корней нелинейного уравнения на отрезке содержится единственный корень». на отрезке содержится хотя бы один корень». на отрезке корней нет». на отрезке содержится четное число корней». на отрезке содержится нечетное число корней». 27. Продолжите формулировку теоремы, применяемой для отделения корней нелинейного уравнения на отрезке либо не имеется корней, либо имеется четное число корней». на отрезке либо имеется единственный корень, либо имеется нечетное число корней». на отрезке корней нет». на отрезке содержится хотя бы один корень». на отрезке содержится единственный корень». 28. Сформулируйте теорему о существовании хотя бы одного корня нелинейного уравнения Если функция Если функция Если функция Если функция Если функция 29. Сформулируйте теорему о существовании единственного корня нелинейного уравнения Если функция Если функция Если функция Если функция Если функция 30. При решении какого класса задач достаточные условия сходимости итерационного процесса имеют вид: решение нелинейных уравнений; решение систем нелинейных уравнений; решение систем линейных алгебраических уравнений; задача интерполяции функций; задача численного интегрирования. 31. Продолжите формулировку теоремы, применяемой для отделения корней нелинейного уравнения на отрезке содержится единственный корень». на отрезке содержится хотя бы один корень». на отрезке корней нет». на отрезке содержится четное число корней». на отрезке содержится нечетное число корней». 32. Продолжите формулировку теоремы, применяемой для отделения корней нелинейного уравнения на отрезке содержится единственный корень». на отрезке содержится хотя бы один корень». на отрезке корней нет». на отрезке содержится четное число корней». на отрезке содержится нечетное число корней». 33. К какому виду, допускающему сходящиеся итерации, нужно привести систему нелинейных уравнений второго порядка? 34. Чему равно следующее приближение 35. Чему равно следующее приближение 1. 2. 3. 4. 5. 36. При численном решении СЛАУ 1. 2. 3. 4. 5. 1. 37. Для приближенного решения нелинейных уравнений применяется: 1. метод деления отрезка пополам; 2. метод простых итераций; 3. метод Ньютона; 4. модифицированный метод Ньютона; 5. все ответы правильные. 38. Какой метод приближенного решения нелинейных уравнений 1. метод простых итераций (сходимость типа «лестница»); 2. метод простых итераций (сходимость типа «спираль»); 3. метод простых итераций (расходящийся процесс); 4. метод Ньютона; 5. модифицированный метод Ньютона. 39. Какой метод приближенного решения нелинейных уравнений 1. метод простых итераций (сходимость типа «лестница»); 2. метод простых итераций (сходимость типа «спираль»); 3. метод простых итераций (расходящийся процесс); 4. метод Ньютона; 5. модифицированный метод Ньютона. 40. Какой метод приближенного решения нелинейных уравнений 1. метод простых итераций (сходимость типа «лестница»); 2. метод простых итераций (сходимость типа «спираль»); 3. метод простых итераций (расходящийся процесс); 4. метод Ньютона; 5. модифицированный метод Ньютона. 41. Какой метод приближенного решения нелинейных уравнений 1. метод простых итераций (сходимость типа «лестница»); 2. метод простых итераций (сходимость типа «спираль»); 3. метод простых итераций (расходящийся процесс); 4. метод Ньютона; 5. модифицированный метод Ньютона. 42. Какой метод приближенного решения нелинейных уравнений 1. метод простых итераций (сходимость типа «лестница»); 2. метод простых итераций (сходимость типа «спираль»); 3. метод простых итераций (расходящийся процесс); 4. метод Ньютона; 5. модифицированный метод Ньютона. КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА УТВЕРЖДАЮ: Проректор по учебной и методической работе _________________ И.К. Насыров «_____» _______________ 2007 г. ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.Ф.04 "ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ" Рекомендуется УМЦ КГТУ им. А.Н. Туполева для направлений (специальностей) специальности: 010400 (010701)* «Физика» формы обучения: очная *) коды направлений и специальностей указаны по Общероссийскому классификатору специальностей по образованию (ОК 009-2003) Цели и задачи дисциплиныЦелью и задачами дисциплины является изучение основных положений вычислительной математики, знакомство с приближенными методами решения реальных инженерных задач на ЭВМ, современными методами решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями, в объеме, достаточном для квалифицированного решения основных профессиональных задач будущими инженерами. Материал курса основан на знаниях, навыках и умениях полученных при обучении в среднем образовательном учреждении, а также получаемых студентами при изучении дисциплин: «Алгебра и геометрия», «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Программирование на языках высокого уровня», «Информатика». Студенты должны быть знакомы с основными алгебраическими структурами («Алгебра и геометрия»); с понятиями функции и ее непрерывности, с понятиями множества, отношения («Математический анализ»); с понятиями обыкновенных и систем обыкновенных дифференциальных уравнений, аналитическими методами их решения («Дифференциальные уравнения»); способами записи алгоритма, стандартными типами данных («Программирование на языках высокого уровня»); с основными приемами работы в операционных системах MS DOS и Windows, а также с основными офисными системами MS Word и MS Excel («Информатика»). Студенты должны иметь практические навыки решения линейных алгебраических и нелинейных уравнений и систем («Алгебра и геометрия»), решения обыкновенных и систем обыкновенных дифференциальных уравнений («Дифференциальные уравнения»), уметь строить схемы алгоритмов и программ («Программирование на языках высокого уровня»). Знания, умения и навыки, полученные в процессе изучения данного курса, могут быть использованы студентами для изучения дисциплин «Технологии программирования», «Операционные системы», «Базы данных», «Управление данными», «Информационные технологии», «Сетевые технологии», «Теория принятия решений», а также при прохождении вычислительной практики студентами второго курса очной формы обучения. Требования к уровню освоения содержания дисциплины В результате изучения дисциплины студенты должны: знать:основные численные методы решения нелинейных уравнений, систем нелинейных и линейных алгебраических уравнений; методы интерполирования, аппроксимирования и экстраполирования функций; методы численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений; условий сходимости методов, областей применения численных методов, условий окончания итерационных процессов по каждому методу. уметь:выводить итерационные формулы для решения конкретной задачи выбранным методом; составлять и отлаживать программу для конкретного метода; объяснять полученные результаты. иметь опыт выбора метода численного решения конкретной задачи. иметь представление:о вычислительной математике как науке о численных (приближенных) методах решения математических и реальных инженерных задач; о методах и алгоритмах численного решения задач, сходимости методов, погрешностях вычислений, теоретическом обосновании ряда методов, достоинствах и недостатках методов; о состоянии и тенденциях развития вычислительной математики. Объем дисциплины и виды учебной работы
Содержание дисциплины Тематический план *):
*) Используемые сокращения: ЛК –лекции, ЛБ – лабораторные работы. Содержание тем 1. Введение, понятие приближенных (численных) методов решения инженерных задач на ЭВМ. Учет погрешностей при вычислениях. Вычислительные программные системы. (4/1ч.). 1.1. Основные понятия дисциплины (1/0ч.). Понятие приближенных (численных) методов решения математических задач. Место численных методов в математическом анализе. Понятие вычислительной математики, предмет изучения вычислительной математики. Понятия итерационных методов и погрешностей вычислений, вычислительной схемы. Проблема «устойчивости вычислительных методов» и сложности алгоритма. 1.2. Учет погрешностей при вычислениях (2/1ч.). Источники и классификация погрешностей. Основные понятия и определения теории погрешностей. Округление чисел. Погрешности алгебраической суммы, произведения, частного, степени, корня, функции. Правило сложения приближенных чисел. Обратная задача теории погрешностей. 1.3. Вычислительные программные системы (1/0ч.).Основы работы с MS Excel, MathCad, MathLab с точки зрения решения задач вычислительной математики. 2. Приближенные методы решения нелинейных уравнений, систем нелинейных уравнений и систем линейных алгебраических уравнений (14/7ч.). 2.1. Приближенные методы решения нелинейных уравнений (8/4ч.). Понятия отделения и уточнения корней нелинейных уравнений на отрезке. Графический и аналитический методы отделения корней. Геометрическая интерпретация графического и аналитического методов. Методы уточнения корней: метод дихотомии, метод простых итераций, метод Ньютона (касательных), модифицированный метод Ньютона. Метод простых итераций: понятия начального приближения и итерационного процесса; достаточное условие сходимости итерационного процесса; критерии останова итерационного процесса. Геометрическая интерпретация метода простых итераций. Приведение нелинейного уравнения к виду, допускающего сходящиеся итерации. Достоинства и недостатки метода простых итераций. Метод Ньютона, его геометрическая интерпретация, рабочая формула, выбор начального приближения. Достаточное условие сходимости. Критерий останова итерационного процесса. Достоинства и недостатки метода Ньютона. Модифицированный метод Ньютона, его геометрическая интерпретация и рабочая формула. 2.2. Приближенные методы решения систем нелинейных уравнений (3/2ч.).Понятие системы нелинейных уравнений (СНУ). Проблема отделения корней СНУ. Приближенные методы решения СНУ. Метод простых итераций, понятия начального приближения, итерационного процесса. Достаточные условия сходимости итерационного процесса. Критерий останова итерационного процесса. Приведение исходной системы к системе, допускающей сходящиеся итерации на примере системы второго порядка. Достоинства и недостатки метода простых итераций для решения СНУ. Метод Ньютона для решения СНУ, его рабочая формула и критерий останова итерационного процесса. Достаточное условие сходимости. Достоинства и недостатки метода Ньютона. Рабочая формула модифицированного метода Ньютона. 2.3. Приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (3/1ч).Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций, его рабочие формулы и критерий останова; выбор начального приближения; достаточные условия и необходимые и достаточные условия сходимости итерационного процесса; приведение исходной системы к системе, допускающей сходящиеся итерации; достоинства и недостатки метода простых итераций. Рабочие формулы методы Зейделя, критерий останова, необходимые и достаточные условия сходимости метода. Достоинства и недостатки метода. Метод релаксации. Приведение исходной системы к виду, пригодному для релаксации. Понятие невязки. Рабочие формулы метода. Критерии останова процесса.3. Задачи интерполяции, экстраполяции и аппроксимации функций. Основные приложения теории интерполяции. (10/3ч.). 3.1. Построение интерполяционных формул Лагранжа, первой и второй формул Ньютона (3/1ч.). Постановка задачи интерполирования функций по заданной системе точек, понятие равноотстоящих и неравноотстоящих узловых точек. Принципы построения интерполяционной формулы Лагранжа, первой и второй интерполяционной формулы Ньютона, их форма записи и погрешности вычислений по ним. Формулы линейной и квадратичной интерполяции. Понятие табличных разностей различных порядков. 3.2. Основные приложения теории интерполяции (4/1ч.).Понятие численного дифференцирования. Основные принципы решения задачи численного дифференцирования на примере использования таблицы узловых точек и интерполяционных полиномов. Погрешность построенных формул. Понятие численного интегрирования, квадратурных формул. Построение квадратурной формулы Ньютона-Котеса с использованием интерполяционных формул, коэффициенты Котеса. Частные случаи формулы Ньютона-Котеса (формула трапеций и формула Симпсона) и их геометрическая интерпретация. Погрешность построенных формул. Понятие несобственных интегралов. Приближенное вычисление несобственных интегралов. Случаи бесконечного отрезка интегрирования с непрерывной подынтегральной функцией и разрывной на конечном отрезке интегрирования подынтегральной функцией, их геометрическая интерпретация. Приближенное вычисление двойных интегралов: понятие кубатурных формул; вывод кубатурной и обобщенной кубатурной формул типа Симпсона для различных видов областей интегрирования. 3.3. Метод наименьших квадратов для обработки результатов экспериментов (3/1ч.).Задача аппроксимирования функций по заданной системе точек. Общая идея метода наименьших квадратов. Понятие отклонения искомой функции от экспериментальной в узловых точках. Алгоритм метода наименьших квадратов и его теоретическое обоснование. Аппроксимация с помощью экспоненциальных функций. 4. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, краевых задач для решения дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. (6/3ч.). 4.1. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем (3/0ч.). Классификация методов решения и численных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Понятия задачи Коши и шага интегрирования. Метод последовательных приближений (метод Пиккара). Метод Эйлера: общая идея метода, его графическая интерпретация и рабочая формула. Достоинства и недостатки метода. Рабочие формулы метода Эйлера для решения системы второго порядка дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта. Общая идея методов Рунге-Кутта второго и четвертого порядков, их рабочие формулы. Достоинства и недостатки методов. Решение задачи Коши для системы второго порядка методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Метод Адамса. Достоинства и недостатки метода Адамса. Экстраполяционная и интерполяционная формулы Адамса для решения дифференциальных уравнений. Непрерывные схемы решения нелинейных уравнений, условие их применения. Дифференциальное уравнение в отклонениях, его решение. Достоинства и недостатки непрерывных схем. Дифференциальное уравнение с малым параметром, его решение. Достоинства и недостатки методов решения нелинейных уравнений с использованием дифференциальных уравнений с малым параметром. 4.2. Приближенное решение краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка (1/1ч.). Метод конечных разностей. Понятие краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка и ее геометрическая интерпретация при различных краевых условиях. Понятие двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка и ее форма записи. Метод конечных разностей для решения двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Метод прогонки. Конечно-разностная и каноническая формы записи двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Алгоритм метода прогонки прямым и обратным ходом вычислений. 4.3. Приближенное решение краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (2/2ч.). Методы моделирования и Монте-Карло для решения задачи Дирихле. Понятие дифференциального уравнения в частных производных первого порядка эллиптического типа. Понятие краевых задач для уравнений эллиптического типа. Понятие задачи Дирихле. Решение задачи Дирихле методом моделирования и Монте-Карло. Метод сеток и метод прогонки для решения уравнений параболического типа. Понятие дифференциального уравнения в частных производных первого порядка параболического типа. Метод сеток и метод прогонки для решения уравнений параболического типа. Метод сеток для решения уравнений гиперболического типа. Понятие дифференциального уравнения в частных производных первого порядка гиперболического типа. Метод сеток для решения уравнений гиперболического типа. Лабораторный практикум
Курсовой проект (работа) и его содержание Курсовой проект и курсовая работа не предусмотрены. Контрольная работа. Контрольная работа не предусмотрена. Подготовка реферата.Реферат не предусмотрен. 5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины 5.1 Рекомендуемая литература а) основная литература:
б) дополнительная литература: 1. Иванов В.С., Ляшев А.С. Лабораторный практикум по дисциплине «Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах». Казань, КАИ, 1984. 2. Вахонина Г.С. Методическое руководство к выполнению лабораторных работ по дисциплине “Методы вычислений”. – Казань: КАИ, 1982. 3. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Применение численных методов для решения инженерных задач на ЭВМ. Лабораторный практикум, Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2002, 44с. 4. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Применение численных методов для решения инженерных задач на ЭВМ. Методические указания для студентов заочной формы обучения, Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2001, 40с. 5. «Журнал вычислительной математики». 6. «Математическое моделирование». 7. «Программирование». 8. «Математика. Реферативный журнал». 9. http://meth.ras.ru («Журналы Отделения Математики РАН»). 10. http://www.exponenta.ru («Образовательный математический сайт»). 5.2 Средства обеспечения освоения дисциплины Программное обеспечение для выполнения лабораторных работ и самостоятельной работы студентов: Windows 98 или более поздних версий. Автоматизированная вычислительная система «MathCad». Автоматизированная вычислительная система «MathLab». MS Excel 97 или более поздних версий. MS Word 97 или более поздних версий. Системы программирования Turbo C V6.0 или 7.0, Borland C++ V6.0 или 7.0. Системы программирования Turbo Pascal V6.0 или 7.0, Borland Pascal V6.0 или 7.0. 6. Материально-техническое обеспечение дисциплины Для проведения лабораторных работ и организации самостоятельной работы студентов необходимо иметь учебный класс оснащенный ПЭВМ со стандартной комплектацией. 7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины 7.1. Организация изучения дисциплины при очной форме обучения Обучение проводится в течение одного семестра. Темы 1-4 и все указанные лабораторные работы рассматриваются в семестре № 3. При проведении лабораторных работ используются программные комплексы, поддерживающие языки программирования Pascal и C, как в учебных лабораториях кафедры, оснащенных компьютерами, так и в ВЦ. При изучении дисциплины используется балльно - рейтинговая система оценки знаний. Контрольные тестирования организуются на 6, 12 и 17 неделях каждого семестра. Каждое тестирование включает задания, предусматривающие ответы на теоретические и практические вопросы (см. приложение № 5). Программу составили: Горбунов Д.А., к.т.н., доцент каф. ПМИ КГТУ им. А.Н. Туполева _____________________ Программа обсуждена и одобрена на заседании кафедры ПМИ «____» ______________2007г., протокол № __. Зав. Кафедрой ПМИ Н.Е. Роднищев д.т.н., профессор Председатель Учебно-методической комиссии факультета Декан факультета ПРИЛОЖЕНИЕ 5 ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ» Вопрос 1. Сделайте вывод о сходимости итерационного процесса сходится для любой точки из отрезка; сходится только из определенной точки отрезка; сходится только для одной из граничных точек отрезка; расходится на всем отрезке; расходится на всей числовой оси. Вопрос 2. Чему равно значение 0.5; 0.875; 0.4; 0.8; 0.9. Вопрос 3. Если итерационный процесс, построенный по методу простых итераций для решения нелинейного уравнения одна из граничных точек отрезка; обе граничные точки отрезка; середина отрезка; любая точка отрезка; все ответы правильные. Вопрос 4. По какой из итерационных формул осуществляется решение нелинейных уравнений вида 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 5. Сформулируйте теорему о существовании хотя бы одного корня нелинейного уравнения Если функция Если функция Если функция Если функция Если функция Вопрос 6. Какое условие является достаточным для сходимости итерационного процесса
Вопрос 7. При нахождении корня нелинейного уравнения 0.5; 2; 1; любой из концов отрезка; любое значение из отрезка. Вопрос 8.К какому виду, допускающему сходящиеся итерации, нужно привести систему нелинейных уравнений второго порядка
Вопрос 9. При решении какого класса задач достаточные условия сходимости итерационного процесса имеют вид: решение нелинейных уравнений; решение систем нелинейных уравнений; решение систем линейных алгебраических уравнений; решение линейных уравнений; все ответы правильные. Вопрос 10. При численном решении СЛАУ 1. 2. 3. 4. 1. Вопрос 11. Чему равно следующее приближение Вопрос 12. Задача интерполяции функций возникает в тех случаях, когда: необходимо знать значения функции для промежуточных значений аргументов между узловыми точками; необходимо знать значения функции для точек, расположенных в начале или в конце таблицы; необходимо представить в аналитическом виде функцию, заданную таблично; необходимо представить в более простом виде сложную аналитически заданную функцию; все ответы правильные. Вопрос 13. По таблице из трех узловых точек
можно построить интерполяционный полином Лагранжа второго порядка вида:
0; 0.5; 1; 0.4; 0.35. Вопрос 14. По таблице из трех узловых точек
найти табличную разность второго порядка
Вопрос 15. В каком пункте алгоритма метода наименьших квадратов допущена ошибка? Задается таблица чисел Вводится функция Находятся необходимые условия экстремума функции Строится и решается СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов Записывается искомый многочлен в виде
Вопрос 16. Как называется следующая квадратурная формула: формула Ньютона-Котеса; формула трапеций; формула Симпсона; формула Ньютона; формула Котеса. Вопрос 17. Как называется следующая интерполяционная формула, построенная для неравноотстоящих узлов:
интерполяционная формула Лагранжа; первая интерполяционная формула Ньютона; вторая интерполяционная формула Ньютона; формула квадратичной интерполяции; формула линейной интерполяции. ПРИЛОЖЕНИЕ 8. СПИСОК ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА 1. Источники и классификация погрешностей. 2. Основные понятия и определения теории погрешностей. 3. Значащая и верная цифра приближенной величины. Округление чисел. 4. Погрешность алгебраической суммы. 5. Погрешность произведения и частного. 6. Погрешность степени и корня. 7. Погрешность функции. 8. Обратная задача теории погрешностей. 9. Основные этапы решения нелинейных уравнений. 10. Метод половинного деления. 11. Метод простых итераций для решения нелинейных уравнений. 12. Метод Ньютона (метод касательных) для решения нелинейных уравнений. 13. Модифицированный метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. 14. Метод простых итераций для решения систем нелинейных уравнений. 15. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. 16. Модифицированный метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. 17. Метод простых итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений. 18. Метод Зейделя. 19. Метод релаксации. 20. Интерполяционная формула Лагранжа. 21. Первая интерполяционная формула Ньютона. 22. Вторая интерполяционная формула Ньютона. 23. Численное дифференцирование. 24. Квадратурная формула Ньютона-Котеса. 25. Формула трапеций. 26. Квадратурная формула Симпсона. 27. Приближенное вычисление несобственных интегралов. 28. Метод наименьших квадратов. 29. Метод Эйлера. 30. Метод Рунге-Кутта. 31. Метод Адамса. КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА УТВЕРЖДАЮ: Проректор по учебной и методической работе _________________ И.К. Насыров «_____» _______________ 2007 г. ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.Ф.06 "ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ" Рекомендуется УМЦ КГТУ им. А.Н. Туполева для направлений (специальностей) направления: 090100 * “Информационная безопасность” специальности: 075600 (090106)* «Информационная безопасность телекоммуникационных систем» формы обучения: очная *) коды направлений и специальностей указаны по Общероссийскому классификатору специальностей по образованию (ОК 009-2003) Цели и задачи дисциплины Целью и задачами дисциплины является изучение основных положений вычислительной математики, знакомство с приближенными методами решения реальных инженерных задач на ЭВМ, современными методами решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями, в объеме, достаточном для квалифицированного решения основных профессиональных задач будущими инженерами. Материал курса основан на знаниях, навыках и умениях полученных при обучении в среднем образовательном учреждении, а также получаемых студентами при изучении дисциплин: «Алгебра и геометрия», «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Программирование на языках высокого уровня», «Информатика». Студенты должны быть знакомы с основными алгебраическими структурами («Алгебра и геометрия»); с понятиями функции и ее непрерывности, с понятиями множества, отношения («Математический анализ»); с понятиями обыкновенных и систем обыкновенных дифференциальных уравнений, аналитическими методами их решения («Дифференциальные уравнения»); способами записи алгоритма, стандартными типами данных («Программирование на языках высокого уровня»); с основными приемами работы в операционных системах MS DOS и Windows, а также с основными офисными системами MS Word и MS Excel («Информатика»). Студенты должны иметь практические навыки решения линейных алгебраических и нелинейных уравнений и систем («Алгебра и геометрия»), решения обыкновенных и систем обыкновенных дифференциальных уравнений («Дифференциальные уравнения»), уметь строить схемы алгоритмов и программ («Программирование на языках высокого уровня»). Знания, умения и навыки, полученные в процессе изучения данного курса, могут быть использованы студентами для изучения дисциплин «Технологии программирования», «Операционные системы», «Базы данных», «Управление данными», «Информационные технологии», «Сетевые технологии», «Теория принятия решений», а также при прохождении вычислительной практики студентами второго курса очной формы обучения. Требования к уровню освоения содержания дисциплины В результате изучения дисциплины студенты должны: знать:основные численные методы решения нелинейных уравнений, систем нелинейных и линейных алгебраических уравнений; методы интерполирования, аппроксимирования и экстраполирования функций; методы численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений; условий сходимости методов, областей применения численных методов, условий окончания итерационных процессов по каждому методу. уметь:выводить итерационные формулы для решения конкретной задачи выбранным методом; составлять и отлаживать программу для конкретного метода; объяснять полученные результаты. иметь опыт выбора метода численного решения конкретной задачи. иметь представление:о вычислительной математике как науке о численных (приближенных) методах решения математических и реальных инженерных задач; о методах и алгоритмах численного решения задач, сходимости методов, погрешностях вычислений, теоретическом обосновании ряда методов, достоинствах и недостатках методов; о состоянии и тенденциях развития вычислительной математики. Объем дисциплины и виды учебной работы
Содержание дисциплины Тематический план *):
*) Используемые сокращения: ЛК –лекции, ЛБ – лабораторные работы, ПЗ – практические занятия. Содержание тем 1. Введение, понятие приближенных (численных) методов решения инженерных задач на ЭВМ. Учет погрешностей при вычислениях. Вычислительные программные системы. (4/8ч.). 1.1. Основные понятия дисциплины (1/2ч.). Понятие приближенных (численных) методов решения математических задач. Место численных методов в математическом анализе. Понятие вычислительной математики, предмет изучения вычислительной математики. Понятия итерационных методов и погрешностей вычислений, вычислительной схемы. Проблема «устойчивости вычислительных методов» и сложности алгоритма. 1.2. Учет погрешностей при вычислениях (2/4ч.). Источники и классификация погрешностей. Основные понятия и определения теории погрешностей. Округление чисел. Погрешности алгебраической суммы, произведения, частного, степени, корня, функции. Правило сложения приближенных чисел. Обратная задача теории погрешностей. 1.3. Вычислительные программные системы (1/2ч.).Основы работы с MS Excel, MathCad, MathLab с точки зрения решения задач вычислительной математики. 2. Приближенные методы решения нелинейных уравнений, систем нелинейных уравнений и систем линейных алгебраических уравнений (14/23ч.). 2.1. Приближенные методы решения нелинейных уравнений (8/8ч.). Понятия отделения и уточнения корней нелинейных уравнений на отрезке. Графический и аналитический методы отделения корней. Геометрическая интерпретация графического и аналитического методов. Методы уточнения корней: метод дихотомии, метод простых итераций, метод Ньютона (касательных), модифицированный метод Ньютона. Метод простых итераций: понятия начального приближения и итерационного процесса; достаточное условие сходимости итерационного процесса; критерии останова итерационного процесса. Геометрическая интерпретация метода простых итераций. Приведение нелинейного уравнения к виду, допускающего сходящиеся итерации. Достоинства и недостатки метода простых итераций. Метод Ньютона, его геометрическая интерпретация, рабочая формула, выбор начального приближения. Достаточное условие сходимости. Критерий останова итерационного процесса. Достоинства и недостатки метода Ньютона. Модифицированный метод Ньютона, его геометрическая интерпретация и рабочая формула. 2.2. Приближенные методы решения систем нелинейных уравнений (3/7ч.).Понятие системы нелинейных уравнений (СНУ). Проблема отделения корней СНУ. Приближенные методы решения СНУ. Метод простых итераций, понятия начального приближения, итерационного процесса. Достаточные условия сходимости итерационного процесса. Критерий останова итерационного процесса. Приведение исходной системы к системе, допускающей сходящиеся итерации на примере системы второго порядка. Достоинства и недостатки метода простых итераций для решения СНУ. Метод Ньютона для решения СНУ, его рабочая формула и критерий останова итерационного процесса. Достаточное условие сходимости. Достоинства и недостатки метода Ньютона. Рабочая формула модифицированного метода Ньютона. 2.3. Приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (3/8ч.).Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций, его рабочие формулы и критерий останова; выбор начального приближения; достаточные условия и необходимые и достаточные условия сходимости итерационного процесса; приведение исходной системы к системе, допускающей сходящиеся итерации; достоинства и недостатки метода простых итераций. Рабочие формулы методы Зейделя, критерий останова, необходимые и достаточные условия сходимости метода. Достоинства и недостатки метода. Метод релаксации. Приведение исходной системы к виду, пригодному для релаксации. Понятие невязки. Рабочие формулы метода. Критерии останова процесса.3. Задачи интерполяции, экстраполяции и аппроксимации функций. Основные приложения теории интерполяции. (10/15ч.). 3.1. Построение интерполяционных формул Лагранжа, первой и второй формул Ньютона (3/6ч.). Постановка задачи интерполирования функций по заданной системе точек, понятие равноотстоящих и неравноотстоящих узловых точек. Принципы построения интерполяционной формулы Лагранжа, первой и второй интерполяционной формулы Ньютона, их форма записи и погрешности вычислений по ним. Формулы линейной и квадратичной интерполяции. Понятие табличных разностей различных порядков. 3.2. Основные приложения теории интерполяции (4/5ч.).Понятие численного дифференцирования. Основные принципы решения задачи численного дифференцирования на примере использования таблицы узловых точек и интерполяционных полиномов. Погрешность построенных формул. Понятие численного интегрирования, квадратурных формул. Построение квадратурной формулы Ньютона-Котеса с использованием интерполяционных формул, коэффициенты Котеса. Частные случаи формулы Ньютона-Котеса (формула трапеций и формула Симпсона) и их геометрическая интерпретация. Погрешность построенных формул. Понятие несобственных интегралов. Приближенное вычисление несобственных интегралов. Случаи бесконечного отрезка интегрирования с непрерывной подынтегральной функцией и разрывной на конечном отрезке интегрирования подынтегральной функцией, их геометрическая интерпретация. Приближенное вычисление двойных интегралов: понятие кубатурных формул; вывод кубатурной и обобщенной кубатурной формул типа Симпсона для различных видов областей интегрирования. 3.3. Метод наименьших квадратов для обработки результатов экспериментов (3/4ч.).Задача аппроксимирования функций по заданной системе точек. Общая идея метода наименьших квадратов. Понятие отклонения искомой функции от экспериментальной в узловых точках. Алгоритм метода наименьших квадратов и его теоретическое обоснование. Аппроксимация с помощью экспоненциальных функций. 4. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, краевых задач для решения дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. (6/6ч.). 4.1. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем (3/3ч.). Классификация методов решения и численных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Понятия задачи Коши и шага интегрирования. Метод последовательных приближений (метод Пиккара). Метод Эйлера: общая идея метода, его графическая интерпретация и рабочая формула. Достоинства и недостатки метода. Рабочие формулы метода Эйлера для решения системы второго порядка дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта. Общая идея методов Рунге-Кутта второго и четвертого порядков, их рабочие формулы. Достоинства и недостатки методов. Решение задачи Коши для системы второго порядка методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Метод Адамса. Достоинства и недостатки метода Адамса. Экстраполяционная и интерполяционная формулы Адамса для решения дифференциальных уравнений. Непрерывные схемы решения нелинейных уравнений, условие их применения. Дифференциальное уравнение в отклонениях, его решение. Достоинства и недостатки непрерывных схем. Дифференциальное уравнение с малым параметром, его решение. Достоинства и недостатки методов решения нелинейных уравнений с использованием дифференциальных уравнений с малым параметром. 4.2. Приближенное решение краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка (1/2ч.). Метод конечных разностей. Понятие краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка и ее геометрическая интерпретация при различных краевых условиях. Понятие двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка и ее форма записи. Метод конечных разностей для решения двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Метод прогонки. Конечно-разностная и каноническая формы записи двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Алгоритм метода прогонки прямым и обратным ходом вычислений. 4.3. Приближенное решение краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (2/1ч.). Методы моделирования и Монте-Карло для решения задачи Дирихле. Понятие дифференциального уравнения в частных производных первого порядка эллиптического типа. Понятие краевых задач для уравнений эллиптического типа. Понятие задачи Дирихле. Решение задачи Дирихле методом моделирования и Монте-Карло. Метод сеток и метод прогонки для решения уравнений параболического типа. Понятие дифференциального уравнения в частных производных первого порядка параболического типа. Метод сеток и метод прогонки для решения уравнений параболического типа. Метод сеток для решения уравнений гиперболического типа. Понятие дифференциального уравнения в частных производных первого порядка гиперболического типа. Метод сеток для решения уравнений гиперболического типа. Лабораторный практикум
Курсовой проект (работа) и его содержание Курсовой проект и курсовая работа не предусмотрены. Контрольная работа. Контрольная работа не предусмотрена. Подготовка реферата.Реферат не предусмотрен. 5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины 5.1 Рекомендуемая литература а) основная литература:
б) дополнительная литература: 1. Иванов В.С., Ляшев А.С. Лабораторный практикум по дисциплине «Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах». Казань, КАИ, 1984. 2. Вахонина Г.С. Методическое руководство к выполнению лабораторных работ по дисциплине “Методы вычислений”. – Казань: КАИ, 1982. 3. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Применение численных методов для решения инженерных задач на ЭВМ. Лабораторный практикум, Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2002, 44с. 4. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Применение численных методов для решения инженерных задач на ЭВМ. Методические указания для студентов заочной формы обучения, Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2001, 40с. 5. «Журнал вычислительной математики». 6. «Математическое моделирование». 7. «Программирование». 8. «Математика. Реферативный журнал». 9. http://meth.ras.ru («Журналы Отделения Математики РАН»). 10. http://www.exponenta.ru («Образовательный математический сайт»). 5.2 Средства обеспечения освоения дисциплины Программное обеспечение для выполнения лабораторных работ и самостоятельной работы студентов: Windows 98 или более поздних версий. Автоматизированная вычислительная система «MathCad». Автоматизированная вычислительная система «MathLab». MS Excel 97 или более поздних версий. MS Word 97 или более поздних версий. Системы программирования Turbo C V6.0 или 7.0, Borland C++ V6.0 или 7.0. Системы программирования Turbo Pascal V6.0 или 7.0, Borland Pascal V6.0 или 7.0. 6. Материально-техническое обеспечение дисциплины Для проведения лабораторных работ и организации самостоятельной работы студентов необходимо иметь учебный класс оснащенный ПЭВМ со стандартной комплектацией. 7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины 7.1. Организация изучения дисциплины при очной форме обучения Обучение проводится в течение одного семестра. Темы 1-4 и все указанные лабораторные работы рассматриваются в семестре № 3. При проведении лабораторных работ используются программные комплексы, поддерживающие языки программирования Pascal и C, как в учебных лабораториях кафедры, оснащенных компьютерами, так и в ВЦ. При изучении дисциплины используется балльно - рейтинговая система оценки знаний. Контрольные тестирования организуются на 6, 12 и 17 неделях каждого семестра. Каждое тестирование включает задания, предусматривающие ответы на теоретические и практические вопросы (см. приложение № 5). Программу составили: Горбунов Д.А., к.т.н., доцент каф. ПМИ КГТУ им. А.Н. Туполева _____________________ Программа обсуждена и одобрена на заседании кафедры ПМИ «____» ______________2007г., протокол № __. Зав. кафедрой ПМИ Н.Е. Роднищев д.т.н., профессор Председатель Учебно-методической В.А. Суздальцев комиссии факультета, доцент Декан факультета Л.Ю.Емалетдинова д.т.н., профессор Согласовано: В.И.Глова зав.кафедрой СИБ д.т.н., профессор ПРИЛОЖЕНИЕ 5 ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» Вопрос 1. Сделайте вывод о сходимости итерационного процесса сходится для любой точки из отрезка; сходится только из определенной точки отрезка; сходится только для одной из граничных точек отрезка; расходится на всем отрезке; расходится на всей числовой оси. Вопрос 2. Чему равно значение 0.5; 0.875; 0.4; 0.8; 0.9. Вопрос 3. Если итерационный процесс, построенный по методу простых итераций для решения нелинейного уравнения одна из граничных точек отрезка; обе граничные точки отрезка; середина отрезка; любая точка отрезка; все ответы правильные. Вопрос 4. По какой из итерационных формул осуществляется решение нелинейных уравнений вида 1. 2. 3. 4. 5. Вопрос 5. Сформулируйте теорему о существовании хотя бы одного корня нелинейного уравнения Если функция Если функция Если функция Если функция Если функция Вопрос 6. Какое условие является достаточным для сходимости итерационного процесса
Вопрос 7. При нахождении корня нелинейного уравнения 0.5; 2; 1; любой из концов отрезка; любое значение из отрезка. Вопрос 8.К какому виду, допускающему сходящиеся итерации, нужно привести систему нелинейных уравнений второго порядка
Вопрос 9. При решении какого класса задач достаточные условия сходимости итерационного процесса имеют вид: решение нелинейных уравнений; решение систем нелинейных уравнений; решение систем линейных алгебраических уравнений; решение линейных уравнений; все ответы правильные. Вопрос 10. При численном решении СЛАУ 1. 2. 3. 4. 1. Вопрос 11. Чему равно следующее приближение Вопрос 12. Задача интерполяции функций возникает в тех случаях, когда: необходимо знать значения функции для промежуточных значений аргументов между узловыми точками; необходимо знать значения функции для точек, расположенных в начале или в конце таблицы; необходимо представить в аналитическом виде функцию, заданную таблично; необходимо представить в более простом виде сложную аналитически заданную функцию; все ответы правильные. Вопрос 13. По таблице из трех узловых точек
можно построить интерполяционный полином Лагранжа второго порядка вида:
0; 0.5; 1; 0.4; 0.35. Вопрос 14. По таблице из трех узловых точек
найти табличную разность второго порядка
Вопрос 15. В каком пункте алгоритма метода наименьших квадратов допущена ошибка? Задается таблица чисел Вводится функция Находятся необходимые условия экстремума функции Строится и решается СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов Записывается искомый многочлен в виде
Вопрос 16. Как называется следующая квадратурная формула: формула Ньютона-Котеса; формула трапеций; формула Симпсона; формула Ньютона; формула Котеса. Вопрос 17. Как называется следующая интерполяционная формула, построенная для неравноотстоящих узлов:
интерполяционная формула Лагранжа; первая интерполяционная формула Ньютона; вторая интерполяционная формула Ньютона; формула квадратичной интерполяции; формула линейной интерполяции. ПРИЛОЖЕНИЕ 8. СПИСОК ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА 1. Источники и классификация погрешностей. 2. Основные понятия и определения теории погрешностей. 3. Значащая и верная цифра приближенной величины. Округление чисел. 4. Погрешность алгебраической суммы. 5. Погрешность произведения и частного. 6. Погрешность степени и корня. 7. Погрешность функции. 8. Обратная задача теории погрешностей. 9. Основные этапы решения нелинейных уравнений. 10. Метод половинного деления. 11. Метод простых итераций для решения нелинейных уравнений. 12. Метод Ньютона (метод касательных) для решения нелинейных уравнений. 13. Модифицированный метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. 14. Метод простых итераций для решения систем нелинейных уравнений. 15. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. 16. Модифицированный метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. 17. Метод простых итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений. 18. Метод Зейделя. 19. Метод релаксации. 20. Интерполяционная формула Лагранжа. 21. Первая интерполяционная формула Ньютона. 22. Вторая интерполяционная формула Ньютона. 23. Численное дифференцирование. 24. Квадратурная формула Ньютона-Котеса. 25. Формула трапеций. 26. Квадратурная формула Симпсона. 27. Приближенное вычисление несобственных интегралов. 28. Метод наименьших квадратов. 29. Метод Эйлера. 30. Метод Рунге-Кутта. 31. Метод Адамса. ГЛАВА 8. ПРИБЛИЖЕННОЕ Решение ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ. Дифференциальные уравнения являются основным математическим инструментом моделирования и анализа разнообразных явлений и процессов в науке и технике. Методы их решения подразделяются на два класса: аналитические методы, в которых решение получается в виде аналитических функций; численные (приближенные) методы, где искомые интегральные кривые получают в виде таблиц их числовых значений. Применение аналитических методов позволяет исследовать полученные решения методами математического анализа и сделать соответствующие выводы о свойствах моделируемого явления или процесса. К сожалению, с помощью таких методов можно решать достаточно ограниченный круг реальных задач. Численные методы позволяют получить с определенной точностью приближенное решение практически любой задачи. Решить дифференциальное уравнение численным методом означает, что для заданной последовательности аргументов Рассмотрим три наиболее распространенных при решении практических задач численных метода интегрирования: метод Эйлера, метод Рунге-Кутта и метод Адамса. §8.1. Метод Эйлера. Этот метод обладает малой точностью и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других численных методов. Пусть дано дифференциальное уравнение с начальным условием (задача Коши) и выполняются условия существования и единственности решения. Теорема Пиккара (теорема о существовании и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении (8.1) функция где Требуется найти решение Выбрав шаг И Звено ломаной Сделав преобразование, получим формулу Эйлера: Вычисление значений Далее определяя значение аргумента Поступая аналогичным образом при Таким образом, соединяя на координатной плоскости точки Запишем разложение Учитывая формулы (8.3) и (8.6), получим Соотношение (8.7) может быть использовано для выбора шага Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений. Пусть задана система двух дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями Необходимо найти решение этой задачи Коши. Проводя аналогичные рассуждения, получаем расчетные формулы вида: где В результате применения расчетной схемы (8.9) получается приближенное представление интегральных кривых Достоинством метода Эйлера является его простота и высокая скорость поиска решения. Недостатками метода Эйлера являются малая точность и систематическое накопление ошибок, так как при вычислении значений на каждом последующем шаге исходные данные не являются точными и содержат погрешности, зависящие от неточности предшествующих вычислений. §8.2. Метод Рунге-Кутта. Данный метод является одним из наиболее распространенных численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. По сравнению с описанным выше методом Эйлера метод Рунге-Кутта имеет более высокую точность, но невысокую скорость поиска решения, так как метод относится к классу многошаговых методов. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием Выберем шаг Рассмотрим числа: По методу Рунге-Кутта последовательные значения Погрешность метода Рунге-Кутта, заданного формулой (8.13), на каждом шаге есть величина порядка Формулу (8.13) еще называют формулой Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Помимо формулы (8.13) существуют еще другие формулы типа Рунге-Кутта с иными порядками точности. В частности формула Для определения правильности выбора шага Метод Рунге-Кутта может быть использован и при решении систем дифференциальных уравнений. Рассмотрим задачу Коши для системы двух дифференциальных уравнений: с начальными условиями Формулы метода Рунге-Кутта для данной системы примут вид: где Метод Рунге-Кутта обладает значительной точностью и, несмотря на свою трудоемкость, широко используется при численном решении дифференциальных уравнений и систем. Важным преимуществом этого метода является возможность применения переменного шага, что позволяет учитывать локальные особенности искомой функции. §8.3. Метод Адамса. Этот метод численного интегрирования разработан Адамсом в 1855 году по просьбе известного английского артиллериста Башфорта, который занимался баллистикой. В последствии этот метод был забыт и вновь открыт в начале XX века норвежским математиком Штермером. Популяризация метода Адамса и дальнейшее его усовершенствование связано с именем А.Н. Крылова. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием Пусть Запишем вторую интерполяционную формулу Ньютона с точностью до разностей четвертого порядка: где В формуле (8.17) функцию Так как
После преобразований будем иметь: Формула (8.19) называется экстраполяционной формулой Адамса. Для начала итерационного процесса нужно знать начальные значения Дальнейшие значения Для работы на ЭВМ формулу Адамса применяют в раскрытом виде. Так как то после приведения подобных членов имеем: На практике шаг
Метод Адамса легко распространяется на системы дифференциальных уравнений. Погрешность метода Адамса имеет тот же порядок, что и метод Рунге-Кутта.
94 ГЛАВА 6. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. §6.1. Постановка вопроса. При решении практических задач часто требуется найти производные указанных порядков от функции Для этого на отрезке Если для интерполирующей функции известна погрешность
то погрешность производной
т.е. погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции. То же справедливо для производных высших порядков. Приближенное дифференцирование является менее точной операцией, чем интерполирование. Близость друг к другу ординат двух кривых §6.2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона. Пусть на отрезке Заменим функцию где Произведя перемножение биномов и приведя подобные, получим: Так как
то Аналогично, так как
то Таким способом можно вычислить производную любого порядка. При нахождении производных Формулы (6.3) и (6.4) упрощаются, если нужно подсчитать производные в узлах интерполяции. Полагая Пусть Тогда, если Полагая
получаем при Так как Аналогично находится Формулы приближенного дифференцирования аналогичным образом можно получить, используя вторую интерполяционную формулу Ньютона. §6.3. Формулы численного дифференцирования для равноотстоящих точек, основанные на интерполяционной формуле Лагранжа. Пусть даны равноотстоящие точки где Для
Введем новую переменную Подставив (6.11), (6.12) в (6.10), получим: Заменив функцию Аналогично можно найти Для оценки погрешности
где Предположим, что Учитывая соотношение (6.12) и предполагая ГЛАВА 7. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. §7.1. Квадратурная формула Ньютона-Котеса. Если функция Однако во многих случаях первообразная Определение 7.1. Численное вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой, двойного интеграла механической кубатурой. Соответствующие формулы называются квадратурными и кубатурными формулами. Рассмотрим один из способов вычисления определенных интегралов. Если воспользоваться, например, интерполяционным полиномом Лагранжа, то, заменяя функцию где Требуется вычислить интеграл где Выведем явные выражения для коэффициентов Введем обозначения Заменяя в (7.3) функцию где Так как
Так как называются коэффициентами Котеса, то можно записать следующую квадратурную формулу: Формула (7.6) называется квадратурной формулой Ньютона-Котеса. Нетрудно проверить, что для коэффициентов Котеса справедливы соотношения: 1) 2) §7.2. Частные случаи квадратурной формулы Ньютона-Котеса. 7.2.1. Формула трапеций. а) Пусть отрезок П Погрешность квадратурной формулы (7.7) равна: Если б) Рассмотрим общий случай, когда отрезок Разделим отрезок где Формула (7.9) называется общей формулой трапеций. Для нее справедлива оценка погрешности: где 7.2.2. Квадратурная формула Симпсона. а) По формуле (7.5) при Так как Ф Погрешность квадратурной формулы Симпсона равна: Квадратурная формула Симпсона является точной для полиномов второй и третьей степени. б) Общая формула Симпсона. Пусть Применяя квадратурную формулу Симпсона (7.11) к каждому сдвоенному промежутку Отсюда получим общую квадратурную формулу Симпсона: Остаточный член формулы (7.13) равен: В силу непрерывности Поэтому будем иметь: где §7.3. Квадратурная формула Гаусса. Для вывода квадратурной формулы Гаусса потребуются некоторые сведения о полиномах Лежандра. Определение 7.2. Полиномы вида называются полиномами Лежандра. Полиномы Лежандра обладают следующими свойствами: 1) 2) 3) полином Лежандра Свойство 2 называется свойством ортогональности полиномов Лежандра. Перейдем к выводу квадратурной формулы Гаусса. Рассмотрим сначала функцию Поставим задачу: как нужно подобрать точки была точной для всех полиномов Так как в распоряжении имеется Для обеспечения равенства (7.15) необходимо и достаточно, чтобы оно было верным при Действительно, полагая и будем иметь:
Таким образом, учитывая соотношения: заключаем, что для решения поставленной задачи достаточно определить Система (7.17) – нелинейная система, состоящая из Рассмотрим полиномы
где Так как степени этих полиномов не превышают С другой стороны, в силу свойства ортогональности полиномов Лежандра выполнены равенства:
поэтому в силу (7.18) Если положить Таким образом, для достижения наивысшей точности квадратурной формулы (7.15) в качестве точек Определитель этой подсистемы является определителем Вандермонда
и, следовательно, коэффициенты Формула (7.15), где Неудобство применения квадратурной формулы Гаусса состоит в том, что абсциссы точек Для вычисления общего интеграла
Тогда
где Соотношение (7.20) – квадратурная формула Гаусса для вычисления произвольного интеграла. Остаточный член квадратурной формулы Гаусса (7.20) с §7.4. Приближенное вычисление несобственных интегралов. Определение 7.3. Интеграл ![]() называется собственным, если промежуток интегрирования подынтегральная функция В противном случае, интеграл (7.22) называется несобственным. а). Рассмотрим приближенное вычисление несобственного интеграла ![]() с бесконечным промежутком интегрирования, где функция Определение 7.4. И ![]() и по определению полагают ![]() Если предел (7.24) не существует, то интеграл (7.23) называется расходящимся. Поэтому, прежде чем приступить к вычислению несобственного интеграла, нужно предварительно убедиться, что этот интеграл сходится. Чтобы вычислить сходящийся несобственный интеграл (7.23) с заданной точностью ![]() В силу сходимости интеграла число Собственный интеграл Из формул (7.26)-(7.28) имеем т.е. поставленная задача решена. б). Допустим теперь, что отрезок Так как промежуток интегрирования можно разбить на частичные промежутки с единственной точкой разрыва подынтегральной функции, то достаточно разобрать лишь случай, когда на Если и в случае существования этого предела интеграл называют сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогично определяется сходимость несобственного интеграла, если точка разрыва Для приближенного вычисления с заданной точностью Затем по известным квадратурным формулам вычисляют определенные интегралы Если точка разрыва §7.5. Кубатурные формулы типа Симпсона. Рассмотрим один из методов приближенного вычисления двойного интеграла. Так как двойной интеграл вычисляется через повторный, то при приближенном вычислении двойного интеграла используется квадратурная формула Симпсона. 1) Вычислим Каждый отрезок г Получим девять точек с координатами Расписав двойной интеграл через повторный и применив два раза квадратурную формулу Симпсона, получим: Формула (7.30) называется кубатурной формулой Симпсона. 2) Пусть теперь область Введем обозначения Приведя подобные, получим: где коэффициенты 3) Если область Р Тогда
87 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Цель работы: научиться решать обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) методами Эйлера и Рунге-Кутта с помощью ЭВМ. Содержание работы: 1. Изучить методы Эйлера и Рунге-Кутта для приближенного решения ОДУ. 2. На конкретном примере усвоить порядок решения ОДУ указанными методами с помощью ЭВМ. 3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую процесс приближенного решения ОДУ указанными методами. 4. Сделать вывод о точности используемых методов. 5. Составить отчет о проделанной работе. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Задание. 1. Аналитически решить задачу Коши вида: 2. Записать рабочие формулы метода Эйлера и метода Рунге-Кутта 4 порядка точности для численного решения системы (1) при начальном условии (2) на отрезке 3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные процессы. Решение. 1. ОДУ (1) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Его аналитическим решением являются интегральные кривые вида 2. Для построения рабочих формул методов Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка точности разделим отрезок (3) на Рабочая формула метода Эйлера в общем случае имеет вид: Для поставленной задачи данная формула запишется так: Для вычислений по методу Рунге-Кутта 4 порядка необходимо предварительно вычислить 4 коэффициента: а рабочая формула имеет вид: Для рассматриваемого примера коэффициенты запишутся так: Итерационные процессы, заданные формулами (4), (5) и (6), можно начать, задав начальное условие (2). Процессы заканчиваются при достижении конца отрезка (3). В этом случае построенные интегральные кривые 3. Блок-схема построения приближенного решения задачи Коши методами Эйлера и Рунге-Кутта приведена на рисунке 1. Решение: результаты решения сформулированной задачи в виде графиков приведены на рисунке 2. 4. Содержание отчета. Отчет о проделанной работе должен содержать: номер и название лабораторной работы; цель работы; содержание работы; задание на работу; теоретическую часть работы (вывод итерационных формул); листинг программы; таблицу результатов; графики, выводы о проделанной работе. Рис.2 ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1. Аналитически решить задачу Коши (1)-(2). 2. Записать рабочие формулы методов Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка для приближенного решения сформулированной задачи на отрезке (3). 3. Используя блок-схему (Рис.1), составить программу на любом языке программирования, реализующую метод Эйлера и метод Рунге-Кутта для задачи Коши. Печать результатов должна осуществляться на каждом шаге итераций в виде следующей таблицы:
4. Провести вычисления при 5. Построить графики точного решения и двух приближенных (методы Эйлера и Рунге-Кутта). 6. Составить отчет о проделанной работе. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
142 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6-7. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. Цель работы: научиться строить интерполяционные и аппроксимационные многочлены по заданной системе точек с помощью ЭВМ. Содержание работы: 1. Изучить принципы построения интерполяционной формулы Лагранжа, I и II интерполяционных формул Ньютона и аппроксимационного полинома. 2. На конкретном примере усвоить порядок построения указанных полиномов с помощью ЭВМ. 3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую процесс построения указанных полиномов второго порядка для системы из трех равноотстоящих узловых точек. 4. Сделать вывод о точности построения полиномов. 5. Составить отчет о проделанной работе. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Задание. 1. Составить таблицу значений экспериментальной функции 2. По сформированной системе точек построить интерполяционную формулу Лагранжа, I и II интерполяционные формулы Ньютона и аппроксимационный полином второго порядка. 3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую процесс построения указанных полиномов для заданной системы точек. Решение. 1. Таблица значений функции
2. Интерполяционный полином Лагранжа. Замечание. Так как данный полином строится для произвольной системы узловых точек, то запишем этот полином для равноотстоящих узловых точек:
где коэффициенты Тогда искомый многочлен Лагранжа второго порядка будет иметь вид: где I интерполяционная формула Ньютона второго порядка по заданной системе точек строится в виде: Здесь величины II интерполяционная формула Ньютона второго порядка по заданной системе точек строится в виде: Здесь величины При построении аппроксимационного многочлена методом наименьших квадратов необходимо, чтобы сумма квадратов отклонений построенной функции от экспериментальной в узловых точках была минимальна. Будем строить функцию в виде многочлена второго порядка Согласно алгоритму метода наименьших квадратов, для построения многочлена второй степени необходимо вычислить следующие суммы:
и решить систему линейных алгебраических уравнений 3-го порядка вида относительно неизвестных коэффициентов Для ее решения можно воспользоваться любым известным методом, например, методом Крамера. Для этого необходимо вычислить четыре определителя системы (2) вида: Значения искомых коэффициентов вычисляются по формулам: Искомый многочлен второго порядка будет иметь вид:
Для проверки правильности построения полиномов необходимо провести программно процесс табулирования четырех построенных полиномов и экспериментальной функции при Графики этих функций представлены на рисунке 1. Из графика видно, что искомые полиномы на отрезке практически совпадают с экспериментальной функцией и проходят через узловые точки. З Рис.1. 3. Содержание отчета. Отчет о проделанной работе должен содержать: номер и название лабораторной работы; цель работы; содержание работы; задание на работу; теоретическую часть работы (вывод интерполяционных и аппроксимационного полиномов); графики; листинг программы; таблицу результатов; выводы о проделанной работе. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1. Составить программу на любом языке программирования, реализующую процесс построения указанных полиномов: 1.1. Сформировать таблицу значений экспериментальной функции 1.2. Вычислить значения коэффициентов интерполяционной формулы Лагранжа 1.3. Вычислить значения табличных разностей первого и второго порядков, необходимых для построения I и II интерполяционных формул Ньютона и записать непосредственно полиномы. 1.4. Для построения аппроксимационного полинома второго порядка вычислить необходимые суммы, сформировать СЛАУ 3-го порядка, решить ее любым известным методом и записать непосредственно полином. 1.5. Осуществить процесс табулирования четырех построенных полиномов и экспериментальной функции при
2. Провести вычислительные эксперименты. 3. Построить графики всех приведенных в таблице функций. 4. Составить отчет о проделанной работе. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
137 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Цель работы: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Зейделя с помощью ЭВМ. Содержание работы: 1. Изучить метод простых итераций и метод Зейделя для решения СЛАУ. 2. На конкретном примере усвоить порядок решения СЛАУ с помощью ЭВМ указанными методами. 3. Составить программу и с ее помощью решить СЛАУ с точностью 4. Изменить 5. Решить СЛАУ с точностью ё и 6. Составить отчет о работе. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Задание. 1. Аналитически решить СЛАУ вида:
2. Построить рабочие формулы МПИ и метода Зейделя для численного решения системы (1). 3. Составить программу(ы) на любом языке программирования, реализующую(ие) построенные итерационные процессы. Решение. 1. Аналитическим решением системы являются значения:![]() ![]()
Начальное приближение обычно выбирают равным столбцу свободных членов преобразованной системы В этом случае значения Метод Зейделя. Более быструю скорость сходимости имеет метод Зейделя, в котором найденное
Рабочие формулы метода Зейделя запишутся так:
Условия выхода итерационного процесса (3) и выбор начального приближения аналогичны МПИ. 3 Решение: в результате решения СЛАУ (1) методом простых итераций с точностью 4. Содержание отчета. Отчет о проделанной работе должен содержать: номер и название лабораторной работы; цель работы; содержание работы; задание на работу; теоретическую часть работы (вывод итерационных формул); листинг(и) программ(ы); таблицы результатов (в случае, если число итераций в таблице достаточно большое, в отчет занести две первых и две последних итерации); выводы о проделанной работе. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1. Определить аналитическое решение исходной СЛАУ. 2. Если исходная СЛАУ не является системой с преобладающими диагональными коэффициентами, то путем элементарных преобразований привести ее к этому виду. 3. Построить итерационные формулы, реализующие процесс поиска решения СЛАУ методом простых итераций и методом Зейделя. 4. Составить программу(ы) на любом языке программирования, реализующую(ие) построенные итерационные процессы, используя приведенный на рисунке 2 алгоритм методов. Печать результатов должна осуществляться на каждом шаге итераций в виде следующей таблицы:
5. Провести вычислительные эксперименты. 6. Составить отчет о проделанной работе. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
132 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3-4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений (СНУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Содержание работы: 1. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. 2. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ. 3. Составить программу и с ее помощью решить систему уравнений с точностью 4. Изменить 5. Составить отчет о проделанной работе. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Задание. 1. Аналитически решить СНУ вида: 2. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы (1) при начальном приближении 3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенный итерационный процесс. Решение. 1. Аналитическим решением СНУ (1) являются точки 2. Для построения рабочих формул МПИ для численного решения системы (1) необходимо вначале привести ее к виду: Для этого умножим первое уравнение системы (1) на неизвестную постоянную где где Неизвестные постоянные Запишем эти условия более подробно: Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 4 порядка с 4 неизвестными Для решения системы (6) необходимо вычислить частные производные Тогда СЛАУ (6) запишется так: Решением этой системы являются следующие значения: Для реализации на ЭВМ рабочие формулы можно переписать так: После несложных преобразований данные формулы примут вид: Заметим, что если частные производные Тогда СЛАУ (6) запишется так: Решением этой системы являются точки Для реализации на ЭВМ рабочие формулы можно переписать так: Итерационный процесс (7) можно начать, задав начальное приближение (2). Процесс (7) заканчивается при одновременном выполнении двух условий: 3. Для построения рабочих формул метода Ньютона в виде где необходимо: 1. Найти матрицу частных производных 2. Найти определитель этой матрицы: 3. Определить обратную матрицу: Проведя несложные преобразования получим рабочую формулу метода Ньютона (8) в виде: 3. Блок-схема МПИ и метода Ньютона для решения СНУ приведена на рисунке 1. Решение: в результате решения СНУ (1) при начальном приближении (2) методом простых итераций с точностью 4 Отчет о проделанной работе должен содержать: номер и название лабораторной работы; цель работы; содержание работы; задание на работу; теоретическую часть работы (вывод итерационных формул); листинг программы; таблицу результатов; выводы о проделанной работе. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1. Определить аналитическое(ие) решение(я) исходной системы нелинейных уравнений. 2. Построить итерационные формулы, реализующие процесс поиска одного из решений системы нелинейных уравнений методом простых итераций и методом Ньютона. 3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные итерационные процессы, используя алгоритм методов, приведенный на рисунке 1. Печать результатов должна осуществляться на каждом шаге итераций в виде следующей таблицы:
4. Провести вычислительные эксперименты. 5. Составить отчет о проделанной работе. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
127 Введение Развитие новой вычислительной техники привело к тому, что инженерная практика наших дней все чаще и чаще встречается с математическими задачами, точное решение которых получить весьма сложно или невозможно. В этих случаях обычно прибегают к тем или иным приближенным вычислениям. Вот почему приближенные и численные методы математического анализа получили за последние годы широкое развитие и приобрели исключительно важное значение. ЭВМ способна выполнять очень большое, но конечное число операций. По этой причине точные предельные процессы решения задач, связанные с бесконечным числом операций, при работе на ЭВМ должны быть заменены приближенными алгоритмами, содержащими лишь конечное число действий. Кроме того, ЭВМ обладает конечной памятью и может оперировать с числами только конечной длины, поэтому промежуточные результаты округляются, из-за этого даже точный метод с конечным числом действий становится приближенным. Высокая производительность ЭВМ существенным образом изменила подход к оценке того или иного вычислительного метода. Новые вычислительные средства вызвали переоценку известных методов решения задач с точки зрения целесообразности их реализации на ЭВМ и стимулировали создание более эффективных. Наиболее ценными становятся методы, которые являются наиболее универсальными и допускают простую реализацию на ЭВМ. Поэтому в последнее время большое распространение получили итерационные, разностные, вариационные, вероятностные и тому подобные методы решения задач, допускающие достаточно простую реализацию на ЭВМ и применимые к широкому кругу инженерных задач. При приближенном решении задач необходима оценка погрешности полученного результата. Приспособление какого-либо метода для работы на ЭВМ, когда используются вычисления с большим числом шагов, выдвинуло специфическую проблему устойчивости вычислительной схемы. Неизбежные погрешности округления могут быстро накапливаться, делая вычислительную схему неустойчивой и непригодной для практики. Допустимо использовать для решения задач только устойчивые вычислительные схемы, когда погрешности округлений взаимно компенсируются и вызываемая ими ошибка результата остается малой для всего процесса вычислений. Предметом изучения вычислительной математики являются численные методы решения задач математического анализа: изучение алгоритма метода, условий сходимости итерационных методов и границ применимости методов, исследования оценок погрешностей методов и вычислений. Главным разделом вычислительной математики является реализация численных методов на ЭВМ, т.е. составление программы для требуемого алгоритма и решения конкретной задачи с помощью составленной программы. Поэтому можно сказать: вычислительная математика это ЭВМ плюс численные методы. Любая прикладная задача формируется, исходя из определенного физического смысла некоторого процесса (распределение тепла в стержне, описание траектории движения объектов). Прикладная математическая задача может быть сформулирована, например, из описания некоторой экономической модели (задача распределения ресурсов, задача планирования производства, транспортная задача перевозки грузов, оптимальных в заданном смысле). Следовательно, для постановки любой прикладной задачи нужна математическая модель, поэтому можно выделить следующие этапы решения задач на ЭВМ: 1) описание математической модели задачи на основе физической или экономической модели; 2) изучение методов решения поставленной математической модели задачи и создание новых методов; 3) выбор метода решения задачи исходя из заданной точности решения и особенностей задачи; 4) составление блок-схемы программы для решения задачи на ЭВМ; 5) отладка программы и оценка полученных результатов. Подстановка решения в уравнение (например, при решении нелинейных уравнений и систем, при решении систем линейных алгебраических уравнений). Решение одной и той же задачи разными методами и решение задачи различными пользователями. Проверка соответствия решения математической и физической модели задачи. В случае несоответствия решений происходит возврат на более ранние этапы решения задачи; 6) решение задачи на ЭВМ, построение графиков, получение оценки погрешностей и обоснование результатов.
6 Глава 1. Учет ПОГРЕШНОСТЕй при ВЫЧИСЛЕНИях §1.1. Источники и классификация погрешностей При всевозможных расчетах, в том числе и на ЭВМ, всегда получается некоторое приближенное значение истинной величины. Отличие приближенного значения от истинного характеризует ошибку вычислений (погрешность). Ошибки появляются: 1) из-за неточностей в исходных данных. Данная погрешность является неустранимой, возникает при округлении ( 2) из-за использования итерационных методов для получения результата, где теоретически можно получить точное решение, совершая бесконечное число шагов вычислений. Так как число шагов ограничено искусственно, то в вычисления вносится погрешность; 3) из-за погрешностей самих методов. Существует следующая классификация погрешностей. 1. Погрешности задачи – погрешности, возникающие при постановке математической задачи. Математические модели задачи редко точно отображают реальные явления. При изучении тех или иных явлений природы принимают некоторые условия, которые упрощают задачу, но влекут появление погрешностей. 2. Погрешность метода – это погрешность, возникающая при замене точной задачи на близкую по результатам приближенную задачу. 3. Остаточная погрешность – погрешность, связанная с наличием бесконечных процессов в математическом анализе. 4. Начальная погрешность – это погрешность, связанная с наличием в формулах числовых параметров, значения которых могут быть определены лишь приближенно. 5. Погрешность округления – это погрешность, связанная с системой счисления. Например, 6. Погрешность действий – это погрешность, связанная с действиями над приближенными числами. При решении конкретной задачи те или иные погрешности иногда отсутствуют или влияние их ничтожно мало. Для полного анализа погрешностей следует учитывать все их виды. В предлагаемом курсе будут рассматриваться погрешности действий и погрешности методов. §1.2. Основные понятия и определения теории погрешностей Обозначим через Определение 1.1. Приближенным числом Если Если Определение 1.2. Погрешностью (ошибкой) Чтобы получить точное число Точное число Если Если Во многих случаях знак ошибки неизвестен, поэтому целесообразно пользоваться абсолютной погрешностью приближенного числа Определение 1.3. Абсолютной погрешностью приближенного числа Абсолютная погрешность недостаточна для характеристики точности измерения или вычисления. Определение 1.4. Относительной погрешностью приближенного числа
Следовательно, Как правило, число Определение 1.5. Предельной абсолютной погрешностью Определение 1.6. Предельной относительной погрешностью За предельную абсолютную погрешность числа §1.3. Значащая и верная цифра приближенной величины. Округление чисел Определение 1.7. Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он находится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Все остальные нули не являются значащими цифрами. Определение 1.8 (первое определение верной цифры). Верной цифрой приближенной величины называется такая цифра, если абсолютная погрешность не превосходит единицы разряда этой цифры. Например, Приближенные числа принято записывать так, чтобы они содержали только верные цифры. В технических таблицах допускается одна сомнительная цифра. Во всех математических таблицах содержатся только верные цифры, соответствующие второму более строгому определению верной цифры. Определение 1.9 (второе определение верной цифры). Если абсолютная погрешность приближенного числа Любое положительное число может быть представлено в виде Если Пример 1.1. Например, Пример 1.2. По первому определению: По второму определению: Пример 1.3. Округление чисел Чтобы округлить приближенное число 1) меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения; 2) больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляется единица; 3) равна 5 и среди остальных отброшенных есть неравные нулю, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу; 4) равна 5 и все остальные отброшенные цифры равны нулю, то последняя оставшаяся цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная (правило четной цифры). Пример 1.4. Округлить до а) = 3.14159266535; б) с) Теорема 1.1 (устанавливает связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа). Если положительное приближенное число Доказательство. Пусть Так как Правая часть достигает наименьшего значения при т.е. Следствие. За предельную относительную погрешность числа где §1.4. Погрешность алгебраической суммы Теорема 1.2. Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел. Доказательство. Пусть Очевидно, что Следовательно Следствие. За предельную абсолютную погрешность алгебраической суммы можно принять сумму предельных абсолютных погрешностей слагаемых: Правило сложения приближенных чисел Чтобы сложить числа различной абсолютной точности, следует: выделить числа, десятичная запись которых обрывается раньше других, и оставить их без изменения; остальные числа округлить по образцу выделенных, сохраняя один или два запасных десятичных знака; произвести сложение чисел, учитывая все сохраненные знаки; полученный результат округлить на один знак. Пример 1.5. Числа наименьшей точности: Подсчитаем погрешность: 1) сумма предельных погрешностей исходных данных: ![]() 3) =1+2+30.222+0.009+0.050=0.2810.3. Поэтому в качестве абсолютной погрешности следует взять значение
Доказательство. Пусть Рассмотрим сумму приближенных Так как Пусть т.е. §1.5. Погрешность произведения и частного Теорема 1.4. Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел. Доказательство: Пусть Рассмотрим произведение Так как Так как Тогда Замечание. Соотношение
Следствие 2. При умножении приближенного числа Пусть
Погрешность частного Теорема 1.5. Относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя, т.е. Доказательство. Пусть Следовательно, Следствие. Если §1.6. Погрешность степени и корня Погрешность степени Теорема 1.6. Предельная относительная погрешность Доказательство. Пусть Погрешность корня Теорема 1.7. Предельная относительная погрешность корня Доказательство. Пусть §1.7. Погрешность функции Рассмотрим частный случай функции одной переменной. Пусть функция Таким образом, абсолютная погрешность функции пропорциональна абсолютной погрешности аргумента с коэффициентом пропорциональности Пример 1.6. Пусть задана функция Пусть требуется определить относительную погрешность Обобщим сделанные выкладки на случай функции многих переменных. Пусть Если Следовательно, Тогда где Окончательно получим §1.8. Обратная задача теории погрешностей Встречаются задачи, когда нужно определить абсолютные погрешности аргумента функции, чтобы абсолютная погрешность самой функции Предполагается, что частные дифференциалы Так как и тогда
Замечание 1. Если требуется получить результат с 1) с какой точностью должны быть заданы исходные данные, чтобы получить заданную точность результатов вычислений; 2) с какой точностью получен результат вычислений, если известны погрешности исходных данных. Замечание 2. Если в исходных данных есть ошибка, то в результате вычислений она распространится на все действия и накопится в результате погрешностей округлений и вычислений и в силу ограниченности разрядной сетки ЭВМ.
Из таблицы видно, что особенно эта ошибка распространяется, если используются конечные разности. ГЛАВА 5. Методы приближения ФУНКЦИЙ. §5.1. Постановка задачи аппроксимации и интерполяции функций. В вычислительной математике нередки случаи, когда одну функцию приходится заменять другой, более простой и удобной для дальнейшей работы. Такую задачу называют аппроксимацией функции. Поводом для аппроксимации функции может послужить, в частности, табличный способ ее задания. Предположим, что в результате некоторого эксперимента для конечного набора значений получен набор значений Повод для аппроксимации может возникнуть даже тогда, когда аналитическое выражение некоторой функции Другая ситуация, когда может потребоваться аппроксимация аналитически заданной функции – дифференцирование функции, вычисление определенных и неопределенных интегралов. Если аналитическое выражение функции достаточно сложное, то поставленная задача трудно выполнима, а иногда и невыполнима с помощью элементарных приемов. Например, интеграл Классический подход к численному решению подобных задач заключается в том, чтобы, опираясь на информацию о функции Для оценки «близости» функций выбирают тот или иной критерий согласия. Эти критерии основаны на использовании той или иной метрики, т.е. способа введения расстояния между функциями, принадлежащими тому или иному классу: Часто процедура аппроксимации связана с другим критерием согласия: Применяемый на его основе способ аппроксимации получил название метода наименьших квадратов. Для функций, заданных таблично, достаточно распространенным критерием согласия является критерий Чебышева, который определяет расстояние Если Задача интерполирования состоит в следующем. На отрезке Необходимо построить функцию Геометрически это означает, что нужно найти кривую В такой общей постановке задача может иметь бесконечное множество решений или совсем их не иметь. Сформулированная задача становится однозначной, если вместо произвольной функции Полученную интерполяционную функцию Различают интерполирование в узком смысле, т.е. когда §5.2. Конечные разности. Обобщенная степень. Пусть задана функция называется первой конечной разностью функции Например: Символ Легко проверить основные свойства оператора 1) 2) 3) Из формулы (5.3) имеем: Отсюда, рассматривая Из формулы (5.4): и т.д. Окончательно получим: В дальнейшем нам понадобится понятие обобщенной степени. Определение. Обобщенной где Полагают, что Вычислим конечные разности для обобщенной степени, полагая то есть Для второй конечной разности:
то есть Аналогично,
и так далее. Окончательно будем иметь: §5.3. Первая интерполяционная формула Ньютона. Пусть для функции Условия (5.13) эквивалентны тому, что Будем искать полином в виде Используя понятие обобщенной степени, запишем выражение (5.15) в виде: Чтобы полином был определен, нужно найти коэффициенты Чтобы найти коэффициент
Полагая
откуда Для определения коэффициента
Положив
откуда Продолжая процесс, получим: причем Подставляя найденные значения коэффициентов Этот полином полностью удовлетворяет требованиям поставленной задачи. Действительно, степень полинома Для практического использования первую интерполяционную формулу Ньютона записывают в несколько преобразованном виде. Для этого введем новую переменную Тогда Подставляя (5.23) в (5.21), получим окончательный вид первой интерполяционной формулы Ньютона: Если в формуле (5.24) положить При Первую интерполяционную формулу Ньютона используют для интерполирования функции в окрестности начальной точки Остаточный член первой интерполяционной формулы Ньютона: где Учитывая, что
В этом случае соотношение (5.27) примет вид: §5.4. Вторая интерполяционная формула Ньютона. Вторая интерполяционная формула Ньютона применяется для интерполирования в окрестности конечного значения Пусть для функции Используя обобщенную степень, получим: Найдем коэффициенты Полагая Чтобы найти коэффициент
Полагая
Отсюда Из второй конечной разности при
Следовательно, Продолжая дальнейшее вычисление конечных разностей, получим: Подставляя найденные значения коэффициентов Введем новую переменную тогда С учетом (5.38) вторая интерполяционная формула Ньютона примет вид: Остаточный член второй интерполяционной формулы Ньютона: где §5.5. Интерполяционная формула Лагранжа. Пусть на отрезке Таблица 5.1.
Установим зависимость Построим многочлен Лагранж предложил строить многочлен Здесь в каждом слагаемом отсутствует скобка Найдем неизвестные коэффициенты При Следовательно, коэффициент
При Следовательно, коэффициент
Таким образом, коэффициенты
С учетом найденных коэффициентов интерполяционный полином Лагранжа запишется в виде Для интерполяционной формулы Лагранжа справедлива оценка погрешности: где Пример 5.1. По заданной системе точек Таблица 5.2.
построить интерполяционный многочлен Лагранжа второго порядка вида:
Коэффициенты этого многочлена будут вычислены по следующим формулам: Тогда многочлен Лагранжа второго порядка будет иметь вид: Учитывая, что таблица приведена для функции Погрешность вычислений равна Н Рис.5.1. Если таблица 5.1, для которой построена формула Лагранжа, задана для равноотстоящих узлов С учетом введенных обозначений формула Лагранжа запишется так: Запишем формулу Лагранжа в случае, если Получили формулу линейной интерполяции (5.25): Здесь При Здесь
Эта формула называется первой интерполяционной формулой Ньютона (сравните с формулой (5.24)). Для нее справедлива оценка остаточного члена (5.27) и (5.28). Если обозначить через Тогда формула (5.43) примет вид:
Эта формула называется второй интерполяционной формулой Ньютона (сравните с формулой (5.39)). Для нее справедлива оценка остаточного члена (5.40). §5.6. Метод наименьших квадратов для обработки результатов экспериментов. Данный метод относится к классу аппроксимационных методов. Идея метода состоит в том, чтобы по данным эксперимента построить приближенно функцию, отображающую зависимость ее от Используем для построения результаты эксперимента: Таблица 5.3
Построить многочлен, значит, определить его коэффициенты Используя вид Необходимыми условиями экстремума функции Запишем систему для определения Решим систему одним из известных методов и найдем коэффициенты Запишем алгоритм метода наименьших квадратов. Ввести таблицу чисел Вычислить Решить любым известным методом полученную систему линейных алгебраических уравнений и получить коэффициенты искомого многочлена Пример 5.2. По заданной системе точек (см. Табл.5.3) из примера 5.1 построить аппроксимационные многочлены первого Для построения полинома первого порядка необходимо вычислить следующие суммы
и решить СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов Значения неизвестных коэффициентов равны: Тогда искомый многочлен первого порядка будет иметь вид:
Погрешность вычислений по данной формуле в контрольной точке
Для построения многочлена второго порядка дополнительно необходимо вычислить следующие суммы
и решить СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов Значения неизвестных коэффициентов равны:
Тогда искомый многочлен второго порядка будет иметь вид:
На рисунке 5.2 приведены графики искомых полиномов и табличной функции. Погрешность вычислений по данной формуле в контрольной точке равна:
Рис.5.2. §5.7. Обработка экспериментальных данных некоторыми другими функциями. Во многих случаях экспериментальные данные могут быть аппроксимированы не только полиномами различных порядков. Это обусловлено физическими, экономическими и другими законами исследуемых процессов, а также опытом испытателя. Если, например, испытатель уверен, что параметры какого-либо прибора, снятые с испытательного стенда, по своим физическим характеристикам являются близкими к экспоненциальным, то нет смысла аппроксимировать их полиномами. Также экспериментальные данные могут быть аппроксимированы показательными, логарифмическими, тригонометрическими и другими функциями. В качестве примера рассмотрим аппроксимацию экспериментальных данных, приведенных в таблице 5.3, экспоненциальной функцией Сформулированную задачу будем решать методом наименьших квадратов. Функция Расписав необходимые условия экстремума этой функции по переменным Решая эту систему любым известным методом, определим коэффициенты экспоненциальной функции Пример 5.3. По заданной в таблице 5.4 системе точек Таблица 5.4.
методом наименьших квадратов построить аппроксимационную экспоненциальную функцию вида: Для построения необходимо вычислить следующее суммы: и решить СЛАУ второго порядка относительно неизвестных коэффициентов Значения неизвестных коэффициентов равны: Тогда искомая экспоненциальная функция будет иметь вид: График функции Рис.5.3.
69 ГЛАВА 4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида Вводя в рассмотрение матрицы систему (4.1) можно записать в виде матричного уравнения Для решения систем линейных алгебраических уравнений существуют точные методы: метод Гаусса, с помощью обратной матрицы (матричный метод), по формулам Крамера. Однако, при большом числе неизвестных применение точных методов решения затруднено. В этом случае для нахождения корней системы (4.1) целесообразнее пользоваться приближенными (численными) методами, которые и будут рассмотрены в данной главе. §4.1. Метод простых итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений вида (4.1). Предположим, что диагональные элементы матрицы где коэффициенты Введем обозначения: Тогда система (4.4) примет вид: Систему (4.6) будем решать методом последовательных приближений. Выбираем начальное приближение Если последовательность приближений Получили Теорема 4.1 (достаточное условие сходимости итерационного процесса). Если для приведенной системы а) б) то процесс итерации, заданный формулой В частности процесс итерации заведомо сходится, если элементы Следствие. Для исходной системы (4.1) итерационный процесс сходится, если выполнены неравенства Теорема 4.2 (необходимое и достаточное условие сходимости процесса итерации для системы линейных уравнений). Для сходимости процесса итераций Приведение исходной системы к виду, удобному для применения сходящегося итерационного процесса. Теорема сходимости итерационного процесса накладывает жесткие условия на коэффициенты системы (4.3). Однако, если Умножим левую и правую часть соотношения (4.3) слева на матрицу Проведем преобразования: Если обозначить Если элементы матрицы Итерационный процесс заканчивается, если для двух приближений §4.2. Метод Зейделя. М Предполагая, что Теорема 4.3 (достаточное условие сходимости метода Зейделя). Если для приведенной системы 1) 2) 3) то процесс Зейделя сходится к единственному решению системы при любом выборе начального вектора. Запишем систему (4.8) в сокращенном виде: Введем обозначения: Тогда формулу (4.9) можем переписать в матричном виде: где Теорема 4.4 (необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя). Для сходимости процесса Зейделя, заданного формулой (4.9), для приведенной системы линейных уравнений (4.4) при любом выборе свободного члена Пример 4.1. Построить рабочие формулы метода простых итераций и метода Зейделя для численного решения СЛАУ вида: ![]() ![]() Начальное приближение обычно выбирают равным столбцу свободных членов преобразованной системы Рабочие формулы метода Зейделя запишутся так: §4.3. Метод релаксации. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (4.1) в которой Сделаем преобразования: свободные члены перенесем в левую часть и каждое где Введем понятие невязки для приближенного решения Пусть дана система Введем обозначение Пусть задано начальное приближение системы (4.12): Подставим данное приближение в систему (4.12) и получим невязки Если одной из неизвестных Метод релаксации (метод ослабления) заключается в том, что на каждом шаге обращают в нуль максимальную по модулю невязку путем изменения значения соответствующей компоненты приближения. Процесс заканчивается, когда все невязки последней преобразованной системы будут равны нулю с заданной точностью. Пример 4.2. Решить систему методом релаксации, производя вычисления с двумя десятичными знаками. Решение. Приведем систему (4.14) к виду, удобному для релаксации В качестве начального приближения выбираем Находим соответствующие невязки: Опять выбираем максимальную невязку и полагаем Далее Окончательно получим:
52 ГЛАВА 3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Определение 3.1. Системами нелинейных уравнений (СНУ) называются системы вида: где хотя бы одна из функций Решение систем нелинейных уравнений является в общем случае задачей более сложной, чем решение одного нелинейного уравнения. Не существует методов, которые гарантировали бы успех решения любой такой задачи. Как и для отдельных уравнений, наибольшую проблему представляет задача отделения решений (корней). Для системы нелинейных уравнений с Для отделения корней общих методов, гарантирующих успех, не существует. В реальных задачах, являющихся этапами моделирования, исследователь обычно догадывается, где примерно находятся корни системы. Описанные ниже приемы исходят из того, что задача отделения корней решена и имеется достаточно малая область Наиболее распространенными методами уточнения решения являются метод простых итераций, метод Ньютона и его модификация. §3.1. Метод простых итераций для решения систем нелинейных уравнений. От исходной системы (3.1) путем элементарных преобразований переходим к эквивалентной системе вида: Итерационный процесс, определяемый формулами можно начать, задав начальное приближение Достаточным условием сходимости итерационного процесса является выполнение одного из двух условий: или Распишем первое условие: … Распишем второе условие: … Рассмотрим один из способов приведения системы (3.1) к виду (3.2), допускающему сходящийся итерационный процесс. Пусть задана система второго порядка вида: Требуется привести ее к виду: Умножим первое уравнение системы (3.3) на неизвестную постоянную где Далее, умножим первое уравнение системы (3.3) на неизвестную постоянную где Неизвестные постоянные Запишем эти условия более подробно: Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему, состоящую из четырех линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными При таком выборе параметров условия сходимости будут выполнены, если частные производные функций Метод простых итераций является самоисправляющимся, универсальным и простым для реализации на ЭВМ. Если система имеет большой порядок, то применение данного метода, имеющего медленную скорость сходимости, не рекомендуется. В этом случае, используют метод Ньютона, который имеет более высокую скорость сходимости. Пример 3.1. Построить рабочие формулы метода простых итераций для численного решения СНУ вида: при начальном приближении Заметим, что аналитическим решением СНУ (3.7) являются точки Для построения рабочих формул метода простых итераций для численного решения системы необходимо решить СЛАУ (3.6). Для ее решения необходимо вычислить частные производные Тогда СЛАУ (3.6) запишется так: Решением этой системы являются Для реализации на ЭВМ рабочие формулы можно переписать так: §3.2. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. Пусть требуется решить систему нелинейных уравнений с действительными левыми частями вида (3.1): Введем обозначения. Совокупность аргументов Для решения системы (3.9) будем использовать метод последовательных приближений. Предположим, что найдено где Подставляя (3.10) в (3.9), получим: Предположим, что функция где Система (3.12) представляет собой линейную систему относительно правок Если матрица Следовательно, Соотношение (3.15) является итерационной формулой метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. Если начальное приближение Недостатки метода Ньютона: нахождение обратной матрицы возможность выхода приближения Модифицированный метод Ньютона решает первую задачу. Если матрица Формула (3.16) является рабочей формулой модифицированного метода Ньютона. Достоинством данного метода является то, что обратная матрица вычисляется один раз. Но ответа на второй вопрос модифицированный метод Ньютона не дает. Сходимость модифицированного процесса (метода) Ньютона исследовалась Л.В. Канторовичем [8]. Пример 3.2. Построить рабочие формулы метода Ньютона для численного решения СНУ (3.7) при начальном приближении (3.8). Для нахождения обратной матрицы в формуле (3.15) необходимо: 1. Найти матрицу частных производных 2. Найти определитель этой матрицы: 3. Определить обратную матрицу: Проведя несложные преобразования с матрицами, получим рабочую формулу метода Ньютона (3.15) в виде:
43 Глава 2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ §2.1. Основные этапы решения нелинейных уравнений Определение 2.1. Нелинейным уравнением называется уравнение вида где нелинейная алгебраическая функция (полином или многочлен) трансцендентная функция – тригонометрическая, обратная тригонометрическая, логарифмическая, показательная, гиперболическая функция; комбинирование этих функций, например Определение 2.2. Решением нелинейного уравнения (2.1) называется такое значение На практике не всегда удается найти точное решение. В этом случае решение уравнения (2.1) находят с применением приближенных (численных) методов. Определение 2.3. Приближенным решением нелинейного уравнения (2.1) называется такое значение Нахождение приближенных решений составляет основу численных методов и вычислительной математики. Решение нелинейных уравнений распадается на два этапа: отделение корней уравнений и уточнение корней нелинейных уравнений. Н Первый способ отделения корней – графический. Данный метод позволяет определить количество корней на отрезке, но не единственность корня. Если П П Пример 2.3. Для нелинейного уравнения вида Второй способ отделения корней нелинейных уравнений – аналитический. Процесс отделения корней здесь основывается на следующих теоремах. Теорема 2.1. Если функция Теорема 2.2. Если функция Теорема 2.3. Если функция При аналитическом методе исследований необходимо выявить интервалы монотонности функции Наиболее распространенными методами уточнения корня на отрезке являются итерационные (приближенные) методы: метод половинного деления (метод дихотомии), метод простых итераций, метод Ньютона (метод касательных) и его модификация. §2.2. Метод половинного деления Для уточнения корня нелинейного уравнения (2.1) на отрезке и длины этих отрезков равны Последовательность Тогда §2.3. Метод простых итераций Пусть известно, что нелинейное уравнение Выберем произвольно приближенное значение корня (начальное приближение) Продолжая процесс вычислений дальше, получим числовую последовательность Таким образом, корень можно вычислить с заданной точностью по следующей итерационной формуле Геометрическая интерпретация метода простых итераций Г Начиная процесс с некоторой точки В О Достаточное условие, при котором итерационный процесс, заданный формулой (2.5), сходится, определяет следующая теорема. Теорема 2.4. Пусть функция тогда процесс итераций, определяемый формулой (2.5), сходится независимо от выбора начального приближения Доказательство. Рассмотрим два последовательных приближения
где точка Придавая значения … Рассмотрим ряд для частичных сумм которого выполняется соотношение Сравним два ряда: В силу соотношений (2.8) члены ряда (2.10) не превышают соответствующих членов ряда (2.11), которые являются членами геометрической прогрессии со знаменателем причем Переходя к пределу в равенстве (2.5), в силу непрерывности функции Следовательно, Докажем, что этот корень единственный. Предположим, что на отрезке
где Точка Приведение нелинейного уравнения ![]() ![]() Выполнения достаточного условия сходимости можно добиться путем перехода от исходного уравнения 1) 2) Оценка приближения Из формулы (2.8) имеем: Устремляя Отсюда видно, что чем меньше Для оценки приближения можно использовать и другую формулу. Пусть где
Используя формулу (2.7), получим: Если Условия окончания итерационного процесса Процесс итераций заканчивается при одновременном выполнении двух условий: если два последующих приближения отличаются между собой по модулю на величину, не превышающую заданной точности мера удовлетворения уравнению (2.1) последнего приближения корня: Метод простых итераций имеет два достоинства: является универсальным, простым для реализации на ЭВМ и самоисправляющимся, т.е. любая неточность на каком - либо шаге итераций не отразится на конечном результате, а отразится лишь на количестве итераций. Подобные ошибки устойчивы даже по отношению к грубым ошибкам (сбоям ЭВМ), если только ошибка не выбрасывает очередное приближение за пределы области сходимости; позволяет достигнуть любой заданной точности при любом начальном приближении Недостатки метода: трудоемкость процесса приведения уравнения (2.1) к виду (2.4); если начальное приближение Пример 2.4. Доказать графическим и аналитическим методами существование единственного корня нелинейного уравнения на отрезке 1. Докажем графическим методом единственность корня нелинейного уравнения (2.14). Из графика функции Д 2. Для построения рабочей формулы перепишем уравнение (2.14) в виде: Итерационный процесс (2.15) можно начать, задав произвольное начальное приближение §2.4. Метод Ньютона (метод касательных) Пусть известно, что нелинейное уравнение Пусть По формуле Тейлора получим Следовательно, Внося эту правку в формулу (2.16), получим рабочую формулу метода Ньютона вида: Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой Д Составим уравнение касательной в точке
Полагая
Если в качестве начального приближения взять другой конец отрезка Теорема 2.5. Если Доказательство. Пусть для определенности Из неравенства Докажем, что все приближения Доказательство проведем методом индукции: а) б) предположим, что с) докажем, что Точное решение уравнения (2.1) можно представить в виде
Применяя формулу Тейлора, получим: где Так как по условию теоремы
Отсюда, в силу того, что
Таким образом доказали, что все последовательные приближения Из соотношения (2.17), учитывая знаки
т.е. Вывод: в методе Ньютона в качестве начального приближения Замечание. Чем больше числовое значение Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, если считать Если выполнено условие (2.20), то итерационный процесс, заданный формулой (2.17), будет сходиться при произвольном выборе начального приближения Достоинства метода Ньютона: обладает достаточно большой скоростью сходимости, близкой к квадратичной; достаточно простое получение итерационной формулы (2.17). Недостатки метода Ньютона: сходится не при любом выборе начального приближения применим только, когда §2.5. Модифицированный метод Ньютона Если производная В Пример 2.5. Запишем рабочие формулы метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона для нелинейного уравнения из примера 2.4. В качестве начального приближения Рабочая формула модифицированного метода Ньютона (2.21) для данной задачи запишется в виде: §2.6. Непрерывные схемы решения нелинейных уравнений Итерационные методы решения нелинейного уравнения (2.1) можно разбить на две группы: дискретные схемы решения; непрерывные схемы решения. Дискретные схемы решения были рассмотрены в §§2.2-2.5. Заметим, что основными недостатками перечисленных методов являются: зависимость от начальных условий или от интервала нахождения корня; сравнительно низкая скорость сходимости; нет правил перехода от корня к корню уравнения (2.1) в случае, если их несколько. При применении непрерывных схем для решения уравнения (2.1) [11] процесс нахождения корней осуществляется путем решения соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения Пусть функция если этот предел существует. Обозначим через Разлагая Видим, что условием сходимости Непрерывные схемы решения обладают более высокой скоростью сходимости и более высокой точностью решения по сравнению с соответствующими дискретными схемами. Но проблема зависимости от начальных условий и отсутствие правил перехода от корня к корню в случае, когда уравнение (2.1) имеет более одного решения, остается открытой. Как видно из дифференциального уравнения (2.23) и уравнения (2.1), левая часть последнего заменяется производной Перепишем уравнение (2.1) в виде где Переход от задачи (2.1) к задаче (2.27) теоретически обоснован, так как интегральные кривые, являющиеся решением уравнения с малым параметром (2.27), проходят через все решения уравнения (2.1). Задачу нахождения корней этого уравнения непрерывным сингулярным аналогом метода простых итераций можно рассматривать как предел при если этот предел существует. Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям, приведенным выше, получим, что решение уравнения (2.27) в точке При этом, в силу того, что Полученная модификация классических схем решения не зависит от начальных условий и обладает более высокой точностью решения. Для доказательства более быстрой скорости сходимости предположим, что применение итерационных методов никогда не дает точного решения и введем точность решения Из соотношений видно, что ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Цель работы: научиться решать нелинейные уравнения методом простых итераций, методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона с помощью ЭВМ. Содержание работы: 1. Изучить метод простых итераций, метод Ньютона и модифицированный метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. 2. На конкретном примере усвоить порядок решения нелинейных уравнений с помощью ЭВМ указанными методами. 3. Составить программу (программы) на любом языке программирования и с ее помощью решить уравнение с точностью 4. Изменить 5. Составить отчет о проделанной работе. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Задание. 1. Доказать графическим и аналитическим методами существование единственного корня нелинейного уравнения на отрезке 2. Построить рабочие формулы метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона, реализующие процесс поиска корня нелинейного уравнения (1) на указанном отрезке. 3. Составить программу (программы) на любом языке программирования, реализующие построенные итерационные процессы. Решение. 1. Докажем графическим методом единственность корня нелинейного уравнения (1). Из графика функции Р Аналитический метод. Функция 2. Метод простых итераций. Построим функцию
Если производная
Итерационный процесс (3) можно начать, задав произвольное начальное приближение
В этом случае значение Метод Ньютона. В качестве начального приближения
Заметим, что в точке
Условия выхода итерационного процесса (6) аналогичны условиям (4) метода простых итераций. Модифицированный метод Ньютона. Начальное приближение
Условия выхода итерационного процесса (7) аналогичны условиям (4) метода простых итераций. Замечание: для того, чтобы сделать вывод о скорости сходимости методов, необходимо в каждом методе выбирать одинаковое начальное приближение. 3 Ниже в качестве примера приведены программы на языках программирования Паскаль и С, реализующие итерационный процесс метода простых итераций. ПРИМЕР ПРОГРАММЫ НА ЯЗЫКЕ ПАСКАЛЬ Program Pr_iter; Uses Crt; var n:integer; x0,x,eps,d,y,z,c:real; begin clrscr; n:=0;x0:=-1;c:=-0.1;x:=x0;eps:=0.001;d:=0.01; repeat y:=x+c*(exp(x)+x); z:=x; writeln(n:3,x:9:5,y:9:5,abs(y-x):9:5,abs(exp(y)+y):9:5); x:=y; n:=n+1; until (abs(z-x)<=eps) and (abs(exp(x)+x)<=d); end. ПРИМЕР ПРОГРАММЫ НА ЯЗЫКЕ С #include <stdio.h> #include <math.h> main() { int n=0; float x,y,z,x0=-1,c=-0.1,eps=0.001;d=0.01; x=x0; clrscr(); do { y=x+c*(exp(x)+x);z=x; printf(“%d %.4f %.4f %.4f %.4f\n”,n++,x,y,fabs(y-x), fabs(exp(y)+y)); x=y; } while(fabs(z-x)>e || fabs(exp(x)+x)>d; getch(); } Решение: в результате решения нелинейного уравнения (1) на указанном отрезке тремя методами при начальном приближении 4. Содержание отчета. Отчет о проделанной работе должен содержать: номер и название лабораторной работы; цель работы; содержание работы; задание на работу; теоретическую часть работы (вывод итерационных формул); листинг(и) программ(ы); таблицы результатов (в случае, если число итераций в таблице достаточно большое, в отчет занести две первых и две последних итерации); выводы о проделанной работе. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1. Определить количество корней исходного нелинейного уравнения графическим методом и построить график (пример приведен на рисунке 2). 2. Доказать аналитическим методом единственность корня исходного нелинейного уравнения на указанном отрезке. 3. Записать итерационные формулы, реализующие процесс поиска корня на отрезке методом простых итераций, методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона. 4. Составить программу(ы) на любом языке программирования, реализующую(ие) построенные итерационные процессы, используя алгоритм методов, приведенный на рисунке. Печать результатов должна осуществляться на каждом шаге итераций в виде следующей таблицы:
5. Провести вычислительные эксперименты. 6. Сделать выводы. 7. Составить отчет о проделанной работе. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
120 |