Реферат: работа параметры в школьном курсе математики

Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. Трудности при решении задач с параметрами обусловлены тем, что наличие параметра заставляет решать задачу не по шаблону, а рассматривать различные случаи, при каждом из которых методы решения существенно отличаются друг от друга.

В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для старшеклассников по теме: «Решение задач с параметрами».

Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

При проведении занятий на первое место выходят следующие формы организации работы: лекционно-семинарская, групповая и индивидуальная. Рекомендуемые методы работы: исследовательский и частично-поисковый. Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

Задачи курса

1. Сформировать у учащихся устойчивый интерес к предмету;

2. Выявить и развить математические способности;

3. Подготовить к ЕГЭ и к обучению в вузе

Цель курса

1. Формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами, сводящихся к исследованию линейных и квадратных уравнений, неравенств для подготовки к ЕГЭ и к обучению в вузе.

2. Изучение курса предполагает формирование у учащегося интереса к предмету, развитие их математических способностей, подготовку к ЕГЭ, централизованному тестированию и к вступительным экзаменам в вузы

3. Развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащегося.

4. Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.

В результате изучения курса учащиеся должны

1. Усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств систем уравнений с параметрами.

2. Применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр.

3. Проводить полное обоснование при решении задач с параметрами.

4. Овладеть навыками исследовательской деятельности.

Структура курса планирования учебного материала

Темы:

I. Первоначальные сведения. 2ч

II. Решения линейных уравнений, содержащих параметры. 2ч

III. Решения линейных неравенств, содержащих параметры. 2ч

IV. Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметры. 7ч

V. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами. 4ч

VI. Тригонометрия и параметры. 2ч
Иррациональные уравнения. 2ч

VII. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметры.
Рациональные уравнения. 2ч

VIII. Производная и ее применения. 4ч
Графические приемы решения. 2ч

IX. Нестандартные задачи с параметрами. 6ч

- количество решений уравнений;

- уравнения и неравенства с параметрами с некоторыми условиями

X. Текстовые задачи с использованием параметра. 4 ч

Краткое содержание курса

I. Первоначальные сведения.

Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр.
Основные приемы решения задач с параметрам.
Решение простейших уравнений с параметрами.

Цель: Дать первоначальное представление учащемуся о параметре и помочь привыкнуть к параметру, рассмотреть понятие «параметр», его существенный признак и двойственная природа, особенности записи ответов при решении заданий с параметром.

Примерное содержание .

Решить уравнение с параметром - это значит найти все те и только те значения параметра, при которых задача имеет решения.

Условимся считать, что параметры в уравнениях принимают действительные значения, в задачах с параметрами отыскиваются действительные решения.

Другими примерами равенств с параметрами могут служить общие виды функций, изучаемых в основной школе.

- линейная функция y=k x+b , (k , b - параметры, x, y- переменные);

- квадратичная функция y= a x²+b x+c , где а ≠0 (a , b , c -параметры, x, y -переменные).

Задачи с параметрами мы встречаем и в геометрии. Уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид , где x, y- координаты точек - переменные, r- радиус окружности – параметр.

Моделируя различного вида задачи, можно получить различного вида уравнения, для которых нужно уметь выбирать ответы.

II. Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр.

Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр.
Решение уравнений, приводимых к линейным.
Решение линейно-кусочных уравнений.
Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр.
Геометрическая интерпретация.
Решение системных уравнений.

Цель: Поиск решения линейных уравнений в общем, виде; исследование количества корней в зависимости от значений параметра.

Примерное содержание.

1. Алгоритм решения уравнений вида Ах=В.

Решением является любое действительное число	При А=0 и В=0
Нет решений	При А=0,
Единственное решение	При

2. Рассмотреть примеры.

ПРИМЕР 1: Решить уравнение:

Решение.

Приведём данное уравнение к виду Ах=В и воспользуемся алгоритмом.

Рассмотрим случаи:

Если т.е. и , то обе части уравнения разделим на . Получим , сократим дробь и получим единственное решение уравнения: .

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим или - неверное числовое равенство, следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим или - верное числовое равенство, следовательно, решением данного уравнения является любое действительное число.

Ответ: при и - единственное решение уравнения:

при - нет решений

при - любое действительное число.

ПРИМЕР 2: Решить уравнение:

Решение.

Приведём данное уравнение к виду Ах=В и воспользуемся алгоритмом.

Рассмотрим случаи:

Если т.е. и , тогда получим единственное решение уравнения: .

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим Решение этого уравнения зависит от выражения, стоящего в правой части. Рассмотрим случаи: а) 2в – 1 = 0, т.е. то подставив это значение параметра в уравнение, получим - верное числовое равенство, следовательно, решением данного уравнения является любое действительное число.

в) , т.е. то подставив это значение параметра в

уравнение, получим или - неверное числовое равенство,

следовательно, данное уравнение решений не имеет.

3. Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим

Решение этого уравнения зависит от выражения, стоящего в правой

части.

Рассмотрим случаи: а) 4 – а = 0, т.е. то подставив это значение параметра в

уравнение, получим - верное числовое равенство, следовательно,

решением данного уравнения является любое действительное число.

в) , т.е. то подставив это значение параметра в

уравнение, получим или - неверное числовое равенство,

следовательно, данное уравнение решений не имеет.

4. Если и , то подставив эти значения параметров в уравнение, получим

- неверное числовое равенство, следовательно, данное уравнение решений

не имеет.

Ответ: при и - единственное решение уравнения:

при , или , - любое действительное число

при , или , - нет решений.

III. Решение линейных неравенств, содержащих параметр.

Определение линейного неравенства.
Алгоритм решения неравенств.
Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами.
Исследование полученного ответа.
Обработка результатов, полученных при решении.

Цель: Выработать навыки решения стандартных неравенств и приводимых к ним, углубленное изучение методов решения линейных неравенств.

Примерное содержание .

1.На доске записаны следующие неравенства:

а)

б)

в)

Задание. Решите неравенства и запишите ответ.

2.Сформулируйте свойства неравенств, которые использованы при решении.

Неравенства вида axb axb, где a и b действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестное, называются линейными неравенствами.

В зависимости от коэффициентов a и b решением линейного неравенства может быть либо неограниченный промежуток, либо числовая прямая, либо пустое множество.

3.. Решение линейных неравенств вида aх>b.

если a>0, то .

если a<0, то .

если a=0 и b<0, то .

Если a=0 и b0, то решений нет.

Пример 1. Решите неравенство ах>1.

1) если a>0, то

2) если a<0, то

3) если a=0, то решений нет.

4. Решение линейных неравенств вида aх<b.

если a>0, то .

если a<0, то .

если a=0 и b>0, то .

если a=0 и b0, то решений нет.

Пример 2 . Решите неравенство ах<5.

1) если a>0, то

2) если a<0, то

3) если a=0, то .

5. Решение линейных неравенств вида axb.

если a>0, то .

если a<0, то .

если a=0 и b0, то .

если a=0 и b>0, то решений нет.

Пример 3. Решите неравенство ax4.

1) если a>0, то

2) если a<0, то

3) если a=0, то решений нет.

6. Решение линейных неравенств вида ax b

если a>0, то .

если a<0, то .

если a=0 и b 0, то .

если a=0 и b<0, то решений нет.

Пример 4. Решите неравенство ах 6.

1) если a>0, то ;

2) если a<0, то ;

3) если a=0, то .

7. Решить неравенства.

(m-1)x<5m

если m-1>0, т.е. m>1, то ,

2 если m-1<0, т.е. m<1, то ,

3. если m-1=0, т.е. m=1, то .

(a-1)x>6

если a-1>0, т.е. a>1, то ,

2. если a-1<0, т.е. a<1, то ,

3. если a-1=0, т.е. а=1, то решений нет.

При каких значениях параметра b уравнение имеет положительный корень?

Решение.

Так как корень х>0, то 0,8 b+14>0; 0,8 b>-14; b>-1,75.

Ответ: при b>-1,75

IV. Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметр.

Актуализация знаний о квадратном уравнении. Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета. Исследование трехчлена.
Алгоритм решения уравнений.
Аналитический способ решения.
Графический способ.
Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования.

Цель: Формировать умение и навыки решения квадратных уравнений с параметрами.

Примерное содержание.

1.Повторить

Теорему Виета.

Тождество

Свойства функций и

При каких значениях a, b, c и Д корни квадратного уравнения одного или разных знаков.

5. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена.

2.Решить уравнения: 1)a x² + 2x + 4=0,

2)(a + 3)x²+2x(a +5)+2a +7=0.

Ответ: 1) x=-2 при а= 0; х=-4 при а =1/4; при ; не имеет корней при а >1/4 .2) х=-1/4 при а =-3; х=1, х=-3/2

при а =-4,а =1; при ; не имеет корней при .

V. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.

Область значений функции.
Область определения функции.
Монотонность. Координаты вершины параболы.

Цель: Познакомить с многообразием задач с параметрами.

Примерное содержание.

Квадратичная функция задаётся формулой y=a x²+b x+c , гдепараметры, x и y- переменные. Графиком квадратичной функции является парабола.

Коэффициент a определяет направление ветвей параболы. Если а >0 , то они направлены вверх, если а <0, то направлены вниз. Дискриминант квадратного трёхчлена D=b²-4ac определяет наличие и количество общих точек с осью Ох. Если D <0, то парабола не пересекает ось абсцисс. Если D =0, то парабола и ось имеют одну общую точку. Если D >0, то общих точек две.

Графический способ решения задач с параметрами является универсальным, а значит (обратная сторона любой универсальности), есть конкретные случаи, когда задачу можно решить несколько проще.

Пусть для функции y=a x²+b x+c , гдепараметры, x и y — переменные. Числа и – нули функции, в = b– 4ac, D > 0, , = - - абсцисса вершины параболы. В этих задачах, как правило, требуется определить те значения параметра, при которых выполняется некоторое условие для расположения корней.

VI. Тригонометрия и параметр. Иррациональные уравнения.

Использование основных свойств тригонометрических функций в задачах с параметрами. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр.
Тригонометрические неравенства, содержащие параметр.
Область значений тригонометрических функций.

Цель: Сформировать умение использования свойств тригонометрических функций при решении тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами.
Исследование дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры.

V II. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметр. Рациональные уравнения.

Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств, содержащих параметры.
Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений и неравенств с параметрами.
Цель: Сформировать умение решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметрами, рациональные уравнения

VIII. Производная и ее применение.

Касательная к функции.
Критические точки.
Монотонность.
Наибольшие и наименьшие значения функции.
Построение графиков функций.

Цель: Познакомить учащихся с типом задач с параметрами на применение методов дифференциального исчисления.

IX. Нестандартные задачи.

Уравнения высших степеней. Теорема Безу. Симметрические уравнения. Система однородных уравнений и приводящиеся к ним. Аналитические способы решения уравнений высших степеней с параметрами. Графический способ решения уравнений высших степеней с параметром

Х. Текстовые задачи с использованием параметра.

Задачи физического содержания. Задачи на объемные доли и концентрации вещества. Задачи на проценты.

В этом разделе формируются навыки решения текстовых задач.

Планирование

(34 часа)

№ урока	Тема
1	Основные понятия уравнений с параметрами
2	Основные понятия неравенств с параметрами
3-4	Уравнения с параметрами (первой степени)
5-6	Неравенства с параметрами (первой степени)
7-11	Уравнения с параметрами (второй степени)
12-14	Неравенства с параметрами (второй степени)
15-16	Рациональные уравнения с параметрами
17-18	Графические приемы при решении
19-20	Свойства квадратичной функции
21-23	Текстовые задачи с использованием параметра
24-25	Иррациональные уравнения с параметрами
26-28	Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем
29-30	Уравнения и неравенства с параметрами с различными условиями
31-32	Нестандартные задачи
33	Итоговая контрольная работа по курсу
34	Защита индивидуальных проектов

Заключение

Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время, как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в вузы. Владение приемами решения задач с параметрам можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Решить уравнение:

2. Решить уравнение:

3. Решить уравнение:

4. Решить уравнение:

5. Решить уравнение:

6. Решить уравнение:

7. Решить уравнение:

8. Решить уравнение:

9. Решить уравнение:

10. Решить уравнение:

11. При каких значениях параметра в уравнение :

а) имеет бесконечно много корней; в) имеет корень, равный единице;

б) не имеет корней; г) имеет ненулевые корни?

12. При каких значениях а уравнение имеет:

а) только положительные корни; б) только отрицательные корни?

13. Решить уравнение: :

а) относительно х и найдите значение параметра, при котором корень равен нулю;

б) относительно у и найдите значение параметра, при котором корень равен единице?

14. При каких значениях параметра в число 1 является корнем уравнения ?

15. При каких значениях параметра а уравнение имеет корни не равные

16. Решить уравнение х² +а ² - 1 =0.

Ответ: при │а │>1 корней нет, при других а х=±.

17. Решить уравнение а х² -х+3 =0.

Ответ: при а =0 х=3, при а = х=6, при а > корней нет, при других а

х=.

18. Решить неравенство а х² +( а +1)х+1>0 при различных значениях а .

Ответ: при а =0 х>-1; при а =1 х Є (-∞; -1)U(-1; +∞), при а >1 х Є (-∞; -1)U( -1/а ; +∞),

при а <0 х Є (-1; -1/а ); при а Є (0;1) х Є (-∞; -1/а )U(-1; +∞).

19. При каких значениях параметра а неравенство х² +а х+1<0 не имеет решений?

Ответ: а Є[-1;1].

20. Решить неравенство х² -4а х+9 ≤0.

Ответ: при │а │>1,5 решений нет, при а =1,5 х=3, при а =-1,5 х=-3, при других а хє[2а -; 2а +].

21. При каком значении параметра а система имеет ровно два решения?

Ответ: а =2.

22. Решить неравенство х² - 2а х + 1>0 для всех значений параметра а .

Ответ: при |а |>1 х Є R,

при а =1 х Є R, где х ≠ 1,

при а =-1 х Є R, где х ≠ -1,

при -1<a <1 х Є (-∞;-)U(а +; +∞).

23. При каких значениях а неравенство а х² +4а х +а +3<0 выполняется для всех действительных значений х?

Ответ: а Є (-∞; -4).

24. При каких значениях параметра m двойное неравенство

выполняется при всех действительных значениях х?

Ответ: m Є (-2; 4).

Литература

1. Агалаков.С.А Математика. Единый экзамен- 2004. Часть С. Омск; НОУ НОК Образование плюс, 2004.

2. Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосеенко В.С. Методы решения задач с параметрами. Минск: Аверсэв, 2003.

3. БашмаковМ., Резник Н. Задачник по алгебре для 7класса общеобразователь-ной школы. Санкт – Петербург, 2001.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И.. Сборник задач по алгебре. 8-9кл. М.: Просвещение, 1994.

5. Горбачев В.И. Методы решения уравнений и неравенств с параметрами, Брянск, 1999

6. Горнштейн П.И. Задачи с параметрами. - М.: Гимназия, 2002.

7. ГорнштейнП.И., Полонский В.Б., Якир М.С.. Задачи с параметрами. Илекса. Гимназия. Москва- Харьков, 2002.

8. Далингер В.А.. Всё для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике, выпуск 4. ОГПИ, Омск, 1995.

9. Евсеева А.И.. Уравнения с параметрами.// ж. «Математика в школе», 2003, №7.

10. Ерина Т.М.. Линейные и квадратные уравнения с параметром.// ж. «Матема-тика для школьников», 2004, №2.

11. Крамор В.С. Математика. Типовые примеры на вступительных экзаменах. - М.: Аркти, 2000.

12. Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решение. Аркти, Москва, 2000.

13. Математика для поступающих в вузы //Сост. Тырымов А.А.. – Волгоград: Учитель, 2000.

14. Математика. Задачи Сканави М.И. – Минск 1998г.

15. Математика. «Первое сентября».№ 4, 22, 23-2002 г; №12,38-2001 г

16. Материалы по подготовке к ЕГЭ 2001-2008 г

17. Мочалов В.В. Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Чебоксары – Издательство Чувашского университета, 2006.

18. Нырко В.А.,Табуева В.А. Задачи с параметрами. - Екатеринбург; УГТУ,2001.

19. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Уравнения и неравенства с параметрами. Издат МГУ, 1992г

20. Е.М. Родионов. Справочник по математике для поступающих в ВУЗы. Изд – во МЦ «Аспект», 1992.

21. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. – М. Просвещение, 1988г

22. Ю.Ф. Фоминых. Прикладные задачи по алгебре для 7-9 классов. М.: Просве-щение, 1999.

23. А.В. Шевкин. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы. 8-9 классы. М.: Русское слово, 2003.

24. Тысяча и один пример. Под ред. О.М. Назаренко, Л.Д. Назаренко. Изд – во «Слобожаницина», 1994.

25. 514 задач с параметрами. Под ред. С.А. Тынянкина. Волгоград, 1991.