Реферат: «Уравнения с двумя неизвестными в целых числах»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Саврушская средняя общеобразовательная школа

Похвистневский район Самарская область

Реферат по математике на тему:

«Уравнения с двумя

неизвестными

в целых числах »

Выполнили: Колесова Татьяна

Староверова Нина

у ченицы 10 класса

МОУ Саврушская СОШ

Похвистневского района

Самарской области.

Руководитель: Ятманкина Галина Михайловна

учитель математики.

Савруха 2011

Содержание

Введение._______________________________________________3

Глава 1. Теория уравнений с двумя переменными в целых числах.

1. Историческая справка _______________________________________5

1.1 Теоремы о числе решений линейных диофантовых уравнений___6

1.2 Алгоритм решения уравнения в целых числах_________________ 6

1.3 Способы решения уравнений_______________________________ 7

Глава 2. Применение способов решения уравнений.

1. Решение задач_____________________________________________ 8

2.1 Решение задач с помощью алгоритма Евклида________________ 8

2.2 Способ перебора вариантов________________________________ 9

2.3 Метод разложения на множители___________________________ 9

2.4 Метод остатков__________________________________________ 12

2. Задачи экзаменационного уровня___________________________ 13

Заключение________________________________________________ 16

Список используемой литературы_____________________________ 17

« Кто управляет числами,

Тот управляет миром»

Пифагор.

Введение.

Анализ ситуации: Диофантовы уравнения это актуальная в наше время тема, т. к. решение уравнений, неравенств, задач, сводящихся к решению уравнений в целых числах с помощью оценок для переменных, встречается в различных математических сборниках и сборниках ЕГЭ.

Изучив разные способы решения квадратного уравнения с одной переменной на уроках, нам было интересно разобраться, а как решаются уравнения с двумя переменными. Такие задания встречаются на олимпиадах и в материалах ЕГЭ.

В этом учебном году одиннадцатиклассникам предстоит сдавать Единый государственный экзамен по математике, где КИМы составлены по новой структуре. Нет части «А», но добавлены задания в часть «В» и часть «С». Составители объясняют добавление С6 тем, что для поступления в технический ВУЗ нужно уметь решать задания такого высокого уровня сложности.

Проблема : Решая примерные варианты заданий ЕГЭ, мы заметили, что чаще всего встречаются в С6 задания на решение уравнений первой и второй степени в целых числах. Но мы не знаем способы решения таких уравнений. В связи с этим возникла необходимость изучить теорию таких уравнений и алгоритм их решения.

Цель: Освоить способ решения уравнений с двумя неизвестными первой и второй степени в целых числах.

Задачи: 1) Изучить учебную и справочную литературу;

2) Собрать теоретический материал по способам решения уравнений;

3) Разобрать алгоритм решения уравнений данного вида;

4) Описать способ решения.

5) Рассмотреть ряд примеров с применением данного приема.

6) Решить уравнения с двумя переменными в целых числах из

материалов ЕГЭ-2010 С6.

Объект исследования : Решение уравнений

Предмет исследования : Уравнения с двумя переменными в целых числах.

Гипотеза: Данная тема имеет большое прикладное значение. В школьном курсе математики подробно изучаются уравнения с одной переменной и различные способы их решения. Потребности учебного процесса требуют, чтобы ученики знали и умели решать простейшие уравнения с двумя переменными. Поэтому повышенное внимание к этой теме не только оправдано, но и является актуальной в школьном курсе математики.

Данная работа может быть использована для изучения данной темы на факультативных занятиях учениками, при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. Мы надеемся, что наш материал поможет старшеклассникам научиться решать уравнения такого вида.

Глава 1. Теория уравнений с двумя переменными в целых числах.

1. Историческая справка.

Диофант и история диофантовых уравнений .

Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником, дошедшим до нашего времени, является произведение Диофанта – «Арифметика». Диофант суммировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных уравнений в целых числах.

История сохранила нам мало черт биографии замечательного александрийского ученого-алгебраиста Диофанта. По некоторым данным Диофант жил до 364 года н.э. Достоверно известно лишь своеобразное жизнеописание Диофанта, которое по преданию было высечено на его надгробии и представляло задачу-головоломку:

«Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь» (примерно 84 года).

Эта головоломка служит примером тех задач, которые решал Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Такие задачи в настоящее время известны под названием диофантовых.

Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Ее эквивалентом является известная всем теорема Пифагора. Эта теорема была известна в Вавилонии, возможно ее знали и в Древнем Египте, но впервые она была доказана, в пифагорейской школе. Так называлась группа интересующихся математикой философов по имени основателя школы Пифагора (ок. 580-500г. до н.э.)

Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения.

1.1 Теоремы о числе решений линейного диофантового уравнения.

Приведем здесь формулировки теорем, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах.

Теорема 1. Если в уравнении , , то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.

Теорема 2. Если в уравнении , и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 3. Если в уравнении , и , то оно равносильно уравнению , в котором .

Теорема 4. Если в уравнении , , то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

где х₀ , у₀ – целое решение уравнения , - любое целое число.

1.2. Алгоритм решения уравнения в целых числах.

Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида .

1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b ,

если и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет;

если и , то

2. Разделить почленно уравнение на , получив при этом уравнение , в котором .

3. Найти целое решение (х₀ , у₀ ) уравнения путем представления 1 как линейной комбинации чисел и ;

4. Составить общую формулу целых решений данного уравнения

где х₀ , у₀ – целое решение уравнения , - любое целое число.

1.3 Способы решения уравнений

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

1. Способ перебора вариантов.

2. Алгоритм Евклида.

3. Цепные дроби.

4. Метод разложения на множители.

5. Решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной.

6. Метод остатков.

7. Метод бесконечного спуска.

Глава 2. Применение способов решения уравнений

1. Примеры решения уравнений.

2.1 Алгоритм Евклида.

Задача 1 . Решить уравнение в целых числах 407х – 2816y = 33.

Воспользуемся составленным алгоритмом.

1. Используя алгоритм Евклида, найдем наибольший общий делитель чисел 407 и 2816:

2816 = 407·6 + 374;

407 = 374·1 + 33;

374 = 33·11 + 11;

33 = 11·3

Следовательно (407,2816) = 11, причем 33 делится на 11

2. Разделим обе части первоначального уравнения на 11, получим уравнение 37х – 256y = 3, причем (37, 256) = 1

3. С помощью алгоритма Евклида найдем линейное представление числа 1 через числа 37 и 256.

256 = 37·6 + 34;

37 = 34·1 + 3;

34 = 3·11 + 1

Выразим 1 из последнего равенства, затем последовательно поднимаясь по равенствам будем выражать 3; 34 и полученные выражения подставим в выражение для 1.

1 = 34 – 3·11 = 34 – (37 – 34·1) ·11 = 34·12 – 37·11 = (256 – 37·6) ·12 – 37·11 =

– 83·37 – 256·(–12)

Таким образом, 37·(– 83) – 256·(–12) = 1, следовательно пара чисел х₀ = – 83 и у₀ = – 12 есть решение уравнения 37х – 256y = 3.

4. Запишем общую формулу решений первоначального уравнения

где t - любое целое число.

2.2 Способ перебора вариантов.

Задача 2. В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других?

Решение: Составляется уравнение с двумя неизвестными переменными, в котором х – число кроликов , у – число фазанов:

4х + 2у = 18, или 2х + у = 9.

Выразим у через х : у = 9 – 2х.

Далее воспользуемся методом перебора:

Таким образом, задача имеет четыре решения.

Ответ: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Метод разложения на множители.

Перебор вариантов при нахождении натуральных решений уравнения с двумя переменными оказывается весьма трудоемким. Кроме того, если уравнение имеет целые решения, то перебрать их невозможно, так как таких решений бесконечное множество. Поэтому покажем еще один прием - метод разложения на множители.

Задача 3. Решить уравнение в целых числах y ³ - x ³ = 91.

Решение. 1) Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:

(y - x )(y ² + xy + x ² ) = 91……………………….(1)

2) Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число

y ² + yx + x ² ≥ y ² - 2|y ||x | + x ² = (|y | - |x |)² ≥ 0,

следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение (1) равносильно совокупности систем уравнений:

; ; ;

4) Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют.

Ответ: уравнение (1) имеет четыре решения (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Задача 4. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению

.

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде

.

Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что , получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:

или .

Первая система имеет решение , а вторая система имеет решение .

Ответ: .

Задача 5. Решить уравнение в целых числах:

.

Решение. Запишем уравнение в виде

.

Разложим левую часть уравнения на множители. Получим

.

Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в двух случаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы:

или .

Первая система имеет решение х=2, у=2, а вторая система имеет решение х=0, у=0.

Ответ: .

Задача 6. Решить в целых числах уравнение

.

Решение . Запишем данное уравнение в виде

.

Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки, получим

.

Произведение двух целых чисел может равняться 7 в следующих случаях:

7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1).Таким образом, получим четыре системы:

или , или , или .

Решением первой системы является пара чисел х = - 5, у = - 6. Решая вторую систему, получим х = 13, у = 6.Для третьей системы решением являются числа х = 5, у = 6. Четвёртая система имеет решение х = - 13, у = - 6.

Ответ: .

Задача 7. Доказать, что уравнение (x - y )³ + (y - z )³ + (z - x )³ = 30 не

имеет решений в целых числах.

Решение. 1) Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:

( x - y )(y - z )(z - x ) = 10…………………………(2)

2) Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения (2) равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Задача 8. Решить уравнение: х² - у² =3 в целых числах.

Решение:

1. применим формулу сокращенного умножения х² - у² =(х-у)(х+у)=3

2. найдем делители числа 3 = -1;-3;1;3

3. Данное уравнение равносильно совокупности 4 систем:

х-у=1 2х=4 х=2, у=1

х+у=3

х-у=3 х=2, у=-1

х+у=1

х-у=-3 х=-2, у=1

х+у=-1

х-у=-1 х=-2, у=-1

х+у=-3

Ответ: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)

2.4 Метод остатков.

Задача 9 . Решить уравнение: х² +ху=10

Решение:

1. Выразим переменную у через х: у= 10-х²

Х

У = - х

2. Дробь будет целой, если х Є ±1;±2; ±5;±10

3. Найдем 8 значений у.

Если х=-1, то у= -9 х=-5, то у=3

Х=1, то у=9 х=5, то у=-3

Х=-2 ,то у=-3 х=-10, то у=9

Х=2, то у=3 х=10, то у=-9

Задача 10. Решить уравнение в целых числах:

2х² -2ху +9х+у=2

Решение:

выразим из уравнения то неизвестное, которое входит в него только в первой степени - в данном случае у:

2х² +9х-2=2ху-у

У ⁼

выделим у дроби целую часть с помощью правила деления многочлена на многочлен «углом». Получим:

Следовательно, разность 2х-1 может принимать только значения -3,-1,1,3.

Осталось перебрать эти четыре случая.

Ответ : (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

2. Задачи экзаменационного уровня

Рассмотрев несколько способов решения уравнений первой степени с двумя переменными в целых числах, мы заметили, что чаще всего применяются метод разложения на множители и метод остатков.

Уравнения, которые даны в вариантах ЕГЭ -2011, в основном решаются методом остатков.

1. Решить в натуральных числах уравнение: , где т>п

Решение:

Выразим переменную п через переменную т :

Найдем делители числа 625: т -25 Є 1; 5; 25; 125; 625

1) если т -25 =1, то т =26, п =25+625=650

2) т -25 =5, то т =30, п =150

3) т -25 =25, то т =50, п =50

4) т -25 =125, то т =150, п =30

5) т -25 =625, то т =650, п =26

Ответ: т =150, п =30

т =650, п =26

2. Решить уравнение в натуральных числах: тп +25 = 4т

Решение : тп +25 = 4т

1) выразим переменную т через п :

4т – тп =25

т(4-п) =25

т =

2) найдем натуральные делители числа 25: ( 4-п) Є 1; 5; 25

если 4-п =1, то п =3, т =25

4-п =5, то п =-1, т =5 (посторонние корни)

4-п =25, то п =-21, т =1 (посторонние корни)

Ответ: (25;3)

3 .Найдите все пары ( х; у) целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств:

х² +у ² < 18х – 20у - 166,

32х - у² > х² + 12у + 271

Решение: Выделяя полные квадраты, получим:

(х-9)² + (у+10)² <15

(х-16)² + (у+6)² <21

Из первого и второго неравенства системы :

(х-9)² < 15 6≤ х ≤ 12

(х-16)² < 21, 12≤ х ≤ 20 , х=12.

Подставляя х = 12 в систему, получим:

(у+10)² < 6 -2 ≤ у+10 ≤ 2 -12 ≤ у ≤ -8

(у+6)² < 5 -2 ≤ у+6 ≤ 2 -8 ≤ у ≤ -4 у=-8

Ответ: (12; -8)

Заключение.

Решение различного вида уравнений является одной из содержательных линий школьного курса математики, но при этом методы решения уравнений с несколькими неизвестными практически не рассматриваются. Вместе с тем, решение уравнений от нескольких неизвестных в целых числах является одной из древнейших математических задач. Большинство методов решения таких уравнений основаны на теории делимости целых чисел, интерес к которой в настоящее время определяется бурным развитием информационных технологий. В связи с этим, учащимся старших классов будет небезынтересно познакомиться с методами решения некоторых уравнений в целых числах, тем более что на олимпиадах разного уровня очень часто предлагаются задания, предполагающие решение какого-либо уравнения в целых числах, а в этом году такие уравнения включены еще и в материалы ЕГЭ.

В своей работе мы рассматривали только неопределенные уравнения первой и второй степени. Уравнения первой степени, как мы увидели, решаются довольно просто. Мы выделили виды таких уравнений и алгоритмы их решений. Также было найдено общее решение таких уравнений.

С уравнениями второй степени сложнее, поэтому мы рассмотрели лишь частные случаи: теорему Пифагора и случаи, когда одна часть уравнения имеет вид произведения, а вторая раскладывается на множители.

Уравнениями третьей и больше степеней занимаются великие математики, потому что их решения слишком сложны и громоздки

В дальнейшем мы планируем углубить свое исследование в изучении уравнений с несколькими переменными, которые применяются в решении задач

Литература.

1. Березин В.Н. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике. Москва « Просвещение» 1985г.

2. Галкин Е.Г. Нестандартные задачи по математике. Челябинск «Взгляд» 2004г.

3. Галкин Е.Г. Задачи с целыми числами. Челябинск «Взгляд» 2004г.

4. Глейзер Е.И. История математики в школе. Москва «Просвещение» 1983г.

5. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. Москва 2003г.

6. Математика. ЕГЭ 2010. Федеральный институт

педагогических измерений.

7. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение

задач. Москва 1986г.