Реферат: по математике. На тему: «основные методы решения систем уравнений с двумя переменными»
Название: по математике. На тему: «основные методы решения систем уравнений с двумя переменными» Раздел: Остальные рефераты Тип: реферат |
РЕФЕРАТ ПО МАТЕМАТИКЕ. НА ТЕМУ: «ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ». АВТОР РАБОТЫ: УЧЕНИК 9 КЛАССА «Б» ГОУ ГИМНАЗИИ № 1505 СТАРИЧЕНКОВ АЛЕКСАНДР. НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: БАТАЛОВА ВЕРА ИВАНОВНА. ГОД РЕАЛИЗАЦИИ ИССЛЕДОВАНИЯ: 2010-2011 ГОД ГОРОД МОСКВА.
СОДЕРЖАНИЕ: 1) ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………стр. 2 2) ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ РЕФЕРАТА………………………….стр. 3-9 ГЛАВА I: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ…………….................................................стр.3-7 а) ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ………………………………стр.3 б) ГРАФИЧЕСИЙ МЕТОД………………………………………стр.3-4 в) СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ И АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ………………………………….стр.4-6 г) СПОСОБ ПОЧЛЕННОГО УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ…стр.6 д) СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ……………………………………стр.6-7 ГЛАВА II: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ………………………………………………………стр.7-8 а) ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ………………..стр.7-8 б) СИММЕТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ……………стр.8 3) ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………стр.9 4) СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………..стр.10 5) ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………стр.11-17 I. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА………………………………...стр.11-12 II. РЕШЕБНИК……………………………………...……………..стр.12-16 а) СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ И АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ………………………………….стр. 12-14 б) СПОСОБ ПОЧЛЕННОГО УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ..стр. 14 в) ГРАФИЧЕСИЙ МЕТОД………………………………………стр. 14-16 г) СИММЕТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ …………..стр. 16 д) ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ….……………стр. 16
ВВЕДЕНИЕ. Тема моего реферата «Основные методы решения систем уравнений с двумя переменными». Эта темя изучается в школьном курсе алгебры: в 7 классе изучаются системы линейных уравнений, а в 9 классе – системы нелинейных уравнений. Решение многих задач по алгебре, физике, геометрии приводит к составлению системы уравнений. Умение решать эти системы означает успешное изучение курсов алгебры, физики, геометрии. Решение систем уравнений включено в государственный экзамен 9 и 11 класса. Цель моего реферата: разобрать основные методы решения систем уравнений. Для реализации моей цели я ставлю перед собой следующие задачи: 1) Ознакомление с литературой по теме реферата; 2) Обобщить основные методы решения систем линейных уравнений; 3) Познакомиться с некоторыми методами решения систем нелинейных уравнений; 4) Рассмотреть вопросы равносильности систем уравнений. В результате изучения этой темы я составлю решебник систем уравнений. Я надеюсь что, мой решебник сможет помочь учащимся 8-9 классов лучше подготовиться к выпускным экзаменам. А основные методы решения систем с параметром я буду изучать в 10-м классе.
ГЛАВА I : МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Для начала выясню, что такое линейные и нелинейные уравнения с двумя переменной: 1) Линейные уравнения с двумя переменной – уравнение первой степени. 2) Нелинейные уравнения с двумя переменной – уравнение второй степени. Теперь выясним, что такое решение системы уравнения с двумя переменными: Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство, называют решением системы [1] . Осталось только два вопроса: во-первых, что является графиком уравнения и, во-вторых, вопрос о равносильности систем уравнений: 1) Графиком уравнения с двумя переменными является изображение точек её решений на плоскости[2] . 2) Две системы называются равносильными , если множества их решений совпадают. Если обе системы не имеют решений, то они также считаются равносильными[3] . Теперь, когда все основные понятия и определения разобраны, можно приступать к решению систем разных видов основными методами, которые мне известны на данный момент. Основная цель при решении систем уравнений - решить эту систему, то есть найти все ее решения или доказать, что решений нет. Для решения системы уравнений с двумя переменными используются: 1) графический способ; 2) способ замены переменной и алгебраического сложения и вычитания; 3) способ почленного умножения и деления; 4) способ подстановки. Все эти способы используются во всех предметах, где необходимы знания математики: алгебра, физика, химия, геометрия. Рассмотрим способ № 1 : Известно, что графиком линейного уравнения является прямая. Вопрос о числе решений системы двух линейных уравнений сводиться к определению числа общих точек прямых, являющимися графиками уравнений системы. Рассмотрим три случая расположения прямой. Случай 1 : Прямые, которые являются графиком функции, входящих в данную систему, пересекаются. Решим эту систему:
Уравнениями у=-1,1х+12 и у=-6х+18 задаются линейные функции. Угловые коэффициенты прямых этих функций различны. Следовательно, эти прямые пересекаются, и система имеет единственное решение. Прировняв правые части уравнений, найдем точку пересечения. Данная система имеет единственное решение: пара чисел равная (1,2; 10,7). Случай 2 : Прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны. Решим систему уравнений:
Прямые, являющиеся графиками линейных функций у=-0,4х+0,15 и у=-0,4х+3,2, параллельны, так как их угловые коэффициенты одинаковы, а точки пересечения с осью у различны. Отсюда следует, что данная система уравнений не имеет решений. Случай 3 : Прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают.
Очевидно, что графики уравнений совпадают. Это означает, что любая пара чисел (х; у), в которой х - произвольное число, а у = - 2,5х - 9, является решением системы. Система имеет бесконечно много решений. Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности по ряду причин: 1) не умение, выражать одну переменную через другую; 2) не правильное построение системы координат (различный единичный отрезок на осях ординат и абсцисс). Рассмотрим способ № 2(замена переменной): Легче всего это сделать, решив задачу, что мы сейчас и сделаем: Условие задачи : Ученик задумал два числа. Первое число на 5 больше второго. Если от удвоенного первого числа вычесть утроенное второе число, то получится 25. Какие числа задумал ученик? Решение : Пусть х - первое число, у - второе число. По условию задачи составим систему уравнений. В первом уравнении выразим х через у: х=у+5 . Подставив во второе уравнение вместо переменной х выражение х = у + 7, получим систему Очевидно, что получившееся второе уравнение является уравнением с одной переменной. Решим его: 2y + 14 – 3y = 25 -1y = -11 y = 11 Подставив в первое уравнение системы вместо переменной у ее значение, равное 6, получим: x = -11 + 5 x = -6 Ответ : ученик задумал числа равные -6 и -11, т. е. пара чисел (-6; -11) является решением данной системы. Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности по ряду причин: 1) не умение, выражать одну переменную через другую; 2) не умение, подставить уже полученную переменную (забывают или не видят). Рассмотрим способ № 2(алгебраическое сложение): Как и в методе подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную. Решим систему уравнений: В уравнениях этой системы коэффициенты при у являются противоположными числами (+3y и -3y). Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной: 2x = 18 x = 9 Заменим одно из данных нам уравнений системы, например первое, уравнением 2x = 18. Получим систему: Полученная система равносильна данной системе. Решим полученную систему: Из уравнения 2х=18 находим, что х=9. Подставив это значение х в уравнение 4х-3у=12 , получим уравнение с переменной у. Решим это уравнение:
4 × 9 + 3y = 12 3y = -24 y = -8 Пара чисел (11; - 9) - решение полученной системы, а значит, и данной нам системы. Воспользовавшись тем, что в уравнениях данной нам системы коэффициенты при у являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную. Геометрически равносильность систем означает, что графики уравнений 4 x + 3 y = 12 и -2 x - - 3у=38 пересекаются. Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности только по одной причине: 1) не умение, подставить уже полученную переменную (забывают или не видят). Рассмотрим способ № 3 : Если при решении систем уравнений учащийся не может ни заменить переменную, ни алгебраически сложить, то можно прибегнуть к этому способу. Разберём на примере. Решим систему уравнений: Домножим верхнее уравнение на 3. Получим: Очевидно, что и в первом и во втором уравнениях есть 3y, только с разными знаками. Дальше решаем так же, как и прошлой системе (см. 3 разбор). В конце получаем, что пара чисел (4,2; -4,8) является решением данной нам системы. Во время решения систем нелинейных уравнений данным способом вызывает у учащихся трудности только по ряду причине: 1) не видят, что и насколько надо домножить; 2) не умение, подставить уже полученную переменную (забывают или не видят). Рассмотрим способ подстановки : Этот метод или способ решения систем уравнений используется чаще всех. Грубо говоря, этот способ мы разобрали во всех остальных, т.к. заменяя одну систему на равносильную ей, мы находим одну переменную, а затем подставляем её значение в одно из уравнений данной нам системы. А, следовательно, возникающие проблемы при решении систем уравнений этим способом такие же, как и у всех остальных методов: 1) не умения, выражать одну переменную через другую; 2) не умение, подставить уже полученную переменную; Итак, из всего выше сказанного можно сделать вывод: во время решения систем нелинейных уравнений у учащихся возникают проблемы по ряду двум причинам: 1) не умения, выражать одну переменную через другую; 2) не умение, подставить уже полученную переменную; 3) не видят, что и насколько надо домножить. ГЛАВА II : МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ[4] . В этой части реферата я рассмотрю два основных метода решения систем нелинейных уравнений: 1) Однородные системы уравнений; 2) Симметричные системы уравнений. 1) Однородные системы уравнений: Уравнения называются однородными, если все слагаемые, содержащие неизвестные, имеют одну и ту же степень (показатели степеней разных неизвестных в слагаемых складываются). Почему же мы выделяем такие системы? Оказывается, существует стандартная подстановка x = t×y (y ≠ 0), которая позволяет решить систему. Пример: Пусть x = t×y (y ≠ 0), тогда
Зная t, легко сразу найти a) t =3
b) t =
При y = 0 решения нет. Ответ : {(3√3; √3); (-3√3; √3); (4; 5); (-4; -5)}. 2) Системы симметричных уравнений: Выражение с двумя неизвестными называется симметричным, если при замене одного неизвестного на другое и наоборот выражение не изменяется. Любое симметричное выражение с двумя неизвестными может быть представлено, как алгебраическая комбинация, через два простейших симметричных выражения: a + b = t и a×b = z. Пример: Пусть Вычтем из первого уравнения второе уравнение:
a) По теореме, обратной теореме Виета, данная система порождает квадратное уравнение b) Из порождённого квадратного уравнения Ответ : {(1; 3); (3; 1); (-3; -1); (-1; -3)}.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Итак, в своём реферате я, во-первых, обобщил основные методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными, во-вторых, рассмотрел некоторые методы решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными, в-третьих, составил решебник, который, я надеюсь, поможет читающим мой реферат лучше понять тему, которую я выбрал, и сформирует навык решения систем уравнений. Другими словами я решил все задачи, которые стояли передо мной, и справился с моей целью. Надеюсь, мой реферат был интересен для чтения, повторения прошлого и знакомства с частью нового материала. Я постараюсь продолжить работу над этой темой в 10 классе в качестве дипломной работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 1. А.Х.Шахмейстер: «Системы уравнений математика» 2. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков "АЛГЕБРА. Учебник для 9 класса с углублённым изучением математики" Москва 2006 год, 5-е издание - М.:Мнемозина, 439 страниц, иллюстрации. 3. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич "Сборник задач по алгебре 8-9 классы" Москва "Просвещение" 1994 год, 271 страница. 4. Системы уравнений. Поиск имён для исторической справки. http://ru.wikipedia.org
I . ИСОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА[5] : В XVII - XVIII в.в. приемы исключения разрабатывали: Пьер де Ферма(17 августа 1601 - 12 января 1665, прожил 63 года) - французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года — советник парламента в Тулузе; Исаак Ньютон(25 декабря 1642 (4 января 1643) - 20 марта 1727 (31 марта 1727), прожил 84 года) - английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики; Готфрид Вильгельм фон Лейбниц(1 июля 1646 - 14 ноября 1716, прожил 70 лет) - немецкий философ, математик, юрист, дипломат; Леонард Эйлер(4 (15) апреля 1707 - 7 (18) сентября 1783, прожил 76 лет) - швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук; Этьенн Безу(31 марта 1730 - 27 сентября 1783, прожил 53 года) - французский математик, член Парижской академии наук (1758); Жозеф Луи Лагранж(25 января 1736 - 10 апреля 1813, прожил 77 лет) - французский математик, астроном и механик итальянского происхождения. Наряду с Эйлером — лучший математик XVIII века. II . РЕШЕБНИК. В этой части приложения написан решебник на мою тему с целью помочь читающим попрактиковаться в решении систем уравнений с двумя переменными. Для каждого метода будет представлено по примеру и решение одного из них, в качестве примера как их решать тем или иным методом. 1) Метод замены переменной и алгебраического сложения и вычитания : Для начала метод алгебраического сложения. Пример №1 : Решение : Можно заметить, что в двух уравнениях присутствует одна и та же переменная: 3y, только с разными знаками. Следовательно, их можно алгебраически сложить и мы получим равносильную систему:
1) 6x = 6 x = 1 Итак, мы нашли значение первой переменной: x = 1. теперь подставляем это значение в любую из уравнений, чтобы найти значение второй переменной: 2) 2 -3y = 0 y = 0 Получили: y = 0. Ответ : (1; 0). Метод алгебраического вычитания почти такой же, как и метод алгебраического сложения, только вместо того, чтоб складывать уравнения, мы вычитаем одно из другого. Теперь разберём последовательность решения методом замены переменной: Пример №2 : Решение : 2) 1 + y + y = 1 2y = 0 y = 0 3) x + 0 = 1 x = 1 Объяснение : Вначале я перенёс одну переменную из уравнения 1 вправо и получил: x = 1 –y. Затем, я подставил полученное значение во второе уравнение и нашёл значение переменной y: y = 0. после этого. Я подставил это значение во второе уравнение и получил значение переменной x: x = 1. Ответ : (1, 0). Теперь потренируйтесь самостоятельно. Пример №3 (метод алгебраического сложения) : У вас должен получиться ответ : (2; -0,(3)). Пример №4 (метод замены переменной): Правильный ответ : (7; 1). 2) Метод почленного умножения и деления : Пример№1: Решение : Домножим первое уравнение на два и получим: 1) Теперь вычтем из первого уравнения второе (включаем в решение метод алгебраического вычитания). Затем решаем все, как и в прошлых примерах: находим значение одной переменной, затем второй и пишем ответ. Ответ : (1; 1). Метод почленного деления очень похож, но вместо умножения каждого члена уравнения на какое-либо число мы на него их делим. Теперь потренируйтесь. Пример №2 (метод почленного деления) : Правильный ответ : (1; 1). Пример №3 (метод почленного умножения): У вас должен получиться ответ : (3 -4) и (-3; 4). 3) Метод графического решения . Пример №1 : Решение : Для начала перенесём переменную x в правую сторону, чтобы получить уравнение функции: Теперь начертим графики полученных функций: Функция №1 : Функция №2: Теперь найдём их пересечение: Ответ : (0; 0). Теперь потренируйтесь сами. Пример№2 : Правильный ответ : (3; 1). Пример №3 : У вас должен получиться ответ : (-2; -1) и (-1; 0). 4) Симметричные системы уравнений: Начнём сразу с самостоятельного решения. Ответ : {(1; 2); (2; 1)}. 5) Однородные системы уравнений: Начнём сразу с самостоятельного решения. Ответ : (4; 9). [1] Ю.Н.Макарычев: «Алгебра для 9 класса с углубленным изучением математики» стр. 128. [2] Ю.Н.Макарычев: «Алгебра для 9 класса с углубленным изучением математики» стр. 123. [3] М.Л.Галицкий: «Сборник задач по алгебре 8-9» стр.107. [4] А.Х.Шахмейстер: «Системы уравнений математика» стр.39-45 [5] http://ru.wikipedia.org |