Реферат: Расчёт коэффициента передачи по току низкочастотного фильтра

Название: Расчёт коэффициента передачи по току низкочастотного фильтра
Раздел: Остальные рефераты
Тип: реферат

Министерство науки и образования Украины

Запорожская государственная инженерная академия

Факультет электроники и электронной техники

Кафедра ______ электронных систем _________

Курсовая работа

По курсу: Теория электрических и электронных цепей

На тему: Расчёт коэффициента передачи по току низкочастотного фильтра

методом узловых потенциалов

Группа: ЭС-01-1з

Выполнил: Бугрим А.А.

Номер зачётной книжки:

Дата сдачи :

Проверил: Василенко О.В.

Дата проверки:_____________

Дата защиты:_______________

Запорожье 2004г .

РЕФЕРАТ

В курсовой работе содержится 27 страниц; 6 рисунков; 1 приложение; 4 источника литературы.

В данной курсовой работе рассматриваются методы анализа линейных цепей (классификация методов, их применение) и способы их линеаризации, матричный метод(метод узловых потенциалов), преобразования функций времени.

В практической части получены граф, его дерево, топологические матрицы. Рассчитывается коэффициент передачи по току низкочастотного фильтра методом узловых потенциалов с использованием символического преобразования функций времени. Получены алгебраическая и показательная формы коэффициента передачи тока.

Ключевые слова: узел, топологические элементы, символическое изображение, принцип дуальности, электрические фильтры, граф, контур, схема, матрица, вектор, ветвь, коэффициент, сечения, ток.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ. 5

1 Анализ реальных цепей 6

1.1. Электрические фильтры 7

1.2. Методы анализа электронных цепей 8

1.2.1. Топологическое описание электрических цепей 8

1.2.2. Метод узловых потенциалов 14

1.2.3. Дуализм в анализе электронных схем 16

1.2.4. Символическое изображение 17

2. Расчёт коэффициента передачи по току низкочастотного

фильтра методом узловых потенциалов 20

Вывод 25

Приложение А 26

Список литературы. 27

ВВЕДЕНИЕ

Значительные достижения и стремительные темпы развития электротехники, радиотехники и электроники предъявляют всё более высокие требования к разработке современной электронной аппаратуры. Одной из основных наук при этом является “теория электрических цепей”. Содержание этой дисциплины составляют задачи и методы анализа электрических цепей, изучение, как с качественной, так и с количественной стороны установившихся и переходных процессов, которые протекают в различных электронных приборах и устройствах.

Для решения нелинейных дифференциальных уравнений, в форме которых получается математическая модель реальных цепей содержащих нелинейные элементы, в “теории электрических цепей” применяются различные математические методы, как специальные, так и универсальные.

Поскольку наиболее развитым является математический аппарат для линейных методов анализа, возникает необходимость линеаризации реальных нелинейных цепей. Для линеаризации используются различные аппроксимации, например кусочно-линейная, когда осуществляется замена характеристики нелинейного сопротивления отрезками прямых, что позволяет перейти от нелинейного дифференциального уравнения к нескольким линейным уравнениям, отличающихся друг от друга лишь значениями коэффициентов. Также значительно упрощает решение использование преобразование функций времени, эти преобразования позволяют получить компонентные уравнения двухполюсников в обобщённом символическом виде, а вся ММС сводится к линейным алгебраическим уравнениям с комплексными коэффициентами.

1.Анализ реальных цепей.

Разработано множество методов анализа схем, как для ручного, так и для частично или полностью автоматизированного расчёта.

Примерами методов анализа могут служить: матричный метод узловых потенциалов (контурных токов) и метод схем замещения. Второй метод основан на преобразовании схем, которые содержат в себе многополюсные элементы, в схемы содержащие только двухполюсные. Это достигается подстановкой в электрическую схему моделей активных и пассивных элементов, которые учитывают режим работы. Дальнейшее рассмотрение полученной схемы производится с помощью законов Кирхгофа, имеющих большое значение в теории схем.

В соответствии с первым законом Кирхгофа в любой момент времени алгебраическая сумма всех токов, сходящихся к узлу, равна нулю.

Si (t) = 0 (1.1)

В соответствии со вторым законом Кирхгофа: в любой момент времени алгебраическая сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю.

Su (t) = 0 (1.2)

Вследствие линейности всех рассматриваемых типов преобразований функций времени, законы Кирхгофа можно выразить в общем виде.

SI = 0 (1.3)

SU = 0 (1.4)

Уравнения Кирхгофа (1.3) и (1.4) вместе с уравнениями пассивного двухполюсника U = ZI и I = YU лежат в основе теории схем с двухполюсными элементами. С их помощью можно составить необходимое количество уравнений, связывающих токи и напряжения на элементах с учётом способа их соединения в схеме.

В случае если производится ручной расчёт нелинейных цепей, применяется в основном графоаналитический метод. Чтобы иметь возможность применять линейные методы анализа к реальным нелинейным цепям необходимо применить к ним линеаризацию. Наименьшей погрешностью обладает локальная линеаризация, поэтому она применяется для анализа схем в частотном диапазоне. Осуществляется локальная линеаризация в окрестностях рабочей точки, при подаче на схему входного сигнала небольшой амплитуды (“малого” сигнала) так что рабочая точка смещается в интервале, который аппроксимируется с небольшой погрешностью отрезком прямой. При этом нелинейное сопротивление заменяется его дифференциальной проводимостью, или же фиксированным значением. Именно этот метод аппроксимации будет использоваться нами для расчёта передаточных характеристик низкочастотного фильтра.

Кратко рассмотрим, что такое фильтр, его виды, формулы и схемы.

1.1 Электрические фильтры.

Электрический фильтр – четырёхполюсник, пропускающий без ослабления или с малым ослаблением колебания определённых частот и пропускающий с большим ослаблением колебания других частот.

Полоса частот, в которой ослабление мало, называется полосой пропускания , в пределах которой ток уменьшается не более чем в раз по сравнению со своим максимальным значением. Частота, при которой ток в цепи в раз меньше максимального значения, называется частотой среза w_ср . или граничной частотой. Полоса частот, в которой ослабление велико, называется полосой задерживания .

По расположению на шкале частот полосы пропускания различают следующие фильтры:

- полосовые, в которых полоса пропускания w_п1 …w_п2 располагается между полосами задержания 0…w_з1 и w_з2 …¥;

- заграждающие (режекторные), в которых между полосами пропускания 0…w_п1 и w_п2 …¥ находится полоса задерживания w_з1 …w_з2 ;

- многополосные, которые имеют несколько полос пропускания;

- верхних частот с полосой пропускания от частоты w = w_п до бесконечно больших частот и полосой задерживания от частоты w = 0 до w_з

- нижних частот, в которых полоса пропускания располагается на шкале частот от w = 0 до некоторой граничной частоты w = w_п , а полоса задерживания от w = w_з до бесконечно больших частот.

В соответствии с используемой элементарной базой выделяют несколько классов фильтров. Пассивные фильтры содержат элементы L и C, и носят название LC-фильтров. Требования микроминиатюризации радиоэлектронной аппаратуры заставили отказаться от использования индуктивностей, которые имеют большие габариты, особенно на низких частотах. Поэтому появились активные RC-фильтры, состоящие из резисторов, конденсаторов и активных приборов, такие фильтры могут быть выполнены в виде микромодульной конструкции или интегральной схемы, но пока их применение ограничивается сравнительно небольшим диапазоном частот до десятков килогерц.

Во многих случаях требуется крайне высокая избирательность (различие ослаблении в полосах пропускания и задержания в десятки тысяч раз). Это привело к появлению фильтров с механическими резонаторами: кварцевых, электромеханических и т.д.

По взаимному расположению элементов- Г -, Е -, П- образные пассивные фильтры, в которых в качестве элементов могут быть активные, индуктивные или емкостные сопротивления.

1.2 Методы анализа электронных схем .

Кратко рассмотрим теорию методов, которые будут применяться нами в данной курсовой работе для анализа и расчёта низкочастотного фильтра.

1.2.1. Топологическое описание электронных цепей.

Для топологического описания электронных схем применяется метод ориентированного графа, который представляет собой совокупность направленных ветвей и вершин. При построении ориентированного графа придерживаются следующих правил: любой двухполюсник замещается на линейный сегмент, который называют ветвью и направленным в ту сторону, куда было принято положительное направление сигнала.

Для описания топологических свойств электронных схем используются такие понятия как ветвь, контур и узел, которые называются топологическими элементами .

Если некоторую совокупность ветвей выделить таким образом, чтобы она была связана со всеми узлами и не образовывала ни одного замкнутого контура, то мы получим дерево графа. Ветви, которые не вошли в дерево графа, называются главными ветвями схемы. Как видно из рисунка 1 совокупность главных ветвей может образовывать замкнутые контуры, но нельзя назвать ни один узел, к которому подходили бы только главные ветви.

Рисунок.1. Скелетная схема и её деревья:

а – схема; б, в, – деревья (ветви дерева изображены сплошными линиями, а главные ветви – штриховыми).

Количество независимых напряжений равно количеству ветвей дерева. Действительно, так как замкнутые контуры в дереве отсутствуют, то ни одного уравнения по второму закону Кирхгофа, в которое бы входили только напряжения ветвей дерева, записать нельзя. В тоже время остальные напряжения (напряжения главных ветвей) могут быть выражены через напряжения ветвей дерева по второму закону Кирхгофа, поскольку каждая главная ветвь образует вместе с деревом или его частью замкнутый контур. На рисунке 2 приведены замкнутые контуры для случая, когда дерево схемы выбрано соответственно рис.1. Контурам, как и ветвям, приписывают некоторые положительные направления (по часовой или против часовой стрелки) и порядковые номера.

Количество независимых токов электронной схемы равно количеству главных ветвей. И это действительно так, токи всех ветвей дерева можно выразить через токи в главных ветвях. Для этого достаточно провести замкнутые линии так, чтобы каждая из них пересекала только одну из ветвей дерева, а остальные пересекаемые ветви относились бы к главным ветвям. Для каждой ветви дерева существует единственная совокупность главных ветвей, которые пересекаются данной линией. Замкнутая область, которая была выделена таким образом, называется – сечение. На рисунке 2 штрихами показаны все сечения для выбранного нами варианта дерева, причём для упрощения рисунка образующие сечение линии обрываются во внешней области схемы, хотя предполагается, что они должны замыкаться. Сечения так же нумеруются порядковыми цифрами, и им приписываются некоторые положительные направления (внутрь или из неё). Применяя к сечениям первый закон Кирхгофа, получаем уравнения, каждое из которых, помимо токов главных ветвей, содержит и ток какой-либо одной ветви дерева. Однако нельзя образовать сечение, которое пересекало бы только главные ветви, значит, линейная зависимость между токами этих ветвей отсутствует, и, следовательно, токи главных ветвей представляют собой совокупность независимых токов схемы.

Рисунок.2. Контуры и сечения схемы: а – контуры (стрелки ветвей указывают положительные направления токов); б – сечения (стрелки ветвей указывают положительные направления напряжений)

Уравнения схемы по законам Кирхгофа в матричном виде записываются с помощью матриц, которые отражают связь ветвей с контурами и сечениями схемы.

Ветви и контуры находятся во взаимно однозначном соответствии. Каждому контуру принадлежит определённая совокупность ветвей и, наоборот, через каждую ветвь проходит определённая совокупность контуров. Это соответствие может быть представлено матрицей контуров [Г], являющейся прямоугольной, в которой каждому контуру отведена строка, а каждой ветви – столбец. При записи матрицы контуров, направления ветвей отождествляются с положительными направлениями токов, которые протекают в данных ветвях. На пересечении k-й строки и s-го столбца вписывается элемент g _ks (первый индекс указывает номер строки, а второй – номер столбца) соблюдая следующее правило.

+1, если k-й контур проходит через s-ю ветвь и их направления

совпадают;

g _ks = - 1, если k-й контур проходит через s-ю ветвь и их направления

противоположны

0, если k-й контур не проходит через s-ю ветвь.

Например, для схемы, которая приведена на рисунке 2, матрица контуров будет иметь следующий вид.

0 0 0 -1 +1 0 0 +1

[Г] = -1 0 0 +1 0 +1 0 -1

0 0 -1 0 0 0 +1 +1

-1 + 1 -1 +1 0 0 0 0

Каждая строка матрицы [Г] указывает на совокупность ветвей схемы, которые входят в данный контур. Если перемножить элементы строки на соответствующие элементы вектора напряжений ветвей [U_в ] и сложить, мы получим алгебраическую сумму напряжений в контуре, которая в соответствии со вторым законом Кирхгофа равна нулю. Отсюда можно записать матричное уравнение.

[Г] [U_в ] = [0] (1.8)

где [0] – нулевой вектор, все компоненты которого равны нулю. Это уравнение соответствует системе s скалярных уравнений для независимых контуров и может рассматриваться как обобщенное выражение второго закона Кирхгофа для электронной схемы в целом.

Через главные ветви проходит только по одному контуру, поэтому можно отождествить токи в них с независимыми контурными токами схемы. Обозначив контурные токи числовыми индексами от 1 до s соответственно нумерации контуров, получим s -мерный вектор контурных токов.

I₁

I₂

[I] = I₃

[ I_s ]

Если теперь умножить какой-либо столбец матрицы [Г] на вектор [I], мы получим алгебраическую сумму контурных токов, протекающих через соответствующую этому столбцу ветвь. Однако по правилу умножения матрицы на вектор следует перемножить на него не столбцы, а строки, поэтому матрицу вначале нужно транспонировать (заменить строки соответствующими столбцами). В результате мы получим транспонированную матрицу [Г]_t . Запишем теперь матричное уравнение, которое связывает токов ветвей [I_в ] с вектором контурных токов [I], посредством транспонированной матрицы контуров [Г]_t .

[I_в ] = [Г]_t [I] (1.9)

Это уравнение соответствует l скалярным уравнениям для токов ветвей, выраженных через контурные токи.

Взаимно однозначное соответствие ветвей и сечений схемы можно выразить через матрицу сечений [П].

Сечение включает те ветви, которые оно пересекает и, наоборот, данной ветви принадлежит совокупность сечений, которыми она пересекается. Поскольку сечению принадлежит только одна ветвь дерева, то направление сечения можно отождествить с направлением этой ветви. Остальные ветви схемы могут совпадать или не совпадать по направлению с данным сечением. В матрице сечений [П] каждому сечению соответствует строка, а каждой ветви – столбец. Элементы в матрицу вписываются согласно следующих правил.

+1, если k-е сечение включает s-ю ветвь и их направления совпадают;

p _ks = - 1, если k-е сечение включает s-ю ветвь и их направления противоположны;

0, если k-е сечение не включает s-ю ветвь.

В качестве примера рассмотрим матрицу сечений для схемы (см. рис.2).

+1 +1 0 0 0 +1 0 0

[П] = 0 -1 0 +1 +1 -1 0 0

0 0 0 0 -1 +1 -1 +1

0 + 1 +1 0 0 0 +1 0

Каждая строка матрицы [П] указывает на совокупность ветвей, которые пересекаются данным сечением. Если перемножить элементы строки на соответствующие элементы вектора токов ветвей [I_в ] и сложив произведения, мы получим алгебраическую сумму токов в ветвях сечения, которая согласно первому закону Кирхгофа тождественно равна нулю. Отсюда можно записать матричное уравнение.

[П] [I_в ] = [0] (1.10)

которое может рассматриваться, как обобщённое выражение первого закона Кирхгофа.

Напряжения ветвей дерева составляет совокупность независимых узловых напряжений схемы. Обозначив узловые напряжения числовыми индексами от 1 до n соответственно нумерации сечений, мы образуем n -мерный вектор узловых напряжений.

U₁

U₂

[U] = U₃

U_n

Каждый столбец матрицы [П] указывает на совокупность сечений, которые принадлежат данной ветви. Если мы умножим какой-либо столбец матрицы [П] на вектор [U], то, как мы видим из рисунка 2 получим алгебраическую сумму узловых напряжений, равную напряжению данной ветви. Однако чтобы выразить напряжения ветвей через узловые напряжения, необходимо матрицу сечений транспонировать.

Тогда мы получим зависимость между вектором напряжений ветвей [U_в ] и вектором узловых напряжений [U] в следующем виде.

[U_в ] = [П]_t [U] (1.11)

При анализе сложных схем решение системы уравнений приводит к громоздким выкладкам. Поэтому желательно соответствующим выбором независимых переменных свести задачу к наименьшему числу исходных уравнений. Это может быть достигнуто применением метода узловых потенциалов.

1.2.2 Метод узловых потенциалов.

В качестве независимых величин можно выбрать совокупность узловых потенциалов, которые отождествляются с напряжениями ветвей дерева схемы. Подставим в уравнение ветвей вместо вектора напряжений ветвей его значение в соответствии с (1.11):

[I_в ] = [Y_в ] [П]_t [U] + [J_в ]

и умножив полученное равенство на матрицу контуров [П] получим:

[П] [I_в ] = [П] ([Y_в ] [П]_t [U] + [J_в ]).

В соответствии с первым законом Кирхгофа (1.10) произведение в левой части равенства тождественно равно нулю. Выполнив теперь умножение в правой части равенства, получим

0 = ([П] [Y_в ] [П]_t )[U] + [П] [J_в ].

Введём обозначения:

[Y] = [П] [Y_в ] [П]_t (1.12)

[J] = -[П] [J_в ] (1.13)

получим узловое уравнение схемы в матричной форме

[Y] [U] = [J] (1.14)

Здесь Y- квадратная матрица n -го порядка, называемая матрицей проводимости схем .

Y₁₁ Y₁₂ ….. Y₁ _n

Y₂₁ Y₂₂ ….. Y₂ _n

[Y]= ….. … …. …..

Y_n ₁ Y_n ₂ …. Y_nn

Как видно из выражения (1,12), её элементы Y_ks -это линейные комбинации проводимости ветвей. Многомерный вектор:

[J] = [J₁ , J₂ , …J_s ] (1.15)

называется вектором задающих токов или просто задающим вектором, как следует из выражения (1.13) его элементами являются линейные комбинации задающих токов ветвей.

Величины [Y] и [J] представляют собой матрично-векторные параметры схемы и для конкретной системы независимых сечений вполне определяются значениями параметров ветвей, которые обычно считаются известными. Если мы решим уравнение (1.14) относительно вектора узловых напряжений, то получим значения напряжений ветвях дерева. Это решение записывается через обратную матрицу проводимости [Y]^-1 следующим образом:

[U]=[Y]^-1 [J] (1.16)

В матричном виде это решение получается умножением обеих частей уравнения (1.14) на обратную матрицу [Y]^-1

[Y]^-1 [Y] [U] = [Y]^-1 [J] (1.17)

Произведение взаимообратных матриц равно единичной матрице, элементы главной диагонали которой равны единицам, а остальные элементы – нули.

Обратная матрица [Y]^-1 получается заменой в исходной матрице [Y] каждого элемента его алгебраическим дополнением, затем она транспонируется, и полученную таким способом матрицу делят на определитель матрицы [Y] .

Используя выражение для обратной матрицы, можно записать равенство (1.16) в следующем виде:

U₁ D₁₁ D₂₁ … D_s1 J₁

U₂ D₁₂ D₂₂ … D_s2 J₂

… = 1/D ¼ ¼ ¼ ¼ ´ ¼ (1.18)

U_s D₁ _s D₂ _s … D_ss J_s

Если в правой части этого равенства выполнить умножение и приравнять элементы полученного в результате вектора соответствующим элементам в левой части равенства, то мы получим значения узловых напряжений. Для k -го узлового напряжения имеем:

_n U_k = 1/D(D_1k J₁ + D_2k J₂ + ¼ + D_n _k J_n ) = 1/D å D_sk J_s (1.19)

s = 1

С помощью этого выражения можно вычислить любую компоненту вектора [U], не прибегая к обратной матрице.

1.2.3 Дуализм в анализе электронных схем.

При рассмотрении методов контурных токов и узловых напряжений удобно пользоваться понятием дуальности, которое в теории электронных схем играет большую роль. Если бы мы произвели сравнение этих двух методов, то увидели бы что имеется аналогия во всех выкладках и методах, представления матрично-векторных параметров схемы и определении искомых величин. Полученные выражения и правила являются сходными по форме и отличаются друг от друга только названиями величин и терминов. Такие величины и термины называются дуальными. Примерами таких дуальных пар являются ток и напряжение, проводимость и сопротивление, контурный ток и узловое напряжение, источник тока и источник напряжения, контур и сечение, ячейка и узел и т.д.

Практическое значение принципа дуализма состоит в том, что замена в формулировке любой зависимости или правила величин и терминов соответствующими дуальными величинами и терминами приводит к новой формулировке, которая также имеет смысл. Это значит, что, изучив некоторую группу соотношений, на основе принципа дуализма можно получить другую группу соотношений относительно дуальных величин и терминов.

Применив принцип дуализма к матричному уравнению схемы, мы получим его в обобщённой форме.

[W] [X] = [Q] (1.20)

Величины, которые входят в данное уравнение приобретают конкретный смысл в зависимости от системы отсчёта величин, характеризующих состояние системы. Если в качестве такой системы выбрать совокупность независимых контуров, то [X] будет представлять собой вектор контурных токов, [W] – матрицу сопротивления схемы, а [Q] – вектор задающих напряжений. Если же выбрана системой отсчёта совокупность независимых сечений, то [X] тогда представляет собой вектор узловых напряжений, [W] – матрицу проводимости схемы, а [Q] - вектор задающих токов.

Совокупность независимых контуров и сечений можно рассматривать, как некоторую систему координат в многомерном пространстве, а значения контурных токов или узловых напряжений – как некоторые координаты, которые характеризуют состояние схемы при данных значениях параметров её элементов. Таким образом, вектор является некоторой обобщённой координатой схемы, в связи, с чем его называют вектором состояния схемы. Этот вектор однозначно определяется через матрично-векторные параметры схемы [W] и [Q].

[X] = [W]^-1 [Q] (1.21)

1.2.4 Символическое изображение.

Символическое изображение– один из способов преобразования функций времени.

Преобразования функций времени сводят при решении операции интегрирования и дифференцирования к алгебраическим действиям, и тем самым мы получаем уравнения в комплексной форме.

Пусть задающие токи и напряжения представляют собой гармонические функции времени

¦ (t) = A cos(wt + a) (1.22)

где А – амплитуда; w - круговая частота; a - начальная фаза.

Период колебаний Т и частота ¦ связаны с круговой частотой формулами Т = 2p/w; ¦ = 1/Т; w = 2p/Т = 2p¦ (1.23)

Обычно гармоническая функция ¦ (t) заменяется её условным символическим изображением, которым служит комплексная функция

j(t) = Aе^j( ^w ^{t +} ^a) = Ae^j ^w ^t (1.24)

Комплексная величина А, которая не зависит от времени, называется комплексной амплитудой и выражается через модуль А и аргумент a

А = Ае^j ^a (1.25)

Графически комплексная амплитуда А представляется на комплексной

плоскости символическим вектором, а символическое изображение j(t) - тем же вектором, вращающимся против часовой стрелки с угловой скоростью w (см. рис. 3). В алгебраической записи комплексной амплитуды

А = a + jb (1.26)

величины a и b представляют собой соответственно проекции символического вектора на вещественную и мнимую оси. Как видно из рисунка 4:

a = A cosa; b = A sina (1.27)

Для того чтобы от алгебраической записи перейти к показательной, используют соотношения:

А = Öa² + b² ; a = arctg b/a (1.28)

0 а

Рисунок.3. Символическое изображение гармонической функции на комплексной плоскости.

Если мы в уравнениях для пассивных элементов заменим токи символическими изображениями и выполним указанные там операции, то получим символические изображения напряжений на пассивных двухполюсниках.

U_R e^j ^w ^t = RI_R e^j ^w ^t

U_C e^j ^w ^t = (1/jwC) I_C e^j ^w ^t

U_L e^j ^w ^t = jwLI_L e^j ^w ^t

Общий множитель e^j ^w ^t показывает, что при гармонических воздействиях некоторой частоты w в пассивной линейной цепи могут возникать только гармонические токи и напряжения той же частоты. Если в полученных зависимостях опустить этот множитель, то мы приходим к уравнениям пассивных двухполюсников для комплексных амплитуд токов и напряжений.

U_R = RI_R (1.29)

U_C = (1/jwC) I_C (1.30)

U_L = jwL I_L (1.31)

Комплексная амплитуда полностью определяет гармоническую функцию данной частоты w. Действительно, если мы сравним выражения (1.22) и (1.25), то увидим, что амплитуда А и фаза a косинусоидальной функции совпадают соответственно с модулем и аргументом комплексной амплитуды, что позволяет легко переходить от гармонической функции комплексной амплитуде и обратно. Пользуясь зависимостью между показательной и тригонометрической записью комплексной функции, можно записать выражение для символического изображения в виде

j(t) = Ae^j( ^w ^t ⁺ ^a ⁾ = A[cos(wt + a) + j sin(wt + a)].

Отсюда вытекает зависимость, которая связывает между собой гармоническую функцию и её символическое изображение:

¦(t) = A cos(wt + a) = Re[j(t)] (1.32)

т.е. косинусоидальная функция равна вещественной составляющей её комплексного изображения.

В таблице 1 (Приложение А) сведены распространенные типы преобразований и данных значения величины p , которые она приобретает при различных преобразованиях.

2. Расчёт коэффициента передачи по току низкочастотного фильтра

методом узловых потенциалов

2.1 Задан низкочастотный фильтр (см. рис.4) со следующими параметрами

С = 100мкФ = 10^-4 Ф; k = 10; R_н = 100 Ом ; R_r = 10 Ом.

Параметры фильтра связаны следующими формулами.

L = k/p¦₂ (2.2) C = 1/pk¦₂ (2.3)

k = ÖL/C (2.1)

Рисунок.4. Исходная схема низкочастотного фильтра.

Рассчитаем, воспользовавшись формулой (2.1) индуктивность

L = k² *C = 100*10^-4 = 0.01Гн

Рассчитаем верхнюю границу полосы пропускания согласно формуле

¦ ₂ = 1/p = 1/(3.14*) = 318,5 Гц

таким образом, полоса пропускания нашего фильтра:

¦₁ £ ¦ £ ¦₂ ¦₁ = 0; ¦₂ =318,5 Гц.

Согласно задания, схема на рисунке 4 должна быть удвоенна. Так же добавим в схему источник питания, сопротивление нагрузки и землю. Преобразованная схема изображена на рисунке 5.

Y_г C R_H

Рисунок.5. Преобразованная схема низкочастотного фильтра.

2.2 Построим граф для нашего фильтра.

1 4 2 5 3

1 2 3

Рисунок.6. Граф низкочастотного фильтра.

Топологические элементы схемы: ветвей дерева – 3 (1,2,3); узлов – 3 (1 ,2 ,3 ); сечений – 3; контуров – 2, хорды- 2 (4,5).

2.3. Составим топологические матрицы [А],[П],[Г]:

Составим матрицу [А]

1 0 0 -1 0

[А] = 0 1 0 1 -1

0 0 1 0 1

Матрицу сечений [П]

1 0 0 -1 0

[П] = 0 1 0 1 -1

0 0 1 0 1

Как видим матрицы [А] и [П] аналогичны, так как число сечений равно числу узлов.

Матрицу контуров [Г]

1 -1 0 1 0

[Г] = 0 1 -1 0 1

2.4. Запишем связь напряжений ветвей с напряжениями сечений:

1 0 0 U₁

0 1 0 U₁ U₂

[П]_t [U] = 0 0 1 ´ U₂ = U₃ = [U_с ]

-1 1 0 U₃ U₂ -U₁

0 -1 1 U₃ -U₂

2.5. Запишем второй закон Кирхгофа в матричном виде

1 0 0

0 1 0 U₁

[Г] [U_в ] = [Г] [П]_t [U] = 1 -1 0 1 0 ´ 0 0 1 ´ U₂ =

0 1 -1 0 1 -1 1 0 U₃

0 -1 1

U₁ - U₂ + U₂ - U₁ 0

U₂ - U₃ + U₃ - U₂ = 0

2.6. Найдём матрицу проводимости и ММС тремя способами:

2.6.1. формальным способом: матрица [Y] записывается в виде квадратной матрицы методом узловых потенциалов. Элементы главной диагонали являются проводимостью соответствующих ветвей, а остальные элементы проводимость элементов, которые входят, как в один, так и в другой контур.

[Y]=

2.6.2. По компонентным уравнениям

Запишем по второму закону Кирхгофа систему уравнений относительно неизвестных контурных токов:

По первому узлу:

I_B1 +I_B4 =I_г

I_B1 =Y_г *U_B1 ; I_B4 =2/pL*(U₂ -U₁ ); тогда

(Y_г +2/pL)*U₁ -2/pL*U₂ =I_г

По второму узлу:

I_B ₄ + I_B ₂ - I_B ₅ =0

-2/pL*U₁ +(4/pL+pC)U₂ -2/pL* U₃ =0

по третьему узлу:

-2/pL*U₃ +(1/R_H +2/pL)U₃ =0

Проведя преобразования получим коэффициенты при токах дадут нам матрицу проводимости [Y]:

[Y]=

2.6.3.Перемножаем матрицы [Y] = [П] [Y_в ] [П]_t .

1/R_г 0 0 0 0

1 0 0 -1 0 0 2/pL 0 0 0

[Y] = [П] [Y_в ] [П]_t = 0 1 0 1 -1 ´ 0 0 pC 0 0 ´

0 0 1 0 1 0 0 0 2/pL 0

0 0 0 0 1/ R_н

1 0 0

0 1 0

´ 0 0 1 =

-1 1 0

0 -1 1

Полная математическая модель схемы для данного фильтра метода узловых потенциалов будет иметь вид:

U₁ I_г

´ U₂ = 0

U₃ 0

2.7. Запишем коэффициент передачи фильтра по току: К_I = I_вых /I_вх = I₃ /I₁ через алгебраические дополнения матрицы [Y]:

I₃ А₁₃ М₁₃

К_I = ____ = ______ = _______

I₁ А₁₁ М₁₁

Определим миноры матрицы проводимости [Y]:

4 /pL +pC -2/pL

М₁₁ = ==

-2/pL 1/R_н + 2/pL

-2/pL 4/pL +pC

М₁₃ = =

0 -2/pL

Заменим оператор символического преобразования p на jw, заменим w=2p¦=

2*3.14*3.2=20.1*10³ Гц

М₁₃ ==

М₁₁ ==

= =

Произведём деление и запишем К_I в виде дроби? произведём умножение числителя и знаменателя на комплексно-сопряжённое к знаменателю, чтобы избавиться от мнимого числа в знаменателе. Подставим в полученное выражение численные данные параметров:

К_I =

В показательной форме коэффициент передачи будет иметь вид:

К(w) = »

j(w) = arctg Im/Re = arctg=90

К_I = К(w)е^j ^j ⁽ ^w ⁾ » 79.6

Вывод

Рассмотрев данную курсовую работу, мы научились пользоваться методами анализа линейных и реальных цепей. Были кратко рассмотрены матричные методы представления математической модели схемы, описан топологический метод описания схем, дуализм, при рассмотрении схем. Использовано символическое изображение времени. Была дана краткая классификация фильтров и мы рассмотрели возможность их представления линейными цепями с постоянными параметрами.

В практической части мы научились рассчитывать передаточную характеристику низкочастотного фильтра методом узловых потенциалов, с применением символического преобразования времени. А также изобразили амплитудно-частотную характеристику с указанием расчётной точки.

Приложение А

Амплитудно-частотная характеристика низкочастотного фильтра.