Реферат: Тема: «Решение задач с параметрами»
Название: Тема: «Решение задач с параметрами» Раздел: Остальные рефераты Тип: реферат |
Реферат Тема: «Решение задач с параметрами» Выполнила ученица 10 класса МОУ СОШ №1 г.Карталы Челябинской области, Алтынбаева Дарина. Оглавление. Введение. 1. Аналитический способ решения задач с параметрами. 1.1. Линейные уравнения с одной переменной, содержащие параметр. 1.2. Квадратные уравнения, содержащие параметр. 1.3. Системы линейных уравнений с параметрами. 2. Применение графического способа при решении задач с параметрами. Заключение. Список литературы. Введение. Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду. Толстой Л. Н. “Круг чтения”. Толковый словарь определяет параметр как величину, характеризующую какое - нибудь основное свойство машины, устройства, системы или явления, процесса. (Ожегов С.И. , Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка. Москва. 1999). Рассмотрение параметров - это всегда выбор. Покупая какую-то вещь, мы внимательно изучаем ее основные характеристики. Перед выбором мы стоим и в различных жизненных ситуациях. Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Решение задач с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему значению к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определённый уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты. Выполняя данную работу, я ставила цель расширить свои математические представления о приёмах и методах решения задач с параметрами, развивать логическое мышление и навыки исследовательской деятельности. В своем реферате я рассмотрела основные типы задач с параметрами: · уравнения и их системы, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству; · уравнения и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра; · уравнения и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения и их системы имеют заданное число решений. В первой части моего реферата я рассматриваю наиболее стандартный аналитический способ решения уравнений и систем уравнений с параметрами, а во второй – графический метод. Я думаю, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче ЕГЭ по математике. 1. Аналитический способ решения задач с параметрами. Задачи с параметрами встречаются фактически с самого начала изучения математики, когда начинают оперировать с буквами, как с числами. Они связаны с решением уравнений и неравенств, в запись которых наряду с переменными входят буквы, называемые параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения, т.е. одно уравнение с параметром задает множество уравнений. Решить уравнение с параметрами означает следующее: · исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров; · найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения. 1.1. Линейные уравнения с одной переменной, содержащие параметр. Уравнение вида ах + в = 0, где а и в – некоторые постоянные, называется линейным уравнением. Если а0, то линейное уравнение имеет единственный корень: х=. Если а=0 и в=0, переписав исходное уравнение в виде ах=-в, легко видеть, что любое х является решением линейного уравнения. Если а=0 и в0, то линейное уравнение не имеет корней. Пример 1 . Решить уравнение с параметром: 1) ах=0. Решение. Если а=0, то 0х=0; х - любое действительное число. Если а0, то х = = 0. Ответ: если а=0, х - любое действительное число; если а0, то х = 0. 2) х + 2 = ах. Решение. Преобразуем данное уравнение к виду х(1-а) = -2. Если 1-а =0,т.е. а=1, то получим уравнение х0=-2, которое не имеет корней. Если 1-а0,т.е. а1, то уравнение имеет единственный корень х=. Ответ: если а1, то х=; если а=1,то уравнение не имеет корней. 3) (а2 -1)х=2 а2 + а -3. Решение. Приведем данное уравнение к виду (а-1)(а+1)х=(2а+3)(а-1). Если а=1, то уравнение принимает вид 0х=0, его решением является любое действительное число. Если а=-1, то уравнение принимает вид 0х=-2, это уравнение не имеет решений. Если а1, то уравнение имеет единственное решение х=. Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х. Ответ: если а=1, то х- любое действительное число; если а=-1, то уравнение не имеет решений; если а1, то х=. Пример 2 . Решить относительно х уравнение + = . Решение. Из условия следует, что (а-1)(х+3)0, т.е. а1, х-3. Умножив обе части данного уравнения на (а-1)(х+3), получим уравнение 3ах-5+ (3а-11)(х+3)=(2х+7)(а-1), или х(4а-9)=31-2а. При а2,25 х=. Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений а, при которых найденное значение х=-3. =-3 при а=-0,4. Таким образом, при а2,25, а1 и а-0,4 данное уравнение имеет единственное решение х=. При а=2,25, а=-0,4 и а=1 уравнение решений не имеет. Замечание: если при каком-либо значении параметра данное уравнение не имеет смысла, то оно при этом значении параметра и не имеет решения. Обратное утверждение не верно. Ответ: если а2,25, а1 и а-0,4, то х=; если а=2,25, а=-0,4 и а=1,то уравнение решений не имеет. Пример 3 . При каких значениях параметра а уравнение имеет бесконечное множество решений? 6(ах-1)-а=2(а+х)-7. Решение. Приведем данное уравнение к виду 2х(3а-1)=3а -1. Если 3а-10,т.е. а, то х=. Если 3а-1=0, т.е. а=, то уравнение примет вид 2х0=0, его решением является любое число. Ответ: уравнение имеет бесконечное множество решений при а=. Пример 4 . При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений? =2а. Приведем данное уравнение к виду х(5+2а)=4а-8. Если 5+2а0,т.е. а-, то х=. Если 5+2а =0,т.е. а =-, то уравнение примет вид х0=-18, это уравнение не имеет решений. Ответ. уравнение не имеет решений при а =-. 1.2. Квадратные уравнения, содержащие параметр. Уравнение вида ах2 +вх+с=0, где а,в,с –некоторые числа (а0), х-переменная, называется квадратным уравнением. Для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант D= b2 -4ac. Если D=0, то квадратное уравнение имеет единственный корень: х=- (или два, но сливающихся корня х1 =х2 ). Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня: х1 = ; х2 = . Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней. Если один из коэффициентов в или с равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта: 1. в=0, с0; <0, то х1,2 = . 2. в0, с=0, то х1 =0, х2 =-. Следующие теоремы также помогают при решении квадратных уравнений с параметрами. Теорема Виета (прямая) утверждает: если х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения ах2 +вх+с=0, то выполняются соотношения: х1 +х2 =- и х1 х2 =. Обратная теорема утверждает: если для некоторых постоянных а, в, с существуют числа х1 и х2 , удовлетворяющие соотношениям х1 +х2 =- и х1 х2 =, то эти числа х1 и х2 являются корнями уравнения ах2 +вх+с=0. Пример 5 . Решить относительно х: ах2 -2х+4=0 Если а=0, тогда уравнение примет вид -2х+4=0, отсюда х=2. Если а0, то D=4-16а. Если 4-16а≥0, т.е а≤, х1,2 = Если 4-16а<0, т.е. а>, то уравнение не имеет решений. Ответ: если а=0, то х=2; если а0 и а≤, то уравнение имеет два решения х1,2 = если а0 и а>, то уравнение не имеет решений. Пример 6 . При каких значениях а уравнение ах2 -х+3=0 имеет единственное решение? Если а=0, тогда уравнение примет вид –х+3=0, отсюда х=3. Если а0, то D=1-12а. Уравнение будет иметь единственное решение при D=0. 1-12а=0, отсюда а=. Ответ: уравнение имеет единственное решение при а=0 или а=. Пример 7. При каких значениях а уравнение ах2 +4х+а+3=0 имеет более одного корня? Если а=0, то уравнение примет вид 4х+3=0, которое имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию задачи. Если а0, то D=16-4а2 -12а. Уравнение имеет более одного корня при D>0. 16-4а2 -12а>0. Рассмотрим функцию у=16-4а2 -12а. Найдем нули этой функции, решая уравнение 16-4а2 -12а=0. а1 =-4; а2 =1. Функция принимает положительные значения, если -4<а<1. Ответ: уравнение имеет более одного корня, если -4<а<0 и 0<а<1. Пример 8. Найти коэффициент а, если корни уравнения х2 -2х+а=0. связаны соотношением 2х1 +х2 =3. х2 -2х+а=0. По теореме Виета х1 +х2 =а и х1 х2 =2. Составляю систему: Решая эту систему, получаю, что х1 =1, х2 =1. Тогда а=1. Ответ: а=1. 1.3. Системы линейных уравнений с параметром. Системы линейных уравнений вида
1) имеют единственное решение, если ; 2) не имеют решений, если = ; 3) имеют бесконечное множество решений, если == . Пример 9. Найти все значения параметра а, при котором система имеет бесконечное множество решений: Система имеет бесконечное множество решений, если выполняется условие: = = . 1) = ; ОДЗ: а0, а-3. (а+1)(а+3)=8а, отсюда а2 -4а+3=0. D>0, а1 =1 и а2 =3. Оба значения входят в область допустимых значений. 2) = ; ОДЗ: а; а-3. 4а(а+3)=8(3а-1), отсюда а2 -3а+2=0. D>0, а1 =2 и а2 =1. Оба значения входят в область допустимых значений. 3) =; ОДЗ: а; а0. 4а2 =(а+1)(3а-1), отсюда а2 -2а+1=0, (а-1)2 =0, а=1. Ответ: при а=1 система имеет бесконечное множество решений. Пример 10. При каких m и n система а) имеет единственное решение; б) не имеет решений. а) система имеет единственное решение, если ; Это условие выполняется при m6. б) система не имеет решений, если = ; 1) = , отсюда m=6. 2) , отсюда n8. 3) , отсюда n ; т.е. при m=6 n8. Ответ: а) при m6 система имеет единственное решение; б) при m=6 и n8 система не имеет решений. 2.Применение графического способа при решении задач с параметрами. Пример 11 . Решить уравнение х2 -4х+2=а. Рассмотрим функцию у1 = х2 -4х+2, графиком которой является парабола, ветви направлены вверх. Для удобства построения выделим полный квадрат у=(х-2)2 -2. Вершиной параболы является точка с координатами (2;-2). Рассмотрим функцию у2 =а. Графиком этой функции является прямая, параллельная оси ОХ. Так как параметр содержится в уравнении прямой, то решение уравнения будет зависеть от расположения данной прямой. Построим графики рассматриваемых функций: у1 = х2 -4х+2 и у2 =а. По графикам построенных функций можно сделать следующий вывод: при а<-2 уравнение не имеет корней; при а=-2 уравнение имеет единственный корень, х=2; при а>-2 уравнение имеет два корня. При графическом способе решения данного уравнения мы легко определили количество корней в зависимости от значения а. Однако не всегда удается найти их аналитическое значение, как в случае при а>-2. Найдем значение этих корней аналитическим способом. Если а>-2, то в > 0. Находим корни по формуле: х1,2 = х1,2 =2± Ответ: если а<-2, то уравнение не имеет корней; если а=-2, то х=2; если а>-2, то х1,2 =2±. Пример12 . Найти все значения параметра а, для которых вершины парабол у1 = х2 -2(а+1)х+1 и у2 = ах2 -х+а лежат по разные стороны от прямой у=. Решение данной задачи начнем с анализа графической модели. Рассмотрим функцию у1
= х2
-2(а+1)х+1, графиком которой является парабола, ветви направлены вверх. Графиком функции у2
= ах2
-х+а является парабола, направление ветвей которой будет зависеть от значения параметра а.
Найдем координаты вершин парабол: хв1 =а+1; ув1 =1-(а+1)2 . хв2 =; ув2 = 4а2-14а. Согласно схематичным чертежам записываем четыре системы неравенств:
Пример 13. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения х2 +х+а=0 действительные, различные и оба больше а. Рассмотрим функцию у= х2
+х+а, графиком которой является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Абсцисса вершины параболы хв
=-. По условию задачи уравнение имеет два различных действительных корня, которые одновременно больше а, тогда и только тогда, когда: D>0,fa>0,xв>a;⇒ D>0,fa>0,xв>a; Ответ: (-; -2). Пример 14 . Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения ах2 +2(а+3)х+а+2=0 неотрицательны. Корни уравнения неотрицательны, значит они могут принимать значения больше либо равные нулю, не сказано, что корни различны, следовательно это могут быть два совпавших корня. Графическая интерпретация данной задачи: Чтобы выполнялось условие задачи, необходимо и достаточно D≥0,f0≥0,xв>0, a>0. или D≥0,f0≤0,xв>0, a<0. Решая системы методом интервалов, получаем, что решением первой системы является пустое множество, а решением второй системы - -2,25;-2 Ответ: а -2,25;-2. Пример15. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения ах2 -(а+1)х+а+3=0 имеют разные знаки. Для того, чтобы парабола, являющаяся графиком функции у= ах2 -(а+1)х+а+3, пересекала ось абсцисс в точках, между которыми располагается начало координат, необходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен ах2 -(а+1)х+а+3 принимал в точке х = 0 отрицательное или положительное значение, в зависимости от направления ветвей параболы. Графическая интерпретация данной задачи: Тогда искомое условие задачи имеет вид: Ответ: а (-3;0). Пример16. При каких значениях параметра а, корни уравнения х2 -ах+2=0 принадлежат отрезку ? При требуемом условии расположения корней квадратного трехчлена х2 -ах+2 соответствующая парабола располагается следующим образом: Решение данной задачи определяется условием: D≥0,f0≥0; f3≥0,0≤xв≤3;⇔ а2-8≥0,11-3а≥0,0≤а2≤3. Решаем систему методом интервалов, откуда получаем, что а 22;113 . Ответ: а 22;113 . Заключение. Таким образом, я рассмотрела часто встречающиеся типы уравнений и системы уравнений с параметрами и сделала следующие выводы: · при решении многих задач с параметрами удобно воспользоваться геометрическими интерпретациями. Это часто позволяет существенно упростить анализ задач, а в ряде случаев представляет собой единственный «ключ» к решению задачи; · существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем задачам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значения параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов. Подготовка реферата позволила мне узнать много нового и интересного, подробно познакомиться с вопросами, которые на уроках изучаются кратко. Оформление реферата способствовало совершенствованию и закреплению полученных мною на уроках информатики умений и навыков по редактированию и форматированию текстовых документов. Я могу сказать, что научилась решать уравнения с параметрами, но не хочу останавливаться на достигнутом и в следующем году собираюсь продолжить работу по этой теме и рассмотреть примеры тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений с параметрами. Список литературы. 1. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 1990. 2. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач.Учеб. пособие для 10 кл. средней школы – М.: Просвещение, 1989. 3. Васильев Ю.С., Витовтов П.Г. и др. Математика. Система дистанционного образования. Часть 1. Учебно-практическое пособие. – Челябинск: 2000. 4. Горнштейн Ш. Квадратные трехчлены и параметры. – Математика. -1999, №5. 5. Мещерякова Г.В. Задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям. –Математика в школе. №5, 2001. 6. Большой энциклопедический словарь. Математика. – М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1998. |
Работы, похожие на Реферат: Тема: «Решение задач с параметрами»