Реферат: Тема: «Решение задач с параметрами»

Реферат

Тема: «Решение задач с параметрами»

Выполнила ученица 10 класса МОУ СОШ №1 г.Карталы Челябинской области, Алтынбаева Дарина.

Оглавление.

Введение.

1. Аналитический способ решения задач с параметрами.

1.1. Линейные уравнения с одной переменной, содержащие параметр.

1.2. Квадратные уравнения, содержащие параметр.

1.3. Системы линейных уравнений с параметрами.

2. Применение графического способа при решении задач с параметрами.

Заключение.

Список литературы.

Введение.

Большинство жизненных задач

решаются как алгебраические

уравнения: приведением их к

самому простому виду.

Толстой Л. Н. “Круг чтения”.

Толковый словарь определяет параметр как величину, характеризующую какое - нибудь основное свойство машины, устройства, системы или явления, процесса. (Ожегов С.И. , Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка. Москва. 1999). Рассмотрение параметров - это всегда выбор. Покупая какую-то вещь, мы внимательно изучаем ее основные характеристики. Перед выбором мы стоим и в различных жизненных ситуациях.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами.

Решение задач с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему значению к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определённый уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты.

Выполняя данную работу, я ставила цель расширить свои математические представления о приёмах и методах решения задач с параметрами, развивать логическое мышление и навыки исследовательской деятельности.

В своем реферате я рассмотрела основные типы задач с параметрами:

· уравнения и их системы, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству;

· уравнения и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра;

· уравнения и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения и их системы имеют заданное число решений.

В первой части моего реферата я рассматриваю наиболее стандартный аналитический способ решения уравнений и систем уравнений с параметрами, а во второй – графический метод.

Я думаю, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче ЕГЭ по математике.

1. Аналитический способ решения задач с параметрами.

Задачи с параметрами встречаются фактически с самого начала изучения математики, когда начинают оперировать с буквами, как с числами. Они связаны с решением уравнений и неравенств, в запись которых наряду с переменными входят буквы, называемые параметрами.

Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения, т.е. одно уравнение с параметром задает множество уравнений.

Решить уравнение с параметрами означает следующее:

· исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров;

· найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

1.1. Линейные уравнения с одной переменной, содержащие параметр.

Уравнение вида ах + в = 0, где а и в – некоторые постоянные, называется линейным уравнением.

Если а0, то линейное уравнение имеет единственный корень: х=.

Если а=0 и в=0, переписав исходное уравнение в виде ах=-в, легко видеть, что любое х является решением линейного уравнения.

Если а=0 и в0, то линейное уравнение не имеет корней.

Пример 1 . Решить уравнение с параметром:

1) ах=0.

Решение. Если а=0, то 0х=0; х - любое действительное число.

Если а0, то х = = 0.

Ответ: если а=0, х - любое действительное число;

если а0, то х = 0.

2) х + 2 = ах.

Решение. Преобразуем данное уравнение к виду х(1-а) = -2.

Если 1-а =0,т.е. а=1, то получим уравнение х0=-2, которое не имеет корней.

Если 1-а0,т.е. а1, то уравнение имеет единственный корень

х=.

Ответ: если а1, то х=;

если а=1,то уравнение не имеет корней.

3) (а² -1)х=2 а² + а -3.

Решение. Приведем данное уравнение к виду (а-1)(а+1)х=(2а+3)(а-1).

Если а=1, то уравнение принимает вид 0х=0, его решением является любое действительное число.

Если а=-1, то уравнение принимает вид 0х=-2, это уравнение не имеет решений.

Если а1, то уравнение имеет единственное решение х=.

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

Ответ: если а=1, то х- любое действительное число;

если а=-1, то уравнение не имеет решений;

если а1, то х=.

Пример 2 . Решить относительно х уравнение

+ = .

Решение. Из условия следует, что (а-1)(х+3)0, т.е. а1, х-3.

Умножив обе части данного уравнения на (а-1)(х+3), получим уравнение

3ах-5+ (3а-11)(х+3)=(2х+7)(а-1), или х(4а-9)=31-2а.

При а2,25 х=.

Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений а, при которых найденное значение х=-3.

=-3 при а=-0,4.

Таким образом, при а2,25, а1 и а-0,4 данное уравнение имеет единственное решение х=.

При а=2,25, а=-0,4 и а=1 уравнение решений не имеет.

Замечание: если при каком-либо значении параметра данное уравнение не имеет смысла, то оно при этом значении параметра и не имеет решения. Обратное утверждение не верно.

Ответ: если а2,25, а1 и а-0,4, то х=;

если а=2,25, а=-0,4 и а=1,то уравнение решений не имеет.

Пример 3 . При каких значениях параметра а уравнение имеет бесконечное множество решений?

6(ах-1)-а=2(а+х)-7.

Решение. Приведем данное уравнение к виду 2х(3а-1)=3а -1.

Если 3а-10,т.е. а, то х=.

Если 3а-1=0, т.е. а=, то уравнение примет вид 2х0=0, его решением является любое число.

Ответ: уравнение имеет бесконечное множество решений при а=.

Пример 4 . При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений?

=2а.

Приведем данное уравнение к виду х(5+2а)=4а-8.

Если 5+2а0,т.е. а-, то х=.

Если 5+2а =0,т.е. а =-, то уравнение примет вид х0=-18, это уравнение не имеет решений.

Ответ. уравнение не имеет решений при а =-.

1.2. Квадратные уравнения, содержащие параметр.

Уравнение вида ах² +вх+с=0, где а,в,с –некоторые числа (а0), х-переменная, называется квадратным уравнением.

Для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант

D= b² -4ac.

Если D=0, то квадратное уравнение имеет единственный корень:

х=- (или два, но сливающихся корня х₁ =х₂ ).

Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня:

х₁ = ; х₂ = .

Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Если один из коэффициентов в или с равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:

1. в=0, с0; <0, то х_1,2 = .

2. в0, с=0, то х₁ =0, х₂ =-.

Следующие теоремы также помогают при решении квадратных уравнений с параметрами.

Теорема Виета (прямая) утверждает: если х₁ и х₂ являются корнями квадратного уравнения ах² +вх+с=0, то выполняются соотношения:

х₁ +х₂ =- и х₁ х₂ =.

Обратная теорема утверждает: если для некоторых постоянных а, в, с существуют числа х₁ и х₂ , удовлетворяющие соотношениям

х₁ +х₂ =- и х₁ х₂ =, то эти числа х₁ и х₂ являются корнями уравнения ах² +вх+с=0.

Пример 5 . Решить относительно х:

ах² -2х+4=0

Если а=0, тогда уравнение примет вид -2х+4=0, отсюда х=2.

Если а0, то D=4-16а.

Если 4-16а≥0, т.е а≤, х_1,2 =

Если 4-16а<0, т.е. а>, то уравнение не имеет решений.

Ответ: если а=0, то х=2;

если а0 и а≤, то уравнение имеет два решения х_1,2 =

если а0 и а>, то уравнение не имеет решений.

Пример 6 . При каких значениях а уравнение ах² -х+3=0 имеет единственное решение?

Если а=0, тогда уравнение примет вид –х+3=0, отсюда х=3.

Если а0, то D=1-12а.

Уравнение будет иметь единственное решение при D=0.

1-12а=0, отсюда а=.

Ответ: уравнение имеет единственное решение при а=0 или а=.

Пример 7. При каких значениях а уравнение ах² +4х+а+3=0 имеет более одного корня?

Если а=0, то уравнение примет вид 4х+3=0, которое имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию задачи.

Если а0, то D=16-4а² -12а.

Уравнение имеет более одного корня при D>0.

16-4а² -12а>0.

Рассмотрим функцию у=16-4а² -12а.

Найдем нули этой функции, решая уравнение 16-4а² -12а=0.

а₁ =-4; а₂ =1.

Функция принимает положительные значения, если -4<а<1.

Ответ: уравнение имеет более одного корня, если -4<а<0 и 0<а<1.

Пример 8. Найти коэффициент а, если корни уравнения х² -2х+а=0.

связаны соотношением 2х₁ +х₂ =3.

х² -2х+а=0.

По теореме Виета х₁ +х₂ =а и х₁ х₂ =2.

Составляю систему:

Решая эту систему, получаю, что х₁ =1, х₂ =1.

Тогда а=1.

Ответ: а=1.

1.3. Системы линейных уравнений с параметром.

Системы линейных уравнений вида

1) имеют единственное решение, если ;

2) не имеют решений, если = ;

3) имеют бесконечное множество решений, если == .

Пример 9. Найти все значения параметра а, при котором система имеет бесконечное множество решений:

Система имеет бесконечное множество решений, если выполняется условие:

= = .

1) = ;

ОДЗ: а0, а-3.

(а+1)(а+3)=8а, отсюда а² -4а+3=0.

D>0, а₁ =1 и а₂ =3. Оба значения входят в область допустимых значений.

2) = ;

ОДЗ: а; а-3.

4а(а+3)=8(3а-1), отсюда а² -3а+2=0.

D>0, а₁ =2 и а₂ =1. Оба значения входят в область допустимых значений.

3) =;

ОДЗ: а; а0.

4а² =(а+1)(3а-1), отсюда а² -2а+1=0, (а-1)² =0, а=1.

Ответ: при а=1 система имеет бесконечное множество решений.

Пример 10. При каких m и n система

а) имеет единственное решение;

б) не имеет решений.

а) система имеет единственное решение, если ;

Это условие выполняется при m6.

б) система не имеет решений, если = ;

1) = , отсюда m=6.

2) , отсюда n8.

3) , отсюда n ; т.е. при m=6 n8.

Ответ: а) при m6 система имеет единственное решение;

б) при m=6 и n8 система не имеет решений.

2.Применение графического способа при решении задач с параметрами.

Пример 11 . Решить уравнение х² -4х+2=а.

Рассмотрим функцию у₁ = х² -4х+2, графиком которой является парабола, ветви направлены вверх. Для удобства построения выделим полный квадрат у=(х-2)² -2. Вершиной параболы является точка с координатами (2;-2).

Рассмотрим функцию у₂ =а. Графиком этой функции является прямая, параллельная оси ОХ.

Так как параметр содержится в уравнении прямой, то решение уравнения будет зависеть от расположения данной прямой. Построим графики рассматриваемых функций: у₁ = х² -4х+2 и у₂ =а.

По графикам построенных функций можно сделать следующий вывод:

при а<-2 уравнение не имеет корней;

при а=-2 уравнение имеет единственный корень, х=2;

при а>-2 уравнение имеет два корня.

При графическом способе решения данного уравнения мы легко определили количество корней в зависимости от значения а. Однако не всегда удается найти их аналитическое значение, как в случае при а>-2.

Найдем значение этих корней аналитическим способом.

Если а>-2, то в > 0.

Находим корни по формуле: х_1,2 =

х_1,2 =2±

Ответ: если а<-2, то уравнение не имеет корней;

если а=-2, то х=2;

если а>-2, то х_1,2 =2±.

Пример12 . Найти все значения параметра а, для которых вершины парабол у₁ = х² -2(а+1)х+1 и у₂ = ах² -х+а лежат по разные стороны от прямой у=.

Решение данной задачи начнем с анализа графической модели.

Рассмотрим функцию у₁ = х² -2(а+1)х+1, графиком которой является парабола, ветви направлены вверх. Графиком функции у₂ = ах² -х+а является парабола, направление ветвей которой будет зависеть от значения параметра а.
Согласно условию задачи схематично можно изобразить четыре возможных варианта:

Найдем координаты вершин парабол:

х_в1 =а+1; у_в1 =1-(а+1)² .

х_в2 =; у_в2 = 4а2-14а.

Согласно схематичным чертежам записываем четыре системы неравенств:

Рассмотрим более подробно решение первой системы . Преобразование остальных систем аналогично , отличается только знаками:

Рационально далее решить систему методом интервалов:

Система решений не имеет.
Объединяя решения систем получаем ответ:

Пример 13. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения х² +х+а=0 действительные, различные и оба больше а.

Рассмотрим функцию у= х² +х+а, графиком которой является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Абсцисса вершины параболы х_в =-.
Графическая интерпретация данной задачи:

По условию задачи уравнение имеет два различных действительных корня, которые одновременно больше а, тогда и только тогда, когда:

D>0,fa>0,xв>a;⇒ D>0,fa>0,xв>a;

Ответ: (-; -2).

Пример 14 . Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения ах² +2(а+3)х+а+2=0 неотрицательны.

Корни уравнения неотрицательны, значит они могут принимать значения больше либо равные нулю, не сказано, что корни различны, следовательно это могут быть два совпавших корня.

Графическая интерпретация данной задачи:

Чтобы выполнялось условие задачи, необходимо и достаточно

D≥0,f0≥0,xв>0, a>0. или D≥0,f0≤0,xв>0, a<0.

Решая системы методом интервалов, получаем, что решением первой системы является пустое множество, а решением второй системы - -2,25;-2

Ответ: а -2,25;-2.

Пример15. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения ах² -(а+1)х+а+3=0 имеют разные знаки.

Для того, чтобы парабола, являющаяся графиком функции у= ах² -(а+1)х+а+3, пересекала ось абсцисс в точках, между которыми располагается начало координат, необходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен ах² -(а+1)х+а+3 принимал в точке х = 0 отрицательное или положительное значение, в зависимости от направления ветвей параболы. Графическая интерпретация данной задачи:

Тогда искомое условие задачи имеет вид:

Ответ: а (-3;0).

Пример16. При каких значениях параметра а, корни уравнения х² -ах+2=0 принадлежат отрезку ?

При требуемом условии расположения корней квадратного трехчлена х² -ах+2 соответствующая парабола располагается следующим образом:

Решение данной задачи определяется условием:

D≥0,f0≥0; f3≥0,0≤xв≤3;⇔ а2-8≥0,11-3а≥0,0≤а2≤3.

Решаем систему методом интервалов, откуда получаем, что а 22;113 .

Ответ: а 22;113 .

Заключение.

Таким образом, я рассмотрела часто встречающиеся типы уравнений и системы уравнений с параметрами и сделала следующие выводы:

· при решении многих задач с параметрами удобно воспользоваться геометрическими интерпретациями. Это часто позволяет существенно упростить анализ задач, а в ряде случаев представляет собой единственный «ключ» к решению задачи;

· существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем задачам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значения параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов.

Подготовка реферата позволила мне узнать много нового и интересного, подробно познакомиться с вопросами, которые на уроках изучаются кратко.

Оформление реферата способствовало совершенствованию и закреплению полученных мною на уроках информатики умений и навыков по редактированию и форматированию текстовых документов.

Я могу сказать, что научилась решать уравнения с параметрами, но не хочу останавливаться на достигнутом и в следующем году собираюсь продолжить работу по этой теме и рассмотреть примеры тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений с параметрами.

Список литературы.

1. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 1990.

2. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач.Учеб. пособие для 10 кл. средней школы – М.: Просвещение, 1989.

3. Васильев Ю.С., Витовтов П.Г. и др. Математика. Система дистанционного образования. Часть 1. Учебно-практическое пособие. – Челябинск: 2000.

4. Горнштейн Ш. Квадратные трехчлены и параметры. – Математика. -1999, №5.

5. Мещерякова Г.В. Задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям. –Математика в школе. №5, 2001.

6. Большой энциклопедический словарь. Математика. – М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1998.