Учебное пособие: Удк 53(075) А. А. Марко, избранные вопросы кинематики
Название: Удк 53(075) А. А. Марко, избранные вопросы кинематики Раздел: Остальные рефераты Тип: учебное пособие | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пензенский государственный педагогический университет имени В. Г. Белинского УДК 53(075) А. А. Марко, ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КИНЕМАТИКИ Пенза, 2010
Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического университета имени В. Г. Белинского УДК 53(075) Марко А. А. Избранные вопросы кинематики материальной точки и твердого тела. / А. А. Марко – Пенза: ПГПУ, 2010. – 40 с. Учебно-методическое пособие предназначено студентам физико-математического факультета, учителей школ и абитуриентов. Пособие содержит краткое обсуждение теоретических основ кинематического описания движения точки и твердого тела, подборку тестовых заданий и базовых задач для организации самостоятельной работы. В пособие приведены методические рекомендации по решению задач, а так же приведены примеры решения задач по кинематике в рамках векторно-координатного метода решения. Ó Пензенский государственный педагогический университет имени В. Г. Белинского, 2010 Ó А. А. Марко, 2010 Ó Л. С. Иванова, 2010 Ó Н. В. Кирпичева, 2010
1.1. Основные вопросы. Механическое движение. Относительность механического движения. Материальная точка. Система отсчета. Траектория. Вектор перемещения и его проекции. Путь. Скорость. Сложение скоростей. Ускорение. Прямолинейное равномерное и равнопеременное движение. Зависимости скорости, координат и пути от времени. Средняя скорость. Свободное падение тел. Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности. Угловая скорость. Период и частота обращения. Ускорение тела при движении по окружности. Свободное падение тел. Ускорение свободно падающего тела. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Дальность Поступательное и вращательное движение твердого тела. 1.2. Поступательное движение и его характеристики Механическим движением тела называется изменение его положения в пространстве с течением времени относительно других тел или его отдельных частей. Механическое движение относительно, т.е. если говорить, что тело совершает механическое движение, то необходимо указать тело отсчета, относительно которого происходит это движение. В классической механике рассматриваются механические движения тел, происходящие со скоростями, значительно меньшими скорости света в вакууме ( Для описания механического движения необходимо указать тело, относительно которого рассматривается движение. Тело, по отношению к которому рассматривается данное механическое движение, называется телом отсчета. С телом отсчета связывается система координат. Чаще всего для определения положения тела используется правая декартова прямоугольная система координат. Система отсчёта – совокупность тела отсчёта и связанная с этим телом система координат и прибор для измерения времени (часы). Тело, размерами, формой и структурой которого можно пренебречь при изучении данного механического движения, называется материальной точкой .
либо координатами При движении точки радиус-вектор и координаты изменяются с течением времени. Говорят, что задан закон движения, если известна векторная функция времени Рис. 1 или три эквивалентные ей скалярные функции:
Линия, описываемая движущейся точкой в пространстве, называется траекторией . Движения разделяются на прямолинейные и криволинейные в зависимости от вида траектории.
Путь
Путь Вектором средней скорости
за время
Направление вектора Средней путевой скоростью
за время называется скалярная величина равная отношению отрезка пути
При прямолинейном движении в одном направлении Мгновенная скорость в данной точке траектории равна пределу отношения перемещения на участке траектории, включающем эту точку, к промежутку времени, в течение которого это перемещение совершается:
Скорость в каждой точке направлена по касательной к траектории. Проекции скорости на оси координат:
модуль скорости
причем
где В случае произвольного криволинейного движения вектор скорости Вектором среднего ускорения
за время
Предельный переход в выражении (1.2.11) при
Проекции вектора ускорения на координатные оси равны:
модуль ускорения
Если движение материальной точки плоское (будем считать, что траектория материальной точки лежит в плоскости
где
Нормальное ускорение Абсолютные значения нормального и тангенциального ускорений определяются соотношениями
где Абсолютные значения величин ускорений связаны между собой соотношением
1.3. Равномерное и равноускоренное движения Равноускоренным движением тела называется движение, при котором его скорость за любые равные промежутки времени изменяется одинаково. Если направление векторов При прямолинейном движении координатная ось обычно совмещается с направлением движения. Тогда при движении с постоянным ускорением координата и скорость материальной точки, при этом изменяются по кинематическим формулам:
Путь, пройденный телом при равноускоренном движении:
при равнозамедленном движении:
где Графическая иллюстрация соотношений (1.3.3) и (1.3.4) представлена на рисунках 5 и 6.
Движение тела с постоянным ускорением включает в себя равномерное и равноускоренное движение. При равномерном прямолинейном движении скорость тела не изменяется и в уравнениях (1.3.1), (1.3.2) и (1.3.3) нужно положить При плоском криволинейном движении мгновенная скорость тела в любой точке направлена по касательной к траектории, при этом ее проекции на оси координат и координаты материальной точки меняются со временем:
Простейшими случаями криволинейного движения являются движение тела, брошенного под углом к горизонту, и движение тела с постоянной по величине скоростью по окружности (см. §1.4.) Если тело начинает движение в поле силы тяжести Земли со скоростью
Проекции скорости на координатные оси c учетом (1.3.6) в любой момент времени
Из (1.3.7) и (1.3.8) получаем для модуля скорости
Направление вектора скорости можно определить из соотношения
Координаты тела в момент времени
Время полета до момента падения определяется из (1.3.12) при
Время подъема до максимальной высоты определяется из (1.3.8) при
Максимальная высота подъема определяется из (1.3.12) при
Дальность полета получаем из (1.3.11) при
Исключая из (1.3.11) и (1.3.12) получаем уравнение траектории:
1.4. Равномерное движение по окружности Движение по окружности – простейший пример криволинейного движения. Скорость
При равномерном движении точки по окружности за любые равные промежутки времени углы поворота её радиус-вектора одинаковы. Поэтому угловой скоростью центра (или оси) называется отношение угла поворота
Угол поворота
Промежуток времени
– частотой вращения. За один период угол поворота радиус-вектора точки равен
Путь
Всякое перемещение плоской фигуры, происходящее в плоскости расположения этой фигуры, можно рассматривать в любой момент времени как результат наложения поступательного движения тела вместе с некоторой произвольной точкой Выбирая полюс в различных точках тела, можно по-разному осуществлять разложение плоского движения на поступательное и вращательное. В каждом из этих случаев перемещение и скорость в поступательном движении могут быть различными, а угловое перемещение и угловая скорость одинаковые.
В случае плоско-параллельного движения твердого тела существует такая точка, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Эту точку называют мгновенным центром скоростей. Мгновенный центр скоростей можно найти по следующим рекомендациям: 1. при качении без проскальзывания плоской фигуры по неподвижной поверхности мгновенный центр скоростей совпадает с точкой соприкосновения тела с поверхностью 2. мгновенный центр скоростей находится на пересечении перпендикуляров, восставленных из двух данных точек тела к линиям векторов абсолютной скорости этих точек. 3. в том случае, когда перпендикуляры, проведенные из указанных точек сливаются, сливаются в один, мгновенный центр скоростей лежит в точке пересечения перпендикуляра с линией, проведенной через концы векторов скоростей этих 1.5. Методический аспект решения задач по кинематике При решении задач по кинематике необходимо выработать общие подходы к решению задач этого класса обобщенные в алгоритм решения задачи. 1. Внимательно прочитать задачу, проанализировать условие, выяснить характер движения. 2. Сделать схематический чертеж, отображающий описанное в задаче движение. Изобразить на нем траекторию движения, векторы скорости, ускорения, перемещения. 3. Выбрать систему отсчета. 4. Сформировать краткие данные задачи (выписать числовые значения заданных величин, ввести необходимые обозначения) 5. Составить для данного движения уравнения, отражающие математическую связь между проекциями векторов на оси координат. (Число уравнений должно быть равно числу неизвестных величин). 6. Решить составленную систему относительно искомых величин (получить расчетные формулы). 7. Подставить в расчетные формулы числовые значения физических величин и произвести вычисления. Оценить реальность полученного результата. 1.6. Контрольные вопросы 1. Что называют системой отсчета? 2. При каких условиях тело можно рассматривать как материальную точку? 3. Как определить координаты точки на плоскости, в пространстве? 4. Как по координатам двух точек на плоскости определить расстояние между ними? 5. Сумма какого минимального числа векторов неодинаковой длины может равняться нулю? 6. Что такое механическое движение? Какое движение тела называют поступательным? 7. Что называют траекторией движения материальной точки? 8. Зависит ли траектория движения от выбора системы отсчета? 9. Что такое вектор перемещения, скорости, ускорения? 10. Что называют длиной пути? 11. Может ли модуль вектора перемещения материальной точки быть больше пути, пройденного ей за тот же промежуток времени? 12. Что показывает счетчик километров автомобиля (путь или перемещение)? 13. Что такое мгновенная и средняя скорость? 14. Какую скорость (мгновенную, среднюю) показывает спидометр автомобиля? 15. Какое движение называют равномерным? 16. Если известна траектория движения, можно ли указать направление мгновенной скорости и ускорения в произвольной точке этой траектории? 17. Может ли материальная точка в один и тот же момент времени иметь: скорость, направленную вправо, и ускорение направленное влево; равную нулю скорость и не равное нулю ускорение? 18. Как по графику зависимости скорости от времени для прямолинейного движения найти перемещение материальной точки и пройденный ей путь? 19. Какое движение называют равноускоренным? 20. Как выглядит график зависимости скорости от времени для равноускоренного прямолинейного движения материальной точки? 21. Какое движение называют свободным падением? 22. В какой точке траектории скорость снаряда составляет с его ускорением прямой угол? (Сопротивлением воздуха пренебречь). 23. В какой точке траектории снаряд имеет наименьшую скорость, наименьшее ускорение? 24. Какой может быть траектория материальной точки, если она движется с постоянным по величине и направлению ускорением? 25. Что такое угловая скорость и как она связана с частотой и периодом обращения при движении по окружности? 26. Зависит ли угловая скорость и ускорение точек равномерно вращающегося диска от расстояния до оси вращения? 27. При каком движении мгновенная скорость материальной точки в любой момент времени перпендикулярна ускорению? 28. Могут ли совпадать направления мгновенной скорости и ускорения при движении по криволинейной траектории? 29. При движении по окружности модуль скорости движения материальной точки возрастает. Будет ли ускорение направлено к центру окружности? 30. Какие точки колеса телеги имеют наибольшее и наименьшее значение скорости относительно Земли и относительно телеги? 31. Поезд движется прямолинейно с ускорением 32. В чем состоит принцип независимого движения тел? 1.7. Примеры решения задач Пример 1.
По взаимно перпендикулярным дорогам движутся два автомобиля с постоянными скоростями РЕШЕНИЕ:
Пример 2.
Лифт поднимается с ускорением РЕШЕНИЕ:
Пример 3.
Со скалы высоты РЕШЕНИЕ:
Пример 4.
Шарик радиуса РЕШЕНИЕ:
1.8. Задания с выбором ответа для самостоятельной работы 1.1. Лодка плывет по течению реки. Если скорость течения 1 м/с, а скорость лодки относительно берега 4 м/с, то скорость лодки относительно воды равна:
1.2. Лодка плывет по течению реки. Если скорость течения 1 м/с, а скорость лодки относительно воды 4 м/с, то скорость лодки относительно берега равна:
1.3. Лодка плывет против течения реки. Если скорость течения 1 м/с, а скорость лодки относительно воды 4 м/с, то скорость лодки относительно берега равна:
1.4. Лодка плывет против течения реки. Если скорость течения 1 м/с, а скорость лодки относительно берега 4 м/с, то скорость лодки относительно воды равна:
1.5. Лодка движется по реке со скоростью 3 м/с относительно воды перпендикулярно берегу. Если ширина реки 60 м, а скорость течения реки 2 м/с, то время, за которое лодка переплывет реку, равно:
1.6. Плот равномерно плывет по реке со скоростью 4 км/ч. Человек движется поперек плота со скоростью 3 км/ч. Скорость человека в системе отсчета, связанной с берегом будет равна:
1.7. Пассажирский катер проходит расстояние 120 км по течению реки за 2 ч, а против течения за 3 ч. Скорость катера в стоячей воде равна:
1.8. Если при движении моторной лодки по течению реки её скорость относительно берега 8 м/с, а при. движении против течения 6 м/с, то скорость течения реки равна:
1.9. Если при движении моторной лодки по течению реки её скорость относительно берега 8 м/с, а при движении против течения 6 м/с, то скорость лодки в стоячей воде равна:
1.10. Тело равномерно вращается по окружности. Период обращения Т. Через какую часть периода путь, пройденный телом, будет максимальным?
1.11. Тело равномерно вращается по окружности. Период обращения Т. Через какую часть периода вектор перемещения тела будет максимальным?
1.12. Тело равномерно вращается по окружности. Период обращения Т. Через какую часть периода вектор перемещения тела будет численно равен радиусу окружности?
1.13. Тело равномерно вращается по окружности. Период обращения Т.
Через какую часть периода путь, пройденный телом, будет
1.14. Модуль перемещения материальной точки, начавшей двигаться по окружности и совершившей за 1,5с 1,5 полных оборота, равен:
1.15. Модуль перемещения материальной точки, начавшей двигаться по окружности за время
1.16. Если человек прошёл по горизонтальному полю 400 м строго на север, затем ещё 300 м на запад, то модуль вектора перемещения человека будет равен:
1.17. Автоколонна длиной 200 м движется по мосту равномерно со скоростью 36 км/ч. За какое время колонна пройдет мост, если его длина 500 м?
1.18. Если материальная точка первую половину пути двигалась равномерно со скоростью 4 м/с, а вторую - со скоростью 9 м/с, то средняя скорость точки на всём пути равна:
1.19. Если материальная точка первую половину времени, затраченного на прохождение всего пути, двигалась со скоростью 4 м/с,
1.21. По графику зависимости скорости тела от времени определить путь, пройденный телом за 6 с движения. Тело движется прямолинейно.
1.22. По графику зависимости скорости тела, от времени определить путь, пройденный телом за 6 с движения. Тело движется прямолинейно.
1.23. По графику зависимости скорости тела от времени определить путь, пройденный телом за 6 с движения. Тело движется прямолинейно.
1.24. По графику зависимости скорости тела от времени определить путь, пройденный телом за 6 с движения. Тело движется прямолинейно.
1.25. Проекция скорости тела при прямолинейном движении изменяется закону
1.26. По графику зависимости скорости тела от времени определить путь, пройденный телом за 12 с движения. Тело движется прямолинейно.
1.27. По графику зависимости проекции скорости тела от времени определить путь, пройденный телом за 12 с движения. Тело движется прямолинейно.
1.28. Точка движется вдоль оси х. По графику зависимости проекции скорости от времени определить путь, пройденный точкой за интервал времени от 4 до 12 с.
1.30.
1.31. По графику зависимости скорости тела от времени определить модуль ускорения тела в момент времени
1.32. По графику зависимости скорости тела от времени определить модуль ускорения тела в момент времени
1.33. По графику зависимости проекции скорости тела от времени определить модуль ускорения тела в момент времени
1.34. По графику зависимости скорости тела от времени определить проекцию ускорения тела в момент времени
1.35. Модуль ускорения материальной точки, двигающейся вдоль оси
1.36. По графику зависимости скорости тела от времени определить ускорение тела в момент времени
1.37. Точка движется вдоль оси х
. По графику зависимости координаты от времени определить проекцию скорости движения точки на ось х
в момент времени
1.38. Если тело, начавшее двигаться равноускоренно из состояния покоя, за первую секунду движения проходит путь S , то за третью секунду оно проходит путь:
1.39. Точка движется вдоль оси х.
По графику зависимости координаты от времени определить проекцию скорости движения точки на ось х
в момент времени
1.40. Свободно падающее тело за последнюю секунду падения проходит путь 50 м. Каково полное время падения?
1.41. На какую высоту поднимется тело, брошенное с Земли вертикально вверх со скоростью 30 м/с за 2 секунды движения?
1.42. На какую максимальную высоту поднимется тело, брошенное с Земли вертикально вверх со скоростью 10 м/с?
1.43. Тело бросают со скоростью 10 м/с под углом 15° к горизонту. Дальность полёта тела равна:
1.44. Тело бросают, со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту. Максимальная высота подъёма тела равна:
1.45. Тело бросают со скоростью 15 м/с под углом 30° к горизонту. Время полёта до момента падения тела равно:
1.46. Материальная точка при равномерном движении по окружности радиуса R
за время
1.47. Материальная точка равномерно движется по окружности, совершая два оборота в секунду. Каков радиус окружности, если линейная скорость точки 3,14 м/с?
1.48. Материальная точка движется по окружности с постоянной по величине скоростью. Линейную скорость точки увеличили в 2 раза,
1.49. Минутная стрелка ручных часов вдвое длиннее секундной. Каково соотношение между линейными скоростями концов минутной (
1.50. Линейная скорость поверхности Земли, соответствующей
1.9. Задачи для самостоятельного решения 1.1. Из пункта А со скоростью 60 км/ч выехал мотоциклист. Через 0,5 ч велел за ним выехала автомашина, скорость которой 80 км/ч. На каком расстоянии от пункта А догонит автомашина мотоциклиста? 1.2. Навстречу друг другу идут пассажирский поезд со скоростью 90 км/ч и скорый поезд со скоростью 120 км/ч. Расстояние между поездами 70 км. На каком расстояний от скорого поезда должен находиться разъезд, чтобы поезда разошлись без остановки? 1.3. Две вагонетки катятся навстречу друг другу. Скорость одной вагонетки 0,3 м/с. Определить скорость второй вагонетки, если за 30 с они сблизились на 24 м. 1.4. Из точек А и В , находящихся на расстоянии 5 м, в одном направлении начали двигаться два шарика. Скорость одного шарика 2 м/с, другого 1,5 м/с. На каком расстоянии от точки А произойдет столкновение? 1.5. Водитель легкового автомобиля начинает обгон трейлера при скорости 90 км/ч в тот момент времени, когда расстояние между машинами 20 м, и перестраивается в прежний ряд, когда расстояние между машинами стало 15 м. Определить время, за которое водитель автомобиля обогнал трейлер, движущийся со скоростью 72 км/ч. Длина легкового автомобиля 4 м, 1.6. Пассажир поднимается по неподвижному эскалатору метрополитена за 3 мин, а по движущемуся вверх эскалатору за 1.7. Эскалатор метро спускает идущего по нему человека за 1 мин. Если человек будет двигаться относительно эскалатора вдвое быстрее, то он спустится за 45 с. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе? 1.8. Два человека одновременно вступают на эскалатор с противоположных сторон и движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями относительно эскалатора равными 2 м/с. На каком расстоянии от входа на эскалатор они встретятся? Длина эскалатора 100 м, его скорость 1,5 м/с. 1.9. При движении велосипедиста и пешехода в одну сторону за каждую минуту пешеход отстает от велосипедиста на 210 м, 1.10. Колонна войск во время похода движется со скоростью 5 км/ч, растянувшись по дороге на 400 м. Командир, находящийся в хвосте колонны, посылает велосипедиста с поручением головному отряду. Велосипедист отправляется и едет со скоростью 25 км/ч и, на ходу выполнив поручение, сразу же возвращается обратно с той же скоростью. Через сколько после получения поручения он вернулся обратно? 1.11. В безветренную погоду человек опускается на парашюте с высоты 200 м с постоянной скоростью 4 м/с. Определить путь, пройденный парашютистом за время спуска, если поднявшийся ветер сносит его в горизонтальном направлении со скоростью 3 м/с. 1.12. С какой скоростью должен лететь самолет, чтобы за 2 ч пролететь точно на север путь, равный 300 км, если во время полёта дует северо-западный ветер под углом 30° к меридиану со 1.13. Вычислить среднюю скорость движения человека, если первую треть пути он шел со скоростью 0.7 м/с, а оставшуюся часть пути со скоростью 1,0 м/с. 1.14. Катер проходит расстояние между двумя пунктами на реке вниз по течению за 8 ч, обратно — за 12 ч. За сколько часов катер прошел бы то же расстояние в стоячей воде? 1.15. Мальчик проехал половину пути на велосипеде со скоростью 1.16. Велосипедист проехал первую треть пути по шоссейной дороге со скоростью 10 м/с, затем половину пути по проселочной дороге со скоростью 6 м/с и оставшуюся часть пути — по лесной тропинке со скоростью 2 м/с. Чему равна средняя путевая скорость велосипедиста? 1.17. Самолёт пролетел расстояние из города А в город В со скоростью 800 км/ч, а обратно – половину пути со скоростью 900 км/ч, вторую половину со скоростью 700 км/ч. Определить среднюю путевую скорость самолёта за все время полёта. 1.18. Мотоциклист едет из одного города в другой. Первые 2 ч пути он движется с постоянной скоростью 60 км/ч, а оставшиеся 160 км – со скоростью 80 км/ч. Определить среднюю путевую скорость мотоциклиста между городами. 1.19. Поезд первую половину пути шёл со скоростью, в 1,5 раза большей скорости на второй половине пути. Средняя путевая скорость поезда на всём пути была равна 43,2 км/ч. Какова скорость поезда на первой половине пути? 1.20. Самолёт летит из пункта А
в пункт В
и возвращается назад в пункт А.
Скорость самолёта в безветренную погоду равна 900 км/ч. Найти отношение средних скоростей всего перелёта для двух случаев, когда во время перелёта ветер дует: а) вдоль линии АВ; 1.21. Автомобиль двигается с ускорением 1,5 м/с2 и через 10 с после начала разгона продолжает движение с постоянной скоростью. Какое расстояние автомобиль пройдет за 30 с после начала разгона? 1.22. Автомобиль двигается равномерно, проходя за каждые 5 с расстояние 60 м. Какой путь пройдет автомобиль до остановки, если будет тормозиться с ускорением 2 м/с2 ? 1.23. Тело, имеющее начальную скорость 20 м/с и ускорение 0,5 м/с2
, начинает двигаться из некоторой точки по прямолинейному пути. Через 20 сек. из этой же точки вслед за первым телом начинает двигаться другое тело с начальной скорость 5 м/с и ускорением 1.24. Водитель автобуса, едущего со скоростью 90 км/ч внезапно замечает впереди, на расстоянии 50 м, застрявший грузовик. Водитель тормозит с максимально возможным отрицательным ускорением – 5 м/с2
(более резкое торможение приведет 1.25. Тело, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, прошло 450 м за 6 с. На каком расстоянии от начального положения оно находилось через 4 с после начала движения? 1.26. Автомобиль начинает движение с ускорением 1 м/с2 . Проезжая мимо наблюдателя, он имеет скорость 10,5 м/с. На каком расстоянии от наблюдателя он находился секунду назад? 1.27. Автомобиль начинает движение с постоянным ускорением и за десятую секунду проходит 19 м. Определить ускорение автомобиля. 1.28. Тело, имея начальную скорость 4 м/с, прошло за шестую секунду движения 2,9 м. Найти ускорение тела. 1.29. Тело, двигаясь прямолинейно с постоянным ускорением -0,3 м/с2 , потеряло 3/4 своей начальной скорости 2 м/с. Какой путь прошло тело за время движения? 1.30. Автомобиль движется с постоянным ускорением и проходит путь равный 20 м за 4 с, а следующий участок пути равный 40 м за 5 с. Определить ускорение автомобиля. 1.31. С каким ускорением движется тело, если за восьмую секунду после начала движения оно прошло путь 30 м? Найти путь за 15-ую секунду. 1.32. Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Один из них, имея начальную скорость 5,4 км/ч, спускается с горы, разгоняясь с ускорением 0,2 м/с2 ; другой, имея начальную скорость 18 км/ч, поднимается в гору равнозамедленно с ускорением 0,3 м/с2 . Через какое время они встретятся, если расстояние между ними в начальный момент 195 м? 1.33. Два велосипедиста едут навстречу: один из них, имея скорость 1.34. Два автомобиля выходят из одного пункта в одном направлении. Второй автомобиль выходит на 20 с позже первого. Оба движутся равноускоренно с одинаковым ускорением 0,4 м/с2 . Через сколько времени от начала движения первого автомобиля расстояние между ними окажется 240 м? 1.35. Два автомобиля вышли с остановки один после другого и шли с ускорением 0,4 м/с2 . Через 2 мин после выхода первого автомобиля расстояние между ними стало равным 1,9 км. С каким промежутком времени вышли автомобили? 1.36. Два автомобиля вышли с остановки через 1 мин один после другого и шли с ускорением 0,2 м/с2 . Через какой промежутком времени после выхода второго автомобиля расстояние между ними утроится? 1.37. От движущегося поезда отцепляется последний вагон. Поезд продолжает двигаться с той же скоростью. Как будут относиться пути, пройденные поездом и вагоном до момента остановки вагона? Считать, что вагон двигался равнозамедленно. 1.38. Расстояние между двумя станциями 3 км поезд метро проходит со средней скоростью 54 км/ч. При этом он разгоняется в течение 60 с, затем идет равномерно некоторое время, а затем движется равнозамедленно до полной остановки в течение времени 40 с. Определить наибольшую скорость поезда. 1.39. Точка из состояния покоя начинает двигаться вдоль прямой. Первые 5 с движение равноускоренное, затем равномерное, затем в течение 10 с равнозамедленное до остановки. Средняя скорость точки на всём пути оказалась равной 2м/с. Определить максимальное значение скорости точки, если за всё время движения она прошла путь, равный 30 м. 1.40. Троллейбус отошёл от остановки с ускорением 0,2 м/с2 . Достигнув скорости 36 км/ч, он в течение 2 мин двигался равномерно, затем, затормозив, равнозамедленно прошёл до следующей остановки путь равный 100 м. Определить среднюю путевую скорость троллейбуса на участке между остановками. 1.41. Тело, брошенное вертикально вверх с высоты равной 2 м над поверхностью земли, упало на землю через 2 с после броска. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, на какую максимальную высоту относительно земли поднималось тело при своём движении. 1.42. Тело падает вертикально в высоты 19,6 м с нулевой начальной скоростью. За какое время тело пройдет последний 1 м своего пути. Сопротивление воздуха не учитывать. 1.43. Тело, падающее с некоторой высоты без начальной скорости, последние 196 м пути прошло за 4 с. С какой высоты падало тело? Сопротивлением воздуха пренебречь. 1.44. Тело, падающее с некоторой высоты без начальной скорости, за последнюю секунду движения прошло 1/4 часть своего пути. Определить высоту, с которой упало тело. Сопротивлением воздуха пренебречь. 1.45. Звук выстрела и пуля одновременно достигают высоты 680 м. Какова начальная скорость пути? Выстрел произведен вертикально вверх. Сопротивление воздуха движению пути не учитывать. Скорость воздуха принять равной 340 м/с. 1.46. Стальной шарик падает с высоты 1,5 м на стальную доску и отскакивает от неё с потерей 25% скорости. Определить время, которое проходит от начала движения шарика до его второго падения на доску. 1.47. С крыши дома оторвалась маленькая сосулька, которая за 0,2 с пролетела мимо окна высотой 1,5 м. С какой высоты относительно верхнего края окна упала сосулька? Сопротивлением воздуха пренебречь. 1.48. Тело, брошенное вертикально вверх, через промежуток времени, равный половине времени подъёма на максимальную высоту, находилось на высоте равной 9 м над точкой броска. На какую максимальную высоту поднималось тело при движении? Сопротивлением воздуха пренебречь. 1.49. Тело, брошенное вертикально вверх, на половине максимальной высоты подъёма имело скорость 10 м/с. Чему равна начальная скорость тела? Сопротивлением воздуха пренебречь. 1.50. Мяч брошен вертикально вверх из точки, находящийся на высоте равной 5 м. Определить время полёта мяча, если он пролетел до момента падения путь равный 15 м. Сопротивлением воздуха пренебречь. 1.51. С самолета, летящего горизонтально со скоростью 40 м/с, падает вниз тело. Какова скорость тела через 3 секунды после начала падения? 1.52. С холма в горизонтальном направлении брошено тело. Через 0,5 с после броска скорость тела по сравнению с начальной увеличилась в 1,5 раза. Определить начальную скорость тела. Сопротивлением воздуха пренебречь. 1.53. Тело брошено горизонтально. Через 5 с после броска угол между направлением скорости и ускорения стал равен 45°. Определить скорость тела в этот момент времени. Сопротивление воздуха не учитывать. 1.54. Какой горизонтальной скоростью обладал лыжник при прыжке с трамплина, находящегося на вершине горы, имеющей уклон 45°, если он приземлился на горе на расстоянии 29 м от вершины? 1.55. В мишень на расстоянии 50 м сделано два выстрела 1.56. С вертолета, летящего на высоте 125 м со скоростью 90 км/ч, сбросили груз. На какой высоте его скорость будет направлена под углом 45° к горизонту? 1.57. Дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью 1.58. С берега высотой 5 м горизонтально бросают камень со скоростью 1.59. Камень брошен горизонтально со скоростью 5 м/с. Определить радиус кривизны траектории камня через 1 с после начала движения, Сопротивлением воздуха пренебречь. 1.60. Камень брошен горизонтально со скоростью 4 м/с. Найти тангенциальное ускорение камня через 2 с после начала движения. Сопротивлением воздуха пренебречь. 1.61. Снаряд вылетел из ствола орудия под углом 60° к горизонту с начальной скоростью 660 м/с. Определить расстояние от орудия до цели, если снаряд достиг наивысшей точки полета через 45 с после вылета. Сопротивление воздуха не учитывать. 1.62. С башни высотой 20 м брошен камень с начальной скоростью 12 м/с, направленной под углом 60° к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить дальность полёта камня по горизонтальному направлению. 1.63. С башни высотой 15 м брошен камень с начальной скоростью 1.64. Под каким углом к горизонту нужно бросить тело, чтобы дальность полета была в 2 раза больше максимальной высоты? 1.65. Определить максимальную высоту полёта тела, брошенного под углом к горизонту, если время полёта равно 6 с. Известно, что максимальная скорость полета тела была на 30% больше минимальной. 1.66. Определить дальность полёта тела, брошенного под углом к горизонту, если время полета равно 5 с. Известно, что максимальная скорость полёта тела была в 2 раза больше минимальной. 1.67. Два тела брошены с земли под углами 30° и 45° к горизонту из одной точки. Каково отношение сообщённых им начальных скоростей, если тела упали на землю в одной точке? 1.68. Под углом 60° к горизонту брошено тело с начальной скоростью 1.69. Начальная скорость камня, брошенного под углом к горизонту, равна 10 м/с. На какую максимальную высоту над начальным уровнем поднимался камень, если спустя 0,5 с после начала движения скорость камня была равна 7 м/с? Сопротивлением воздуха пренебречь. 1.70. Камень, брошенный под углом к горизонту, упал на землю со скоростью 9,8 м/с. Чему равна дальность полёта камня, если его максимальная скорость во время движения вдвое больше минимальной скорости? 1.71. Под каким углом к горизонту необходимо бросить камень 1.72. Камень, брошенный под углом к горизонту, упал на землю 1.73. Камень бросили вверх с начальной скоростью 16 м/с под углом 30е
. к ' горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, с какой высоты был брошен камень, если его скорость 1.74. Мяч бросили с некоторой высоты над поверхностью земли вверх под углом 60° к горизонту с начальной скоростью 20 м/с. 1.75. Тело брошено с поверхности земли под углом 60° к горизонту с начальной скоростью 20 м/с. Найти модуль перемещения от начальной точки бросания тела до ближайшей точки, в которой нормальное ускорение тела равно 8 м/с2 . 1.76. Тело брошено с начальной скоростью 15 м/с под углом 60° 1.77. Снаряд вылетает из орудия под углом 45° к горизонту 1.78. Из миномёта ведут обстрел объекта, расположенного на склоне горы. Угол наклона горы 30°, угол стрельбы 60° по отношению к горизонту. На каком расстоянии от миномета будут падать мины, если их начальная скорость равно 100 м/с? 1.79. Снаряд вылетает со скоростью 200 м/с из пушки, стоящей у основания горы, составляющей угол 15° с горизонтом, под углом 45° к поверхности горы. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить радиус кривизны траектории в точке максимального подъёма над поверхностью склона. 1.80. Под каким углом к горизонту надо бросить шарик, чтобы радиус кривизны траектории в начальный момент времени был 1.81. Определить с какой частотой в об/мин вращается шкив диаметром 160 мм, если скорость точек на ободе шкива 6 м/с. 1.82. Длина минутной стрелки башенных часов Московского университета равна 4,5 м. С какой линейной скоростью перемещается конец стрелки? 1.83. Вычислить путь, который проехал за 30 с велосипедист, двигавшийся с угловой скоростью 0.1 рад/с по окружности радиуса 100 м. 1.84. 1.85. Определить ускорение, которыми обладают точки земной поверхности на широте Санкт-Петербурга (60° с.ш.) за счет суточного вращения Земли. 1.86. Диск равномерно вращается относительно оси, проходящей через его центр и ему перпендикулярной. Линейная скорость точек края диска равна 3 м/с. У точек, расположенных на 10 см ближе к оси, скорость 2 м/с. Какова частота вращения диска? 1.87. Найти радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость точек обода колеса в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса. 1.88. Диск равномерно вращается вокруг своей оси так, что точки, расположенные на 30 см от оси, за 20 с проходят путь, равный 4 м. Сколько оборотов за это время сделает диск? 1.89. Диск равномерно вращается вокруг своей оси так, что точки, расположенные на 40 см от оси, за 30 с проходят путь, равный 5 м. Чему равен период обращения диска? 1.90. Материальная точка движется равномерно с частотой 0,2 с-1 по окружности радиусом 50 см. Найти путь, пройденный точкой за 20 с. 1.91. Материальная точка, движущаяся равномерно по окружности, совершает один оборот за 2 с. Найти радиус окружности, если за 5 мин точка прошла путь, равный 100 м. 1.92. Две точки равномерно движутся по окружности. Первая точка, двигаясь по часовой стрелке, делает один оборот за 5 с, вторая точка, двигаясь против часовой стрелки, делает один оборот за 2 с. Найти время между двумя последовательными встречами точек. 1.93. На легкий шкив радиусом 10 см намотана нить, к концу которой прикреплен груз. Груз начинает опускаться с ускорением 2 см/с2
. Чему будет равна угловая скорость шкива, когда груз опустится 1.94. Два тонких диска вращаются на общей оси. Расстояние между дисками 30 см, скорость вращения 2000 об/мин. Пуля, летящая параллельно оси вращения на расстоянии 12 см от неё, пробивает оба диска. Пробоины в дисках смещены относительно друг друга 1.95. 1.96. Тонкий обруч радиусом 1 м равномерно катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. Определить расстояние между точками обруча, для которых модуль скорости 1.97. Путь пройденный материальной точкой, движущейся равномерно по окружности, составил 15 м за 10 с. Определить модуль центростремительного ускорения точки, если радиус окружности равен 15 см. 1.98. Точка движется по окружности с постоянной скоростью 20 м/с. Вектор скорости изменяет направление на угол, равный 15° за время, равное 3 с. Чему равно нормальное ускорение точки? 1.99. 1.100. 1.10. Распределение задач по вариантам Для организации самостоятельной работы можно использовать приведенный ниже план распределения задач по вариантам.
СОДЕРЖАНИЕ 1.1. Основные вопросы 3 1.2. Поступательное движение и его характеристики 3 1.3. Равномерное и равноускоренное движения 7 1.4. Равномерное движение по окружности 10 1.5. Методический аспект решения задач по кинематике 12 1.6. Контрольные вопросы 13 1.7. Примеры решения задач 15 1.8. Задания с выбором ответа для самостоятельной работы 20 1.9. Задачи для самостоятельного решения 28 1.10. Распределение задач по вариантам 38 Пензенский государственный педагогический университет имени В. Г. Белинского ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ КИНЕМАТИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Авторы-составители: Антон Александрович Марко Редактор – Оригинал-макет – А. А. Марко Корректор – План университета 118 Подписано к печати 26.08.2010 Бумага писчая белая. Усл.-печ. л. 2,3. Уч.-изд. л. 2,5 Печать офсетная. Тираж 100 экз. Заказ № 118/10 . Цена С. 118 Редакционно-издательский отдел Пензенского государственного педагогического университета имени В. Г. Белинского: 440026, г. Пенза, ул. Лермонтова, 37. Корпус 5. Комн. 466. Оригинал-макет изготовлен на кафедре теоретической физики и общетехнических дисциплин ПГПУ имени В. Г. Белинского Типография ПГПУ имени В. Г. Белинского
|
|
Работы, похожие на Учебное пособие: Удк 53(075) А. А. Марко, избранные вопросы кинематики