| ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Бийский технологический институт (филиал)
государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Алтайский государственный технический университет
им. И.И. Ползунова»
О.Р. Светлова, Н.С. Левина
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВ НАКЛОНА ПРЯМЫХ
И ПЛОСКОСТЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ
Методические рекомендации к решению задач по начертательной геометрии
для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину
«Начертательная геометрия и инженерная графика»
 
Бийск
Издательство Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова
2010
УДК 515,(075.8)
Рецензент: к.т.н. проф. кафедры МРСиИ БТИАлтГТУ А.М. Фирсов
Светлова, О.Р.
Определение углов наклона прямых и плоскостей общего положения к плоскостям проекций: методические рекомендации к решению задач по начертательной геометрии для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Начертательная геометрия и инженерная графика» / О.Р. Светлова, Н.С. Левина; Алт. гoc. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гoc. техн. ун-та, 2010. – 14 с.
В методических рекомендациях представлен теоретический материал и подробное решение задач по теме: определение углов наклона прямых и плоскостей общего положения к плоскостям проекций. Методические рекомендации предназначены для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Начертательная геометрия и инженерная графика», всех форм обучения.
УДК 515,(075.8)
Рассмотрены и одобрены на заседании
кафедры технической графики.
Протокол № 56 от 08.12.2009 г.
© О.Р. Светлова, Н.С. Левина, 2010
© БТИ АлтГТУ, 2010
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………………………4
1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ЛИНИИ
И УГЛОВ НАКЛОНА ПРЯМОЙ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ
(МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА)………………………………………….5
Задача 1.1…………………………………………………………………………………………5
Задача 1.2…………………………………………………………………………………………5
Задача 1.3…………………………………………………………………………………………6
2 ПЛОСКОСТЬ…………………………………………………………………………………..7
2.1 Главные линии плоскости…………………………………………………………………...7
2.2 Определение углов наклона плоскостей общего положения
к плоскостям проекций………………………………………………………………………….9
Задача 2.1………………………………………………………………………………………..10
Задача 2.2………………………………………………………………………………………..10
Задача 2.3………………………………………………………………………………………..11
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………………………...13
ВВЕДЕНИЕ
Прямая линия – одно из основных понятий начертательной геометрии. Основой построения прямой является кратчайшее расстояния между двумя точками пространства. Прямая линия – алгебраическая линия первого порядка в декартовой системе координат, прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейным уравнением).
Общее уравнение прямой (полное):
Ах+Ву+С
=0,
где А
, В
и С
– любые постоянные, причем А
и В
одновременно не могут быть равны нулю. Если один из коэффициентов равен нулю, уравнение называется неполным.
Рассмотрим две точки в пространстве А
и В
(рисунок 1) – через эти точки можно провести прямую линию.
| 
|
|
| модель
|
эпюр
|
| Рисунок 1 – Определение положения прямой по двум точкам
|
Для того чтобы найти проекции отрезка АВ
на плоскости проекций, необходимо найти проекции точек А
и В
и соединить их прямой. Каждая из проекций отрезка на плоскости проекций меньше самого отрезка (см. рисунок 1):
A
1
В
1
< АВ;
A
2
В
2
<
AB;
A
3
В
3
<
AB.
Обозначим углы между прямой и плоскостями проекций через a
– с плоскостью П1
, β
– с плоскостью П2
, γ
– с плоскость П3
и тогда получим:
A
1
В
1
= АВ
×
cos
a
;
A
2
В
2
= AB
×
cosβ;
A
3
В
3
=
AB
×
cosγ.
1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ЛИНИИ И УГЛОВ
НАКЛОНА ПРЯМОЙ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ
(МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА)
Задача 1.1
Определить величину угла наклона прямой АВ
к горизонтальной плоскости проекций П1
.
Дано: координаты точек А, В.
Длину отрезка AВ
и a
- угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости проекций П1
можно определить из прямоугольного треугольника ABC (
AC=
A
1
В
1
),
BC=∆
z
(рисунок 2).
| 
|
|
| модель
|
эпюр
|
| Рисунок 2 – Определение угла α
наклона прямой АВ
к горизонтальной
плоскости проекций П1
|
Для этого на эпюре (рисунок 2) из В
1
горизонтальной проекции точки В
под углом 90° проводим отрезок В1
С=∆
z ,
полученный в результате построений отрезок А
1
С
и будет натуральной величиной отрезка АВ
, а угол В
1
A
1
С=
α
. Рассмотренный метод называется методом прямоугольного треугольника. Натуральную величину отрезка АВ
и углы наклона его к фронтальной плоскости и профильной плоскости проекций П2
и П3
можно определить аналогично.
Тот же результат можно получить при вращении треугольника ABC
вокруг стороны АС
до тех пор, пока он не станет параллелен плоскости П1
, в этом случае треугольник проецируется на плоскость проекций без искажения. Подробнее вращение вокруг оси параллельной плоскости проекций рассмотрено в разделе «Методы преобразования плоскостей проекций» [1, 3, 4, 5, 6, 8].
Задача 1.2
Определить величину угла наклона прямой АВ
к фронтальной плоскости проекций П2
.
Дано: координаты точек А, В.
Длину отрезка АВ
и угол β
наклона отрезка к плоскости П2
можно определить из прямоугольного треугольника ABC
(рисунок 3). Для этого на эпюре (см. рисунок 3) из точки В
2
(фронтальной проекции точки В
)
под углом 90° к проекции A
2
В
2
проводим отрезок В
2
С
= ∆
y
. Полученный в результате построений отрезок A
2
C
и будет натуральной величиной отрезка АВ
, a угол В
2
A
2
C
= β
.
Тот же результат можно получить при вращении треугольника ABC
вокруг стороны АС
до тех пор, пока он не станет параллелен плоскости П2
, в этом случае треугольник проецируется на плоскость проекций без искажения. Подробнее вращение вокруг оси параллельной плоскости проекций рассмотрено в разделе «Методы преобразования плоскостей проекций» [1, 3, 4, 5, 6, 8].
| 
|
|
| модель
|
эпюр
|
| Рисунок 3 – Определение угла β
наклона прямой АВ
к фронтальной плоскости
проекций П2
|
Задача 1.3
Определить величину угла наклона прямой АВ
к профильной плоскости проекций П3
.
Дано: координаты точек А, В.
Длину отрезка АВ
и угол β
наклона отрезка к плоскости П3
можно определить из прямоугольного треугольника ABC
. Для этого на эпюре (рисунок 4) из точки В
3
(профильной проекции точки В
)
под углом 90° к проекции A
3
В
3
проводим отрезок В
3
С
= ∆х
. Полученный в результате построений отрезок A
3
C
и будет натуральной величиной отрезка АВ
, a угол В
3
A
3
C =
γ.
| 
|
| Рисунок 4 – Определение угла γ
наклона прямой АВ
к профильной
плоскости проекций П3
|
2 ПЛОСКОСТЬ
Плоскость – это также одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии плоскость обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Некоторые характеристические свойства плоскости:
а) плоскость есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые ее точки;
б) плоскость есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.
Плоскость в линейной алгебре – поверхность первого порядка. В декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.
Общее уравнение плоскости:
Ах+Ву+С
z+
D
=0,
где А
, В
, С
и D
– постоянные, причем А
, В
и С
одновременно не равны нулю.
2.1 Главные линии плоскости
Среди прямых линий, принадлежащих плоскости, особое значение имеют прямые, занимающие частное положение в пространстве – это прямые уровня
.
Горизонтали
h
– прямые, лежащие в данной плоскости АВС
и параллельные горизонтальной плоскости проекций П1
(
h
є
ABC,
h //
П1
,
h
2
//Ох,
h
3
//Оу)
(рисунок 5).
| 
|
|
| модель
|
эпюр
|
| Рисунок 5 – Горизонталь плоскости АВС
|
Фронтали
f
– прямые, лежащие в данной плоскости АВС
и параллельные фронтальной плоскости проекций П2
(
f
є
ABC,
f //
П2
,
f
2
//Ох,
f
3
//О
z)
(рисунок 6).
| 
|
|
| модель
|
эпюр
|
| Рисунок 6 – Фронталь плоскости АВС
|
Профильные прямые
р
– прямые, лежащие в данной плоскости АВС
и параллельные профильной плоскости проекций П3
(р
є
ABC, р //
П3
, р
1
//Оу, р
2
//О
z)
(рисунок 7).
| 
|
|
| модель
|
эпюр
|
| Рисунок 7 – Профильная прямая плоскости АВС
|
2.2 Определение углов наклона плоскостей общего положения
к плоскостям проекций
Прямые, принадлежащие заданной плоскости и образующие с плоскостью проекций наибольший угол, называются линиями наибольшего наклона
данной плоскости к плоскости проекций. С помощью линий наибольшего наклона определяют величину двугранного угла между заданной плоскостью и соответствующей плоскостью проекций. Линии наибольшего наклона перпендикулярны линиям уровня
. Линия наибольшего наклона и ее проекция образуют линейный угол, которым измеряется двугранный угол, составленный данной плоскостью и соответствующей плоскостью проекций (рисунок 8).
| 
|
|
| Рисунок 8 – Определение величины угла наклона плоскости общего
положения к горизонтальной плоскости проекций
|
Задача 2.1
Определить величину угла наклона плоскости АВС
к горизонтальной плоскости проекций П1
.
Дано: координаты точек А, В, С.
План решения:
этап 1
– построение линии наибольшего наклона;
этап 2
– нахождение натуральной величины линии наибольшего наклона и соответственно угла наклона.
Построения:
Этап 1.
Для построения линии наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций П1
строим в плоскости АВС
горизонталь
h (А
2
1
2
//х; А
1
1
1
)
. В горизонтальной плоскости проекций П1
проводим линию наибольшего наклона С
1
21
перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h
1
( А
1
1
1
)
(рисунок 9).
| 
|
| Рисунок 9 – Определение величины угла наклона
плоскости АВС
к горизонтальной плоскости проекций П1
|
Этап 2.
Для нахождения натуральной величины линии наибольшего наклона используем метод прямоугольного треугольника. На горизонтальной проекции С
1
21
линии наибольшего наклона строим прямоугольный треугольник (см. рисунок 9), одним катетом которого является проекция С
1
21
, а вторым катетом –
отрезок ΔΖ
,
равный разности расстояний от точек С
и 2
до горизонтальной плоскости проекций П1
.
Гипотенуза треугольника С
0
21
равна натуральной величине линии наибольшего наклона, а угол α (С
1
21
С
0
)
,
заключенный между горизонтальной проекцией линии наибольшего наклона и ее натуральной величиной, является натуральной величиной угла наклона плоскости АВС
к горизонтальной плоскости проекций П1
(см. рисунок 9).
Задача 2.2
Определить величину угла наклона плоскости АВС
к фронтальной плоскости проекций П2
.
Дано: координаты точек А, В, С.
План решения:
этап 1
– построение линии наибольшего наклона;
этап 2
– нахождение натуральной величины линии наибольшего наклона и соответственно угла наклона.
Построения:
Этап 1.
Для построения линии наибольшего наклона к фронтальной плоскости проекций П2
строим в плоскости АВС
фронталь f
(В
1
11
; В
2
12
//х)
. Во фронтальной плоскости проекций П2
проводим линию наибольшего наклона С
2
22
перпендикулярно фронтальной проекции фронтали f
2
(В
2
12
)
(рисунок 10).
| 
|
| Рисунок 10 – Определение величины угла наклона
плоскости АВС
к фронтальной плоскости проекций П2
|
Этап 2.
Для нахождения натуральной величины линии наибольшего наклона используем метод прямоугольного треугольника. На фронтальной проекции С
2
22
линии наибольшего наклона строим прямоугольный треугольник (см. рисунок 10), одним катетом которого является проекция С
2
22
, вторым катетом –
отрезок Δ
Y
равный разности расстояний от точек С
и 2
до фронтальной плоскости проекций П2
.
Гипотенуза треугольника С
0
22
равна натуральной величине линии наибольшего наклона, а угол β (С
2
22
С
0
)
,
заключенный между фронтальной проекцией линии наибольшего наклона и ее натуральной величиной, является натуральной величиной угла наклона плоскости АВС
к фронтальной плоскости проекций П2
(см. рисунок 10).
Задача 2.3
Определить величину угла наклона плоскости АВС
к профильной плоскости проекций П3
.
Дано: координаты точек А, В, С.
План решения:
этап 1
– построение линии наибольшего наклона;
этап 2
– нахождение натуральной величины линии наибольшего наклона и соответственно угла наклона.
Построения:
Этап 1.
Для построения линии наибольшего наклона к профильной плоскости проекций П3
строим профильную прямую
p (
C
2
12
//
z ; С
3
13
)
. В профильной плоскости проекций П3
проводим линию наибольшего наклона А
3
23
перпендикулярно профильной проекции профильной прямой p
3
(С
3
13
)
(рисунок 11).
| 
|
| Рисунок 11 – Определение величины угла наклона
плоскости АВС
к профильной плоскости проекций П3
|
Этап 2.
Для нахождения натуральной величины линии наибольшего наклона используем метод прямоугольного треугольника. На профильной проекции А
3
23
линии наибольшего наклона строим прямоугольный треугольник (см. рисунок 11), одним катетом которого является проекция А
3
23
, вторым катетом – ΔХ
отрезок, равный разности расстояний точек от А
и 2
до профильной плоскости проекций П3
.
Гипотенуза треугольника А
0
23
равна натуральной величине линии наибольшего наклона, а угол γ (А
3
23
А
0
)
,
заключенный между профильной проекцией линии наибольшего наклона и ее натуральной величиной, является натуральной величиной угла наклона плоскости АВС
к профильной плоскости проекций П3
(см. рисунок 11).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная литература
1. Гордон, В.О. Курс начертательной геометрии / В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский; под ред. В.О. Гордона. – 25-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003.
2. Гордон, В.О. Сборник задач по курсу начертательной геометрии / Гордон В.О., Ю.Б. Иванов, Т.Е. Солнцева; под ред. В.О. Гордона. – 9-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003.
3. Курс начертательной геометрии / под ред. В.О. Гордона. – 24-е изд, стер. – М.: Выcшая школа, 2002.
4. Начертательная геометрия / под ред. Н.Н. Крылова. – 7-е изд., перераб. и доп. – М.: Выcшая школа , 2000.
5. Начертательная геометрия. Инженерная и машинная графика: программа, контрольные задания и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических и педагогических спец-тей вузов / А.А. Чекмарев, А.В. Верховский, А.А. Пузиков; под ред. А.А. Чекмарева. – Изд. 2-е, испр. – М.: Выcшая школа, 2001.
Дополнительная литература
6. Фролов, С.А. Начертательная геометрия / С.А. Фролов. – М.: Машиностроение, 1978.
7. Боголюбов, С.К. Черчение: учебник для машиностроительных специальностей средних специальных учебных заведений / С.К. Боголюбов. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: Машиностроение, 2000.
8. Начертательная геометрия: учеб. для вузов / Н.Н. Крылов, Г.С. Иконникова, В.Л. Ни-колаев, Н.М. Лаврухина; под ред. Н.Н. Крылова. – 6-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1990. – 240 с.: ил.
Учебное издание
СветловА
ОЛЬГА РАФАИЛОВНА
ЛЕВИНА
НАДЕЖДА СЕРГЕЕВНА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВ НАКЛОНА ПРЯМЫХ
И ПЛОСКОСТЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ
Методические рекомендации к решению задач
по начертательной геометрии для студентов всех специальностей,
изучающих дисциплину «Начертательная геометрия и инженерная графика»
Редактор Идт Л.И.
Технический редактор Сазонова В.П.
Подписано в печать 02.03.2010. Формат 60´84/8
Усл. п. л. 1,63. Уч.-изд. л. 1,75
Печать − ризография, множительно-копировальный
аппарат «RISO EZ300»
Тираж 80 экз. Заказ 2010-38
Издательство Алтайского государственного
технического университета
656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46
Оригинал-макет подготовлен ИИО БТИ АлтГТУ
Отпечатано в ИИО БТИ АлтГТУ
659305, г. Бийск, ул. Трофимова, 27
|