Учебное пособие: Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики Самара 2006

К а ф е д р а «Высшая математика и прикладная информатика

Л.В. ЛИМАНОВА

Л.А. МУРАТОВА

ИНТЕГРАЛЫ,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ,

РЯДЫ

(Задачи и решения)

Учебно-методическое пособие

по специальным разделам высшей математики

Самара 2006

УДК 517.531, 519.2

Интегралы, дифференциальные уравнения, ряды (Задачи и решения): Учеб.-метод. пособ. по специальным разделам высшей математики/ Л.В. Лиманова, Л.А. Муратова; Самар. гос. техн. ун-т. Самара, 2006. 28 с.

Представлены задачи и их решения из следующих разделов высшей математики: «Интегральное исчисление», «Дифференциальные уравнения», «Ряды».

Для студентов всех специальностей СамГТУ.

Ил. 5. Библиогр.: 6 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ

В данной работе 3 раздела: «Интегралы», «Дифференциальные уравнения», «Ряды».

В первом разделе содержатся задачи по темам: «Неопределенные и определенные интегралы», «Двойные интегралы», «Криволинейные интегралы I и II рода».

Раздел дифференциальных уравнений представлен линейными уравнениями I порядка, однородными уравнениями I порядка, уравнениями в полных дифференциалах, линейными дифференциальными уравнениями высших порядков с постоянными коэффициентами.

В третьем разделе рассматриваются числовые положительные и знакопеременные ряды, функциональные ряды, ряды Фурье.

Выбор задач по указанным темам определен программой курса высшей математики для 2 семестра СамГТУ.

Назначение работы – помощь студентам при подготовке к экзамену по высшей математике.

ИНТЕГРАЛЫ

Задача 1. Вычислить .

Решение . Интеграл можно свести к табличному (1), если сделать замену . Дифференцируя обе части равенства, получим , т.е. . Интеграл определенный, поэтому необходимо изменить пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Следовательно,

Задача 2. Вычислить .

Решение. Сведем данный интеграл к табличному (3), сделав замену переменной . Тогда Изменяем пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Получаем

Задача 3. Вычислить .

Решение. Интеграл относится к группе интегралов: , , , где - многочлен степени п . Вычисление таких интегралов выполняется интегрированием по частям по формуле (17)

Если за и принять многочлен , то в результате применения формулы (17) интеграл упростится (уменьшится степень многочлена).

Обозначим Найдем

Тогда

Задача 4. Вычислить .

Решение. Этот интеграл относится к группе интегралов вида , , ,

(- многочлен степени п ) и вычисляется по формуле интегрирования по частям (17). В результате применения этой формулы исходный интеграл упростится, если за и принимать функции . Итак, положим

Тогда

Получаем

Задача 5. Вычислить .

Решение. Выполним замену переменной:

Получим

В подынтегральном выражении выделим целую часть:

Тогда

В интеграле сделаем замену:

,

при этом

Возвращаясь к переменной х , получим

Задача 6. Вычислить .

Решение. Это интеграл вида .

Одно из чисел m и n нечетное (в данном случае ), поэтому интеграл можно вычислить следующим образом. Преобразуем подынтегральное выражение

, следовательно, можно выполнить замену: .

В результате получим

Задача 7. Вычислить .

Решение. Это интеграл вида с чётными m и n (в данном случае ). Воспользуемся формулой (19) понижения степени

,

получим

Задача 8. Вычислить .

Решение. Применяя тригонометрическую формулу (23)

,

получим

Задача 9. Вычислить .

Решение. Выделим в числителе производную от знаменателя:

Первый интеграл вычисляем, сделав замену , тогда . Имеем

Второй интеграл преобразуем, выделив в знаменателе полный квадрат: . Тогда с учетом формулы (14) получим

Итак, исходный интеграл равен

Задача 10. Вычислить .

Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выражения

Первый интеграл вычисляется путем замены , тогда Имеем

Второй интеграл преобразуем путем выделения полного квадрата в подкоренном выражении:

Тогда с учетом формулы (16) получим

Следовательно, исходный интеграл равен

Задача 11. Вычислить .

Решение. При интегрировании иррациональных выражений вида (здесь R – рациональная функция; - целые числа) подстановка , где к – наименьшее общее кратное знаменателей , позволяет избавиться от иррациональности. В данном случае Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6. Применяем подстановку

Тогда и

Возвращаясь к переменной х с учетом того, что , получим

Задача 12. Вычислить .

Решение. При вычислении интегралов вида , где R – рациональная функция, используется универсальная тригонометрическая подстановка , приводящая к интегралам от рациональных относительно t функций, при этом

, .

Из равенства находим .

В данном случае получаем

Сделаем замену

Тогда

Возвращаясь к переменной х , получим

Задача 13. Вычислить .

Решение. Интегралы вида , , , где R – рациональная функция, приводятся к интегралам вида , если выполнить замену переменной:

- для первого интеграла (или );

- для второго интеграла (или );

- для третьего интеграла (или ).

Данный интеграл вычисляем заменой .

Тогда .

Получаем

.

,

тогда

Возвращаясь к старой переменной при , получаем

Задача 14. Вычислить

Решение. Для вычисления интеграла разложим подынтегральную функцию – дробь – в сумму простейших дробей. Множителю соответствует сумма двух простейших дробей , а множителю - дробь .

Тогда подынтегральная функция будет иметь вид

Правую часть равенства приведем к общему знаменателю (он должен быть равен знаменателю левой части равенства) и приравняем числители получившихся дробей:

.

Найдем А , В , С . Сначала применяем метод частных значений. Равенство должно выполняться при любых х , поэтому подставим вместо х «хорошие» числовые значения (обращающие часть скобок в 0). Здесь это 1 и -2. При получим и . При равенство принимает вид , а . В найдем методом неопределенных коэффициентов, согласно которому приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства. Например, при . Тогда .

Итак,

Вычисляем интеграл

Задача 15. Вычислить

Решение. Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей. Множителю будет соответствовать сумма множителю - дробь . Тогда получим разложение

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители получившихся дробей:

Найдем А , В , С , D . Согласно методу частных значений

(см. задачу 14) полагаем , тогда равенство примет вид откуда . Далее применяем метод неопределенных коэффициентов, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа.

Так, для х получим равенство откуда ; для имеем , откуда ; для получим , откуда

Итак,

Вычисляем интеграл

Задача 16. Вычислить , если l задана уравнением

Решение. Воспользуемся формулой (27) вычисления криволинейного интеграла I рода для кривой, заданной в полярных координатах:

Получим

Согласно формуле (20)

Тогда

Задача 17. Найти массу дуги кривой , если плотность кривой

Решение. Применяем формулу (28) вычисления массы дуги с помощью криволинейного интеграла I рода:

Формула (25) позволяет преобразовать криволинейный интеграл в определенный:

Так как , получаем

Задача 18. Найти работу вектор-силы на криволинейном пути

Решение. Работа А , совершаемая вектор-силой

на криволинейном пути L , есть криволинейный интеграл II рода (формула (32)), т. е.

Кривая задана параметрически, поэтому применяем формулу (31):

где

Тогда

Задача 19. Вычислить , если D ограничена линиями

Решение. На рисунке построена область D – криволинейный треугольник.

1 способ . Двойной интеграл можно вычислить по формуле (33):

Здесь

поэтому

2 способ . Можно использовать формулу (34):

Тогда

Значит,

Задача 20. Вычислить ,

где D – правая половина кольца (см. рисунок).

Решение. Будем вычислять интеграл в полярных координатах по формуле (35):

Здесь .

Так как (формулы перехода к полярным координатам), то

Тогда уравнения окружностей и принимают вид

Следовательно,

Ряды

Задача 21. Определить, какие ряды сходятся:

А) Б) В)

Решение.

1. К ряду применим радикальный признак Коши: если , то положительный ряд сходится при и расходится, когда

Так как , то ряд расходится.

2. Рассмотрим ряд Проверим необходимое условие сходимости: если ряд сходится, то .

Поскольку , необходимое условие не выполняется, значит ряд расходится.

3. При исследовании сходимости ряда можно воспользоваться предельным признаком сравнения положительных рядов: если существует конечный и отличный от нуля предел то положительные ряды и одинаковы в смысле сходимости.

Для сравнения возьмем обобщенный гармонический ряд

, сходящийся при и расходящийся для При получим сходящийся ряд .

Применим теорему сравнения

Предел конечен и отличен от нуля, поэтому ряд также сходится.

Задача 22. Исследовать на сходимость ряды:

1) 2)

Решение.

1. Рассмотрим ряд .

Он знакочередующийся. К таким рядам применим признак Лейбница. Знакочередующийся ряд

сходится при условии:

1)

2) .

Так как и , условия признака Лейбница выполняются, значит, ряд сходится. Если знакопеременный ряд сходится, то эта сходимость называется абсолютной или условной в зависимости от того, сходится или расходится соответствующий ряд из абсолютных величин членов знакопеременного ряда. Составим ряд из абсолютных величин

.

Получили положительный ряд. Применяем к нему достаточный признак сходимости – признак Даламбера: если то положительный ряд сходится при и расходится, когда

Поскольку

,

ряд сходится, следовательно, ряд сходится абсолютно.

2. Рассмотрим ряд .

Условия признака Лейбница выполняются:

1) 2) Значит, ряд сходится. Исследуя ряд на абсолютную сходимость, составим ряд из абсолютных величин Применяем интегральный признак сходимости Маклорена-Коши: положительный ряд сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится (здесь при - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, такая что ).

Вычисляем

Это означает, что несобственный интеграл расходится, тогда расходится ряд , а исходный ряд сходится условно.

Отметим, что при исследовании сходимости ряда

можно было использовать предельный признак сходимости (см. задачу 21).

Задача 23. Найти область сходимости функционального ряда

Решение. Это частный случай функционального ряда – степенной ряд вида

Радиус сходимости R такого ряда можно найти по одной из формул:

или .

Интервал абсолютной сходимости степенного ряда определяется неравенством . Вне этого интервала, при ряд расходится. На концах интервала – в точках поведение ряда исследуется особо.

Находим радиус сходимости для заданного ряда по первой формуле. Так как , получаем

Тогда ряд сходится, если , откуда , то есть .

Исследуем сходимость ряда в точках и .

При исходный ряд принимает вид

Это обобщенный гармонический сходящийся ряд ( сходится, если ).

При получаем знакочередующийся ряд Этот ряд сходится (притом абсолютно), так как сходится ряд из абсолютных величин его членов:

Итак, исходный ряд сходится для всех .

Задача 24. Найти коэффициенты и разложения в ряд Фурье функции

.

Записать это разложение.

Решение. Воспользуемся формулами (36), (37) разложения в ряд Фурье функции , заданной на отрезке :

,

где

Найдем коэффициенты и . Так как , получим

Так как можно заменить более простой функцией , получим .

Подставляем найденные коэффициенты в ряд Фурье:

Задача 25. Найти коэффициенты разложения в ряд Фурье по синусам функции

.

Решение. Коэффициенты разложения функции в ряд Фурье по синусам определяются по формуле (41):

Тогда

Так как , получим

Дифференциальные уравнения

Задача 26. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и :

Возвращаясь к функции у , получим

Задача 27. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение. Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид позволяет сделать замену и свести к уравнению с разделяющимися переменными. Итак, заменяя функцию у на t , получаем

,

Уравнение примет вид

Разделяем переменные и интегрируем:

Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения – решение, записанное в неявном виде

Задача 28. Среди перечисленных дифференциальных уравнений найти уравнения в полных дифференциалах:

1)

2)

3)

Решение. Дифференциальное уравнение

является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие

Проверим его для каждого уравнения.

1.

Условие не выполняется.

2.

Условие выполняется, тогда

- уравнение в полных дифференциалах.

3.

Условие не выполняется.

Задача 29. Найти общее решение дифференциального уравне­ния

Решение. Это линейное однородное дифференциальное урав­нение 3 порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение (см. прил.2, п.1)

Так как его корни действительны и различны (), общее решение исходного уравнения имеет вид

или

Задача 30. Найти общее решение дифференциального уравне­ния

Решение. Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением 4 порядка с постоянными коэффициентами.

Составим характеристическое уравнение (см. прил. 2, п.1)

Паре корней соответствует решение

Комплексным корням соответствует решение

Общее решение исходного уравнения есть сумма полученных решений

Задача 31. Указать вид частного решения дифференциального уравне­ния

Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами. Согласно теории таких уравнений (см. прил. 2, п.2) сначала решаем характеристическое уравнение

Затем правую часть уравнения представляем в виде

Получим Здесь,

Частное решение, определяемое по правой части, будет иметь вид

где S – показатель кратности числа 5 как корня характеристического уравнения

Итак, или

Задача 32. Указать вид частного решения дифференциального уравне­ния

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни

Будем искать частное решение данного уравнения по виду правой части (см. прил. 2, п. 2).

Запишем правую часть данного уравнения в виде

Получим

Значит,

Частное решение будет иметь вид

где - показатель кратности корня в характеристическом уравнении.

Так как в данном случае значение совпадает с корнем характеристического уравнения и , получим

или

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2. М.: Высшая школа, 1967. 350 с.

2. Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А. Математика-5 для студентов вузов. Самара, 2000. 54 с.

3. Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А. Математика-6 для студентов вузов. Самара, 2000. 61 с.

4. Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А. Математика-7 для студентов вузов. Самара, 2000. 72 с.

5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М., 1970, 800 с.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М., 1963, 656 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Таблица интегралов

; (1)

; (2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Формула интегрирования по частям

; (17)

; (18)

; (19)

Продолжение прил. 1

; (20)

; (21)

; (22)

. (23)

Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги)

; (24)

; (25)

(26)

если .

Переход к полярным координатам :

(27)

если .

Масса дуги кривой l с плотностью

. 28)

Криволинейный интеграл II рода (по координатам)

(29)

если .

(30)

если .

Продолжение прил.1

(31)

если .

Работа силы на криволинейном пути L :

. (32)

Двойной интеграл в прямоугольных координатах

(33)

(34)

Двойной интеграл в полярных координатах

(35)

Ряды Фурье

Разложение в ряд Фурье функции , заданной на отрезке :

, (36)

где

. (37)

Окончание прил.1

Разложение в ряд Фурье по косинусам функции , заданной на отрезке :

; (38)

. (39)

Разложение в ряд Фурье по синусам функции , заданной на отрезке :

; (40)

. (41)

Приложение 2

Дифференциальные уравнения

1. При решении линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

составляют характеристическое уравнение

.

Общее решение имеет вид:

1) , если корни и действительны и различны;

2) , если (корень кратности 2);

3) если корни комплексные

2. Если задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами

то его общее решение

Окончание прил. 2

где - общее решение соответствующего однородного уравнения;
- частное решение неоднородного уравнения.

Если , где - многочлен степени m , то следует искать в виде

где S - показатель кратности корня в характеристическом уравнении (если не является корнем характеристического уравнения, ); - многочлен степени т (с другими, вообще говоря, коэффициентами, чем ).

Если же

то следует искать в виде

где - показатель кратности корня в характеристическом уравнении (если не является корнем характеристического уравнения, ).

ОГЛАВЛЕНИЕ

Интегралы..................................................................................................................................... 1

Ряды ............................................................................................................................................ 12

Дифференциальные уравнения............................................................................................. 17

Библиографический список................................................................................................... 22

Приложения............................................................................................................................... 23

ЛИманова Лариса Владимировна

МУРАТОВА Лидия Александровна

Интегралы, дифференциальные уравнения, ряды

(Задачи и решения)

Редактор Н. В. Б е г а н о в а

Технический редактор В. Ф. Е л и с е е в а

Оригинал-макет Е. Э. П а р с а д а н я н

Подписано в печать 24.04.06.

Формат 60х84 ¹ /₁₆ . Бум. офсетная.

Печать офсетная.

Усл. п. л. 1,63. Усл. кр.-отт. 1,63. Уч.-изд. л. 1,59.

Тираж 100 экз. С-96.

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Самарский государственный технический университет»

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус

Отпечатано в типографии

Самарского государственного технического университета

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Корпус № 8