Реферат: Цифровая фильтрация

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЧУВАШСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

им. И. Н. УЛЬЯНОВА

факультет Дизайна и компьютерных технологий

Кафедра компьютерных технологий

Цифровая обработка сигналов

Курсовая работа

Тема: Цифровая фильтрация

Чебоксары 2009 г.

Задание

Исследование обработки детерминированных сигналов в линейных, аналоговых и цифровых цепях

Порядок расчета:

1. Для заданного сигнала S(t) найти спектральную плотность, используя интеграл Фурье. Найти АЧХ спектра |S(w)| и ФЧХ спектра Q(w), построить графики, сделать оценки сигнала.
2. Найти корреляционную функцию B_s (t), оценить интервал корреляции t_k .
3. Исследовать заданную линейную цепь. Найти передаточную функцию K(w), АЧХ | K(w)| и ФЧХ j(w). Построить графики, оценить полученные результаты. Найти импульсную характеристику цепи h(t) и построить график.
4. Исследовать прохождение сигнала S(t) через линейную цепь спектральным и временным методами. S(t) ® K(w) ® S_вых (t) - ?
5. Использую теорему Котельникова, произвести дискретизацию S(t) ® S_t (t), построить графики.
6. Исследовать полученное S_t (t) ® S_T (w), | S_T (w)|. Построить график.
7. Произвести анализ заданных цифровых фильтров:

a) трансвисальных фильтров;

b) рекурсивных фильтров.

Найти передаточную функцию K_Т (w), АЧХ | K_Т (w)|, построить график, написать системную функцию H(z) и импульсную функцию h_T (t), построить график.

1. Рассчитать прохождение цифрового (дискретизированного) сигнала через трансвисальные и рекурсивные цифровые фильтры. S_T (t)® h_T (t) ® S_{T вых} (t) - ?
2. Вычислить дискретное преобразование Фурье цифрового сигнала S_T (t) ® X(n). Найти АЧХ | X(n)|, построить график.
3. проанализировать полученные результаты, сравнить между собой:

a) S(t) и S_T (t)

b) | S(w)|,| S_T (w)| и | X(n)|

c) | K(w)| и | K_Т (w)|

Указание:

E = 10 B, t₀ = 1 мсек, R = 1 кОм, С = 1мкФ.

вариант задается как число nm, равное порядковому номеру по списку студентов.

1. Если:

а) m – четное:

Передаточная функция: K(w) = 1/(1 + j*w*R*C)

б) n – нечетное:

Передаточная функция: K(w) = (j*w*R*C)/(1 + j*w*R*C)

2.

3.

Трансвисальный фильтр

Рекурсивный фильтр

Значения для соответствующего варианта:

Рекомендуемая литература

1. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. СПб.: Питер, 2003.-604 с.

2. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие для вузов. - М.: Радио и связь, 1990.

3. Калабеков Б.А. Микропроцессоры и их применение в системах передачи и обработки сигналов: Учеб. пособие для вузов. - М.: Радио и связь, 1988.

Примерный образец расчетов приводится ниже.

Анализ входного сигнала.

1.Представление сигнала в графическом и аналитическом видах.

На отрезке (0, T) рассмотрим прямоугольный сигнал, на котором .

2.Амплитудный спектр заданного сигнала.

Рис.1 Амплитудный спектр сигнала.

Практические расчеты.

Параметры приборов, использованных для получения выходных сигналов: Averaging Power Spectral Density: Length of buffer=128; Number of points for fft=512;

Plot after how many points=64; Sample time=0.01;

Схема.

Сигнал, полученный с использованием осциллографа .

Амплитудный спектр сигнала, полученный с использованием

Averaging Power Spectral Density

Вывод: спектр, полученный через Simulink и теоретический спектр, построенный с использованием функции plot, различаются.

3.Фазовый спектр заданного сигнала.

Рис.2 Фазовый спектр сигнала.

Спектр дискретного сигнала.

Дискретный сигнал является последовательностью чисел, поэтому для анализа его спектра обычными (аналоговыми) средствами необходимо сопоставить этой последовательности некоторую функцию.

Традиционным способом такого сопоставления является представление отсчетов в виде дельта-функций с соответствующими множителями и задержками. Для последовательности отсчетов {x(k)} получится следующий сигнал:

Преобразование Фурье линейно, спектр дельта-функции равен единице, а задержка сигнала во времени приводит к умножению спектра на комплексную экспоненту. Все это позволяет сразу же записать спектр дискретного сигнала:

(1.1)

Теперь рассмотрим несколько иную задачу. Пусть значения x(k) являются отсчетами аналогового сигнала s(t), взятыми с периодом T:

x(k)=s(kT).

Выясним, как в этом случае спектр дискретного сигнала связан со спектром аналогового сигнала .

Итак, мы рассматриваем дискретизированный сигнал в виде последовательности дельта-функций, «взвешенной» значениями отсчетов s(kT) аналогового сигнала s(t).

(1.2)

Так как функция равна нулю всюду, кроме момента t=kT, можно заменить в выражении (1.2) константы s(kT) на исходный непрерывный сигнал s(t):

(1.3)

Сумма, входящая в выражение (1.3), является периодическим сигналом, а потому может быть представлена в виде ряда Фурье. Коэффициенты этого ряда равны:

(1.4)

В формуле (1.4) было учтено, что в интервал интегрирования (-T/2,T/2) попадает только одна дельта-функция, соответствующая k=0.

Таким образом, периодическая последовательность дельта-функций может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье:

(1.5)

где

Умножение сигнала на соответствует сдвигу спектральной функции на поэтому спектр дискретизированного сигнала можно записать следующим образом:

(1.6)

Таким образом спектр дискретизированного сигнала представляет собой бесконечный ряд сдвинутых копий спектра исходного непрерывного сигнала s(t). Расстояние по частоте между соседними копиями спектра равно частоте дискретизации

Следует также отметить, что из-за наличия в формуле (1.6) множителя 1/T спектр дискретизированного сигнала имеет размерность, совпадающую с размерностью сигнала.

Спектр дискретизированного сигнала.

Вывод: Таким образом спектр дискретизированного сигнала представляет собой бесконечный ряд сдвинутых копий спектра исходного непрерывного сигнала s(t).

Дискретное преобразование Фурье.

Пусть последовательность отсчетов {x(k)} является периодической с периодом N:

x(k+N)=x(k) для любого k.

Такая последовательность полностью описывается конечным набором чисел, в качестве которого можно взять произвольный фрагмент длиной N, например {x(k), k=0, 1, …, N-1}. Поставленный в соответствии этой последовательности сигнал из смещенных по времени дельта-функций:

(1.1)

Также, разумеется, будет периодическим с минимальным периодом NT.

Так как сигнал (1.1) является дискретным, его спектр должен быть периодическим с периодом . Так как этот сигнал является также и периодическим, его спектр должен быть дискретным с расстоянием между гармониками, равным .

Итак, периодический дискретный сигнал имеет периодический дискретный спектр, который также описывается конечным набором из N чисел (один период спектра содержит N гармоник).

Рассмотрим процедуру вычисления спектра периодического дискретного сигнала. Так как сигнал периодический, будем раскладывать его в ряд Фурье. Коэффициенты этого ряда равны

(1.2)

В выражении (1.2) реальный масштаб времени фигурирует только в множителе 1/T перед оператором суммирования. При рассмотрении дискретных последовательностей обычно оперируют номерами отсчетов и спектральных гармоник без привязки к действительному масштабу времени и частоты. Поэтому множитель 1/T (1.2) удаляют, то есть считают частоту дискретизации равной единице. Удаляют обычно и множитель 1/N. Получившееся выражение называется дискретным преобразованием Фурье.

С помощью программы, написанной на языке MatLab строим график модуля ДПФ.

x1=[10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; zeros(8,1)];

y1=fft(x1);

x2=[x1; zeros(18,1)];

y2=fft(x2);

subplot(2, 2, 1),stem(0:18, x1)

xlim([0 37])

subplot(2, 2, 2),stem((0:18)/19,abs(y1))

subplot(2, 2, 3),stem(0:36,x2)

xlim([0 37])

subplot(2, 2, 4)

stem((0:36)/38, abs(y2))

Рис.3 Повышение спектрального разрешения ДПФ при дополнении сигнала нулями: сверху - исходный сигнал и модуль его ДПФ, снизу - сигнал, дополненный 18 нулями, и модуль его ДПФ.

Анализ фильтра.

Графическое и аналитическое представление фильтра.

Расчет и преобразование аналоговых фильтров-прототипов.

Одной из часто возникающих задач является создание фильтров, пропускающих сигналы в определенной полосе частот и задерживающих остальные частоты.

Фильтры высокой частоты (ФВЧ, highpass filter), пропускающие частоты в диапазоне от wн до бесконечности.

Идеальная форма АЧХ не может быть физически реализована. Поэтому в теории аналоговых фильтров разработан ряд методов аппроксимации прямоугольных АЧХ. Расчет аналогового фильтра начинается с расчета так называемого фильтра-прототипа, представляющего ФНЧ.

Через программу SPTool рассчитываем аналоговый фильтр-прототип с помощью фильтра Чебышева первого рода.

Функция передачи фильтра-прототипа Чебышева не имеет нулей, а ее полюсы равномерно расположены на S-плоскости в левой половине эллипса.

Формула АЧХ фильтра Чебышева:

,

Где - частота среза, n-порядок фильтра, - полином Чебышева n-порядка, - параметр, определяющий величину АЧХ в полосе пропускания.

Входной сигнал.

Сигнал = [10(*50раз), 0(*270раз)]

Характеристики фильтра.

Расчет ФВЧ фильтра Чебышева второго рода 2-го порядка с помощью функций MatLab.

[z,p,k]=cheb1ap(5,3);

[b, a]= zp2tf(z,p,k);

w0=2*pi*1e3;

[b,a]=lp2hp(b, a, w0);

f=0:1:20e3;

h=freqs(b,a,2*pi*f);

plot(f/1000,abs(h)),grid

axis tight

figure

plot(f/1000, unwrap(angle(h))), grid

АЧХ фильтра.

Параметры фильтра

Тип: Chebyshev I IIR HighPass(ФВЧ)

Sampling Frequency(Частота Дискрктизации): 1000

Passband:

Fp: 80

Rp: 3

Stopband:

Fs: 50

Rs: 20

ФЧХ фильтра.

Вывод: графики АЧХ и ФЧХ фильтра, построенные через SPTool и MatLab практически сходны.

Фильтрация сигнала.

Для пропускания сигнала через фильтр необходимо выбрать сигнал и фильтр, полученные в предыдущем пункте.

Выходной сигнал.

Входной и выходной сигналы.

Нахождение выходного сигнала с помощью функций MatLab:

s=[10(*50раз), 0(*270раз)]

[b,a]=cheby1(5, 3, 0.75);

s1=filter(b,a,s);figure

plot(s1)

Вывод: графики, построенные с помощью функций MatLab и SPTool практически одинаковы.