Реферат: С. Н. Березинская, О. В. Сорокина, Е. И. Кугушев
Название: С. Н. Березинская, О. В. Сорокина, Е. И. Кугушев Раздел: Остальные рефераты Тип: реферат |
Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша Российской Академии Наук С.Н. Березинская, О.В. Сорокина, Е.И. Кугушев Об односторонних неголономных связях. Москва 2003 Аннотация. Рассматриваются примеры механических систем с неголономными связями удерживающими и неудерживающими. Удар диска о шероховатую прямую, односторонний конек, удар двухстороннего конька о прямую. Показывается, что движение с односторонними однородными связями носит безударный характер. Ключевые слова : механические системы с ударами Abstract. The examples of mechanical systems with nonholonomic unilateral restrictions are considered. Impact of a disk about a rough straight line, unilateral skate, impact bilaterial skate about a straight line. Is shown, that the movement with unilateral homogeneous restrictions carries nonimpact character. Key words: Mechanical systems with impacts Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 01-01-00508, 02-01-00352 и 02-07-90027). СодержаниеВведение............................................................................................................. 3 1. Принцип Даламбера-Лагранжа для односторонних связей....................... 3 2. Основные законы динамики......................................................................... 7 3. Уравнения Лагранжа 2-го рода................................................................... 9 4. Циклические интегралы и теорема Рауса.................................................. 11 5. Система с условными связями.................................................................... 12 6. Односторонний конек................................................................................. 14 7. Удар в неголономной системе.................................................................... 15 8. Удар о неголономную связь....................................................................... 15 9. Малые колебания........................................................................................ 16 10. Плоское тело с каналом........................................................................... 17 ЛИТЕРАТУРА................................................................................................. 20 При исследовании механических систем с односторонними связями и импульсными воздействиями с успехом используется аппарат обобщённых функций и функций с ограниченным изменением [1-5]. Следуя этому, будем считать траектории движения абсолютно непрерывными функциями, скорости которых представляет собой функции ограниченного изменения. Это обуславливается тем, что пространство функций с ограниченным изменением является простейшим банаховым пространством содержащим функции скачков, которые характерны для изменения скорости в системах с ударами. Уравнения движения при этом приобретают форму уравнений с мерами Лебега-Стилтьеса [3, 6], или, иначе говоря, обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсными правыми частями. Их удобство состоит, в том, что они позволяют описывать движение на всем его протяжении, включающем как безударные участки, так и точки удара, а также участки движения по границе односторонних связей. Для натуральных механических систем c односторонними связями методом штрафных функций в [7] выведены уравнения движения с мерами в форме уравнений Лагранжа второго рода. В данной работе предлагается способ вывода уравнений движения механических систем общего вида основанный на общепринятом в механике аппарате возможных перемещений и принципе Даламбера-Лагранжа, сформулированных в интегральной форме подобно тому, как это делалось в [8]. Это позволяет для систем с идеальными двухсторонними и односторонними связями получить уравнения движения с мерами в форме уравнений Лагранжа первого рода. Такие уравнения пригодны как для голономных, так и для неголономных систем. Из них выводятся основные законы механики таких систем, а также уравнения движения в форме уравнений Лагранжа второго рода. 1. Принцип Даламбера-Лагранжа для односторонних связей. Помимо систем с обычными односторонними связями мы рассмотрим системы с неголономными, и т.н. условными односторонними связями. Односторонними неголономными связями мы называем такие ограничения, накладываемые на движение системы, которые не представлены (и, может быть, не представимы) в виде задания какой-либо области в конфигурационном пространстве. Пример таких ограничений – это линейные ограничения, задаваемые неравенствами вида Другой вид подобных ограничений – это т.н. условные связи, возникающие, например, при соударении абсолютно шероховатых поверхностей, которые прокатываются друг по другу без проскальзывания. Формально подобные ограничения можно описать системой: Перейдем теперь к общему описанию. Рассмотрим систему из В отсутствии связей движение системы описывается вторым законом Ньютона где Наложим на систему семейство где Добавим к ним семейство где Наложим на систему также семейство где Добавим также одну группу при Введем Определим также
Пространством возможных перемещений
Пространством касательных перемещений
Любое касательное перемещение является возможным. Следуя [8] будем формулировать условия идеальности связей в интегральной форме. Вариацией кривой
Принцип освобождения от связей.
Пусть
Идеальность связей.
Связи называются идеальными, если для любой траектории системы Это условие, в частности, означает, что, при выходе траектории системы на границу удерживающих связей, реакция связей направлена внутрь области, допустимой этими связями. Из (1.2) следует, что для любой касательной вариации Найдя Отсюда следует, что для любой касательной вариации Сформулируем теперь известное утверждение из функционального анализа, необходимое для вывода уравнений движения нашей системы. Для заданного движения Из теоремы Рисса о виде линейного функционала в пространстве непрерывных функций вытекает следующее утверждение: пусть для любой непрерывной вектор-функции где Разделяя этот оператор на составляющие удерживающих и односторонних связей, получаем
Более подробно с этими вопросами можно ознакомиться в [14].
Принцип Даламбера-Лагранжа.
Пусть абсолютно непрерывная кривая Применив (1.4) для касательных вариаций получаем отсюда уравнения Лагранжа 1-го рода [10, 11]. Кривая где знак Функции Отсюда, заметив, что во все время движения выполнены уравнения удерживающих связей, т.е. Заметим, что, если функции, описывающие связи, имеют второй класс гладкости, то скорость движения имеет только две составляющие – абсолютно непрерывную функцию и функцию скачков [10]. Для систем с идеальными удерживающими и односторонними голономными связями известны теоремы об изменении количества движения системы и о движении ее центра масс в точках мгновенного удара [13]. Эти теоремы верны и в общем случае, когда выход на границу односторонних связей не является мгновенным [10, 11]. Вывод этих законов почти дословно совпадает с традиционным выводом, применяющимся для случая только удерживающих связей. Отличие здесь состоит в использовании формулы Лейбница дифференцирования по частям. В пространстве функций с ограниченным изменением эта формула применима в следующем виде. Если Для краткости мы ограничимся формулировками основных законов. В качестве примера полное доказательство приводится только для теоремы об изменении импульса системы.
Теорема об изменении количества движения. Если удерживающие, и односторонние связи, наложенные на систему, идеальны и допускают поступательный сдвиг всех точек системы как твердого тела вдоль какого-нибудь направления постоянного во времени, то проекция количества движения системы на это направление является абсолютно непрерывной функцией и скорость ее изменения равна суммарной проекции на это направление вектора активных сил. Доказательство.
Эта теорема непосредственно вытекает из аналогичного утверждения для сводных векторов системы. Введем сводный вектор импульса системы Докажем это. Пусть всегда и
в точках траектории, расположенных на границе односторонних связей, т.е. в тех точках, в которых сосредоточены соответствующие меры
Эти соотношения, понимаются как равенство мер Лебега-Стилтьеса. Домножив обе части (1.5) на Поскольку Теорема об изменении момента количества движения. Если удерживающие и односторонние связи, наложенные на систему, идеальны и допускают поворот всех точек системы как твердого тела вокруг какой-нибудь постоянной оси проходящей через начало координат, то момент количества движения системы относительно этой оси является абсолютно непрерывной функцией и скорость его изменения равна суммарной проекции на эту ось векторов моментов активных сил. 3. Уравнения Лагранжа 2-го рода. Пусть удерживающие связи голономны, Односторонние связи в обобщенных координатах задаются системой неравенств
Группа условных связей задается системой условий
где Неголономные односторонние связи задаются системой неравенств где Для краткости записи обозначим или, в матричной форме
Подставив соотношения
в уравнения удерживающих связей которая должна тождественно выполняться при всех и Домножив обе части (1.5) слева на транспонированную матрицу Матрица Использовав (3.1-2), выводим отсюда где – кинетическая энергия системы. Введем вектор обобщенных сил Заметив, что и что это верно и для остальных матриц связей, получаем уравнения Лагранжа второго рода
Теорема Аппеля.
Пусть в момент
(для функции ограниченной вариации эти величины всегда существуют). Тогда из (3.3) получим в момент где Т.е. сохраняются проекции вектора обобщенного импульса на плоскость касательную поверхности удара. 4. Циклические интегралы и теорема Рауса. В этом разделе мы покажем, что теория Рауса игнорирования циклических координат справедлива и при наличии идеальных односторонних связей. Пусть силы имеют силовую функцию
Далее рассуждаем по обычной схеме. Обобщенная координата
. В силу уравнений движения (4.1) для циклической координаты Значит, величина
Пусть координаты где
Теорема Рауса.
Пусть
Доказательство.
Рассматривая
Дифференцируя правую часть получаем Возьмем любую точку Поэтому (4.5) в этой точке выглядит следующим образом
Формы (4.4) и (4.6) совпадают во всех точках траектории движения, поэтому в них
Подставляя эти соотношения в (4.1) получаем (4.3). 5. Система с условными связями. Рассмотрим пример механической системы с условными связями. Пусть по гладкой плоскости скользит однородный диск единичной массы и радиуса и
Обозначим
и Координата Исключив методом Рауса циклическую переменную получим систему с теми же связями и Лагранжианом Уравнения движения
после нормировки меры
Меры Рассмотрим абсолютно упругий однократный удар, т.е. удар, при котором сохраняется энергия системы. Символами Видно, что здесь в принципе возможно даже возникновение ситуации, описанной в [2], при которой диск будет отскакивать в сторону противоположную первоначальному горизонтальному движению. Для однозначности решения требуется какая-либо модель удара, из которой можно получить дополнительные условия. Одна из возможностей – это задание степени “шероховатости” прямой, о которую ударяется диск. Скорость где Заметим в заключение, что в данной системе ситуация принципиально не меняется если наложить какое-либо вертикальное силовое поле с потенциалом Рассмотрим теперь пример системы с неголономными односторонними связями. По гладкой плоскости опять движется диск радиуса Лагранжиан этой системы имеет вид Координата
В моменты, когда
Величину откуда
Таким образом, в данной системе удары отсутствуют. Движение системы описывается следующим образом. Диск все время вращается с постоянной угловой скоростью. Центр диска движется по прямой до тех пор, пока конек не повернется в положение, направленное по скорости движения центра. Затем движение по касательной перейдет к обычной круговой траектории диска с двухсторонним коньком. Сойти с этой окружности траектория не сможет, т.к., безударный сход должен происходить по касательной к окружности, но из-за связи сход возможен только внутрь окружности. 7. Удар в неголономной системе. Если на диске установлен обычный двусторонний конек, и наложена односторонняя связь Заметим, что движение будет иметь безударный характер и в общем случае, когда на систему наложены только неголономные односторонние связи причем все компоненты вектора Уравнения Лагранжа 2-го рода дают Мера Подставив сюда условие скачка Воспользовавшись условием выхода на границу связи получаем Поскольку все компоненты векторов Рассмотрим малые колебания в системе с одной степенью свободы. Пусть лагранжиан имеет вид и на систему наложено одно ограничение Если удары абсолютно упругие, то в системе сохраняется энергия: Причем мера Поскольку мера Заметим, что другим достаточным условием устойчивости является система
В этом случае точка Найдем частоту малых колебаний в окрестности положения равновесия. Удар считаем абсолютно упругим. Линеаризовав лагранжиан, получим Линеаризованные уравнения движения приобретет вид В линеаризованной системе также сохраняется энергия:
Движение в окрестности точки упадет до нуля. Длина этого отрезка времени составляет Длина полного безударного участка составляет Рассмотрим плоское тело, свободно двигающееся по гладкой плоскости. Внутри тела вырезан тонкий канал Дадим формальное описание этой системы. Свяжем с телом систему координат
где а их скорости Обозначим или, в координатах Подставив сюда (9.1) получим лагранжиан системы где
Координата Получаем редуцированную систему с функцией Рауса ограничениями (9.4). Это система с одной степенью свободы. Она интегрируется в квадратурах. Рассмотрим случай абсолютно упругого удара. Для краткости введем обозначение
Система допускает интеграл энергии Следуя [15], заключаем, что, если последнее неравенство – строгое, то положение равновесия устойчиво. В этом нетрудно убедится прямо. В самом деле, если В обозначениях предыдущего раздела
поэтому период малых колебаний равен Все значения берутся при Благодарности. Авторы весьма признательны А.П. Иванову, В.В. Козлову, и Д.В. Трещеву за советы и полезные обсуждения данной работы. 1. Панагитопулос П.Д. Неравенства в механике. М., Мир, 1986. 2. Козлов В.В., Трещев Д.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М., МГУ, 1991. 3. Brogliato B. Nonsmooth Impact Mechanics. Springer-Verlag London Limited, 1996. 4. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М., “Международная программа образования”, 1997. 5. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. М., МГУ, 1997. 6. Schmaedeke W.W. Optimal control theory for nonlinear vector differential equations containing measures. SIAM J. Control, 1965, ser. A, vol. 3, N 2, pp. 231 – 280. 7. Buttazzo G., Percivale D. On the approximation of the elastic bounce problem on Riemanian manifolds. Journal of Differential equations, 1983, 47, 227-275. 8. Козлов В.В. Принципы динамики и сервосвязи. Вестник МГУ, сер. 1, математика, механика. 1989, N 5, с. 59-66. 9. Алексеев В.М. ,Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Наука, 1979. 10. Сорокина О.В., Кугушев Е.И. Принцип Даламбера-Лагранжа в механических системах с односторонними связями. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2002, N 14 . 11. Березинская С.Н., Кугушев Е.И. Об уравнениях движения механических систем с условными односторонними связями. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2002 N 16. 12. Сорокина О.В., Кугушев Е.И. Закономерности движения механических систем с односторонними связями. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2002 N 15. 13. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. М., МГУ, 2000. [14] Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М., МГУ, 1970. 14. Иванов А.П. Об устойчивости в системах с неудерживающими связями. ПММ, 1984, т. 48, вып. 5, с. 725-732. |