Учебное пособие: Методические указания для студентов факультета математики и информационных технологий и факультета управления Ульяновск-2007

Ульяновский государственный университет

Кафедра алгебро-геометрических вычислений

Л.А. Штраус, И.В. Баринова

П Р Е Д Е Л Ы

Методические указания для студентов факультета математики

и информационных технологий и факультета управления

Ульяновск-2007

Штраус Л.А., Баринова И.В. Пределы. Ульяновск: УлГУ.-2007.

Методические указания составлены в соответствии с учебными программами курсов математического анализа для факультета математики и информационных технологий и факультета управления и относятся к разделу «Введение в анализ». Они будут способствовать усвоению теоретического материала и формированию вычислительных навыков у студентов первого курса по одной из первых тем дисциплины, преодолению разрыва между уровнем математической подготовки выпускников средней школы и требованиями, предъявляемыми к уровню знаний студентов. Рассматриваемые задачи занимают максимально широкий диапазон - от простейших упражнений, соответствующих сборнику [3](по которому можно составлять индивидуальные семестровые задания) и контролирующих формирование необходимых вычислительных навыков, до серьёзных задач из сборника [1]. В последнем случае предлагаемые решения классических задач не копируют решений из [2] и соответствуют логике изучения дисциплины. Некоторые понятия, обязательные для изучения на факультете математики и информационных технологий (верхний и нижний пределы последовательности, равномерная непрерывность функции и др.) не рассматриваются в данных указаниях. Однако многие из основных определений здесь приведены. Перед их применением необходимо ознакомиться с соответствующим материалом по конспекту лекций или учебнику.

Предел последовательности

Определение . Число а называется пределом последовательности , если для любого существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство

( ).

Пример 1 . Доказать, что (указать ).

Решение. Неравенство из определения предела последовательности, которое мы должны решить относительно n, принимает вид Пусть . Тогда, откуда , следовательно, в качестве N можно взять . Здесь - целая часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее . Если, например, , то условиям задачи отвечают натуральные числа , то есть

Пример 2 . Доказать, что (указать ).

Решение. Неравенство принимает вид , Последнее неравенство преобразуется в квадратное. Однако вычисления можно упростить. Неравенство будет выполняться, если справедливо следующее двойное неравенство: Его левая часть заведомо выполняется при . Правая часть выполняется при . Следовательно, условиям задачи отвечают числа Отсюда

При вычислении предела в случае и (т.е. в случае неопределённости вида ) или в случае, и т.д. нельзя сразу воспользоваться арифметическими свойствами предела. Следует так преобразовать выражение , чтобы можно было использовать свойства предела и раскрыть неопределённость, т.е. найти предел. Полезным для этого в случае бывает вынести в числителе и знаменателе старшие степени за скобки или разделить числитель и знаменатель на старшую степень одного из них.

Пример 3. Найти предел .

Решение. Преобразуем исходное выражение, выполнив действия в числителе и знаменателе:

. Разделив числитель и знаменатель на их старшую степень , получим . Поскольку то по свойствам предела получаем

Вообще предел отношения двух многочленов переменной можно находить по правилу

(1)

так что в решении последнего примера можно было обойтись без деления на .

При вычислении пределов используют формулу бинома Ньютона

(2)

Также следует знать формулу ( «эн-факториал»- произведение натуральных чисел от 1 до n; например, ).

Пример 4 . Найти предел .

Решение. Разделим числитель и знаменатель исходного выражения на -

старшую степень числителя и знаменателя. Действительно, показатель степени суммы равен наибольшему показателю степени слагаемых, поэтому для числителя он равен 2 (). Показатель степени произведения равен сумме показателей степеней сомножителей. Показатели степени выражений равны 1, поэтому показатель степени знаменателя равен 1+1=2. Тогда Поскольку при то , и по свойствам предела получаем

При вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения, часто используют приём перевода иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот с помощью формул сокращённого умножения

(3)

(4)

(5)

(первая и вторая из них получаются из третьей при и соответственно).

Так, например, если выражение содержит множитель , где и и их старшие степени и коэффициенты при них совпадают или эта разность стремится к нулю, полезно умножить числитель и знаменатель исходной дроби на , т.е. на выражение, сопряжённое к .

Пример 5 . Найти предел

Решение. Имеем неопределённость.Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое к числителю и воспользуемся формулой (3); далее разделим числитель и знаменатель на :

Теперь воспользуемся арифметическими свойствами предела и тем, что при

Замечание. Сразу после (6) можно было записать, поскольку показатели степени слагаемых в знаменателе и равны 3, следовательно, старшая степень знаменателя есть и коэффициент при равен 2 (на языке асимптотического поведения функций выражение в знаменателе эквивалентно , то есть

, эквивалентно , а при вычислении пределов величины можно заменять на эквивалентные, см. с. ).

Пример 6 . Найти предел

Решение. Имеем неопределённость. Воспользуемся формулой (4).Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, дополняющее числитель до разности кубов, то есть на соответствующий неполный квадрат суммы; далее разделим числитель и знаменатель на и воспользуемся арифметическими свойствами предела:

. (7)

Замечание. С разу после (7) можно было записать (см. предыдущее замечание).

Пример 7 . Найти предел

Решение. Поскольку , то . Первый сомножитель в числителе является суммой геометрической прогрессии. Найдём эту сумму по формуле : . Так как , то. Окончательно получаем

Пример 8 . Найти предел

Решение. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии : . Кроме того, , откуда . Подставляем полученные выражения в исходное:

.

Разделим теперь числитель и знаменатель последовательно на и :

поскольку

Пример 9. Найти предел

Решение. Обозначим Если - чётное, , то Если - нечётное, , то

Таким образом, при любом Поскольку то .

Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности .

Пример 10. Доказать, что

Решение. 1-й способ . Обозначим Заметим, что при Поэтому последовательность убывает при и, поскольку она ограничена снизу нулём, то имеет предел. Обозначим и перейдём к пределу в равенстве

2-й способ . Используя формулу (2), получаем Отсюда Поскольку , из последнего неравенства следует, что

3-й способ . Найдём , при которых выполняется неравенство Следовательно, при

, то есть . Поскольку то из последнего неравенства следует, что .

Пример 11. Доказать, что последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел .

Второй замечательный предел

задаётся формулами , , где

или формулой (). Он применяется, в частности, при вычислении пределов

, где т.е. в случае неопределённости вида

Пример 12. Найти предел

Решение. Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида Выделяем в исходном выражении формулу и вычисляем предел.

Пример 13. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности

Пример 14 . Доказать, что

Решение . Покажем, что при любом

Действительно, это неравенство равносильно неравенствам

Последнее неравенство верно, поскольку последовательность

убывает(см. пример ) и её предел равен Тогда

Поскольку то и

Пример 15. Для нахождения применяется следующий процесс: произвольно,

(8)

Доказать, что

Решение . Из известного неравенства , связывающего среднее арифметическое и среднее геометрическое двух неотрицательных чисел, получаем, что для любого Теперь убедимся в том, что последовательность не возрастает. Действительно, неравенство то есть , равносильно , . В справедливости последнего неравенства мы убедились выше. По теореме Вейерштрасса последовательность имеет предел , который находим, переходя в (8) к пределу: , .

Пример 16. Последовательность определяется следующим образом:

, Найти .

Решение . Оценим разность между и числом , являющимся корнем уравнения : , . Применяя полученное неравенство к разности и т.д., получим , .

Поскольку , то и .

Предел функции

Пусть Е- некоторое непустое подмножество множества R действительных чисел, – предельная точка множества Е, - функция, определённая на Е.

Определение . Число называется пределом функции в точке , если

ed>0 d Þ e). (9)

Предел функции в точке обозначается символом . Во всех рассматриваемых далее примерах функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , поэтому мы будем использовать символ . Определение предела в случае аналогично приведённому ( его можно найти в учебнике или конспекте лекций).

Определение . Функция есть бесконечно малая при , если

Функции и называются эквивалентными (f ~ g) при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где .

Определение . Функция есть бесконечно малая относительно при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где При этом пишут Если при этом g- бесконечно малая, то говорят, что f есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с g.

Справедливы следующие предложения.

1. (f(х) ~ g(х)) при .

2. (f(х) ~ g(х)) при

Последнее правило не распространяется на суммы и разности функций, кроме отдельных случаев, например

3. Если f(х) ~ах и g(х) ~bх и , то (f(х) - g(х)) ~(а- b)х.

При вычислении пределов функций полезно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых величин при :

1. sinx~x , ,

2. arcsinx~x, arcsinx =x+o(x),

3. tgx~x , tgx=x+o(x),

4. arctgx ~x, arctgx=x+o(x),

5. ~x , ,

6. ~xlna, ,

7. ~x , ,

8. ~ , ,

9. ~ , ,

10. 1-cosx~, .

Пример 17 . Доказать (найти d(e)), что .

Решение. Заметив, что квадратный трёхчлен имеет корни и , упростим исходное выражение:

.

Тогда соответствующая часть формулы (9) из определения предела функции принимает вид e. Это неравенство будет выполняться, если . Следовательно, можно взять .

Пример 18 . Найти предел .

Решение. При многочлены в числителе и знаменателе исходного выражения обращаются в нуль, следовательно, их пределы в точке равны нулю и мы имеем неопределённость вида . Преобразуем исходное выражение. Разложим многочлены в его числителе и знаменателе на множители, воспользовавшись тем, что является их корнем, с помощью группировки слагаемых или разделив их на х-2:

, .

Получаем Мы снова имеем неопределённость, так как при х=2 числитель и знаменатель последней дроби обращаются в нуль. Разлагаем их на множители, сокращаем и находим искомый предел: .

Пример 19 . Найти предел

.

Решение. Имеем неопределённость вида . Преобразуем исходное выражение, умножив его числитель и знаменатель на множитель , сопряжённый к числителю.

Поскольку , то

.

Пример 20 . Найти предел .

Решение . Подставив х=1 в выражения в числителе и знаменателе, убеждаемся в том, что имеется неопределённость вида . Воспользуемся формулами (3), (4). Умножим числитель и знаменатель исходного выражения на множитель , дополняющий числитель до разности кубов (неполный квадрат суммы), и на множитель , сопряжённый к знаменателю. Получаем

Поскольку , , то

.

Пример 20 . Найти предел .

Решение. Дважды применим приём умножения на сопряжённое выражение.

, поскольку при .

Далее,

.

Пример 21 . Найти предел a.

Решение. Применим формулу (5) , положив в ней , . Умножив числитель и знаменатель исходной дроби на выражение и учитывая, что оно стремится к 5, получаем:

Пример 22 . Найти предел .

Решение. 1-й способ. Сделаем замену переменной:

По

предложению 3 выражение в числителе эквивалентно , следовательно,

2-й способ . Сделаем замену переменной и воспользуемся формулой 9 из таблицы эквивалентных бесконечно малых.

Пример 23 . Вычислить предел функции

Решение . Воспользовавшись формулами приведения и табличными эквивалентностями, получаем

Пример24 . Вычислить предел функции

.

Решение. Заметив, что все сомножители в числителе и знаменателе исходного выражения есть бесконечно малые при , заменим их, кроме , на эквивалентные:

Получаем

.

Пример 25 . Вычислить предел функции .

Решение. 1-й способ . Преобразуем исходное выражение и разделим числитель и знаменатель на х: . Тогда по арифметическим свойствам предела . По таблице заменяем выражения на эквивалентные и переходим к пределу в каждом слагаемом:

2-й способ. Поскольку , то . Точно так же и при . Воспользовавшись этими соотношениями, получаем

.

Пример 26 . Вычислить предел функции

.

Решение . Вынесем в знаменателе исходного выражения множитель и учтём, что : . Теперь сделаем замену переменной, воспользуемся формулой приведения и табличными эквивалентностями:

.

.

Пример 27. Вычислить предел функции

Решение . 1-й способ. Преобразуем числитель исходного выражения:

Используя последнее равенство, приём умножения на сопряжённое выражение, предел и табличные эквивалентности, получаем:

++=

+ + = + 1 +

2-й способ. Последовательно используя табличные формулы

при , получаем

Пример 28. Вычислить предел функции

Решение. Сделаем подстановку и воспользуемся табличными формулами:

Пример 29. Вычислить предел функции

Решение. Сделаем подстановку :

(10)

Преобразуем выражение

Подставляем полученное выражение в (10):

Пример 30. Вычислить предел функции

Решение.

Мы воспользовались свойствами логарифма и тем, что есть бесконечно большая, а и -бесконечно малые при

Пример 31. Найти предел

Решение. Понизим степень в исходном выражении и вынесем n из-под корня: Теперь используем табличное представление , где при , формулу приведения и то, что (непрерывность косинуса):

Пример 32. Вычислить предел функции

Решение. Величина является ограниченной, а x - бесконечно малой при . Поэтому их произведение есть бесконечно малая. Далее, поэтому ; . Отсюда

Пример 33. Вычислить предел функции

Решение. Воспользуемся тем, что если , то В нашем случае , Тогда

Задачи, связанные с применением второго замечательного предела

Второй замечательный предел

(11)

применяется ( как и в случае последовательностей) при вычислении пределов , где т.е. в случае неопределённости вида

Следующие три примера решим различными способами.

Пример 34. Вычислить предел функции

Решение . Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида Выделяем в исходном выражении формулу и вычисляем предел.

Предел выражения можно находить, предварительно вычислив предел его логарифма.

Пример 35. Вычислить предел функции

Решение. Преобразуем логарифм исходного выражения, применив формулу Отсюда Теперь находим искомый предел:

Для вычисления предела , где т.е. в случае неопределённости вида , можно использовать правило:

. (12)

Пример 36. Вычислить предел функции

Решение. Находим

Далее, и в силу (12) получаем

Пример 37. Последовательность функций определяется следующим образом: Найти

Решение. Легко заметить и доказать по индукции, что Оценим разность между и числом являющимся корнем уравнения . Последнее неравенство следует из того, чтоиПрименяя полученное неравенство к разности и т.д., получим то есть. Отсюда видно, что

Непрерывность функции

Определение. Функция , заданная на множестве Е R, называется непрерывной в точке аЕ, если

(13)

Отсюда следует, что в изолированной точке множества Е функция непрерывна (см. пример 41); если же а - предельная для множества Е, то (13) означает, что

Пример 38. Доказать, что функция непрерывна в точке а=2(найти ).

Решение. 1-й способ. Поскольку определена при всех значениях R, то Е= R и (13) принимает вид:

Переходим к неравенству для значений функции:

(14)

Пусть выполнено неравенство то есть Тогда Если теперь потребовать, чтобы выполнялось неравенство , то неравенство (14) также будет выполнено: Итак, для выполнения последнего неравенства потребовалось, чтобы и . Поэтому

2-й способ. Неравенство для значений функции выполнено, если выполнено неравенство

Последнее неравенство, (квадратное относительно ) выполнено, если Таким образом,

Рис.1

3-й способ. Найдём по графически (см. рис. 1) и получим такой же результат, как для второго способа (в этом легко убедиться самостоятельно).

Пример 39. С помощью «» рассуждений доказать непрерывность следующих функций: 1) :2).

Решение. 1). Пусть Тогда если . Кроме того, должно выполняться условие ,откуда и При а=0 если ( в качестве окрестности нуля в множестве Е=D(f) берётся ).

2). Покажем, что для любых х и а

(15)

Из определения арктангенса и с помощью замены переменной получаем, что это неравенство равносильно неравенству

где (16)

Если х и а одного знака, то

Мы воспользовались известным неравенством Из него же следует справедливость (16) для х и а разного знака. Из неравенства (15)следует, что в качестве искомого можно взять : если , то получаем, что

Пусть функция определена в точках некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а.

Определение. Точка а называется точкой разрыва функции , если она не определена в точке а или определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.

Если а – точка разрыва и существуют конечные пределы и, то а называется точкой разрыва первого рода. Если при этом , то а называется точкой устранимого разрыва.

Точки разрыва функции , не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода. Если при этом или , то а называется точкой бесконечного разрыва.

Если в некоторой полуокрестности слева или справа от а не определена, то для определения характера разрыва рассматривают только или .

Пример 40 . Найти точки разрыва функции

и исследовать их характер.

Решение. В точках функция непрерывна, поскольку является произведением или частным непрерывных функций. В точке оба односторонних предела существуют и не равны: . Следовательно, - точка разрыва первого рода. В точке х=1 , следовательно, - точка разрыва второго рода

( точка бесконечного разрыва).

Пример 41 . Определить точки разрыва функции и исследовать их характер.

Решение. Находим область определения функции: Отсюда или . На функция непрерывна: на множестве в силу арифметических свойств и непрерывности корня, а в точках - поскольку они являются изолированными (отдельными) точками . Таким образом, точками разрыва могут быть только . Находим . Поскольку чётная, то и . Следовательно, - точки устранимого разрыва.

Пример 42 . Исследовать на непрерывность функцию и построить её график.

Решение. Пусть х>0. При х>1 и у=0. При у=1. При и Таким образом, при

(одновременно строим график, рис. 2 ); Следовательно, , являются для у точками разрыва первого рода. Пусть теперь х<0. При х < -1 и . При , у=1. При и Таким образом, при Получаем, что и точки , являются точками разрыва первого рода. Поскольку то х=0 является точкой устранимого разрыва. Во всех остальных точках функция непрерывна.

Рис. 2

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб.пособие для вузов.- М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2002.- 558 с.

2. Ляшко И.И., Боярчук А.А., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ в примерах и задачах, ч.1. Введение в анализ, производная, интеграл. – Киев, Издательское объединение «Вища школа», 1974.-680 с.

3. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчёты: Учебное пособие. 3-е изд., испр.-СПб.: Издательство «Лань», 2005. -240 с.

4. Кузнецова М.Г. Типовой расчёт по высшей математике: Пределы.- Ульяновск: УлПИ, 1987.- 24 с.