Учебное пособие: Методические указания к практическим занятиям по курсу «Методы и модели в экономике»

Название: Методические указания к практическим занятиям по курсу «Методы и модели в экономике»
Раздел: Остальные рефераты
Тип: учебное пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

—————————————————

ГОУВПО

«ВОРОНЕЖСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

—————————————————

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ МОДЕЛИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ МНОГООТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКИ

Методические указания к практическим занятиям по курсу

«Методы и модели в экономике»

Для студентов, обучающихся по специальности

080502 – «Экономика и управление на предприятии

(в пищевой промышленности)»,

дневной формы обучения

—————————————————

ВОРОНЕЖ

2009

УДК 330.115

Типовые задачи статического моделирования линейной многоотраслевой экономики [Текст] : метод. указания к практическим занятиям по курсу «Методы и модели в экономике» / Воронеж. гос. технол. акад.; сост. А. С. Дубровин. Воронеж, 2009. 24 с.

Методические указания разработаны в соответствии с требованиями ГОС ВПО подготовки экономистов по специальности 080502 – «Экономика и управление на предприятии (в пищевой промышленности)». Они предназначены для изучения материала и контроля знаний по дисциплине «Методы и модели в экономике» цикла ЕН. Приведены типовые задачи, возникающие при статическом моделировании линейной многоотраслевой экономики.

Библиогр.: 3 назв.

Составитель доцент А.С. ДУБРОВИН

Научный редактор профессор Г.В. АБРАМОВ

Рецензент профессор В.И. СУМИН

Печатается по решению

редакционно-издательского совета

Воронежской государственной технологической академии

технол. акад.», 2009

Оригинал-макет данного издания является собственностью Воронежской государственной технологической академии, его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия академии запрещается.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

В данных методических указаниях рассматривается статическое моделирование линейной многоотраслевой экономики. Оно основано на следующих предположениях:

1. В экономической системе производятся, продаются, покупаются, потребляются и инвестируются n продуктов.

2. Каждая отрасль является «чистой», то есть производит только один продукт, совместное производство различных продуктов исключается. Различные отрасли выпускают разные продукты.

3. Под производственным процессом в каждой отрасли понимается преобразование некоторых (возможно, всех) типов продуктов в определенный продукт. При этом соотношение затраченных продуктов и выпускаемого предполагается постоянным. Таким образом, если для производства единицы j -го продукта надо затратить единиц i -го продукта, то выпуск единиц j -го продукта потребует единиц i -го продукта. Это значит, что независимо от масштаба производства удельный выпуск и соотношения затрат предполагаются постоянными.

4. Вообще говоря, конечный спрос состоит из конечного потребления, экспорта и инвестиций, однако при моделировании конечный спрос отождествляется с конечным потреблением и считается экзогенно заданным. При этом валовой выпуск i -го продукта за год распадается на две части: на производственное потребление во всех отраслях и на конечное (непроизводственное) потребление.

Величины , , называются расходными коэффициентами или, иначе, коэффициентами прямых затрат. Они имеют экономический смысл только при выполнении условия . По совокупности всех коэффициентов прямых затрат составляется матрица

которая называется матрицей прямых затрат или, иначе, технологической матрицей и предоставляет все данные о технологических возможностях.

Расчет валового выпуска продуктов по заданному конечному спросу на основе данных о технологических возможностях

Общая постановка задачи. Задан конечный спрос на каждый i -й продукт , . Известна также технологическая матрица (матрица прямых затрат) A . Требуется найти валовой выпуск каждого i -го продукта , , необходимый для удовлетворения заданного конечного спроса на все продукты.

Способ решения задачи. Для решения задачи необходимо составить и решить следующую систему n линейных алгебраических уравнений с n переменными , :

, .

Эта система уравнений представляет собой одну из форм записи системы уравнений натурального межотраслевого баланса в модели Леонтьева.

Пример постановки и решения задачи. Дано : количество отраслей , конечный спрос на первый продукт , конечный спрос на второй продукт , элементы технологической матрицы , , , . Требуется найти : валовой выпуск первого продукта и валовой выпуск второго продукта , необходимые для удовлетворения заданного конечного спроса на оба продукта. Решение задачи . Для решения данной задачи составим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными , :

После упрощения этой системы уравнений получим

В результате решения этой системы уравнений окончательно имеем: , .

Расчет конечного спроса на продукты по заданному валовому выпуску на основе данных о технологических возможностях

Общая постановка задачи. Задан валовой выпуск каждого i -го продукта , . Известна также технологическая матрица (матрица прямых затрат) A . Требуется найти конечный спрос на каждый i -й продукт , , удовлетворяемый заданным валовым выпуском всех продуктов.

Способ решения задачи. Конечный спрос на произвольный i -й продукт , вычисляется по формуле

Совокупность n таких формул для всех представляет собой одну из форм записи системы уравнений натурального межотраслевого баланса в модели Леонтьева.

Пример постановки и решения задачи. Дано : количество отраслей , валовой выпуск первого продукта , валовой выпуск второго продукта , элементы технологической матрицы , , , . Требуется найти : конечный спрос на первый продукт и конечный спрос на второй продукт , удовлетворяемый заданным валовым выпуском обоих продуктов. Решение задачи . Найдем величину из соответствующего (первого) равенства для натурального межотраслевого баланса в модели Леонтьева:

Аналогично найдем величину из второго равенства для натурального межотраслевого баланса в модели Леонтьева:

Расчет цен продуктов по заданным добавленным стоимостям на единицу выпуска на основе данных о технологических возможностях

Общая постановка задачи. Задана добавленная стоимость на единицу выпуска каждого j -го продукта , . Известна также технологическая матрица (матрица прямых затрат) A . Требуется найти цену каждого j -го продукта , , обеспечивающую заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов.

, .

Эта система уравнений представляет собой одну из форм записи системы уравнений стоимостного межотраслевого баланса в модели Леонтьева.

Пример постановки и решения задачи. Дано : количество отраслей , добавленная стоимость на единицу выпуска первого продукта , добавленная стоимость на единицу выпуска второго продукта , элементы технологической матрицы , , , . Требуется найти : цену первого продукта и цену второго продукта , обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска обоих продуктов. Решение задачи . Для решения данной задачи составим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными , :

После упрощения этой системы уравнений получим

В результате решения этой системы уравнений окончательно имеем: , .

Расчет добавленных стоимостей на единицу выпуска продуктов по заданным ценам на основе данных о технологических возможностях

Общая постановка задачи. Задана цена каждого j -го продукта , . Известна также технологическая матрица (матрица прямых затрат) A . Требуется найти добавленную стоимость на единицу выпуска каждого j -го продукта , , обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов.

Способ решения задачи. Добавленная стоимость на единицу выпуска произвольного j -го продукта , вычисляется по формуле

Совокупность n таких формул для всех представляет собой одну из форм записи системы уравнений стоимостного межотраслевого баланса в модели Леонтьева.

Пример постановки и решения задачи. Дано : количество отраслей , цена первого продукта , цена второго продукта , элементы технологической матрицы , , , . Требуется найти : добавленную стоимость на единицу выпуска первого продукта и добавленную стоимость на единицу выпуска второго продукта , обеспечиваемые заданными ценами обоих продуктов. Решение задачи . Найдем величину из соответствующего (первого) равенства для стоимостного межотраслевого баланса в модели Леонтьева:

Аналогично найдем величину из второго равенства для стоимостного межотраслевого баланса в модели Леонтьева:

Формирование неразложимой технологической матрицы

Общая постановка задачи. Привести пример неразложимой технологической матрицы. Неразложимость технологической матрицы означает, что каждая отрасль хотя бы косвенно использует продукцию всех отраслей.

Способ решения задачи. Для решения задачи используется достаточное условие неразложимости технологической матрицы: , , , , (вне главной диагонали технологической матрицы элементы только положительны).

Пример постановки и решения задачи. Условие задачи : привести пример неразложимой технологической матрицы для экономической системы из трех отраслей. Решение задачи . Наличие трех отраслей означает, что , , . В силу достаточного условия неразложимости технологической матрицы имеем: , , , , , , , , . В качестве примера можно взять , , , , , , , , . В итоге получаем

Формирование технологической матрицы при наличии изолированного множества отраслей

Общая постановка задачи. Привести пример технологической матрицы при наличии изолированного множества отраслей. Это значит, что технологическая матрица не является неразложимой, то есть хотя бы одна отрасль даже косвенно не использует продукцию хотя бы одной другой отличной от нее отрасли.

Способ решения задачи. Обозначим через N множество номеров отраслей . Подмножество отраслей S изолировано, если для , . Это означает, что отрасли S не нуждаются в товарах, производимых другими отраслями , хотя, быть может, передают им свои товары. Если перенумеровать отрасли так, чтобы первыми располагались k отраслей S , то матрица A примет следующий вид:

где – квадратная матрица с размерами , отвечающая отраслям S ; – квадратная матрица с размерами , соответствующая отраслям .

Пример постановки и решения задачи. Условие задачи : привести пример технологической матрицы A для экономической системы из пяти отраслей при наличии двух изолированных отраслей. Решение задачи . Наличие пяти отраслей экономической системы означает, что . Поэтому множество номеров всех отраслей имеет вид . Наличие двух изолированных отраслей означает, что . Нумеруя отрасли так, чтобы первыми располагались изолированные отрасли, получим: – изолированное подмножество отраслей, – подмножество остальных отраслей. Отраслям S должна отвечать квадратная матрица с размерами , а отраслям – квадратная матрица с размерами . При этом матрица будет иметь размер . В качестве примера возьмем такие матрицы , , , все элементы которых равны 0,1:

, , .

Комбинируя их с нулевой матрицей, окончательно имеем:

Проверка технологической матрицы на неразложимость

Общая постановка задачи. Проверить заданную технологическую матрицу на неразложимость.

Способ решения задачи. Сначала нужно проверить выполнимость достаточного условия неразложимости технологической матрицы. А именно, если вне ее главной диагонали нет нулей, то она неразложима. В противном случае вопрос о неразложимости пока остается открытым. Далее нужно проверить выполнимость достаточного условия наличия изолированных отраслей, то есть проверить наличие нулевой подматрицы в левом нижнем углу технологической матрицы. Если хотя бы одна из подматриц размера , , стоящих в левом нижнем углу технологической матрицы размера , является нулевой, то технологическая матрица не является неразложимой, а соответствующее подмножество отраслей является изолированным. Если достаточное условие наличия изолированных отраслей тоже не выполняется, то используется определение неразложимости технологической матрицы. Если найдется хотя бы одна отрасль, которая даже косвенно не использует продукцию всех отраслей (изолированная отрасль), то технологическая матрица не является неразложимой, в противном же случае является.

Пример № 1 постановки и решения задачи. Условие задачи : проверить на неразложимость технологическую матрицу

Решение задачи . Проверим выполнимость достаточного условия неразложимости технологической матрицы. Хотя на ее главной диагонали стоят два нуля (), вне главной диагонали нулей нет, поэтому технологическая матрица неразложима.

Пример № 2 постановки и решения задачи. Условие задачи : проверить на неразложимость технологическую матрицу

Решение задачи . Проверим выполнимость достаточного условия неразложимости технологической матрицы. Вне ее главной диагонали стоят два нуля (), поэтому проверяемое условие не выполнено, и вопрос о неразложимости пока остается открытым. Далее проверим выполнимость достаточного условия наличия изолированных отраслей, то есть проверим наличие нулевой подматрицы в левом нижнем углу технологической матрицы. Для этого рассмотрим две подматрицы в левом нижнем углу технологической матрицы: одна размера , а другая размера . Подматрица размера не является нулевой (содержит один ненулевой элемент ), но подматрица размера является (). Поэтому технологическая матрица не является неразложимой, а подмножество отраслей является изолированным.

Пример № 3 постановки и решения задачи. Условие задачи : проверить на неразложимость технологическую матрицу

Решение задачи . Проверим выполнимость достаточного условия неразложимости технологической матрицы. Вне ее главной диагонали стоит один нуль (), поэтому проверяемое условие не выполнено, и вопрос о неразложимости пока остается открытым. Далее проверим выполнимость достаточного условия наличия изолированных отраслей. В левом нижнем углу технологической матрицы стоит ненулевой элемент , поэтому любая подматрица, стоящая в левом нижнем углу, не может быть нулевой. Тем самым, проверяемое условие не выполнено, и вопрос о неразложимости опять остается открытым. Используем определение неразложимости технологической матрицы. Для этого проверим на изолированность сначала первую отрасль. Так как , , то первая отрасль напрямую использует продукцию свою и третьей отрасли. Но , то есть первая отрасль напрямую не использует продукцию второй отрасли. Однако , то есть третья отрасль напрямую использует продукцию второй отрасли. А так как при этом первая отрасль напрямую использует продукцию третьей отрасли, то эта первая отрасль косвенно использует продукцию второй отрасли. Таким образом, первая отрасль использует прямо или косвенно продукцию всех отраслей и, тем самым, не является изолированной. Аналогично проверим на изолированность вторую отрасль. Она использует напрямую продукцию первой отрасли () и третьей отрасли (), а также косвенно свою продукцию, поскольку ее при этом напрямую использует третья отрасль. Таким образом, вторая отрасль тоже использует прямо или косвенно продукцию всех отраслей и, тем самым, не является изолированной. Третья отрасль не является изолированной, так как напрямую использует продукцию всех отраслей (,,). Итак, ни одна из отраслей не является изолированной, а значит, технологическая матрица является неразложимой.

Формирование неразложимой технологической матрицы для продуктивной модели Леонтьева

Общая постановка задачи. Привести пример неразложимой технологической матрицы для продуктивной модели Леонтьева.

Способ решения задачи. Способ решения данной задачи опирается на способ решения задачи формирования неразложимой технологической матрицы. Дополнительно используется достаточное условие продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей. Каждая строка технологической матрицы формируется одинаковым образом отдельно от других строк поэлементно в порядке возрастания номера столбца. При этом очередной j -й элемент данной i -ой строки определяется по условию

Пример постановки и решения задачи. Условие задачи : привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с тремя отраслями. Решение задачи . Сформируем первую строку. Ее первый элемент определяется с учетом ограничения . Положим . Аналогично, по условию положим , а по условию примем . Таким же образом можно сформировать вторую и третью строки. В простейшем частном случае они совпадут с первой. Итак, имеем:

Проверка неразложимой технологической матрицы на продуктивность модели Леонтьева

Общая постановка задачи. Проверить заданную неразложимую технологическую матрицу на продуктивность модели Леонтьева.

Способ решения задачи. Сначала нужно проверить выполнимость достаточного условия продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей. А именно, если сумма элементов каждой i -й строки неразложимой технологической матрицы не превосходит единицы, то есть

, ,

и хотя бы для одной строки меньше единицы, то есть

то модель Леонтьева продуктивна. Кроме того, если сумма элементов каждого j -го столбца неразложимой технологической матрицы не превосходит единицы, то есть

, ,

и хотя бы для одного столбца меньше единицы, то есть

то модель Леонтьева также продуктивна. Иначе вопрос о продуктивности модели Леонтьева пока остается открытым. Для окончательного его решения нужно найти все собственные числа технологической матрицы и использовать необходимое и достаточное условие продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей. А именно, модель Леонтьева продуктивна тогда и только тогда, когда все собственные числа технологической матрицы меньше единицы.

Пример № 1 постановки и решения задачи. Условие задачи : проверить на продуктивность модель Леонтьева с неразложимой технологической матрицей

Решение задачи . Проверим выполнимость достаточного условия продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей. Имеем:

;

Так как , то вопрос о продуктивности модели Леонтьева пока остается открытым. Далее имеем:

;

Видно, что проверяемое условие выполнено, а значит, модель Леонтьева продуктивна.

Пример № 2 постановки и решения задачи. Условие задачи : проверить на продуктивность модель Леонтьева с неразложимой технологической матрицей

Решение задачи . Проверим выполнимость достаточного условия продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей. Так как и , то проверяемое условие не выполнено, и вопрос о продуктивности модели Леонтьева пока остается открытым. Для окончательного его решения найдем оба собственных числа и технологической матрицы и используем необходимое и достаточное условие продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей. Имеем: , . Так как оба собственных числа меньше единицы, то модель Леонтьева продуктивна.

Пример № 3 постановки и решения задачи. Условие задачи : проверить на продуктивность модель Леонтьева с неразложимой технологической матрицей

Решение задачи . Так как и , то достаточное условие продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей не выполнено. Найдем оба собственных числа и технологической матрицы и используем необходимое и достаточное условие продуктивности модели Леонтьева с неразложимой технологической матрицей. Имеем: , . Так как , то модель Леонтьева не является продуктивной. Можно отметить, что полученный ответ задачи легко находится в данном случае и из более наглядных соображений. А именно: чтобы произвести одну единицу первого продукта, необходимо затратить единицы второго. Но производство каждой такой единицы второго продукта требует затрат единиц первого продукта. Поэтому на производство всех единиц второго продукта нужно затратить единиц первого продукта. В итоге, при производстве первого продукта его расход превышает (в восемь раз) выпуск, то есть производства первого продукта на самом деле не получается.

Расчет полных затрат в модели Леонтьева

Общая постановка задачи. Найти матрицу полных затрат в модели Леонтьева по заданной матрице прямых затрат.

Способ решения задачи. Матрица полных затрат в модели Леонтьева экономической системы из n отраслей рассчитывается по формуле

где , , – матрица прямых затрат (технологическая матрица), I – единичная матрица размера . Для применения этой формулы нужно сначала вычислить матрицу , а затем произвести обращение этой матрицы для окончательного получения искомой матрицы .

Пример постановки и решения задачи. Дано : количество отраслей , элементы технологической матрицы , , . Требуется найти : матрицу полных затрат . Решение задачи . Последовательно найдем матрицы , :

; .

Расчет валового выпуска продуктов по заданному конечному спросу на основе матрицы полных затрат

Общая постановка задачи. Задан конечный спрос на каждый i -й продукт , . Эти величины образуют вектор конечного спроса , . Известна также матрица полных затрат в модели Леонтьева данной экономической системы , , . Требуется найти валовой выпуск каждого i -го продукта , , необходимый для удовлетворения заданного конечного спроса на все продукты. Тем самым, требуется найти вектор валового выпуска продуктов , .

Способ решения задачи. В матричной форме решение задачи дается равенством

которое в скалярной форме принимает вид

, .

Пример постановки и решения задачи. Дано : количество отраслей , конечный спрос , , на первый, второй и третий продукты соответственно, элементы матрицы полных затрат в модели Леонтьева данной экономической системы , , , , , , , , . Требуется найти : валовые выпуски , , первого, второго и третьего продуктов соответственно, необходимые для удовлетворения заданного конечного спроса на все три продукта; сформировать вектор валового выпуска продуктов. Решение задачи . Последовательно найдем искомые величины:

;

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Задание № 1. Экономическая система состоит из трех отраслей. Конечный спрос на продукт первой отрасли равен 2, конечный спрос на продукт второй отрасли равен 7, а конечный спрос на продукт третьей отрасли равен 19. Задана технологическая матрица

Требуется найти валовые выпуски всех трех продуктов, необходимые для удовлетворения заданного конечного спроса на все продукты.

Задание № 2. Экономическая система состоит из трех отраслей. Валовой выпуск продукта первой отрасли равен 30, валовой выпуск продукта второй отрасли равен 20, а валовой выпуск продукта третьей отрасли равен 10. Задана матрица прямых затрат

Требуется найти конечный спрос на все три продукта, удовлетворяемый заданным валовым выпуском всех продуктов.

Задание № 3. Экономическая система состоит из трех отраслей. Добавленная стоимость на единицу выпуска продукта первой отрасли равна 4, добавленная стоимость на единицу выпуска продукта второй отрасли равна 11, а добавленная стоимость на единицу выпуска продукта третьей отрасли равна 13. Задана технологическая матрица

Требуется найти цены всех трех продуктов, обеспечивающие заданные добавленные стоимости на единицу выпуска всех продуктов.

Задание № 4. Экономическая система состоит из трех отраслей. Цена первого продукта равна 10, цена второго продукта равна 20, а цена третьего продукта равна 10. Задана матрица прямых затрат

Требуется найти добавленную стоимость на единицу выпуска всех трех продуктов, обеспечиваемую заданными ценами всех продуктов.

Задание № 5. Привести пример неразложимой технологической матрицы A для экономической системы с пятью отраслями.

Задание № 6. Привести пример технологической матрицы A для экономической системы с семью отраслями при наличии трех изолированных отраслей.

Задание № 7. Проверить на неразложимость матрицу прямых затрат экономической системы с десятью отраслями, все элементы которой равны 0,01.

Задание № 8. Производственная система экономики состоит из трех секторов: материальный (нулевой) производит предметы труда, фондосоздающий (первый) – средства труда, потребительский (второй) – предметы потребления. Матрица прямых затрат такой трехсекторной экономики имеет вид

где – материалоемкость секторов, – капиталоемкость секторов, . Является ли матрица A неразложимой?

Задание № 9. Добавим к трем секторам материального производства (см. задание № 8) сектор труда (домашние хозяйства), тогда матрица прямых затрат такой четырехсекторной экономики примет вид

где – трудоемкость единицы продукции i -го сектора, ; c – норма потребления на одного занятого. Является ли матрица неразложимой?

Задание № 10. Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с пятью отраслями. Все элементы этой матрицы должны различаться между собой.

Задание № 11. Проверить на продуктивность такую модель Леонтьева экономической системы с десятью отраслями, у которой технологическая матрица имеет элементы , , , доказать неразложимость этой матрицы.

Задание № 12. Проверить на продуктивность модель Леонтьева со следующими технологическими матрицами, предварительно доказав их неразложимость:

а) ; б) .

Задание № 13. Матрица прямых затрат экономической системы из трех отраслей задана своими элементами: , , . Требуется найти матрицу полных затрат в модели Леонтьева такой экономической системы.

Задание № 14. Экономическая система состоит из трех отраслей. Конечный спрос на продукт первой отрасли равен 5, конечный спрос на продукт второй отрасли равен 6, а конечный спрос на продукт третьей отрасли равен 8. Задана матрица полных затрат в модели Леонтьева данной экономической системы своими коэффициентами , , . Требуется найти валовые выпуски всех трех продуктов, необходимые для удовлетворения заданного конечного спроса на все продукты.

Задание № 15. Привести пример неразложимой технологической матрицы A для продуктивной модели Леонтьева экономической системы с четырьмя отраслями. Все элементы этой матрицы должны различаться между собой. Для предложенной матрицы найти матрицу полных затрат в модели Леонтьева данной экономической системы; рассчитать двумя способами (с использованием и без использования матрицы полных затрат) валовые выпуски всех четырех продуктов, необходимые для удовлетворения единичного конечного спроса на них; сравнить результаты расчетов по этим двум способам.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Власов, М. П. Моделирование экономических процессов [Текст] : учеб. пособие для студ. обуч. по спец. 080502 (гриф УМО) / М. П. Власов, П. Д. Шимко. – Ростов-на-Дону : Феникс, 2005. – 409 с.

Грицюк, С. Н. Математические методы и модели в экономике [Текст] : учебник для ст. ср. проф. образ. (гриф МО) / С. Н. Грицюк, Е. В. Мирзоева, В.В. Лысенко. – Ростов-на-Дону : Феникс, 2007. – 348 с.

Колемаев, В. А. Математическая экономика [Текст] : учебник для ВУЗов (гриф МО) / В. А. Колемаев. – 3-е изд., стер. – М. : ЮНИТИ, 2005. – 399 с.