Учебное пособие: Методические указания по выполнению контрольных работ

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

по дисциплине «Математический анализ и

линейная алгебра»

для студентов I курса всех специальностей, студентов бакалавриата по направлениям «Экономика», «Менеджмент»

и слушателей факультета непрерывного обучения

Ниже приводятся только варианты контрольных работ по данной дисциплине и указания по их выполнению, взятые из учебно-методического пособия: Математический анализ и линейная алгебра. Учебно-методическое пособие для студентов I курса всех специальностей, бакалавров и слушателей факультета непрерывного обучения / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ВЗФЭИ, 2008.

Полностью указанное пособие приводится в разделе сайта ВЗФЭИ «Учебные ресурсы» (подраздел «Корпоративные образовательные ресурсы»). В этом пособии, кроме приведенных здесь вариантов контрольных работ и указаний по их выполнению, представлены методические рекомендации по изучению дисциплины, типовые задачи (с решениями и для самоподготовки) и вопросы для самопроверки.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

В соответствии с учебным планом по дисциплине «Математический анализ и линейная алгебра» каждый студент должен выполнить две домашние контрольные работы № 1 и № 2 (по приведенным в данной брошюре вариантам) в сроки, установленные учебным графиком.

По каждой контрольной работе и студенты вечерних и дневных групп проходят собеседование. На собеседовании выясняется, насколько глубоко усвоен пройденный материал и соответствуют ли знания студента и его навыки в решении задач качеству представленной работы. Зачет по каждой контрольной работе студенты получают лишь успешного прохождения собеседования.

Номер варианта контрольной работы определяется по последней цифре номера личного дела студента, который совпадает с номером его зачетной книжки и студенческого билета .

Сроки представления домашних контрольных работ на проверку указаны в индивидуальном графике студента, а также сообщаются во время осенней установочной сессии. Однако эти сроки являются крайними. Чтобы работа была своевременно проверена, а при необходимости доработана и сдана повторно, ее надлежит представить значительно раньше указанного срока. Студентам дневных групп рекомендуется свои домашние контрольные работы выполнять во время сессии (контрольную работу № 1 – во время осенней установочной, № 2 – во время зимней экзаменационной). Это даст возможность студенту использовать свое пребывание в институте для консультаций по всем возникшим при выполнении работы вопросам. После окончания сессии в течение двух недель работу необходимо окончательно завершить, а затем представить на проверку.

Если в ходе написания работы у студента появятся вопросы или затруднения в решении задач контрольного задания, он может обратиться в институт за устной или письменной консультацией (например, по электронной почте на форум кафедры).

При изучении учебного материала и подготовке к контрольным работам рекомендуется использовать учебники и учебные пособия, Интернет-ресурсы, приведенные выше в разделе «Литература», а также данную брошюру.

После проверки контрольная работа студента получает оценку «Допускается к собеседованию» или «Не допускается к собеседованию».

Каждая контрольная работа содержит набор заданий, при выполнении которых необходимо соблюдать следующие правила.

1. Работа должна быть выполнена в школьной тетради, имеющей широкие (не менее 3 см) поля для замечаний рецензента.

2. Перед решением каждой задачи нужно привести полностью ее условие.

3. Следует придерживаться той последовательности при решении задач, в какой они даны в задании, строго сохраняя при этом нумерацию примеров (задач).

4. Не допускается замена задач контрольного задания другими.

5. Решения задач должны сопровождаться развернутыми пояснениями, нужно привести в общем виде используемые формулы с объяснением употребляемых обозначений, а окончательный ответ следует выделить.

6. Чертежи к задачам № 5, 6 контрольных работ № 1 и 2 должны быть выполнены в прямоугольной системе координат в полном соответствии с данными условиями задач и теми результатами, которые получены.

7. В конце работы приводится список использованной литературы (указывают автора, название, издательство, год издания), ставится дата окончания работы и подпись.

8. Если вычисления, выполняемые при решении задач, приближенные, то следует придерживаться правил приближенных вычислений, которые приведены в данном учебно-методическом пособии.

9. На обложке тетради следует указать фамилию, имя, отчество (полностью), факультет, специальность, курс, номер личного дела, вариант и номер контрольной работы, место работы, занимаемую должность и точный домашний адрес.

Если работа получила в целом положительную оценку («Допускается к собеседованию»), но в ней есть отдельные недочеты (указанные в тетради), то нужно сделать соответствующие исправления и дополнения в той же тетради (после имеющихся решений и записи «Работа над ошибками») и предъявить доработку на собеседовании. Если работа «не допускается к собеседованию», ее необходимо в соответствии с требованиями преподавателя частично или полностью переделать. Повторную работу надо выполнить в той же тетради (если есть место) или в новой с надписью на обложке «Повторная», указав фамилию преподавателя, которым работа была ранее не зачтена. Вместе с незачтенной работой и рецензией повторную работу направить снова в институт.

Контрольная работа не зачитывается, если ее вариант не совпадает с последней цифрой номера личного дела студента или она выполнена по вариантам прошлых лет.

Студенты, не получившие зачета хотя бы по одной из двух контрольных работ, к экзамену не допускаются. Зачтенные работы предъявляются на экзамене и не подлежат возвращению после успешной сдачи экзамена.

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ[1]

ВАРИАНТ 1

(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 1)

Контрольная работа №1

1. Найти ранг матрицы:

.

2. Найти предел:

3. Найти производную функции:

4. Найти два положительных числа, сумма которых равна 6, а сумма их кубов является наименьшей.

5. Составить уравнение касательных к графику функции параллельных прямой, проходящей через точки (1; 8) и (–1; –2). Сделать чертеж.

6. Исследовать функцию и построить схематично ее график.

Контрольная работа № 2

1. Найти неопределенный интеграл:

Вычислить определенные интегралы:

2.

3.

4. Решить дифференциальное уравнение:

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице:

В результате их выравнивания получена функция Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b ). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

7. Вычислить приближенно определенный интеграл

взяв три члена разложения подынтегральной функции в ряд Маклорена. Оценить погрешность.

ВАРИАНТ 2

(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 2)

Контрольная работа №1

1. По формулам Крамера решить систему линейных уравнений:

2. Найти предел:

3. Найти производную функции:

4. Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, сумма квадратов катетов которого равна 18?

5. Составить уравнения касательных к графику функции проведенных в точках ее пересечения с прямой Сделать чертеж.

6. Исследовать функцию и построить схематично ее график.

Контрольная работа № 2

1. Найти неопределенный интеграл:

Вычислить определенные интегралы:

2.

3.

4. Решить дифференциальное уравнение:

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице:

В результате их выравнивания получена функция Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b ). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

7. Найти область сходимости степенного ряда:

ВАРИАНТ 3

(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 3)

Контрольная работа №1

1. Методом обратной матрицы решить систему линейных уравнений:

2. Найти предел:

3. Найти производную функции:

4. Внутреннюю поверхность резервуара емкостью 4 м³ с квадратным основанием, открытого сверху, нужно покрыть оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы расход олова оказался минимальным. (Толщиной стенок пренебречь).

5. Составить уравнения касательных к графику функции образующих с осью Ох угол . Сделать чертеж.

6. Исследовать функцию и построить схематично ее график.

Контрольная работа № 2

1. Найти неопределенный интеграл:

Вычислить определенные интегралы:

2.

3.

4. Решить дифференциальное уравнение:

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице:

В результате их выравнивания получена функция Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b ). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

7. Используя разложение функции в степенной ряд, вычислить ln 1,12 с точностью до 0,001.

ВАРИАНТ 4

(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 4)

Контрольная работа №1

1. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений:

2. Найти предел:

3. Найти производную функции:

4. Под посевы элитных культур выделили земельный участок прямоугольной формы площадью 324 м² и вдоль всей границы окопали рвом. Найти такие длину и ширину участка, при которых стоимость рва является наименьшей.

5. Составить уравнения касательных к графику функции , перпендикулярных прямой, проходящей через точки (1; 1) и (–1; 0). Сделать чертеж.

6. Исследовать функцию и схематично построить ее график.

Контрольная работа № 2

1. Найти неопределенный интеграл:

Вычислить определенные интегралы:

2.

3.

4. Решить дифференциальное уравнение:

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице:

В результате их выравнивания получена функция Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b ). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

7. Найти область сходимости степенного ряда:

ВАРИАНТ 5

(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 5)

Контрольная работа №1

1. Решить матричное уравнение , где .

2. Найти предел:

3. Найти производную функции:

4. Из всех прямоугольных участков с диагональю 8 дм найти размеры участка, имеющего наибольшую площадь.

5. Хорда параболы соединяет точки с абсциссами и . Составить уравнение касательной к параболе, параллельной этой хорде. Сделать чертеж.

6. Исследовать функцию и построить схематично ее график.

Контрольная работа № 2

1. Найти неопределенный интеграл:

Вычислить определенные интегралы:

2.

3.

4. Решить дифференциальное уравнение:

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице:

В результате их выравнивания получена функция Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b ). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

7. Найти область сходимости степенного ряда:

ВАРИАНТ 6

(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 6)

Контрольная работа №1

1. Найти ранг матрицы , где

2. Найти предел:

3. Найти производную функции:

4. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого 1800 дм³ , а стороны основания относятся как 2:3. Каковы должны быть размеры ящика, чтобы расход материала оказался наименьшим?

5. Составить уравнения касательных к графику функции в точках ее пересечения с осями координат. Сделать чертеж.

6. Исследовать функцию и построить схематично ее график.

Контрольная работа № 2

1. Найти неопределенный интеграл:

Вычислить определенные интегралы:

2.

3.

4. Решить дифференциальное уравнение:

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице:

В результате их выравнивания получена функция Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b ). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

7. Исследовать ряд на сходимость:

В случае сходимости ряда установить ее характер (абсолютная или условная).

ВАРИАНТ 7

(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 7)

Контрольная работа №1

1. По формулам Крамера решить систему линейных уравнений:

2. Найти предел:

3. Найти производную функции:

4. Число 49 представить в виде произведения двух положительных множителей, сумма квадратов которых является наименьшей.

5. Составить уравнение касательной к графику функции перпендикулярной прямой . Сделать чертеж.

6. Исследовать функцию и построить схематично ее график.

Контрольная работа № 2

1. Найти неопределенный интеграл:

Вычислить определенные интегралы:

2.

3.

4. Решить дифференциальное уравнение:

.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице:

В результате их выравнивания получена функция Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b ). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

7. Исследовать ряд на сходимость:

.

В случае сходимости ряда установить ее характер (абсолютная или условная).

ВАРИАНТ 8

(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 8)

Контрольная работа №1

1. Методом обратной матрицы решить систему линейных уравнений:

2. Найти предел:

3. Найти производную функции:

4. Прямоугольный участок земли, примыкающий к стене заводского здания, нужно обнести забором. Часть забора, параллельная стене, должна быть каменной, а остальная часть – деревянной. Площадь участка – 90 м² . Стоимость 1 м каменного забора 10 тыс. руб., а 1 м. деревянного – 8 тыс. руб.

Найти такие размеры участка, чтобы стоимость забора была наименьшей. Какова эта стоимость?

5. Составить уравнения касательных к графику функции которые параллельны прямой . Сделать чертеж.

6. Исследовать функцию и построить схематично ее график.

Контрольная работа № 2

1. Найти неопределенный интеграл:

Вычислить определенные интегралы:

2.

3.

4. Решить дифференциальное уравнение:

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице:

В результате их выравнивания получена функция Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b ). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

7. Используя разложение функции в степенной ряд, вычислить с точностью до 0,001.

ВАРИАНТ 9

(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 9)

Контрольная работа №1

1. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений:

2. Найти предел:

3. Найти производную функции:

4. Какова наибольшая площадь прямоугольного участка земли, который можно огородить забором, имеющим длину 56 м?

5. Составить уравнения касательных к графику функции в точках ее пересечения с прямой, проходящей через точки с координатами (1; 5) и (–1; –5). Сделать чертеж.

6. Исследовать функцию и построить схематично ее график.

Контрольная работа № 2

1. Найти неопределенный интеграл:

Вычислить определенные интегралы:

2.

3.

4. Решить дифференциальное уравнение:

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице:

В результате их выравнивания получена функция Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b ). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

7. Исследовать сходимость числового ряда:

ВАРИАНТ 10

(для студентов, номера личных дел которых

оканчиваются цифрой 0)

Контрольная работа №1

1. Найти матрицу , где

2. Найти предел:

3. Найти производную функции:

4. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак емкостью 1000 см² . При каком радиусе основания на изготовление бака уйдет наименьшее количество материала?

5. Составить уравнения касательных к графику функции , перпендикулярных прямой, проходящей через точки (0; 3) и (1; 7). Сделать чертеж.

6. Исследовать функцию и схематично построить ее график.

Контрольная работа № 2

1. Найти неопределенный интеграл:

Вычислить определенные интегралы:

2.

3.

4. Решить дифференциальное уравнение:

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

6. Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице:

В результате их выравнивания получена функция Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b ). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

7. Найти область сходимости степенного ряда:

[1] Для определения варианта, по которому надо выполнить контрольные работы №1 и 2, напоминаем, что номер личного дела студента совпадает с номером его зачетной книжки или студенческого билета