Учебное пособие: Методические указания к лабораторной работе Нижний Новгород 2003
Название: Методические указания к лабораторной работе Нижний Новгород 2003 Раздел: Остальные рефераты Тип: учебное пособие | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Нижний Новгород 2003 ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ: Метод. указания к лаб.работе / НГТУ; Сост.: Н.В. Марочкин. Н.Новгород, 2003. – 20 с. Рассмотрены основные характеристики цифровых фильтров, методы построения и анализа. Приведены индивидуальные задания по синтезу и анализу цифровых фильтров. Дана методика проведения исследования.
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Изучить основные характеристики цифровых фильтров (ЦФ), методы построения и анализа. Закрепить теоретические знания проведением экспе-риментального исследования с помощью моделирующей программы. 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Цифровым фильтром называют устройство, которое преобразует посту-пившую на его вход последовательность чисел x (nT ) в другую последова-тельность чисел y (nT ), формируемую на выходе фильтра. ЦФ – дискретное устройство. Если при выполнении арифметических операций числа не подвергаются округлению, выполняются операции задержки, суммирова-ния, умножения на постоянные коэффициенты, то работу ЦФ можно описать линейным разностным уравнением с постоянными параметрами. При постоянном периоде дискретизации Т это уравнение имеет следующий вид: где х(
n
Т), у(
n
Т)
– входной и выходной дискретные сигналы в момент n
Т
, Для синтеза и анализа ЦФ вводят характеристики, сходные с характе-ристиками аналоговых фильтров. Как известно, для анализа аналоговых непрерывных систем широко используют дифференциальные уравнения. Для упрощения их решения используют преобразование Лапласа. В результате от дифференциальных уравнений переходят к алгебраичес-ким.Функция f( t), которая подвергается преобразованию Лапласа должна удовлетворять следующим требованиям: 1) f ( t )= 0 , при t<0; 2) при t≥0 f ( t ) на каждом конечном отрезке имеет конечное число точек разрыва первого рода; 3) при t→∞ f
(
t
) имеет ограниченную скорость роста, т.е. существуют α
и М
= М(
f
, α)
такие, что │f
(
t
)
│≤ Прямое преобразование Лапласа :
где p =δ+ jw комплексная величина. Переменную
Интеграл равен сумме вычетов в полюсах функции F ( p ) . Прямое дискрет-ное преобразование Лапласа:
представляет собой периодическую функцию частоты с периодом Дискретное преобразование Фурье:
где k=0,1,2…N-1 –число выборок,
Рис.1 Спектр дискретного периодического сигнала имеет вид, рис. 2. В изображение по Лапласу входит множитель exp(pT ) – трасцендентная функция комплексной частоты. Это затрудняет переход от одних характе-ристик электрической цепи к другой. Нули и полюсы передаточной фун-кции периодически повторяются.
Рис.2 В связи с этим для дискретных систем широкое распространение получило Z
-преобразование, получаемое заменой
Такая замена преобразует трасцендентные функции в рациональные фун-кции от z . Периодическое повторение особых точек устраняется, сдвиг на период Т на плоскости Р соответствует повороту на 360º на плоскости комплексной переменной z . Ось частот jω плоскости Р отображается в окружность единичного радиуса, левая полуплоскость – во внутрь, рис. 3. Рис. 3 Z – преобразование записывают так: Здесь f
(
k
)
– отсчеты импульсной характеристики аналоговой цепи в дискретные моменты времени 0,Т
,2Т
,…, при замене z
=
Это означает, что единичная окружность Z плоскости – геометрическое место точек отсчетов частотной характеристики системы (или отсчетов спектральных составляющих), рис. 4. Рис.4 Если Z – преобразование применить к разностному уравнению ЦФ (1), то получим: где Н( z ) – системная функция ЦФ, аналогичная по смыслу передаточной функции аналогового фильтра. Н( z ) – есть Z преобразование импульсной характеристики ЦФ. Импульсная характеристика – есть реакция ЦФ на единичный импульс: Z ( f ( nT ))= 1, поэтому при Х( z )= 1, H( z )= Y ( z ). Системная функция H ( z ) характеризуется положением нулей и полюсов. У физически устойчивой аналоговой системы полюсы передаточной функ-ции расположены в левой полуплоскости комплексной переменной P
= В соответствии с разностным уравнением (1): Это выражение совпадает с H
(
z
),
если в нем заменить z
-1
на
Частотная характеристика ![]() Рис.5
Если период дискретизации выбран больше чем ![]() Рис. 6 Разностное уравнение (1) есть алгоритм функционирование ЦФ. Его изобра-жают в виде структурной схемы ЦФ, рис. 7. Здесь z-1
- элементы задержки на один такт Т
, элемент
Рис.7 Цифровой фильтр на рис. 7 имеет обратные связи, это фильтр с бесконеч-ной импульсной характеристикой или БИХ-фильтр. Если все коэффициен-ты b 1 = b 2 =…= bN =0, то получим фильтр с конечной импульсной характерис-тикой, КИХ-фильтр, он всегда устойчивый. При синтезе ЦФ важно, чтобы фильтр обладал определенной частотной и фазовой характеристикой. Для синтеза БИХ фильтров используют следу-ющие методы: 1) синтез по аналоговому прототипу; 2) синтез по цифровому прототипу; 3) расчет численными методами на ЭВМ. При синтезе по аналоговому прототипу от известной передаточной функции К(р ) аналогового фильтра-прототипа стремятся перейти к разностному уравнению и системной функции H ( z ) ЦФ. Используют следующие методы: 1) метод отображения дифференциалов; 2) инвариантное преобразование импульсной характеристики; 3) согласованное Z-преобразование; 4) метод билинейного преобразования. В методе отображения дифференциалов заменяют дифференциалы на конечные разности:
В случае прямой первой разности переход к Z плоскости производят так: Метод приближенный поэтому частотные характеристики ЦФ и аналого-вого прототипа могут существенно различаться, возможна потеря устой-чивости. где bi - комплексная величина. Импульсную характеристику h ( nT ) ЦФ получают дискретизацией h ( t ):
Находят системную функцию:
Полоса пропускания фильтра-прототипа не должна превышать величины π/Т для того, чтобы не было наложения частотных характеристик ЦФ. При согласованном Z-преобразовании полюсы и нули передаточной функции К(р) аналогового фильтра-прототипа отображаются в полюсы и нули системной функции H ( z ) по правилу: b → exp (- bT ), (p + b ) → (1- Z - 1 (exp (- bT ))), (p+a-jb )(p+a+jb )= (p+a ) 2 +b 2 → 1- 2Z- 1 e- aT cosbT+ 2Z- 2 e- 2 aT . Метод неприменим, если нет нулей у прототипа. Если частоты, соответ-ствующие нулям превышают половину частоты дискретизации, то поло-жение нулей цифрового фильтра будет искажаться за счет эффекта нало-жения. В методе билинейного преобразования по передаточной функция К(р) аналогового фильтра-прототипа находят системную функцию ЦФ заменой Подставляя вместо р
выражение через z
,
получим системную функцию H
(
z
), однако H
(
z
)
не будет дробно-рациональным выражением и не соответствует никакому реальному цифровому устройству. Необходимо подобрать дробно-рациональное выражение, которое совпадало бы с Ограничиваясь, для упрощения расчетов, одним членом ряда, получаем формулу билинейного преобразования: Этот переход от плоскости Р
к плоскости Z
отображает ось jω
в единичную окружность │z
│=1, точки, расположенные левее оси р=
jω
оказываются внутри окружности │z │=1. Фильтр сохраняет устойчивость, но не будет точным аналогом исходного фильтра-прототипа, т.к. билинейное преобра-зование искажает частотный масштаб (из-за приближения для p
). Если
![]() Искажение частотного масштаба иллюстрирует рис. 8. Рис.8 Для корректирования искажений нужно внести предыскажения в ана-логовый прототип. Известным характерным точкам При синтезе БИХ ЦФ по цифровому прототипу используется цифровой фильтр НЧ, от него переходят к цифровому фильтру НЧ, ПЧ, ВЧ, режекторному в соответствии с преобразованиями, указанными в табл.1.
Если АЧХ не является ступенчатообразной функцией частоты и синтез по аналоговому прототипу дает больше искажения, применяют расчет БИХ-фильтров численными методами на ЭВМ. При этом численными методами подбирают коэффициенты a , b в разностном уравнении (1), минимизируя величину среднеквадратической ошибки: где H действ (ejωT ), H задан (ejωT ) – частотные характеристики действительная и заданная. При расчете КИХ-фильтров решают задачу аппроксимации АЧХ. Ис-пользуют метод частотной выборки и взвешивания. Метод частотной выборки заключается в том, что если известны отсчеты требуемой АЧХ, то выполнив обратное дискретное преобразование Фурье, можно получить отсчеты h (n ) импульсной характеристики ЦФ. Их исполь-зуют для построения системной функции ЦФ: Если импульсная характеристика h (n ) задана и бесконечна, то ее ограни-чивают умножением на прямоугольный импульс единичной амплитуды: Использование конечной импульсной характеристики приводит к всплес-кам АЧХ в переходной полосе из-за эффекта Гиббса. Для уменьшения всплесков используют методы оптимизации и взвешивания. При оптимизации АЧХ ЦФ представляют следующим образом: где Н о (jω ) – результат вклада в АЧХ частотных отсчетов (0÷ω 1 ) и (ω 2 ÷ω 3 ), Нк (jω ) – результат вклада в АЧХ частотных отсчетов (ω 1 ÷ω 2 ) в переходной полосе,
![]() Рис.9 Задачу решают методом линейного программирования или с использова-нием алгоритма многократной замены Ремеза. Использование взвешивания применяют для уменьшения пульсации путем умножения импульсной характеристики на специально подобранную весовую функцию, функцию окна. Весовые функции приведены в табл.2, их свойства приведены в табл.3. Таблица 2
В предыдущих методах синтеза не представлялись требования к фазовой характеристике фильтра. Одной из основных особенностей цифровых КИХ-фильтров является то, что их можно построить так, чтобы они имели линейную фазу. Предположим, что число выборок входного сигнала N – нечетно, импульсная характеристика четная: h nc (-n )=h nc (n ), n =0,1…(N -1)/2. фильтр некаузальный (физически нереализуемый, h (n )≠0 при n <0). Частот-ную характеристику фильтра можно записать так:
где а (0)=hnc (0), a (n )=2hnc (n), n =1,…,(N -1)/2. Таблица 3
Чтобы получить каузальный (физически реализуемый) фильтр необхо-димо ввести задержку в некаузальную импульсную характеристику в течение интервала времени, который соответствует наличию (N -1)/2 выборок. Частотная характеристика каузального фильтра будет иметь вид:
Для получения отсчетов импульсной характеристики можно использовать обратное дискретное преобразование Фурье выборок АЧХ. Частотные характеристики КИХ-фильтров с линейной фазой представлены в табл.4. На рис. 10 показаны импульсные и частотные характеристики фильтров четырех видов. При решении задачи аппроксимации заданной частотной характеристики B (ω) необходимо подобрать коэффициенты Со ,…, Ск частотной характеристики цифрового фильтра Ф(ω, Со, С1 ,…, Ск ) так,чтобы выполнялось приближенное равенство Ф(ω, Со, С1 ,…, Ск )≈ B (ω ). Для реше-ния используют критерии оценки приближения. Среднеквадратический критерий заключается в минимизации интегра-ла в заданной полосе частот ω 1 ÷ ω 2 : Критерий наилучшего равномерного приближения (чебышевский критерий):
![]() ![]() Рис.10 Таблица 4
Если использовать среднеквадратический критерий и разложить функцию Ф(ω, Со, С1 ,…, Ск ) в ряд Фурье, то можно найти коэффициенты Со ,…, Ск . Для функций Ф(ω, Со, С1 ,…, Ск ) двух видов: коэффициент где
Пользуясь формулой (3), получим:
Для фильтра вида 1 отсчеты импульсной характеристики находят так:
Структура ЦФ будет иметь вид, показанный на рис. 11. Рис. 11 Сгладить пульсации частотной характеристики можно путем умножения отсчетов импульсной характеристики на весовое окно g
(
l
), тогда вместо коэффициентов Найдем коэффициенты где Ω
– нормированная частота. Выберем В(ω
)=-1 в диапазоне Отсчеты импульсной характеристики КИХ фильтра :
Это фильтр вида 3, количество отсчетов импульсной характеристики нечетное. 3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Рис. 12 Ее передаточная функция 2. В задании 1 используйте метод билинейного преобразования, постройте структурную схему, фильтра, АЧХ, ФЧХ. Проверьте полученные результаты с помощью моделирующей программы. 3. Используйте метод билинейного преобразования постройте ЦФ с максимально гладкой АЧХ со следующими данными: затухание на частоте среза
Расчет выполняйте следующим образом. 1) определите аналоговые частоты, соответствующие требуемым
2) из условия затухания А
дб на частоте 3) из справочника [4 ] найдите передаточную функцию прототипа или используйте табл.5; 4) сделайте замену в соответствии с билинейным преобразованием:
5) по системной функции H (z) постройте структурную схему ЦФ, АЧХ и ФЧХ. 4. Постройте структурную схему ЦФ преобразователя Гильберта, Исходные данные для расчетов по п.1-4 получите у преподавателя. 5. Полученные результаты по п.1-4 сравните с результатами работы Таблица 5
5. ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ
6. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Введение в цифровую фильтрацию: Пер. с англ./Под ред. Р. Богнера 2. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки 3. Современная теория фильтров и их проектирование: Пер. с англ. Под 4. Мошиц Г., Хорн П. Проектирование активных фильтров. М.: Мир. 5. Чернега В.С., Василенко В.А., Бондарев В.Н. Расчет и |