| Министерство образования Российской Федерации
Ивановский государственный университет
Кафедра общей физики и методики преподавания
МАГНЕТРОН
Методические указания к учебно-исследовательской работе с использованием ЭВМ (УИРС)
для студентов 2 курса физического факультета
Иваново
Издательство “Ивановский государственный университет”
2004
Составитель:
кандидат физико-математических наук А.П. Блинов
.
Методические указания содержат постановку и анализ задач о движении электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях на примере магнетрона, а также о вольт-амперной характеристике магнетрона.Приведены алгоритмы численного решения этих задач с использованием средств компьютерной техники.
Для студентов 2 курса физического факультета.
Печатается по решению методической комиссии физического факультета Ивановского государственного университета
Рецензент:
кандидат физико-математических наук Л.И. Минеев (ИвГУ)
Составитель:
БЛИНОВ Анатолий Павлович
МАГНЕТРОН
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭВМ (УИРС)
для студентов 2 курса физического факультета
Редактор В.А.Киселева
Лицензия ЛР № 020295 от 22.11.96. Подписано в печать .
Формат 60 х 84 1/16
Бумага писчая. Печать Плоская. Усл.печ.л. 1,15 .
Уч .-изд. л. 1,0 . Тираж 25 экз.
Ивановский государственный университет
Печатно-множительный участок ИвГУ
153025, Иваново, ул.Ермака, 39
ã Издательство “Ивановский государственный университет”, 2004
Введение
Настоящие методические указания предназначены для студентов 2 курса физического факультета ИвГУ, изучающих раздел «Электричество и магнетизм» курса общей физики.
Новый государственный стандарт физического образования предполагает глубокое усвоение основных физических понятий и законов. Этому способствует активное применение полученных знаний в процессе решения физических задач. Указанные задачи, несомненно, способствуют закреплению изученного материала, формируют умения и навыки его практического применения.
Отметим, что самостоятельное решение указанных задач делает данную работу наиболее эффективной.
Вместе с тем целесообразно в учебный процесс вводить задачи, носящие научно-исследовательский характер (УИРС). Указанные задачи способствуют формированию умений и навыков, необходимых будущему физику-исследователю. Эти задачи более сложные и, как правило, носят комплексный характер. Такие задачи целесообразно предъявлять студентам для самостоятельной работы с возможностью консультаций с преподавателем в процессе их решения.
Решенные задачи могут обсуждаться на семинарских и лабораторных занятиях. Это способствует формированию у студентов умений и навыков выступать с краткими докладами, по форме приближенными к докладам на научных конференциях.
Одним из возможных направлений указанной деятельности является постановка и решение задач по электричеству и магнетизму. В настоящих методических указаниях в рамках лабораторного практикума рассматриваются задачи о движении электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях на примере магнетрона
, т.е. вакуумного диода, помещенного в однородное магнитное поле соленоида (см. лабораторную работу № 12 “Определение удельного заряда электрона”). При этом электроды магнетрона могут иметь различную геометрическую форму (цилиндрическую или плоскую), а также выделяются режимы работы магнетрона в области насыщения анодного тока диода и вдали от этой области, когда выполняется “закон трех вторых”.
Наконец, в методических указаниях приводятся алгоритмы численного решения задач по нахождению траектории движения электрона в магнетроне и по нахождению вольт-амперной характеристики (ВАХ) магнетрона с использованием средств компьютерной техники.
При движении электрона в электрических и магнитных полях его траектория определяется конфигурацией этих полей и удельным зарядом  электрона, т.е отношением его заряда e к массе m. Для определения удельного заряда электрона можно использовать магнетрон
(см. лабораторную работу № 12)
Магнетрон представляет собой вакуумный диод, помещенный в соленоид. Электродами цилиндрического магнетрона
являются коаксиальные (т.е. с единой для них осью) металлические полые цилиндры (накаливаемый катод и холодный анод с радиусами  и  ,  Магнитное поле соленоида с индукцией  направлено параллельно оси цилиндров.
Вследствие явления термоэлектронной эмиссии [1] разогретый катод испускает электроны, которые ускоряются электрическим полем с напряженностью  между электродами диода.
Анодный ток  магнетрона зависит от анодного напряжения  (разности потенциалов анода и катода), индукции B магнитного поля, а также температуры T катода. Вольт-амперная характеристика (ВАХ), т.е. зависимость  для B = 0 и T = const изображена графически на Рис. 1.
          
Рис. 1
При достаточно больших значениях  анодный ток  практически не меняется и равен  (ток насыщения). При малых напряжениях (вдали от области насыщения) выполняется “закон трёх вторых”, т.е.  [1].
Рассмотрим режим работы магнетрона:
1) в области насыщения;
2) вдали от области насыщения (выполняется “закон трех вторых”).
Режим в области насыщения
В этом случае в пространстве между электродами отсутствуют
объемные заряды (нет электронного облака, возникающего вблизи катода), и электроны движутся от катода к аноду в вакууме под действием внешних электрического и магнитного полей.
Электрическое поле между цилиндрическими электродами имеет вид [1]
 (1)
где  - радиус-вектор, отсчитываемый от оси Z цилиндров и ей перпендикулярный.
При наличии однородного магнитного поля , направленного вдоль оси диода (магнетрона), электроны со скоростью  подвергаются действию силы Лоренца [1]
 (2)
так что по 2 закону Ньютона
 (3)
где  - ускорение электронов.
Используя цилиндрические координаты  зависящие от времени t , из (3) получим:
 (4)
где было учтено, что  и 
В плоскости, перпендикулярной оси Z цилиндров, введем систему координат X0Y, в которой введем “неподвижные” орты  и  такие, что
 Введем также “подвижные” орты по правилу
 (5)
такие, что 
Далее, с учетом (5) находим:
    (6)
Поскольку  , то по (6)
 (7)
Раскроем теперь в (4) векторное произведение  в “подвижной” системе ортов  (орт  направлен вдоль оси цилиндров) с помощью (7):
   =  (8)
Подставляя (7) и (8) в (4) и проецируя векторное уравнение (4) на “подвижные” оси, связанные с ортами (5), получим:
 (9)
где   и  - удельный заряд электрона.
Формально можно считать, что начальная скорость электронов  т.к. на практике используемые напряжения порядка 10 –100 В, а выходящие с катода тепловые электроны имеют энергию порядка 0,1 эВ. В этом случае начальные условия имеют вид:
    (10)
Поэтому из (9) – (10) следует, что  т.е. скорость электронов  согласно (7).
Из второго уравнения системы (9) получаем
 (11)
Так как  то из (11) следует
 (12)
Интегрируя (12), будем иметь [2]:
т.е.
 (13)
Константа интегрирования  в (13) находится с помощью начальных условий (10), т.е.
откуда
 (14)
Подставляя далее (13) и (14) в первое уравнение системы (9), получим:
 (15)
где
 (16)
( и  определены в (9)).
Уравнение (15) можно проинтегрировать [2], полагая  В этом случае
т.е.
что после интегрирования дает
Следовательно,
 (17)
и значит,
Заметим, что выражение (17) можно представить в более общем виде, когда электрическое поле между электродами произвольно, но тем не менее радиально симметрично, т.е. напряженность поля  аналогична (1):
 . (18)
Действительно, пусть  есть разность потенциалов произвольной точки между электродами и катода. Тогда, вследствие того, что  , из (18) получаем
 . (19)
Из (1) с учетом (19) вытекает, что выражение  согласно обозначениям в (9) и (16) можно заменить на  , т.е. в рассматриваемом более общем случае
 (20)
Заметим, что по определению U имеем:  и  Поэтому с учетом начальных условий (10) для (20) находим
 (21)
Кроме того, на аноде
 . (22)
Согласно (7), выражение (22) представляет собой радиальную (вдоль радиуса-вектора  ) составляющую скорости электрона на аноде. Если эта составляющая будет равна нулю, то электроны перестанут попадать на анод, т.е анодный ток прекратится. Тем самым определяется некоторое критическое значение индукции магнитного поля
 , для которого при данном значении   Используя (22), находим удельный заряд электрона
 (23)
Аналогично, согласно (13) и (14), находится значение
 (24)
Выражение (24) в силу (7) представляет собой ту составляющую скорости электронов на аноде, которая перпендикулярна радиусу-вектору  т.е. направлена параллельно орту 
Пусть  - угол между скоростью  электрона и радиусом-вектором  Тогда согласно (7)  и по (13) - (14), (20) - (24)
 (25)
Режим работы магнетрона в области действия “закона трёх вторых”
В этом случае около катода формируется электронное облако [1], влияющее на радиальный профиль электрического поля (т.е. на зависимость (18)). В отсутствие магнитного поля анодный ток 
Действительно, запишем уравнение Пуассона [1]
 (26)
где  - модуль плотности заряда электронного облака (заряд электрона (-e)<0). В цилиндрических координатах уравнение (26) принимает вид
 (27)
Вследствие цилиндрической симметрии  и  т.е.
 . (28)
Пусть  - плотность тока и - скорость дрейфа электронов. Тогда
  (29)
Будем считать, что радиус катода  (на практике  ) и начальная дрейфовая скорость электронов у катода  ( дрейф электронов около катода затруднен из-за высокой плотности электронного облака). Тогда
 (30)
С учетом (29) и (30) из (28) имеем:
 (31)
где было учтено, что в каждой точке вектор  направлен вдоль т.е.
  ( - плотность тока на аноде).
Краевые условия для U = U(r) имеют вид:
   (32)
Последнее условие в (32) связано с тем, что катод экранирован электронным облаком.
Будем искать решение уравнения (31) с краевыми условиями (32) в форме
 (33)
Тогда, подставляя (33) в (31), с учетом (32) получим:
   (34)
Таким образом, с учетом площади цилиндрического анода  , где  - осевая длина анода (катода), анодный ток
равен
 (35)
где
 (36)
При наличии магнитного поля с индукцией  , направленной по оси Z (вдоль катода или анода), вместо (35) – (36) будем приближенно иметь (
 (37)
где - угол между вектором (или дрейфовой скоростью  в (29)) и радиусом-вектором на аноде ( в соответствии с формулой (25) при  .
Аналогичным образом рассматривается движение электронов в магнетроне с плоскими электродами
. В этом случае удобно использовать декартовые координаты x,y,z. При этом ось X направлена перпендикулярно к параллельным электродам, так что значение x = 0 отвечает положению катода, вдоль которого направлены оси Y и Z, а x = в – положению анода (d – расстояние между электродами).
Пусть магнитное поле направлено вдоль оси Z (т.е. параллельно катоду и аноду). Тогда по аналогии с (3) – (9) имеем:
 (38)
При этом напряженность  электрического поля параллельна оси X .
Начальные условия имеют вид:
    (39)
Интегрируя второе уравнение системы (38), получим с учетом (39)
 (40)
Подставляя далее (40) в первое уравнение системы (38), получим в соответствии с начальными условиями (39)
 (41)
В (41) было учтено, что разность потенциалов произвольной точки между электродами и катода  (см. (15) – (22)).
Пусть - угол между скоростью электрона и осью X. Тогда  и следовательно по (40) – (41) на аноде (x = d)
 (42)
где анодное напряжение  .
Из (42) следует, что, во-первых, критическое значение индукции магнитного поля
(когда  и электроны не попадают на анод)
 , (43)
а во-вторых, вольт-амперная характеристика (ВАХ) магнетрона с плоскими электродами вдали от режима насыщения
по аналогии с (26) – (37) имеет вид:
 (44)
где  (S – площадь анода) и  . При этом из (26) вместо (31) возникает уравнение [1] (
 (45)
с начальными условиями
   (46)
Численные методы
Для нахождения траектории движения электрона в магнетроне или ВАХ магнетрона нужно использовать соответствующие дифференциальные уравнения, которые следует решать численно с использованием средств компьютерной техники [3]. Так, для цилиндрического магнетрона в режиме насыщения с начальными условиями (10) из (13) – (17) имеем:
 (47)
причем    и a, b, c определены в (16).
Для решения уравнения (47) выбирается малый шаг h изменения угловой переменной  , так что (по Тэйлору)
 (48)
В (48)  выражается из уравнения (47).
Равенство (48) составляет ядро вычислительного алгоритма решения уравнения (47). Этим решением является функция  описывающая в полярных координатах траекторию движения электрона.
Для численного нахождения ВАХ в цилиндрическом магнетроне
с краевыми условиями
   (49)
(более общими, чем (32)) по аналогии с (31) находим
 (50)
где функция  согласно (25) и по (29) 
Задавая шаг h изменения радиальной переменной r , имеем (см. (48)):
 (51)
где  есть выражение (50).
Равенства (50) – (51) составляют ядро вычислительного алгоритма решения  уравнения (50) для фиксированных  . Следовательно, из (49) вытекает, что
 (52)
т.е. (52) определяет зависимость
 (53)
Поэтому ВАХ находится с помощью (53) аналогично (37):
 (34)
что вычисляется с привлечением средств компьютерной техники и алгоритмических языков (БЕЙСИК, ФОРТРАН и т.д.)
Аналогично рассчитывается траектория движения электрона и ВАХ для магнетрона с плоскими электродами.
Справочная формула
В цилиндрических координатах
Экспериментальная часть
В лабораторной работе № 12 “Определение удельного заряда электрона” используется магнетрон цилиндрического типа (блок ФПЭ – 03).
Индукция B магнитного поля соленоида равна
 (55)
где
 Гн/м – магнитная постоянная;
 - сила тока в обмотке соленоида, А;
N – число витков обмотки;
 - длина соленоида.
Поэтому ВАХ в данном случае по (36) – (37) имеет вид:
 (56)
где
 (57)
При малых  т.е. когда  в (56)
 (58)
поэтому
 (59)
Рассматривая при фиксированном значении  функцию
 (60)
получаем, что
 (61)
На Рис.2 зависимость (61) имеет вид прямой 2, касательной при  к реальной зависимости (60), которая графически изображается кривой 1. Следовательно, пользуясь обозначениями Рис.2, имеем:
 (62)
т.е. удельный заряд электрона по (57) и (62)
 (63)
                                   
Далее, так как
 (64)
а по (36)  то из (64) длина L анода (катода) равна
 (65)
(Кстати, если L известно, то по (65) также можно определить 
В лабораторной работе № 12 снимается т.н. сбросовая характеристика
 дающая зависимость (60) (кривая 1 на Рис.2), по которой с помощью формулы (63) можно найти удельный заряд электрона. При этом для блока ФПЭ – 03: N = 2700;  = 1 мм;  = 168 мм.
Задания
1. Найти траекторию движения электрона в магнетроне с
A) цилиндрическими;
B) плоскими
электродами в режиме насыщения.
2. Рассчитать ВАХ магнетрона в области, далекой от насыщения (тип магнетрона и параметры  , L или d, а также  выбираются по указанию преподавателя).
3. В экспериментальных условиях лабораторной работы № 12 (блок ФПЭ – 03) снять ВАХ магнетрона и определить удельный заряд электрона вдали от режима насыщения (малые анодные напряжения) по формуле (63) в разделе Экспериментальная часть.
Найти также длину L анода цилиндрического магнетрона по формуле (65) и сравнить ее с паспортным значением (см. техническое описание блока ФПЭ – 03).
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том III. Электричество. М., 1977.
2. Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
М., 1983.
3. “Вольт-амперная характеристика протяженного металлического проводника”. Методические указания к учебно-исследовательской работе (УИРС) для студентов 2 курса физического факультета. Иваново, 2001.
|