Учебное пособие: Методические указания по выполнению лабораторной работы цифровая фильтрация медико-биологических сигналов

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Э. БАУМАНА

КАРПУХИН В.А.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Москва

Издательство МГТУ им. Баумана

2007г.

СОДЕРЖАНИЕ.

1. Введение . 3

2. Применение цифровой фильтрации в медико-биологической практике. Общие понятия цифровой фильтрации . 3

2.1 Общие понятия и определения. 3

2.2 Преимущества и недостатки применения цифровых фильтров. 3

2.3 Этапы разработки цифрового фильтра. 4

3. Классификация цифровых фильтров . 8

3.1 Классификация цифровых фильтров по типу импульсной характеристики. 9

3.2 Общая классификация цифровых фильтров. 9

3.3 Выбор между КИХ- и БИХ-фильтрами. 11

4. Основные сведения о КИХ фильтрах. Методы расчета . 12

5. Основные сведения о БИХ фильтрах. Методы расчета . 12

5.1 Расчет коэффициентов фильтра путем размещений нулей и полюсов. 13

5.2 Расчет коэффициентов с помощью билинейного z-преобразования. 14

6. Методика выполнения лабораторной работы .. 15

7. Содержание отчета . 15

8. Задание на проведение лабораторной работы .. 15

9. Варианты для проведения лабораторной работы .. 16

1. Введение

2. Применение цифровой фильтрации в медико-биологической практике. Общие понятия цифровой фильтрации

2.1 Общие понятия и определения .

Фильтр — это система или сеть, избирательно меняющая форму сигна­ла (амплитудно-частотную или фазово-частотную характеристику). Основными целями фильтрации являются улучшение качества сигнала (например, устранение или сни­жение помех), извлечение из сигналов информации или разделение нескольких сиг­налов, объединенных ранее для, например, эффективного использования доступного канала связи.

Цифровой фильтр — любой фильтр, обрабатывающий цифровой сигнал с целью выделения и/или подавления определённых частот этого сигнала.

В отличие от цифрового, аналоговый фильтр имеет дело с аналоговым сигналом, его свойства недискретны, соответственно передаточная функция зависит от внутренних свойств составляющих его элементов.

Упрощенная блок-схема цифрового фильтра реального времени с аналоговым входом и выходом приведена на Рис. 1. Узкополосный аналоговый сигнал периодически выбирается и конвертируется в набор цифровых выборок, x(n), n = 0,1, Цифровой процессор производит фильтрацию, отображая входную последовательность х(n) в выходную у(n) согласно вычислительному алгоритму фильтра. ЦАП конвертирует отфильтрованный цифровым образом выход в аналоговые значения, которые затем проходят аналоговую фильтрацию для сглаживания и устранения нежелательных высокочастотных компонентов.

Рис.1 Упрощенная блок схема цифрового фильтра

2.2 Преимущества и недостатки применения цифровых фильтров

По сравнению с аналоговыми фильтрами они предпочтительны во множестве областей (напри­мер, сжатие данных, биомедицинская обработка сигналов, обработка речи, обработка изображений, передача данных, цифровое аудио, телефонное эхо подавление), так как обладают рядом преимуществ и недостатков, часть из которых описана ниже.

Преимущества использования цифровых фильтров

· Цифровые фильтры могут иметь характеристики, получить которые на аналоговых фильтрах невозможно, например, действительно линейную фазовую характеристику.

· В отличие от аналоговых, производительность цифровых фильтров не зависит от изменений среды, например, от колебаний температуры. Таким образом, цифровые фильтры не требуют периодической калибровки.

· Если фильтр построен с использованием программируемого процессора, его частотная характеристика может настраиваться автоматически (поэтому такие процессоры широко применяются в адаптивных фильтрах).

· Один цифровой фильтр может обрабатывать несколько входных сигналов или кана­лов без дублирования аппаратных блоков.

· Как фильтрованные, так и нефильтрованные данные можно сохранить для последующего использования.

· Можно легко использовать достижения из области технологий СБИС и получать небольшие цифровые фильтры с пониженной потребляемой мощностью и более низкой ценой.

· На практике точность, которой можно добиться при использовании аналоговых фильтров, ограничена; например, затухание в полосе подавления нельзя поднять выше 60-70 дБ (если использовать стандартные аналоговые компоненты). Точность цифровых фильтров ограничена только используемой длиной слова. Производительность цифровых фильтров одинакова для всех устройств серии.

· Цифровые фильтры могут использоваться при очень низких частотах, характер­ных, например, для многих биомедицинских приложений, где применять аналоговые фильтры непрактично. Кроме того, цифровые фильтры могут использоваться в боль­шом диапазоне частот, для чего достаточно просто менять частоту дискретизации. Впрочем, по сравнению с аналоговыми цифровые фильтры имеют и ряд недостатков.

Недостатки цифровых фильтров

· Ограничение скорости . Максимальная ширина полосы сигналов, которые в реальном времени способны обработать цифровые фильтры, значительно уже, чем у аналоговых фильтров. В приложениях реального времени процесс преобразования "аналоговый-цифровой-аналоговый" вводит ограничение по скорости на производительность цифрового фильтра. Наивысшую частоту дискретизации, с которой может работать фильтр, ограничивает время конвертации АЦП и время установления сигнала ЦАП. Кроме того, скорость работы цифрового фильтра зависит от скорости работы используемого цифрового процессора и числа арифметических операций, которые надлежит выполнить в алгоритме фильтрации, и повышается, когда характеристика фильтра становится более сжатой.

· Влияние конечной разрядности. Цифровые фильтры подвержены шуму АЦП, происходящему от квантования непрерывного сигнала, и шуму округления, который вводится при вычислениях. При использовании рекурсивных фильтров высоких порядков накопление шума округления может привести к неустойчивости фильтра.

· Значительное время разработки и внедрения. Разработка и внедрение цифровых фильтров, особенно внедрение аппаратного обеспечения, могут выполняться гораздо дольше, чем подобные процедуры для аналоговых фильтров. В то же время, однажды разработанное аппаратное и/или программное обеспечение может использоваться в других задачах цифровой обработки сигналов с незначительной модификацией или вообще без изменений (соответствующие примеры приведены в последующих главах). Если при проектировании цифровых фильтров доступна хорошая компью­терная поддержка, эту задачу будет весьма интересно решать, хотя для того, чтобы эффективно и полно использовать такую поддержку, нужно определенное умение.

2.3 Этапы разработки цифрового фильтра

Разработка цифрового фильтра проходит в пять этапов.

1. Спецификация требований к фильтру.

2. Вычисление подходящих коэффициентов фильтра.

3. Представление фильтра подходящей структурой.

4. Анализ влияния конечной разрядности на производительность фильтра.

5. Реализация фильтра на программном и/или аппаратном уровне.

Названные пять этапов не всегда независимы; кроме того, они не всегда распо­лагаются в указанном порядке. Фактически существуют методы, которые позволяют объединить второй этап и некоторые аспекты третьего и четвертого. Подход, изложен­ный в данной главе, — это простое пошаговое руководство, гарантирующее успешную структуру. Чтобы получить эффективный фильтр, иногда приходится проводить данный процесс в несколько итераций, особенно, если спецификации не являются совершенно определенными (как обычно и бывает), или же разработчик желает исследовать альтер­нативные структуры. Подробное описание названных пяти этапов приводится ниже.

1. Спецификация требований включает спецификации

1) Характеристик сигналов

2) Характеристик фильтра (АЧХ, ФЧХ, скорость работы и режимы фильтрации);

3) Принципа реализации (на базе ПК или в МК

4) Других требований к структуре (например, стоимость фильтра).

Разработчик может не иметь достаточно информации, чтобы полностью определить фильтр на начальных этапах, но для упрощения процесса разработки следует сформулировать максимальное количество требований.

Хотя перечисленные выше требования уточняются в зависимости от конкретной за­дачи, некоторым аспектам п. 2 стоит уделить особое внимание. Характеристики цифровых фильтров часто задаются в частотной области. Для частотно-избирательных фильтров, таких как фильтры нижних частот и полосовые фильтры, спецификации часто формулируются в виде схем допусков.

Пример подобной схемы для фильтра нижних частот приведен на рис. 2. Заштрихованные горизонтальные линии обозначают преде­лы допустимых отклонений. В полосе пропускания амплитудная характеристика имеет пиковое отклонение δ_Р , а в полосе подавления — максимальное отклонение δ_S .

Ширина полосы перехода определяет, насколько резким является характеристика фильтра. В этой области амплитудная характеристика монотонно уменьшается от полосы пропускания до полосы подавления.

Рис. 2 Схема допусков для фильтра нижних частот (ФНЧ)

Интерес представляют следующие ключевые параметры:

δ_P — отклонение в полосе пропускания;

δ_S — отклонение в полосе подавления;

fр — граничная частота полосы пропускания;

f_S — граничная частота полосы подавления.

Отклонения в полосе пропускания и полосе подавления могут выражаться как обычные числа или в децибелах, когда они выражают неравномерность в полосе пропускания и затухание в полосе подавления соответственно. Следовательно, минимальное затуха­ние в полосе подавления А_S и максимальная неравномерность в полосе пропускания А_P в децибелах записываются следующим образом (для КИХ-фильтров):

А_S (затухание в полосе подавления) = -20lgδ_S ,

Ар (неравномерность в полосе пропускания) = 20lg(l + δ_P ).

При спецификации фазовой характеристики цифровых фильтров во многих случаях достаточно указать, что фазовое искажение существенно или что желательна линейная фазовая характеристика. В то же время, в некоторых приложениях, где фильтры используются для выравнивания или компенсации фазовой характеристики системы или как фазовращатели, фазовую характеристику задавать следует.

2. Расчет коэффициентов.

На этом этапе выбирается один из методов аппроксимации и вычисляются значения коэффициентов для КИХ-фильтра или БИХ-фильтра, при которых удовлетворяются условия, принципы определения которых представлены требованиях к фильтру.

Метод вычисления коэффициентов фильтра зависит от того, к какому классу относится фильтр — КИХ или БИХ.

Вычисление коэффициентов БИХ-фильтра традиционно основывается на преобразовании характеристик известных аналоговых фильтров в характеристики эквивалентных цифровых. Существует три основных подхода:

· Метод инвариантного пре­образования импульсной характеристики и

· Метод билинейного преобразования.

· Размещение нулей и полюсов (БИХ).

При использовании метода инвариантного преобразования импульсной характеристики после оцифровки аналогового фильтра сохраняется импульсная характеристика исходного аналогового фильтра, но не сохраняется амплитудно-частотная характеристика. Вследствие внутреннего наложения данный метод не подходит для фильтров верхних частот или режекторных фильтров.

Билинейный метод, с другой стороны, обеспечива­ет весьма эффективные фильтры и хорошо подходит для вычисления коэффициентов частотно-избирательных фильтров. В результате можно создавать цифровые фильтры с известными классическими характеристиками, такими как в фильтрах Баттерворта, Чебышева или эллиптических.

Цифровые фильтры, полученные методом билинейного преобразования, будут, в общем случае, иметь ту же амплитудную характеристику, что и аналоговые, но иные свойства во временной области. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики хорош при моделировании аналоговых систем, но для частотно-избирательных БИХ-фильтров лучше использовать билинейный метод.

В качестве альтернативной схемы вычисления коэффициентов БИХ-фильтров применяется еще метод размещения нулей и полюсов — простой путь вычисления коэффициентов очень простых фильтров. В то же время, для фильтров с хорошей амплитудной характеристикой данный метод использовать не рекомендуется, поскольку в нем фигурирует перебор положений нулей и полюсов.

Коэффициенты КИХ-фильтров также можно вычислить несколькими различными способами:

· Вырезания (взвешивания),

· Частотной выборки

· Оптимальный (алгоритм Паркса-Мак-Клиллана (Parks-McClellan)).

Метод взвешивания предоставляет очень простой и гибкий способ вычис­ления коэффициентов КИХ-фильтра, но не позволяет разработчику адекватно управ­лять параметрами фильтра. Самой привлекательной чертой метода частотной выборки является то, что он допускает рекурсивную реализацию КИХ-фильтров, что может быть весьма вычислительно выгодно. В то же время, этому методу недостает гибкости в плане управления или задания параметров фильтров.

В настоящее время в промыш­ленности широко используется оптимальный метод (в совокупности с дополняющей его эффективной и простой в использовании программе), который в большинстве слу­чаев дает требуемый КИХ-фильтр. Следовательно, при проектировании таких фильтров вначале стоит испробовать оптимальный метод, если только конкретное приложение не предусматривает использования другого метода.

На выбор метода, наиболее подходящего для конкретной задачи, влияют несколько факторов, в частности, критичные требования в спецификациях. Вообще, основным является выбор между КИХ и БИХ. Если наличие конечной импульсной характеристики существенно, то стоит использовать оптимальный метод, если же желательна бесконечная импульсная характеристика, то в большинстве случаев будет достаточно билинейного метода.

3. Представление фильтра подходящей структурой.

Данный этап включает преобразование данной передаточной функции H(z) в подходящую фильтрующую структуру. Для отражения структуры фильтра часто используются блок-схемы или функциональные схемы, на которых для облегчения реализации цифрового фильтра показывается ход вычислений. Используемая структура зависит от выбора КИХ- или БИХ-фильтра.

Для БИХ-фильтров широко используются три формы реализации:

· Прямая

· Каскадная

· Параллельная.

Прямая форма — это непосредственное представление передаточной функции БИХ-фильтра.

В каскадной форме передаточная функция БИХ-фильтра факторизуется и выражается как произведение звеньев второго порядка.

В параллельной форме H(z) раскладывается (с использованием элементарных дробей) на сумму звеньев второго порядка.

При разработке БИХ-фильтров наиболее широко используются параллельная и кас­кадная структуры, поскольку они предоставляют более простые алгоритмы фильтрации и менее чувствительны к эффектам реализации с использованием конечного числа би­тов, чем фильтры с прямой структурой. Последние в подобных случаях весьма уязвимы, поэтому их следует избегать любой ценой.

Для КИХ-фильтров широко используется три формы:

· Прямая

· Частотной выборки

· Быстрой свертки

Наиболее используемой является прямая структура, поскольку ее проще всего реализовать. В такой форме КИХ-фильтр ино­гда называется линией задержки с отводами (tapped delay line) или трансверсальным фильтром. По сравнению с трансверсальной структурой, реализация по схеме частотной выборки может быть вычислительно более эффективной, поскольку она требует расчета меньшего числа коэффициентов. Одна­ко ее бывает не так просто реализовать, и она может требовать больше памяти. При быстрой свертке используются вычислительные преимущества быстрого преобразова­ния Фурье (БПФ), и она особенно привлекательна в ситуациях, когда дополнительно нужно вычислить спектр сигнала.

Существует множество других практических структур цифровых фильтров, но большинство из них популярны только в определенных сферах. Пример — решетчатая структура, которая используется в сферах обработки речи и линейного предсказания.

Для данного фильтра выбор между структурами зависит от следующих факторов:

1) какая требуется характеристика (конечная или бесконечная);

2) простота реализации;

3) насколько структура чувствительна к эффектам конечной разрядности.

4. Анализ влияния конечной размерности

Этапы аппроксимации и реализации предполагают работу с бесконечной или очень высокой точностью. В то же время, в настоящих реализациях часто требуется представить коэффициенты фильтра конечным числом битов (обычно от 8 до 16 бит), кроме того, арифметические операции, указанные в разностных уравнениях, выполняются с использованием арифметики конечной точности.

Влияние конечного числа битов проявляется в снижении производительности фильтра, и в некоторых случаях фильтр может стать неустойчивым. Разработчик должен проанализировать данные эффекты и выбрать подходящую длину слова (т.е. число битов) для представления коэффициентов фильтра, переменных фильтра (т.е. входных и выходных выборок) и выполнения арифметических операций в фильтре.

Перечислим основные источники ухудшения производительности фильтра.

· Квантование сигнала на входе-выходе . В частности, шум АЦП вследствие квантования входных выборок сигнала — это существенная величина

· Квантование коэффициентов . Данный фактор приводит к искажению частотных характеристик КИХ- и БИХ-фильтров и возможной неустойчивости БИХ-фильтров.

· Ошибки округления . Использование для фильтрации арифметики конечной точности дает результаты, представление которых требует дополнительных битов. Если результаты квантуются до допустимой длины слова (часто для этого используется округление), возникает шум округления. В результате возможны такие нежелательные следствия, как неустойчивость БИХ-фильтров.

· Переполнение . Этот эффект проявляется, когда результат сложения превышает разрешенную длину слова. Это приводит к неверным выходным выборкам и возможной неустойчивости БИХ-фильтров.

Степень ухудшения фильтра зависит от

1) Длины слова и типа арифметики, исполь­зуемой для фильтрации,

2) Метода квантования коэффициентов фильтра и переменных до выбранных размеров,

3) Структуры фильтра.

Зная эти факторы, разработчик может оценить влияние конечной разрядности на производительность фильтра и при необходимости принять меры.

5. Реализация фильтра

Вычислив коэффициенты фильтра, выбрав подходящую структуру реализации и убедившись, что ухудшение фильтра, вызванное оцифровкой коэффициентов и перемен­ных фильтра в слова выбранной длины, приемлемо, разностное уравнение требуется воплотить на аппаратном или программном уровне. Вне зависимости от выбранного метода, выход фильтра для каждой выборки должен вычисляться согласно разностному уравнению (предполагается реализация во временной области).

3. Классификация цифровых фильтров

Существует несколько способов классификации цифровых фильтров. Среди них выделим следующие:

· По типу импульсной характеристики

· Общая классификация

3.1 Классификация цифровых фильтров по типу импульсной характеристики

Классификация по типу импульсной характеристики является наиболее простой и понятной. В соответствии с данной классификацией цифровые фильтры подразделяются на два больших подкласса:

· Цифровые фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ - фильтры)

· Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ - фильтры)

Напомним понятие об импульсной характеристике цифрового фильтра:

Импульсная характеристика — выходной сигнал динамической системы как реакция на входной сигнал в виде дельта функции Дирака. (Рис. __)

В реальных физических системах входной сигнал представляет собой простой импульс минимальной ширины (равной периоду квантования для дискретных систем) и максимальной амплитуды.

Главное отличие БИХ и КИХ фильтров заключается следующем:

У КИХ фильтров импульсная характеристика конечна, и становится тождественно равна нулю через некоторое время, у БИХ фильтров импульсная характеристика бесконечна .

3.2 Общая классификация цифровых фильтров

Общая классификация цифровых фильтров приведена на Рис. 4.

· ФНЧ

· ФВЧ

· Полосовые фильтры

· Высокочастотные фильтры

· С прорежива -нием по времени

· С прорежива- нием по частоте

· Временные

· Частотные

· С компандиро- ванием

· С коррекцией импульсной или частотной характеристики

Линейные

· Винера

· Калмана

· Макс. Соотношение сигнал/шум

Нелинейные

· Первого порядка

· Второго порядка

· Высокого порядка

· Условно оптимальные

· Временные

· Частотные

· С обратной связью

Алгоритмы на основе РНК

· Прямые

· Решетчатых структур

Алгоритмы, основанные на нелинейной теории устойчивости

· N-M

· С сумматором со сбросом

· С сумматором без сброса

· Случайных блужданий

· Медиальные

· Эвристические

Рис . 4 . Общая классификация цифровых фильтров.

3.3 Выбор между КИХ- и БИХ-фильтрами.

Выбор между КИХ- и БИХ-фильтрами зависит от относительных преимуществ обо­их типов. Сравнительные характеристики фильтров обоих типов представлены в таблице:

Учитывая приведенные соображения, общий принцип выбора между КИХ и БИХ можно сформулировать следующим образом:

• Использовать БИХ, если единственными важными требованиями являются харак­теристика с резкими срезами и высокая пропускная способность, поскольку БИХ-фильтры (особенно те, в которых использованы эллиптические характеристики) по­требуют определения меньшего числа коэффициентов, чем КИХ-фильтры.
• Использовать КИХ, если число коэффициентов фильтров не очень велико и, в част­ности, если нужно, чтобы фазовое искажение отсутствовало или было малым. Кроме того, можно добавить, что архитектуры новейших процессоров ЦОС приспособле­ны к КИХ-фильтрации, мало того, некоторые из них специально разработаны для КИХ-фильтров.

Очевидно, что БИХ-фильтры экономнее, чем КИХ-фильтры, как с точки зрения необходимых вычислений, так и с точки зрения требований к памяти. Впрочем, мож­но еще дополнительно учесть симметрию коэффициентов КИХ-фильтров и считать более эффективными КИХ-фильтры (правда, только с точки зрения очевидной просто­ты реализации).

Еще один момент, который стоит отметить в связи с полученными результатами: при одинаковых спецификациях амплитудной характеристики число ко­эффициентов КИХ-фильтра обычно в шесть раз превышает порядок (наивысшая степень z в знаменателе) передаточной функции БИХ-фильтра.

4. Основные сведения о КИХ фильтрах. Методы расчета

5. Основные сведения о БИХ фильтрах. Методы расчета

Реальные цифровые БИХ-фильтры характеризуются следующим рекурсивным уравнением:

(1)

где

h(k) — импульсная характеристика фильтра, длительность которой теоретически бесконечна,

b_к и а_к — коэффициенты фильтра,

х(n) и у(n) — вход и выход фильтра.

Передаточная функция БИХ-фильтра записывается следующим образом:

(2)

Важной составляющей процесса разработки БИХ-фильтра является поиск таких значений коэффициентов b_к и а_к , чтобы определенные аспекты характеристик фильтра, например, частотная характеристика, вели себя определенным образом.

Обратите внимание на то, что текущая выходная выборка у(п) является функцией прошедших выходов у(п - к), а также текущей и прошедших входных выборок х(п — к), т.е. БИХ-фильтр — это определенная система с обратной связью.

Достоинства БИХ-фильтров объясняются именно гибкостью, которую обеспечивает обратная связь. Например, БИХ-фильтр обычно требует меньше коэффициентов, чем КИХ-фильтр при идентичном наборе спецификаций, поэтому БИХ-фильтры используются тогда, когда важны резкие срезы характеристики. Ценой этого является потенциальная неустойчивость БИХ-фильтра, кроме того, если при разработке не принять надлежащих мер, возможно, значительное снижение производительности.

Разработку БИХ-фильтров можно условно разбить на пять основных этапов .

1. Составление спецификации фильтра, в которой разработчик задает передаточную функцию фильтра (например, указывает, что требуется фильтр нижних частот) и же­лаемую производительность.

2. Аппроксимация или расчет коэффициентов, когда выбирается один из доступных методов и вычисляются значения коэффициентов b_к и а_к , передаточной функции H( z), которая соответствует спецификациям, предложенным на этапе 1.

3. Выбор подходящей фильтрующей структуры, в которую переводится передаточная функция. Обычно в БИХ-фильтрах используются параллельная структура и/или кас­кады блоков второго и/или первого порядка.

4. Анализ ошибок, которые могут появиться при представлении коэффициентов фильтра и выполнении арифметических операций, фигурирующих при фильтрации, с помощью конечного числа битов.

5. Реализация, которая включает построение аппаратного обеспечения и/или написание программного кода плюс выполнение собственно фильтрации.

Для простого получения коэффициентов БИХ-фильтра можно разумно разместить полюса и нули на комплексной плоскости, чтобы получающийся в результате фильтр имел нужную частотную характеристику.

Данный подход, известный как метод размещения нулей и полюсов , полезен только при разработке простых фильтров, например, узкополосных режекторных фильтров, где параметры фильтра (такие как неравномерность в полосе пропускания) не обязательно задавать точно. Более эффективный подход — вначале разработать аналоговый фильтр, удовлетворяющий желаемой спецификации, а затем преобразовать его в эквивалентный цифровой.

Большинство цифровых БИХ-фильтров разрабатываются именно так.

Данный подход получил широкое распространение потому, что на настоящий момент в литературе имеется масса информации по аналоговым фильтрам, которую можно использовать при разработке цифровых фильтров. Тремя наиболее распространенными методами конвертации аналоговых фильтров в эквивалентные цифровые являются

· Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики,

· Согласованное z-преобразование

· Билинейное z-преобразование.

5.1 Расчет коэффициентов фильтра путем размещений нулей и полюсов

Если в некоторую точку комплексной плоскости поместить нуль, частотная характе­ристика в этой точке будет равной нулю. Полюс, с другой стороны, порождает максимум (рис.). Полюса, расположенные близко к единичной окружности, дают большие пи­ки, тогда как нули, расположенные близко к единичной окружности или лежащие на ней, дают минимумы характеристики.

Рис. _Диаграмма нулей и полюсов простого фильтра (панель а); схемати­ческое изображение частотной характеристики этого фильтра (панель б)

Следовательно, стратегическое размещение полюсов и нулей на комплексной плоскости позволяет получить простой фильтр нижних частот или другой частотно-избирательный фильтр.

При разработке фильтра стоит помнить один важный момент: чтобы коэффициенты фильтра были действительными, полюса и нули должны либо быть действительными, либо образовывать комплексно сопряженные пары.

5.2 Расчет коэффициентов с помощью билинейного z-преобразования

Данный метод является, пожалуй, самым важным методом получения коэффициентов БИХ-фильтра. В нем для преобразования характеристики аналогового фильтра H( s) в характеристику эквивалентного цифрового фильтра применяется следующая замена:

k=1 или

Приведенное выше преобразование отображает аналоговую передаточную функцию H( s), записанную на s-плоскости, в дискретную передаточную функцию H( z) ком­плексной плоскости, как показано на рис. __. Обратите внимание на то, что на ри­сунке вся ось iω s-плоскости отображается в единичную окружность, левая половина s-плоскости отображается внутрь единичной окружности, а правая — в область снаружи единичной окружности.

Пример №1

Фильтр нижних частот . Требуется разработать цифровой фильтр нижних частот, аппроксимирующий следующую передаточную функцию:

(3)

Используя метод билинейного z-преобразования, получите передаточную функцию H( z) цифрового фильтра, если частота среза по уровню 3 дБ равна 150 Гц, а частота дискре­тизации равна 1,28 кГц.

Решение

Используя критическую частоту ω_p = 2π х 150 рад/с и F_s = 1/T — 1,28 кГц, получаем следующую деформированную критическую частоту:

Масштабированный аналоговый фильтр характеризуется функцией

После применения билинейного z-преобразования получаем такой результат:

6. Аппаратная реализация цифрового фильтра

Аппаратная реализация цифрового фильтра в данной лабораторной работе будет осуществляться следующим образом. На персональном компьютере запускается исполняемый файл Lab VIEW, генерирующий дискретный частотно-модулированный синусоидальный сигнал на выводах COM-порта. Учебная плата обрабатывает (фильтрует) этот сигнал и возвращает обратно на COM-порт компьютера. Исполняемый файл Lab VIEW строит графики сгенерированного и фильтрованного сигнала. Учебная плата содержит систему питания, блок индикации и микроконтроллер Atmel AVR Mega8535. Фильтрация сигнала осуществляется согласно программе записанной в память микроконтроллера. Рассмотрим особенности разработки прошивки.

Atmel AVR Mega8535 является 8-битным микроконтроллером. Таким образом, число, хранящееся в одном регистре микроконтроллера, не может быть меньше 0 и больше 256. В общем случае коэффициенты ai и bi могут превосходить 256, поэтому при их расчёте вводятся масштабирующие коэффициенты b8b и bm. Масштабирующие коэффициенты вводятся таким образом, чтобы они были степенью двойки, а значения коэффициентов ai и bi были максимально приближены к теоретическим значениям. Это делается для того, чтобы учёт масштабирующих коэффициентов можно было производить простым сдвигом.

В частном случае результат умножения двух 8-ми битных чисел является 16-битным и хранится в двух регистрах. Для дальнейших операций с подобными числами зарезервируем несколько регистров общего назначения («аккумулятор»). При вычислении слагаемых с коэффициентами bi необходимо учитывать масштабирующий коэффициент b8b. Для этого результат умножения поместим в отдельный аккумулятор, который потом необходимо будет сдвинуть влево на число разрядов, равное степени двойки значения b8b. Поскольку в регистрах хранятся только положительные числа, то знак коэффициентов ai, bi учитывается следующим образом. Если коэффициент ai положительный , то слагаемое прибавляется к аккумулятору, если отрицательный – вычитается . Если коэффициент bi положительный , то слагаемое вычитается из аккумулятора, если отрицательный – прибавляется .

7. Методика выполнения лабораторной работы

1. Открыть файл маткада для своего типа фильтра.
2. Произвести расчет фильтра, подставив в подсвеченные области необходимые данные
3. Написать программу на языке ассемблер, учитывающую особенности расчета коэффициентов, указанных в маткадовском файле и обсужденных на семинаре. (шаблон для программы находится в папке digital_filter).
4. Показать программу преподавателю на проверку
5. После этого прошить МК
6. Запустить исполняемый файл labview, находящийся в директории filter
7. Сравнить результаты фильтрации маткада и МК

8. Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1.

9. Задание на проведение лабораторной работы

10. Варианты для проведения лабораторной работы

*варианты находятся в файле excel