Реферат: «БиномНьютон а»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Школа-интернат лицей-интернат

Реферат

«Б и н о м Н ь ю т о н а»

Работу выполнил:

ученик 11 класса «А»

Зыбко Иван

Руководитель

Еремина

Людмила Александровна

Калининград

2008 год

С о д е р ж а н и е.

Понятие бинома Ньютона.

Биномом Ньютона называют разложение вида:

Но, строго говоря, всю формулу нельзя назвать биномом, так как «бином» переводится как «двучлен». Кроме того, формула разложения была известна еще до Ньютона, Исаак Ньютон распространил это разложение на случай n<0 и n – дробного.

Цель изучения бинома Ньютона – упрощение вычислительных действий.

Компоненты формулы «бином Ньютона»:

- правая часть формулы – разложение бинома;

- – биномиальные коэффициенты, их можно получить с помощью треугольника Паскаля (пользуясь операцией сложения).

Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.

Например, четвертая строчка треугольника как раз наглядно демонстрирует биномиальные коэффициенты для бинома четвертой степени:

Альтернатива треугольнику Паскаля:

1) перемножить почленно четыре скобки:

;

2) вспомнить разложение бинома Ньютона четвертой степени:

- общий член разложения бинома n-й степени: ,

где Т – член разложения; – порядковый номер члена разложения.

Свойства бинома и биномиальных коэффициентов.

1.

2. Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, то есть равно

3. Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома, то есть n

Доказательство

Рассмотрим -й член разложения:

Сумма показателей степеней a и b :

Ч.т.д.

4. Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой: (правило симметрии)

5. Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна

Доказательство

Пусть , тогда:

o левая часть равна ;

o правая часть равна

Тогда:

Ч.т.д.

6. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна

7. Правило Паскаля:

8. Любой биномиальный коэффициент, начиная со второго, равен произведению предшествующего биномиального коэффициента и дроби

Типовые задачи по теме «Бином Ньютона».

К типовым (стандартным) заданиям по данной теме можно отнести задачи на вычисление, среди которых:

1. Найти член (номер члена) разложения бинома

2. Вывести бином по известным членам разложения (по известной сумме)

3. Вычислить сумму биномиальных коэффициентов разложения бинома

и другие.

Продемонстрируем на примере.

Пример 1

В биномиальном разложении найти член разложения, не содержащий х

Решение

Так как в разложении мы ищем член не содержащий х , то

Тогда

Ответ:

Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона

(нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»).

К нестандартным заданиям по данной теме можно отнести такие, в которых нет явного намека на необходимость использования бинома. Однако в итоге, решение сводится к нему и выглядит очень интересным.

Пример 1

Доказать, что для любых и для любых верно неравенство Бернулли :

Доказательство

Пусть

Так как , то

Переформулируем требование: Доказать, что , где

Так как , значит в разложении как минимум три члена разложения, тогда:

Это означает, что

Ч.т.д.

Пример 2

Доказать, что при любом натуральном n число делится на 9

Доказательство

1 способ:

Ч.т.д.

2 способ:

Начнем рассматривать бином в общем виде:

Тогда

Ч.т.д.

Пример 3

Решить уравнение

Решение

Осуществим замену:

Тогда уравнение перепишем:

Применим формулу бинома к левой части уравнения:

В итоге

Ответ: .