Формулы сокращенного умножения
(а ± в)2
= а2
± 2ав + в2
(а ± в)3
= а3
± 3а2
в + 3ав2
± в3
а2
- в2
= (а + в) (а - в)
а3
+ в3
= (а + в) (а2
- ав + в2
)
а3
- в3
= (а - в) (а2
+ ав + в2
)
(а + в + с)2
= а2
+ в2
+ с2
+2ав +2ас +2вс
Степени.
ам
ан
= ам + н
ам
: ан
= ам
-
н
(ав)м
= ам
вм
(ам
)н
= амн
(а : в)м
= ам
: вм
а-
м
= 1 : ам
ам
:
н
= н
Ö ам
Корни.
н
Öав =н
Öа н
Öв
н
Öа м
Öв = н м
Öам
вн
н
Öа : в = н
Öа :н
Öв
(н
Öам
)х
= н
Öам х
н
Öам
= ам/н
м
Öн
Öа = мн
Öа
(н
Öа)м
= н
Öам
Арифметическая прогрессия.
а1
, а2
, а3
, …, аn
-1
, аn
аn
-1
- аn
= d
d – разность прогрессии
а2
= а1
+ d
а3
= а2
+ в = а1
+ 2d
аn
= а1
+ d(n-1)
Sn = (а1
+ аn
) n = (2а1
+ ( n-1) d) n
2 2
Sn – сумма членов арифметической
прогрессии.
d – разность прогрессии.
d > 0 – прогрессия возрастающая
d < 0 – прогрессия убывающая.
Геометрическая прогрессия.
а1
, а2
, а3
, …, аn
-1
, аn
аn
+1
/ аn
= q
а2
= а1
q
q - знаменатель прогрессии.
а3
= а2
q = а1
q2
аn
= а1
qn
-1
Сумма членов для возрастающей
прогрессии (q > 1)
Sn = аn
q - а1
= а1
(qn
-1 : q – 1)
q – 1
Сумма членов для убывающей прогрессии (q < 1)
Sn = а1
(1 - qn
)
1 - q
Сумма членов бесконечно убывающей
Прогрессии
Sn = а1
1 - q
Вектора.
а = М1
М2
={х2
– х1
, у2
– у1
, z2
–z1
}
Длина вектора
çа ç=Ö(х2
- х1
)2
+(у2
- у1
)2
+ (z2
- z1
)2
Умножение вектора на число
a а = d
Скалярное произведение векторов
а в = çа ççв çcosj
 cosj = х1
х2
+ у1
у2
+ z1
z2
Öх1
2
+ у1
2
+z1
2
Öх2
2
+у2
2
+ z2
2
а2
= çа ç2
а в = х1
х2
+ у1
у2
+ z1
z2
Параллельность векторов
а ççв, то х1
= у1
= z1
х2
у2
z2
Перпендикулярность векторов
а ^ в, то х1
х2
+ у1
у2
+ z1
z2
Производная.
(c u)¢ = с u¢
u ¢ = u¢ v – u v¢
v v2
(c)¢ = 0
(xn
)¢ = n xn-1
(ax
)¢= ax
ln a
(ех
)¢ =ех
(sin x)¢ = cos x
(cos x)¢ = - sin x
(tg x)¢ = 1
cos2
x
(ctg x)¢ = - 1
sin2
x
(ln x)¢ = 1
х
(1 / х)¢ = - 1
х2
(Öх)¢ = 1
2 Öх
(х)¢ = 1
Логарифмы.
logа
в = с
logа
1 = 0
logа
а = 1
logа
(mn) = logа
m + logа
n
logа
m = logа
m - logа
n
n
logа
mn
= nlogа
m
logа
n
Öm = 1 logа
m
n
logа
в = logс
в
logс
а
Основные тригонометрические тождества
sin2
x + cos2
x = 1
tg x = sin x
cos x
ctg x = cos x
sin x
1 + ctg2
x = 1
sin2
x
1 + tg2
x = 1
cos2
x
tg x ctg x = 1
Формулы сложения и вычитания
sin (a±b) = sina cosb± cosa sinb
cos (a±b) = cosa cosb± sina sinb
tg (a±b) = (tga± tgb)
(1 + tga tgb)
ctg (a±b) = ctga ctgb+ 1
ctgb±ctga
sina + sinb = 2 sin (a + b) cos (a-b)
2 2
sina- sinb = 2 cos (a + b) sin (a-b)
2 2
cosa + cosb = 2 cos (a + b) cos (a-b)
2 2
cosa- cosb = - 2 sin (a + b) sin (a-b)
2 2
tga± tgb = sin (a±b)
cosa cosb
ctga± ctgb = sin (b±a)
sina sinb
sin2
a- sin2
b = cos2
b- cos2
a =
sin (a + b) sin (a-b)
cos2
a- sin2
b = cos2
b- sin2
a =
cos (a + b) cos (a-b)
Связь между тригонометрическими функциями
sina = ±Ö1 - cos2
a
sina = tga
±Ö1 + tg2
a
sina = 1
±Ö1 + ctg2
a
cosa = ±Ö1 - sin2
a
cosa = 1
±Ö1 + tg2
a
cosa = ctga
±Ö1 + ctg2
a
tga = sina
±Ö1 - sin2
a
tga = ±Ö1 - cos2
a
cosa
tga = 1
ctga
ctga = ±Ö1 - sin2
a
sina
ctga = cosa
±Ö1 - cos2
a
ctga = 1
tga
Формулы преобразования произведения
sina sinb = cos (a-b) - cos (a + b)
2
cosa cosb = cos (a-b) + cos (a + b)
2
sina cosb = sin (a + b) + sin (a-b)
2
tga tgb = tga + tgb
ctga + ctgb
ctga tgb = ctga + tgb
tga + ctgb
ctga ctgb = ctga + ctgb
tga + tgb
Формулы двойных углов
sin2a = 2 sina cosa
sina = 2 sin (a) cos (a)
cos2a = cos2
a- sin2
a =
= 1 - 2sin2
a =
= 2cos2
a- 1
tg2a = 2 tga
1 - tg2
a
= 2
ctga- tga
tga = 2 tg (a/2)
1 - tg2
(a/2)
ctg2a = ctg2
a- 1
2 ctga
= ctga- tga
2
ctga = ctg2
(a/2) - 1
2 ctg (a/2)
sin x = a
x = (-1)n
arksin a + pn
cos x = a
x = ± arkcos a + 2pn
tg x = a
x = arktg a + pn
ctg x = a
x = arkctg a + pn
Формулы приведения
sin (p /2 -a) = + cosa
sin (p /2 + a) = + cosa
sin (p-a) = + sina
sin (p + a) = - sina
sin (3p/2 -a) = - cosa
sin (3p /2 + a) = - cosa
sin (2p-a) = - sina
sin (2p + a) = + sina
----------------
cos (p/2 -a) = + sina
cos (p/2 + a) = - sina
cos (p-a) = - cosa
cos (p + a) = - cosa
cos (3p/2 -a) = - sina
cos (3p/2 + a) = + sina
cos (2p-a) = + cosa
cos (2p + a) = + cosa
-----------------
tg (p/2 -a) = + ctga
tg (p/2 + a) = - ctga
tg (p-a) = - tga
tg (p + a) = + tga
tg (3p/2 -a) = + ctga
tg (3p/2 + a) = - ctga
tg (2p-a) = - tga
tg (2p + a) = + tga
-------------
ctg (p/2 -a) = + tga
ctg (p/2 + a) = - tga
ctg (p-a) = - ctga
ctg (p + a) = + ctga
ctg (3p/2 -a) = + tga
ctg (p/2 + a) = - tga
ctg (2p-a) = - ctga
ctg (2p + a) = + ctga
sin (-a) = - sina
cos (-a) = cosa
tg (-a) = - tga
В прямоугольном треугольнике
a2
+ b2
= c2
a = c sina
a = b tga
b = c cosa
теорема синусов:
a = b = c
sina sinb sing
теорема косинусов:
a2
= b2
+ c2
- 2 bc cosa
S = ½ ab
Площади фигур
Прямоугольник
S = a b = ½ d1
d2
sina,
d1
и d2
- диагонали
a - угол пересечения диагоналей
Параллелограмм
S = a h = a b sina
S = ½ d1
d2
sina
Трапеция
S = a + b h = ½ d1
d2
sina
2
Круг
S = l r = p r2
2
ТРЕУГОЛЬНИК
S = ½ ah = ½ ab sina
Формула Герона:
S = Ö p (p - a) (p - b) (p - c)
p = a +b + c
2
Площадь треугольника описанного окружностью:
S = a b c
4r
Площадь треугольника с вписанной окружностью:
S = ½ r P
где Р – периметр
радиус описанной окружности:
R = a b c
4S
радиус вписанной окружности:
r = 2S
a + b + c
длина окружности:
l = 2pr
Квадрат
S = a2
= d2
/2
Ромб
S = a2
sina = ah = ½ dD
где в - малая диагональ
D - большая диагональ
Объемы тел:
Параллелепипед
V = Sосн
h
Куб
V = abc = a3
Призма
V = Sосн
h = S^
сеч
l
l - г
рань призмы
Пирамида
V = 1/3 Sосн
h
Цилиндр
V = Sосн
h = pr2
h = 1/4pd2
h
r - радиус основания
d - диаметр основания
Конус
V = 1/3 Sосн
h = 1/3 pr2
h
Шар
V = 4/3 pr3
Площади поверхностей
Призма
Sп
= Sбок
+ 2Sосн
Sбок
= ph = S^
сеч
l
p = a + b +c
Куб
Sп
= 6a2
Пирамида четырехугольная
Sп
= Sбок
+ Sосн
Sбок
= ½ Pосн
h
h – высота боковой грани
Пирамида треугольная
Sп
= Sбок
+ Sосн
Sбок
= Sосн
cosj
j - угол наклона грани
Цилиндр
Sп
= Sбок
+ Sосн
Sбок
= 2prh
Sосн
= 2pr (h + r)
Конус
Sп
= Sбок
+ Sосн
Sбок
= prl
Sосн
= pr (l + r)
Параллелепипед
Sп
= Sбок
+ 2Sосн
Sбок
= Pосн
l
Шар
S = 4 pr2
Значения углов
a 0 p/6 p/4 p/3 p/2 p
sin 0 ½ Ö2/2 Ö3/2 1 0
cos 1 Ö3/2 Ö2/2 ½ 0 -1
tg 0 1/Ö3 1 Ö3 - 0
ctg - Ö3 1 1/Ö3 0 -
|