Реферат: Дифференцированные уравнения
Название: Дифференцированные уравнения Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат |
1.ВВЕДЕНИЕ 2.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 2.1.ЗАПИСЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СТАНДАРТНОЙ И ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения в двух формах. Первая форма записи . Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены - в правой части. Кроме того, принято, чтобы, сама выходная величина находилась в уравнении с коэффициентом единица. Такое уравнение имеет вид: = При такой записи коэффициенты k,k1 ,...,kn называют коэффициентами передачи , а T1 ,...,Tn -постоянными времени данного звена. Коэффициент передачи показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме, т.е. определяет собой наклон линейной статической характеристики звена. Размерности коэффициентов передачи определяются как размерность k = размерность y(t) : размерность g(t) размерность k1 = размерность y(t) : размерность g(t) (?) Постоянными времени T1 ,...,Tn имеют размерность времени. Вторая форма записи
.
Считая условно оператор дифференцирования p= = = 2.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗВЕНА Решим уравнение (2) относительно выходной величины y(t): y(t)= = =W1 (s)+W2 (s)+...+Wn (s) Здесь W1 (s),W2 (s),...,Wn (s) - передаточные функции. При записи уравнений с изображениями выходной и входной величин по Лапласу передаточные функции сливаются в одну. 2.3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНА Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса. Переходная функция h(t) представляет собой переходный процесс на выходе из звена, возникающий при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия - скачкообразного воздействия со скачком, равной единице. Функция веса w(t) представляет собой реакцию на единичную импульсную функцию. Она может быть получена дифференцированием по времени переходной функции: w(t)= 2.4.ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Важнейшей характкристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Ее можно получить с помощью передаточной фкнкции, заменив линейный оператор s на комплексный jw. Так как передаточная функция есть отношение изображения по Лапласу выходной величины к входной, то при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье, мы получим, что частотная передаточная функция является изображением Фурье функции веса, то есть имеет место интегральное преобразование W(j)= Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде: W(jw)=U(w)+jV(w) где U(w) и V(w) - вещественная и мнимая части. W(jw)=A(w) где A(w) - модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуде выходнгой величины к амплитуде входной,j(w) - аргументчастотной передаточной функции, равный сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной. Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики. Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) показывает, как пропускает звено сигнал различой частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. То есть АЧХ - это модуль частотной передаточной функции: A(w)=ЅW(jw)Ѕ АЧХ строят для всео диапазона частот -Ґ<w Другой важной характеристикой является фазовая частотная характеристика (ФЧХ), которая находится как аргумент частотной передаточной функции: j(w)=argW(jw) 4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ 4.1. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ Позиционные звенья - это такие звенья , в которых выходная и входная величины в установившемся режиме связаны линейной зависимостью y(t)=kg(t).Соответственно, переходная функция будет иметь вид W(s)=k 4.1.1.ИДЕАЛЬНОЕ УСИЛИТЕЛЬНОЕ ( БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ) ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: ao y(t)=bo g(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: ao =2 bo =4 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao : y(t)= y(t)=kg(t) (2), где k= Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= y(t)=kg(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s) g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: Y(s)=kG(s) W(s)=k (4) 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1. Тогда h(t)=k1(t) (5) Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции: w(t)= 4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики: k=2 h(t)=2Ч1(t) w(t)=2Чd(t) Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2, а функция веса - импульсную функцию, площадь которой равна k=2. 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)=k W(jw)=k (7) W(jw)=U(w)+jV(w) U(w)=k V(w)=0 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)=k (8) Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j(w)=argW(jw) j(w)=0 (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lgk 7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. k=2 A(w)=2 j(w)=0 L(w)=20lg2 U(w)=2 V(w)=0 Вывод: Примером рассмотренного звена может являться механический редуктор, делитель напряжения, индукционные датчики и т.д. Но беэынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не может равномерно пропускать все частоты от нуля до бесконечности. Обычно к такому виду сводится одно из реальных звеньев , рассмотренных ниже , если можно пренебречь влиянием динамических процессов. 4.1.2. УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1. Данное звено описывается следующим уравнением: ao y(t)=bo g(t-t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: ao =2 bo =4 t=0,1с Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao : y(t)= y(t)=kg(t-t) (2), где k= Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= y(t)=kg(t-t) (3) 2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s) g(t-t)=G(s)e-ts По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: Y(s)=kG(s)e-ts W(s)= ke-ts (4) 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. ПО определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1.Тогда h(t)=y(t)=k g(t-t)=k1(t) (5) Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции: w(t)= 4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики: k=2 h(t)=2Ч1(t-t) w(t)=2Чd(t-t) Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2 и запаздыванием на t=0,1с, а функция веса - импульсную функцию с таким же запаздыванием, площадь которой равна k=2. 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)=k e-ts W(jw)=k e-jwt =k(costw-jsintw) (7) W(jw)=U(w)+jV(w) U(w)=k costw V(w)=-ksintw 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)=k (8) Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j(w)=argW(jw) j(w)= tw (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lgk 7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. k=2 A(w)=2 j(w)=0,1w L(w)=20lg2 U(w)=2cos0,1w V(w)=-2sin0,1w Вывод: 4.1.3. УСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a1
Коэффициенты имеют следующие значения: a1 =1,24 ao =2 bo =4 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
T1
где k= T1
= Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= (T1 p+1)y(t)=kg(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s)
g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: T1 sY(s)+Y(s)=kG(s) W(s)= 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) Переходя к оригиналу, получим h(t)=k Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)= или из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)Ч1 W(s)= Переходя к оригиналу, получим w(t)= 4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: k=2 T1 =0.62 h(t)=2 w(t)=3.2e Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= W(jw)=U(w)+jV(w)= U(w)= V(w)= 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)= Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j(w)=argW(jw) j(w)=arctgk - arctg j(w)=-arctgT1 (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lg 7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. k=2 T1 =0.62 A(w)= j(w)=arctg0.62w L(w)=20lg U(w)= V(w)= 4.1.4. НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a1
Коэффициенты имеют следующие значения: a1 =1,24 ao =2 bo =4 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
T где k= T= Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= (Tp-1)y(t)=kg(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t) = Y(s)
g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: TsY(s)-Y(s)=kG(s) W(s)= 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) Переходя к оригиналу, получим h(t)=k Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)= или из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)Ч1 W(s)= Переходя к оригиналу, получим w(t)= 4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: k=2 T=0.62 h(t)=2 w(t)=3.2e Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= W(jw)= U(w)= V(w)= 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)= Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j(w)=argW(jw) j(w)=arctgk - arctg j(w)=-arctg(-Tw) (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lg 7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. k=2 T=0.62 A(w)= j(w)=-arctg(-0.62w) L(w)=20lg U(w)= V(w)= 4.1.5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a2
Коэффициенты имеют следующие значения: a2 =0,588 a1 =50,4 ao =120 bo =312 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
где k= T1
= Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T1 >2T2 ), то оно является апериодическим 2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения: T1 =0,42 2T2 =0,14 0,42>014, следовательно, данное уравнение - апериодическое. Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= ( 2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t) = Y(s)
g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
W(s)= 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) T3,4
= Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим H(s)= = Переходя к оригиналу, получим h(t)=kЧ1(t) =k Ч1(t) Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)= или из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)Ч1= Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим w(s)= = Переходя к оригиналу, получим w(t)= = 4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= Выделим вещественную и мнимую части : W(jw) = U(w)= V(w)= 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)= Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j(w)=argW(jw) j(w)=................ j(w)=............... (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=................... 7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. 4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (УСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a2
Коэффициенты имеют следующие значения: a2 =0,588 a1 =0,504 ao =12 bo =31,20 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
где k= T1
= Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T1 <2T2 ), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения: T1 =0,042 2T2 =0,14 0,042 Представим данное уравнение в следующем виде: пусть T2
=T, Тогда уравнение (2): Здесь T - постоянная времени, x - декремент затухания (0<x<1). Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= ( 2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t) = Y(s)
g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
W(s)= 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим H(s)= = Заменим в этом выражении H(s)= = Переходя к оригиналу, получим h(t)=k =k Ч1(t) Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)= или из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)Ч1= = Переходя к оригиналу, получим w(t)= 4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= Выделим вещественную и мнимую части : W(jw)= U(w)= V(w) 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)= Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j(w)=argW(jw) j(w)=argk - arg(2xTjw - T2
w2
+1)= - arctg j(w)= - arctg Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lg 7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. 4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (НЕУСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a2
Коэффициенты имеют следующие значения: a2 =0,588 a1 =0,504 ao =12 bo =31,20 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
где k= T1
= Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T1 <2T2 ), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения: T1 =0,042 2T2 =0,14 0,042 Представим данное уравнение в следующем виде: пусть T2
=T, Тогда уравнение (2): Здесь T - постоянная времени, x - декремент затухания (0<x<1). Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= ( 2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t) = Y(s)
g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
W(s)= 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим H(s)= = Заменим в этом выражении H(s)= = Переходя к оригиналу, получим h(t)=k =k Ч1(t) Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)= или из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)Ч1= = Переходя к оригиналу, получим w(t)= 4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= Выделим вещественную и мнимую части : W(jw)= U(w)= V(w) 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)= Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j(w)=argW(jw) j(w)=argk - arg(1 - 2xTjw - T2
w2
)= - arctg j(w)= - arctg Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lg 7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. 4.1.5. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ КОНСЕРВАТИВНОЕ ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a2
Коэффициенты имеют следующие значения: a2 =0,0588 ao =12 bo =31,20 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
где k= T2
= Это уравнение является частным случаем колебательного уравнения при x=0. Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= (T2 p2 +1)y(t)=kg(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t) = Y(s)
g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: T2 s2 Y(s)+Y(s)=kG(s) W(s)= 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим H(s)= Заменим H(s)= Переходя к оригиналу, получим h(t)=kЧ1(t) Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)Ч1= Переходя к оригиналу, получим w(t)= kw0 sinw0 tЧ1(t) (6) 4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= U(w)= V(w)=0 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)= Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j(w)=argW(jw) j(w)=argk - arg(1-T2 w2 )=0 (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lg 7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. 4.2. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ 4.2.1. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a1
Коэффициенты имеют следующие значения: a1 =1,24 bo =4 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1 :
где k= Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= py(t)=kg(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для данного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s)
g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: sY(s)=kG(s) W(s)= 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) Переходя к оригиналу, получим h(t)=ktЧ1(t) (5) Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)= w(t)= 4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= W(jw)= U(w)=0 V(w)= 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)= Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j(w)=argW(jw) j(w)=argk - argjw j(w)= - arctgw (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lg 7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения. 4.2.2. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением:
Коэффициенты имеют следующие значения: a2 =0,0588 a1 =0,504 bo =31,20 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1 :
T где k= T= Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= (Tp2 +p)y(t)=kg(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s)
g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: Ts2 Y(s)+sY(s)=kG(s) W(s)= 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим H(s)= Переходя к оригиналу, получим h(t)= - kTЧ1(t)+ktЧ1(t)+kT = Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)Ч1= Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим w(s)= Переходя к оригиналу, получим w(t)=kЧ1(t) 4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= W(jw) U(w)= V(w)= 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)= Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j(w)=argW(jw) j(w)=argk - argjw - arg j(w)= - arctgw - arctgTw (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lg 7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения. 4.2.3. ИЗОДРОМНОЕ ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a1
Коэффициенты имеют следующие значения: a1 =1,24 bo =4 b1 =4 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1 :
где k1
= Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= py(t)=(k1 p+k)g(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: sY(s)=k1 sG(s)+kG(s) W(s)= 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) Переходя к оригиналу, получим h(t)= Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)Ч1 W(s)= Переходя к оригиналу, получим w(t)= k1 Чd(t)+kЧ1(t) (6) 4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= U(w)=k1 V(w)= 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)=............(8) Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j(w)=argW(jw) j(w)=............ j(w)=............ (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lg........ 7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения. 4.3.1.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: ao
y(t)=b1
Коэффициенты имеют следующие значения: ao =2 b1 =4 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao : y(t)= y(t)=k где k= Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= y(t)=kpg(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s) g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: Y(s)=ksG(s) W(s)=ks (4) 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса из преобразлваний Лапласа,т.е. h(t)=H(s) H(s)=W(s) Переходя к оригиналу, получим h(t)=kЧd(t) (5) Функцию веса можно получить по преобразованию Лапласа из передаточной функции: w(t)=w(s) w(s)=W(s)Ч1=ks Переходя к оригиналу, получим w(t)=k 4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики: 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)=ks W(jw)=jkw (7) W(jw)=U(w)+jV(w) U(w)=0 V(w)=kw 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е. A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)=kЅwЅ (8) Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j(w)=argW(jw) j(w)=arctgkw (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lgkЅwЅ 7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные выражения. 4.3.2.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ РЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a1
Коэффициенты имеют следующие значения: a1 =1,24 ao =2 b1 =4 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1 :
T где k= T1
= Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p= (Tp+1)y(t)=kpg(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа: y(t)=Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: TsY(s)+Y(s)=ksG(s) W(s)= 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) Переходя к оригиналу, получим h(t)= Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)Ч1 W(s)= Переходя к оригиналу, получим w(t)= 4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= W(jw)= 6.Найдем АЧХ: A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)= Найдем ФЧХ: j(w)=argW(jw) j(w)=arctgkw-arctgTw L(w)=20lgA(w) L(w)=20lg 4.3.3.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА Данное звено описывается следующим уравнением: a0y(t)=b1 y(t)= k1= k= p= y(t)=k1pg(t)+kg(t) y(t)=Y(s) g(t)=G(s) Y(s)=k1sG(s)+kG(s) W(s)=k1s+k H(s)= h(t)=k1d(t)+k1(t) W(jw)=k1jw+k U(w)=k V(w)=k1w A(w)=ЅW(jw)Ѕ A(w)= j(w)=argW(jw) j(w)=arctg L(w)=20lgA(w) L(w)=20lg 4.3.4.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА a0y(t)=b2 y(t)= y(t)=k2 y(t)=k2p2g(t)+k1pg(t)+kg(t) Y(s)=(k2s2+k1s+k)G(s) W(s)=k2s2+k1s+k H(s)=k2s+k1+ h(t)=k2 w(s)=W(s)=k2s2+k1s+k w(t)=k2 W(jw)=k1jw+k - k2w2 U(w)=k - k2w2 V(w)=k1jw A(w)= j(w)=arctg L(w)=20lg |