Реферат: Задача линейного программирования
Название: Задача линейного программирования Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Юридический техникум Рассмотрено и одобрено ПЦК г. Кропоткин программирования Председатель ПЦК Покалицына О.В. План чтения лекции по учебной дисциплине «Математические методы» Раздел № 2.Линейное программирование. Тема № 2.1. Виды задач линейного программирования. Занятие № Учебные и воспитательные цели: изучить основные виды задач линейного программирования, их математические модели. Время Место проведения: аудитория. Учебные вопросы: Задача линейного программирования (ЗЛП). Трудности решения ЗЛП. Классификация задач оптимизации: задача о пищевом рационе, задача о планировании производства, задача о загрузке оборудования, задача о снабжении сырьем. Литература: 1. Венцель Е.С. Исследование операций. Задач, принципы, методология. – М.: Наука, 1980. 2. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. – М.:ЮНИТИДАНА, 2001 Учебные вопросы и расчет времени
1. Вводная часть. Организационный момент. План занятия. Основные требования. 2. Основная часть. 1. Задача линейного программирования (ЗЛП). Термин линейное программирование появился в Америке в середине 40-х годов (первая американская работа по частной задаче линейного программирования опубликована в 1941 г.). В Советском Союзе исследования в этой области начались ранее. В конце 30-х годов целый ряд существенных результатов по линейному программированию был установлен Л.В. Канторовичем. Задача линейного программирования – это задача нахождения значений параметров, обеспечивающих экстремум функции при наличии ограничений на аргументы. Задачи линейного программирования являются самыми простыми и лучше изученными задачами. Для них характерно: показатель эффективности (целевая функция) выражается линейной зависимостью; ограничения на решения – линейные равенства или неравенства. 2. Трудности решения ЗЛП. Трудности решения задач линейного программирования зависят от: вида зависимости, связывающей целевую функцию с элементами решения; размерности задачи, то есть от количества элементов решения х1, х2,…, xn; вида и количества ограничений на элементы решений. 3. Классификация задач оптимизации. Задача о рациональном питании (задача о пищевом рационе). ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Ферма производит откорм скота с коммерческой целью. Для простоты допустим, что имеется всего четыре вида продуктов: П1 , П2 , П3 , П4 ; стоимость единицы каждого продукта равна соответственно С1 , С2 , С3 , С4 . Из этих продуктов требуется составить пищевой рацион, который должен содержать: белков – не менее b i единиц; углеводов – не менее b 2 единиц; жиров – не менее b 3 единиц. Для продуктов П1 , П2 , П3 , П4 содержание белков, углеводов и жиров (в единицах на единицу продукта) известно и задано в таблице, где a ij (i=1,2,3,4; j=1,2,3) – какие – то определённые числа; первый индекс указывает номер продукта, второй – номер элемента (белки, углеводы, жиры).
Требуется составить такой пищевой рацион (т.е. назначить количества продуктов П1 , П2 , П3 , П4 , входящих в него), чтобы условия по белкам, углеводам и жирам были выполнены и при этом стоимость рациона была минимальна. МАТЕМАТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ. Обозначим x 1 , x 2 , x 3 , x 4 количества продуктов П1 , П2 , П3 , П4 , входящих в рацион. Показатель эффективности, который требуется минимизировать, - стоимость рациона (обозначим её L): она линейно зависит от элементов решения x 1 , x 2 , x 3 , x 4 . Целевая функция: Система ограничений: a 11 x 1 +a 21 x 2 +a 31 x 3 +a 41 x 4 ≥b 1 a 12 x 1 +a 22 x 2 +a 32 x 3 +a 42 x 4 ≥b 2 a 13 x 1 +a 23 x 2 +a 32 x 3 +a 43 x 4 ≥b 3 Эти линейные неравенства представляют собой ограничения, накладываемые на элементы решения x 1 , x 2 , x 3 , x 4 . Таким образом, поставленная задача сводится к следующей: найти такие неотрицательные значения переменных x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , чтобы они удовлетворяли ограничениям – неравенствам и одновременно обращали в минимум линейную функцию этих переменных:
Задача о планировании производства. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Предприятие производит изделия трёх видов: U1 , U2 , U3 . По каждому виду изделия предприятию спущен план, по которому оно обязано выпустить не мене b 1 единиц изделия U1 , не мене b 2 единиц изделия U2 и не мене b 3 единиц изделия U3 . План может быть перевыполнен, но в определённых границах; условия спроса ограничивают количества произведённых единиц каждого типа: не более соответственно b 1 , b 2 , b 3 единиц. На изготовление изделий идёт какое-то сырьё; всего имеется четыре вида сырья: s 1 , s 2 , s 3 , s 4 , причём запасы ограничены числами g 1 , g 2 , g 3 , g 4 единиц каждого вида сырья. Теперь надо узнать какое количество сырья каждого вида идёт на изготовление каждого вида изделий. Обозначим a ij количество единиц сырья вида s i (I= 1, 2, 3, 4), потребное на изготовление одной единицы изделия Uj (j= 1, 2, 3). Первый индекс у числа a ij – вид изделия, второй – вид сырья. Значения a ij сведены в таблицу (матрицу).
При реализации одно изделие U1 приносит предприятию прибыль c 1 , U2 – прибыль c 2 , U3 – прибыль c 3 . Требуется так спланировать производство (сколько каких изделий производить), чтобы план был выполнен или перевыполнен (но при отсутствии «затоваривания»), а суммарная прибыль обращалась в максимум. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ. Элементами решения будут x 1 , x 2 , x 3 – количества единиц изделий U1 , U2 , U3 , которые мы произведём. Обязательность выполнения планового задания запишется в виде трёх ограничений – неравенств: x 1 ³b 1 , x 2 ³b 2 , x 3 ³b 3 . Отсутствие изделий продукции (затоваривания) даёт нам ещё три ограничения – неравенства: x 1 £b 1 , x 2 £b 2 , x 3 £b 3 . Целевая функция: L=c 1 x 1 +c 2 x 2 +c 3 x 3 → max. Система ограничений: a 11 x 1 +a 21 x 2 +a 31 x 3 £¡ 1 . a 12 x 1 +a 22 x 2 +a 32 x 3 £¡ 2 . a 13 x 1 +a 23 x 2 +a 33 x 3 £¡ 3 . a 14 x 1 +a 24 x 2 +a 34 x 3 £¡ 4 . Задача о загрузки оборудования. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Ткацкая фабрика располагает двумя видами станков, из них N1 станков типа 1 и N2 станков типа 2. Станки могут производить три вида тканей: T1, T2, T3, но с разной производительностью. Данные a ij производительности станков в таблице (первый индекс – тип станка, второй – вид ткани). Каждый метр ткани вида T1 приносит фабрике доход c 1 , вида Т2 – доход с 2 , Т3 – доход с 3 .
Фабрике предписан план согласно которому она должна производить в месяц не менее b 1 метров ткани Т1, b 2 метров ткани Т2, b 3 метров ткани Т3; количество метров каждого вида ткани не должно превышать соответственно b 1 , b 2 , b 3 метров. Кроме того, все без исключения станки должны быть загружены. Требуется так распределить загрузку станков производством тканей Т1, Т2, Т3, чтобы суммарный месячный доход был максимален. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ. Введём букву x с двумя индексами (первый – тип станка, второй – вид ткани). Всего будет шесть элементов решения: x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 . Здесь x 11 – количество станков типа 1, занятых изготовлением ткани Т1, x 12 – количество станков типа 1, занятых изготовлением ткани Т2 и т.д. Запишем суммарный доход от производства всех видов тканей. Суммарное количество метров ткани Т1, произведённое всеми станками, будет равно a11 x11 +a21 x21 и принесёт доход c1 (a11 x11 +a21 x21 ). Целеваяфункция: L=c 1 (a 11 x 11 +a 21 x 21 )+c 2 (a 12 x 12 +a 22 x 22 )+c 3 (a 13 x 13 +a 23 x 23 ) → max. Система ограничений: Обеспечим выполнения плана ограничениями по минимальным параметрам: a 11 x 11 +a 21 x 21 ³b 1 , a 12 x 12 +a 22 x 22 ³b 2 , a 13 x 13 +a 23 x 23 ³b 3 , После этого ограничим выполнение плана по максимальным параметрам: a 11 x 11 +a 21 x 21 £b 1 , a 12 x 12 +a 22 x 22 £b 2 , a 13 x 13 +a 23 x 23 £b 3 , Теперь запишем ограничения, связанные с наличием оборудования и его полной загрузкой. Суммарное количество станков типа 1, занятых изготовлением всех тканей, должно быть равно N1; типа 2 – N2. x 11 +x 12 +x 13 =N1, x 21 +x 22 +x 23 =N2, Задача о снабжении сырьём. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Имеется три промышленных предприятия: П1 , П2 , П3 , требующих снабжения определённым видом сырья. Потребности в сырье каждого предприятия равны соответственно a 1 , a 2 , a 3 единиц. Имеются пять сырьевых баз, расположенных от предприятий на каких – то расстояниях и связанных с ними путями сообщения с разными тарифами. Единица сырья, получаемая предприятием Пi c базы Бj , обходится предприятию в с ij рублей (первый индекс – номер предприятия, второй – номер базы).
Возможности снабжения сырьём с каждой базы ограничены её производственной мощностью: базы Б1 , Б2 , Б3 , Б4 , Б5 могут дать не более b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 единиц сырья. Требуется составить такой план снабжения предприятий сырьём (с какой базы, куда и какое количество сырья везти), чтобы потребности предприятий были обеспечены при минимальных расходах на сырьё. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ. Обозначим x ij количества сырья с j – ой базы. Всего план будет состоять из 15 элементов решения: x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x 21 x 22 x 23 x 24 x 25 x31 x 32 x 33 x 34 x 35. Целевая функция: Система ограничений: x 11 +x 12 +x 13 +x 14 +x 15 =a 1 , x 21 +x 22 +x 23 +x 24 +x 25 =a 2 , x 31 +x 32 +x 33 +x 34 +x 35 =a 3 , x 11 +x 21 +x 31 £b 1 , x 12 +x 22 +x 32 £b 2 , x 13 +x 23 +x 33 £b 3 , (4.3.) x 14 +x 24 +x 34 £b 4 , x 15 +x 25 +x 35 £b 5 , |