.
Пусть ¦(x
) , g
(x
),x
ÎR1
–суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f
*
g(x)
будем обозначать свертку
 f
*
g(x)
= dt
Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p]и
cn
( f*g ) = cn
( f )× cn
( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )
где {cn
( f )} -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
cn
=  -i n t
dt
, n = 0, ±1,±2,¼
Пусть ¦ÎL1
(-p,p) . Рассмотрим при 0£r <1 функцию
¦r
( x ) =  n
( f ) r|
n
|
ei n x
, x Î[-p,p] , ( 2 )
где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0£r <1 . Коэффициенты Фурье функции ¦r
(х)равны
cn
( fr
) = cn
× r|
n
|
, n = 0 , ±1,±2,¼, а это согласно (1) значит, что ¦r
( x ) можно представить в виде свертки :
¦r
( x ) =  , ( 3 )
где
 , t Î[-p,p]. ( 4 )
Функция двух переменных Рr
(t) , 0 £r<1 , t Î[-p,p] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .
 
Следовательно,
Pr
( t ) =  , 0£r <1, t Î[-p,p] . ( 5 )
Если ¦Î L1
( -p,p ) -действительная функция , то , учитывая , что
c-n
( f ) = `cn
( f ) , n = 0,±1,±2,¼,из соотношения (2) мы получим :
fr
( x ) = 
= , ( 6 )
где
F ( z ) = c0
( f ) + 2  ( z = reix
) ( 7 )
- аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦ÎL1
( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция
u ( z ) = ¦r
(eix
) , z = reix
, 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой
v (z) = Im F (z) =  . ( 8 )
Утверждение1.
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге |z |<1+e(e>0)функция и ¦ (x) = u (eix
) , xÎ[-p, p] . Тогда
u (z) =  ( z = reix
, | z |<1 ) ( 10 ).
Так как ядро Пуассона Pr
(t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
 = , | z |<1+ e .
Но тогда
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦r
(x
) при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
а)  ;
б)  ;
в) для любого d>0
Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦(х)º1.
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции  ( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство
 ;
если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то
 .
Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
 ( 12 )
Для любой функции  , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим
 .
Следовательно,
  .
Для данного e>0 найдем в = в (e) такое, что  . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку
  .
Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства
 .
Теорема 1 доказана.
Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
Определение1.
Пусть функция  суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции  называется функция
где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.
Определение 2.
Оператор  называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0
 .
Теорема 2 (Фату).
Пусть - комплекснозначная функция из  . Тогда
 для п.в.  .
Доказательство.
Покажем, что для и 
 , ( 13 )
где С - абсолютная константа , а M ( f, x )
- максимальная функция для f (x)
[*]
. Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку
(К -
абсолютная константа).
Пусть  - такое число, что
 .
Тогда для
 
 
 .
Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора  , найдем такую последовательность функций  ,что
 ,
 ( 14 )
 для п.в.  .
Согласно (13) при xÎ (-2p,2p)
Учитывая , что по теореме 1  для каждого xÎ [-p,p] и (14)
Из последней оценки получим
 при n®¥.
Теорема 2 доказана.
Замечание.
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p,p]  , когда точка reit
стремится к eix
по некасательному к окружности  пути.
[*]
Мы считаем , что f (x)
продолжена с сохранением периодичности на отрезок [-2p,2p] (т.е.
f (x) = f (y)
, если x,y
Î [-2p,2p] иx-y=2
p
) и f (x) = 0
, если |x
|>2p.
|