2. Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний
Способы получения уравнений состояния реальных физических объектов ничем не отличаются от способов описания этих объектов с помощью дифференциальных уравнений. Уравнения состояния записываются на основе физических законов, положенных в основу работы объекта.
Рассмотрим электромеханическую систему, состоящую из двигателя постоянного тока с независимым возбуждением, работающего на инерционную нагрузку с вязким трением. Управляющим воздействием для двигателя считаем напряжение на якоре U(t), выходной координатой, угол поворота вала двигателя y(t)=j(t). Уравнение электрической цепи имеет вид
 ,
где  - противо ЭДС,  - угловая скорость вала двигателя,  - единый электромагнитный коэффициент.
Уравнение моментов будет иметь следующий вид
 ,
где  , J - момент инерции нагрузки, приведенный к валу двигателя, f - коэффициент вязкого трения.
Выберем следующие переменные состояния: х1
=i, x2
=w, x3
=j.
Получим
 ,
 .
Запишем эти уравнения относительно переменных  ,  , 
 ,
 ,
 ,
 .
Запишем матричные уравнения
 ,
 ,
где
 ,  ,  .
Рассмотрим структурную схему электромеханической системы с двигателем постоянного тока, работающего на инерционную нагрузку с вязким трением.
Рис. 2.1. Структурная схема электромеханической системы с двигателем постоянного тока
Запишем уравнение состояния для механической системы, представляющей собой груз массой m, подвешенный на пружине и соединенный с гидравлическим демпфером. К грузу приложена сила P(t), выходная переменная перемещения x(t), управляющие воздействия U(t)=P(t). Уравнение движения груза получаем из уравнения равновесия сил
 ,
где  - инерционная сила, f - коэффициент вязкого трения,  - сила сопротивления демпфера,  - сила сопротивления пружины.
Выбираем в качестве переменных состояния x(t) и  - перемещение и скорость перемещения соответственно.
Рис. 2.2. Механическая система, включающая в своем составе пружину, массу и вязкий демпфер
Так как дифференциальное уравнение имеет второй порядок, то и количество переменных состояния будет равно двум. Исходное уравнение движения груза можно записать в виде двух уравнений
где U(t)=P(t) - управляющее воздействие.
Добавим к этим уравнениям следующее уравнение выхода
 .
Эти уравнения представляют собой уравнения состояния приведенной механической системы. Запишем эти уравнения состояния в матричном виде
 ,
 .
Запишем это уравнение в другом виде
,
 ,
где  ,  ,  ,  ,  .
С данным уравнением состояния можно сопоставлять следующую структурную схему, где двойными линиями показаны векторные переменные.
Рис. 2.3. Структурная схема
Пример: Рассмотрим электрическую цепь и получим уравнение состояния RLC цепи
Рис. 2.4. RLC цепь
Динамическое поведение этой электрической системы полностью определяется при t³t0
, если известны начальные значения: i(t0
), ec
(t0
) и входное напряжение e(t) при t³t0
, следовательно, эта система полностью определяется переменными состояния i(t) и ec
(t). При указанных переменных состояния i(t) и ec
(t) имеем следующие уравнения
где  ,  .
Введем следующие обозначения
В соответствии с этими обозначениями получаем
причем  .
Следовательно, для электрической цепи запишем эту систему в векторно-матричном виде
 ,
.
Запишем матричные уравнения
,
,
где  ,  ,  , .
|