Реферат: Определение рационального варианта размещения производственно-хозяйственных предприятий (на примере АБЗ) и выбор оптимального маршрута поездки коммивояжера

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАДИ (ТУ)

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Выполнил: Белоногов М.В.

Группа 4ВЭДС₃

Проверил: Беляков Г.С.

Москва 1999-2000

Раздел 1.

Выбор оптимального маршрута поездки.

Постановка задачи:

Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк (пункт А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А, позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице только один раз и характеризовался минимальными затратами времени на поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г.

Порядок решения задачи:

1. Определить кратчайшие расстояния между различными парами пунктов используя алгоритм поиска кратчайших путей на циклической сети.

А 1 Б

4 В 2

Д 3 Г

Найдем кратчайшие расстояния до пункта А.

Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а расстояние от А до самого себя равным нулю.

Затем пересчитываем величины y_i используя правило:

Если y_j + l_ij < y_i , то величина y_i = y_j + l_ij , в противном случае y_i оставляем без изменений.Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят.

y_A + l_4A =0+9=9 < y₄ =¥Þ y₄ =9

y_A + l_BA =0+13=13 < y_B =¥Þ y_B =13

y_A + l_1A =0+8,32=8,32 < y₁ =¥Þ y₁ =8,32

Теперь рассматриваем пункт i для которого y_i перестала быть равной бесконечности и дуги, которые в него входят.

y₄ + l_B4 =9+7=16 > y_B =13

y₄ + l_{Д 4} =9+8=17 < у_Д =¥Þ y_Д =17

y_В + l_ДВ =13+12=25 > y_Д =17

y_В + l_БВ =13+15=28 < у_Б =¥Þ y_Б =28

y_В + l_1В =13+9=22 > у₁ =8,32

y₁ + l_В1 =8,32+10=18,32 > y_В =13

y₁ + l_Б1 =8,32+8,32=16,64 < у_Б =28 Þ y_Б =16,64

y_Д + l_4Д =8,32+17=25,32 > y₄ =9

y_Д + l_ВД =17+12,32=29,32 > y_В =13

y_Б + l_ВБ =16,64+15,32=31 > y_В =13

y_Б + l_1Б =16,64+8=24,64 > y₁ =8,32

Теперь проверим условие l_ij ³ y_i - y_j для всех дуг сети.

l_4A = у₄ - у_А 9=9-0

l_4Д >у₄ – у_Д 8,32>9-17

l_Д4 = у_Д – у₄ 8=17-9

l_ДВ >у_Д – у_В 12>17-13

l_BA = y_B - y_A 13=13-0

l_BД > y_B – y_Д 12,32>13-17

l_BБ > y_B – y_Б 15,32>13-16,64

l_B4 > y_B – y₄ 7>13-9

l_B1 > y_B – y₁ 10>13-8,32

l_БВ >у_Б - у_В 15>16,64-13

l_Б1 = у_Б – у₁ 8,32=16,64-8,32

l_1А = у₁ – у_А 8,32=8,32-0

l_1В >у₁ – у_В 9>8,32-13

l_1Б >у₁ – у_Б 8>8,32-16,64

Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие:

l_ij = y_i - y_j

Таковыми являются:

l_4A = у₄ - у_А 9=9-0

l_Д4 = у_Д – у₄ 8=17-9

l_BA = y_B - y_A 13=13-0

l_Б1 = у_Б – у₁ 8,32=16,64-8,32

l_1А = у₁ – у_А 8,32=8,32-0

Кратчайшие расстояния до пункта А равны:

Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов.

2. Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д.

3. Математическая модель задачи коммивояжера:

Найти минимальное значение целевой функции z

n+1 n+1

min z = SSl_ij * x_ij

i=1 j=1

при следующих ограничениях:

- из каждого города i нужно уехать только один раз

n+1

Sx_ij = 1 i=1, ......, n+1

j=1

- в каждый город j нужно приехать только один раз:

n+1

Sx_ij = 1 j=1, ......, n+1

i=1

- переменные x_ij могуть принимать одно из двух значений: 0 или 1,

1 - если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j

0 - в противном случае

- решение есть простой цикл

4. Решение задачи:

Б – Г, Д – В, В – А, А – Б, Г – Д

Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок. (2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим. Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент.

В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:

А – Б – Г – Д – В – А

minz = 16+21+16+12+13 = 78

Раздел 2.

Определение рационального варианта размещения производственных предприятий (на примере АБЗ).

Постановка задачи:

В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части, потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:

B1 = 50.000 т

B2 = 60.000 т

B3 = 45.000 т

B4 = 70.000 т

Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.

Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными.

Затраты на приготовление аб, руб

Затраты на транспортировку 1т аб потребителям, С_ij , руб

Математическая модель транспортной задачи:

m n

min z = SSC_ij * x_ij

i=1 j=1

Ограничения:

n

-Sx_ij = a_i i=1, ......, m

j=1

весь продукт a_i имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю.

m

-Sx_ij = b_j j=1, ......, n

i=1

спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен

- x_ij ³ 0 i=1, ...., m; j=1, ...., n

x_ij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю

Транспортная таблица:

Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного потребителя:

В_ф =Sа_i - S b_j = 360 – 225 = 135 тыс.т/год

В верхний правый угол клеток вносится суммарная величина приведенных затрат на приготовление и транспортировку 1т аб, С^p _i + E*K^p _i + C_ij

С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки x_ij .

Проверяем план на вырожденность:

m + n - 1 = 8 = 8 (занятых клеток), следовательноплан является невырожденным.

Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого потенциал столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток приравниваем нулю, в данном случае это потенциал столбца B_ф , остальные потенциалы определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток(U_i + V_j = С^p _i + E*K^p _i + C_ij ).

Проверяем план на оптимальность:

· число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1

· для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться суммарной величине затрат на приготовление и транспортировку 1т аб.

· для каждой свободной клетки должно выполняться неравенство :

U_i + V_j <С^p _i + E*K^p _i + C_ij

Все три условия выполняются, следовательно план является оптимальным с точки зрения транспортной задачи.

Определяем значения коэффициентов интенсивности.

K_i = S x_ij / x_i

S x_ij – cуммарный объем поставок i-го АБЗ реальным потребителям

x_i – мощность i-го АБЗ

Так как ни один K_i не равен нулю или единице, то рассматриваемый вариант размещения АБЗ соответствующей мощности не есть наилучший, поэтому необходимо его улучшить.

Отыскиваем смешанную строку с минимальной величиной K_i и в этой строке мощность АБЗ уменьшаем до следующей возможной величины, в нашем случае это третья строка.

Строим новую транспортную таблицу не забывая, что суммарная мощность АБЗ должна равняться суммарному спросу потребителей. Также необходимо пересчитать величину С^p _i + E*K^p _i + C_ij для клеток третьей строки.

Новый вариант также не является наилучшим, поэтому уменьшаем мощность АБЗ во втором пункте.

Мощность АБЗ	Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год	B1 =50	B2 =60	B3 =45	B4 =70	Bф =45	Ui	Ki
433,3	439,3 < 465,3	450,3	421,3 < 495,3	-18< 0
X1 =90	50	40	-16
452,3 < 489,3	458,3	469,3< 521,3	440,3 < 476,3	1 > 0
X2 =45	45 _	+	3
451,3 < 485,3	457,3 < 530,3	468,3	439,3 < 497,3	0
X3 =45	0 +	_ 45	2
449,3 < 500,3	455,3	466,3	437,3	-2 < 0
X4 =90	15 +	5 _	70	0
Vj	449,3	455,3	466,3	437,3	-2

Для одной свободной клетки не выполняется условие U_i + V_j <С^p _i + E*K^p _i + C_ij поэтому план необходимо улучшить.

Строим цикл для этой клетки. Вершине свободной клетки присваиваем знак “-”, для остальных вершин этот знак чередуется. Перевозка х_п = 5. Перемещаем эту перевозку по циклу, прибавляя ее в клетках со знаком “+” и отнимая в клетках со знаком “-”. После строим новую транспортную таблицу с учетом изменений.

План является оптимальным, теперь подсчитываем коэффициенты интенсивности. Так как не все коэффициенты равны нулю или единице, то уменьшаем мощность завода в 3-м пункте.

План является оптимальным, подсчитываем значения коэффициентов интенсивности. Так как все коэффициенты равны либо 1, либо 0, то данный план является наилучшим.

Рассчитать значение целевой функции для каждого из промежуточных вариантов и построить таблицу.