Глава 3. Функция нескольких переменных

§1. Основные понятия

Пусть имеется n+1 переменная x₁, x₂, ..., x_n, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x₁, x₂, ..., x_n соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x₁, x₂, ..., x_n называется значением функции f в точке (x₁, x₂, ..., x_n), что записывается в виде формулы y = f(x₁,x₂,..., x_n) или y =y(x₁,x₂,..., x_n).

Переменные x₁, x₂, ..., x_n являются аргументами этой функции, а переменная y   функцией от n переменных.

Далее будем говорить лишь о функции двух переменных. Для функций большего числа переменных все факты, о которых будет идти речь, или аналогичны или сохраняются без всякого изменения. Аргументы функции двух переменных будем обозначать как правило x и y, а значение функции  z.

Множество D называется областью определения функции.

Поскольку любую пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат точки M на плоскости, вместо z=f(x,y) можно писать z=f(M).При этом аргументами функции будут координаты x,y точки M.

Числа x,y можно рассматривать как координаты вектора , исходящего из начала координат и с концом в точке M(x,y). Тогда функция двух переменных будет функцией вектора, что записывается в виде формулы z = f(), причем аргументами функции являются координаты вектора .

График функции двух переменных есть множество точек (x,y,f(x,y)), где (x,y)D. График представляет собой некоторую поверхность. Пример такой

поверхности приводится на рисунке 1.

Одним из подходов к исследованию функций двух переменных является изучение поведения функции в точке, то есть определение направлений, в которых функция убывает или возрастает, и определение скорости возрастания или убывания.

Можно использовать другой подход. Пусть имеется функция z = f(x,y) c графиком, представляющим собой некоторую поверхность.

В микроэкономике, в предположении что потребитель приобретает лишь два вида товаров: A и B, вводится понятие общей полезности TU, как функции двух аргументов: Q₁ и Q₂ – количеств потребленных товаров A и B, соответственно:

TU = TU(Q₁,Q₂). (1)

Очевидно, что все линии уровня функции TU(Q₁,Q₂) составляют семейство кривых безразличия (Курс экономической теории. Под общей редакцией проф. Чепурина М.Н. 1995, стр. 125).

Пусть в плоскости XOY заданы две точки: M₀(x₀,y₀) и M₁(x₁,y₁). Расстояние  между этими точками рассчитывается по формуле

. (2)

Пусть    некоторое положительное число. -окрестностью V_ точки M₀(x₀,y₀) называется множество всех точек, координаты x,y которых удовлетворяют неравенствам

.

Очевидно, что -окрестность точки M₀(x₀,y₀) представляет собой круг радиуса  с выколотым центром.

Точка M₀(x₀,y₀) называется точкой минимума функции z = f(x,y), если существует такое положительное число  , что из условия M(x,y)  V_ (x₀,y₀) следует f(x,y) > f(x₀,y₀).

Точка M₀(x₀,y₀) называется точкой максимума функции z = f(x,y), если существует такое положительное число  , что из условия M(x,y)  V_ (x₀,y₀) следует: f(x,y) < f(x₀,y₀).

Точки минимума и максимума называются точками экстремума.

Число A называется пределом функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀):

,

если для произвольного числа  > 0 найдется такое число  > 0, что для всех точек M(x,y) из -окрестности точки M₀(x₀,y₀) выполняется неравенство

|f(x,y) - A|< .

Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке M₀(x₀,y₀), если

.

Два последних определения фактически повторяют определения предела и непрерывности в точке для функции одной переменной.

§2. Частные производные

Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀) называется предел

,

если этот предел существует. Обозначается эта частная производная любым из следующих символов:

;;.

Частная производная по x есть обычная производная от функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция только от переменной x при фиксированном значении переменной y.

Совершенно аналогично можно определить частную производную по y функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀):

=.

Аналогичное заключение можно сделать относительно частной производной по y.

Приведем примеры вычисления частных производных. Как говорилось выше, для вычисления частной производной по x функции z = f(x,y) нужно положить переменную y равной константе, а при нахождении частной производной по y нужно считать константой переменную x.

Примеры. 1. .

2.

Если частные производные функции z = f(x,y) существуют на некотором множестве, а точка, в которой вычисляются частные производные несущественна, то пользуются более короткими обозначениями:

.

Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные производные по x и по y. Они называются вторыми частными производными или частными производными второго порядка и обозначаются z_xx, z_yy, z_xy или . Согласно определению ; . Последняя частная производная второго порядка называется смешанной. Смешанная частная производная второго порядка, вообще говоря, зависит от того, в какой последовательности берутся переменные, по которым вычисляется производная. Так, производная z_xy = (z_x )_y может не быть равной z_yx = (z_y )_x. Однако существует теорема, утверждающая, что если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они не зависят от того, в какой последовательности вычислялись частные производные по x и по y. (Рекомендуем читателю самому убедиться в справедливости этой теоремы для функций, рассмотренных в приведенных выше примерах 1 и 2.)

Отметим очень важное отличие функции двух переменных от функции одной переменной. Из существования первых частных производных в точке не следует непрерывность функции в этой точке. Рассмотрим, например, функцию

.

График этой функции во всех точках, не принадлежащих осям координат OX и OY, представляет собой плоскость, параллельную плоскости XOY, поднятую на 1. Сами эти оси координат также принадлежат графику рассматриваемой функции. Очевидно, что в точке (0,0) функция имеет частные производные по обоим аргументам, обе равные нулю. Очевидно также, что в любой окрестности точки (0,0) можно найти точку M такую, что f(M) = 1, в то время как f(0, 0) = 0. Это означает существование разрыва функции в точке (0,0). (Пример взят из книги О.С.Ивашева-Мусатова “Начала математического анализа”).

§3. Дифференциал функции двух переменных

Рассмотрим функцию z = f(x,y), имеющую в точке Р₀(х₀,у₀) частные производные f_x(х₀,у₀) и f_у(х₀,у₀). Перейдём от точки Р₀ к точке R₀(x₀+x,y₀+у), придавая переменным х и у в точке Р₀ произвольные приращения x и у, соответственно. При этом функция в точке Р₀ получит приращение

f(х₀,у₀) = f(x₀+x,y₀+y) – f(x₀,y₀) = f(R₀) – f(P₀).

Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде

f(х₀,у₀) = f_x(х₀,у₀)x + f_у(х₀,у₀)у + (x;у) x + (x;у)у, (1)

где , то функция называется дифференцируемой в точке Р₀(х₀,у₀). Сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (1) называется дифференциалом функции f(x,y) в точке Р₀ и обозначается df(x₀,y₀):

df(x₀,y₀) = f_x(х₀,у₀)x + f_у(х₀,у₀)у. (2)

Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов. Полагая поочерёдно f(x,y) = х и f(x,y) = у, получим, что дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у равны соответственно x  и у . Таким образом

df = f_x dх + f_у dу.

Раньше говорилось о том, что из существования частных производных в точке не следует непрерывности функции в этой точке. Однако, из справедливости равенства (1) следует

,

а это означает непрерывность функции в точке (х₀,у₀). Следовательно, дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке.

Из сказанного следует, что существование обеих частных производных функции в точке не означает, что функция дифферен­цируема в этой точке. В курсе математического анализа доказывается теорема, что функция дифференцируема в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны в этой точке.

На рисунке 1 график функции z = f(x,y) представляет собой поверхность F. Длина отрезка Р₀Р равна значению функции z в точке P₀,

Параллелограмм PQ₁R₁S₁ лежит в плоскости, которая касается поверхности F в точке Р. Прямоугольник PQ₂R₂S₂ расположен в горизонтальной плоскости. Очевидно: Q₂Q₁ = f_y(x₀,y₀)y и S₂S₁ = f_x(x₀,y₀)x.

Из легко доказываемого равенства

R₂R₁ = S₂S₁ + Q₂Q₁

и формулы (2) следует, что дифференциал функции в точке Р₀ равен R₂R₁.

Так как df(x₀,y₀)  f(x₀,y₀), дифференциал df даёт приближенное значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.

§4. Производная по направлению.

Пусть в плоскости XOY расположена точка M₀(x₀,y₀). Зададим произвольный угол  и рассмотрим множество точек на той же плоскости, координаты которых определяются из формул

x = x₀ + t cos, y = y₀ + t sin. (1)

Здесь t   параметр, который может быть равен любому числу. Из формул (1) следует:

(y - y₀)/(x - x₀) = tg

Это означает, что все точки M(x,y), координаты которых удовлетворяют равенствам (1), лежат на прямой, проходящей через точку M₀(x₀,y₀) и составляющей угол  с осью OX. Каждому значению t соответствует единственная точка M(x,y), лежащая на этой прямой, причем согласно формуле (1) из §1 расстояние между точками M₀(x₀,y₀) и M(x,y) равно t. Можно считать эту прямую числовой осью с положительным направлением, определяемым возрастанием параметра t. Обозначим положительное направление этой оси символом l.

Производной функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀) по направлению l называется число

. (2)

Производной функции по направлению можно дать геометрическую интерпретацию. Если через прямую l, определяемую формулами (1), провести вертикальную плоскость P (на самом деле в трехмерном пространстве уравнения (1) определяют эту самую плоскость), то эта плоскость пересечет поверхность-график функции z = f(x,y) вдоль

В любом курсе математического анализа доказывается, что производная по направлению, определяемая формулой (2), может быть представлена в виде

. (3)

Заметим, что частная производная по x тоже является производной по направлению. Это направление определяется равенствами: cos = 1; sin = 0. Аналогично частная производная по y — это производная по направлению, которое можно задать условиями cos = 0; sin = 1.

Прежде, чем анализировать формулу (3), приведем некоторые понятия и факты из курса векторной алгебры. Пусть в плоскости с системой координат XOY задан направленный отрезок или (что то же самое) вектор, причем точка M₀(x₀,y₀) является его начальной точкой, а M₁(x₁,y₁)   конечной точкой. Определим координату вектора по оси OX как число, равное x₁   x₀, а координату по оси , как число, равное y₁   y₀. Если задать упорядоченную пару любых чисел a и b, то эти числа можно рассматривать как координаты некоторого вектора в плоскости XOY, причем длина этого вектора определена формулой

,

а тангенс угла наклона  вектора к оси OX определяется из формулы tg = b/a (отметим, что зная величину tg , а также знак любого из чисел a и b, мы можем определить угол  с точностью до 2 ).

Представление вектора в виде пары его координат будем записывать в виде или . Такое представление имеет одну характерную особенность: оно не определяет местоположение вектора на плоскости XOY. Чтобы его определить, нужно наряду с координатами вектора задавать, например, координаты его начальной точки или, как её можно назвать, точки приложения вектора.

Если заданы два вектора: и , то скалярным произве­дением этих векторов называется число (  угол между векторами).

В любом курсе векторной алгебры доказывается, что скалярное произведение векторов и равно сумме произведений одноименных координат этих векторов:

 = a₁b₁ + a₂b₂. (4)

Пусть в некоторой области G плоскости XOY задана функция z = f(x,y), имеющая непрерывные частные производные по обоим аргументам. Градиентом или вектором-градиентом функции f(x,y) в точке (x,y)  G называется вектор, который задается формулой

.

Функция f определяет для каждой точки области G вектор-градиент, исходящий из этой точки.

Возвратимся теперь к формуле (3). Ее правую часть мы можем рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них   вектор-градиент функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀):

.

Второй – вектор . Это вектор, имеющий длину 1 и угол наклона к оси , равный .

Теперь можно сделать вывод, что производная функции z = f(x,y) по направлению, определяемому углом  наклона к оси OX, в точке M₀(x₀,y₀) может быть вычислена по формуле

. (5)

Здесь    угол между вектором и вектором , задающим направление, по которому берется производная. Здесь также учтено, что .

Из формулы (5) можно сделать очень важное заключение: производная по направлению от функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀) достигает наибольшего значения, если это направление совпадает с направлением вектора-градиента функции в рассматриваемой точке, так как cos  1, и равенство достигается только если  = 0 (очевидно, что другие решения уравнения cos = 1 нас в данном случае не инте­ресуют). Иначе можно сказать, что вектор-градиент функции в точке направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в этой точке.

Кроме того из формулы (5) следует, что наибольшее значение производной по направлению в точке или наибольшее значение скорости возрастания функции в точке равно длине вектора-градиента функции в этой точке.

Пример. Требуется найти производную функции по направлению, составляющему угол в 60 с осью OX, в точке (1;3).

Найдем частные производные функции: Теперь можно определить градиент функции в точке (1;3): . Принимая во внимание равенство , воспользуемся формулой (4):

.

§5. Экстремум функции двух переменных.

Точка M₀(x₀,y₀) является точкой максимума (минимума) функции z = f(x,y), если найдется такая окрестность точки M₀, что для всех точек M(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство  f(x,y)< f(x₀,y₀) ( f(x,y)> f(x₀,y₀)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Сформулируем необходимое условие экстремума.Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.

Точки экстремума дифференцируемой функции (то есть функции, имеющей непрерывные частные производные во всех точках некоторой области) надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные равны нулю.

Там, где выполняется необходимое условие, экстремума может и не быть (здесь полная аналогия с функцией одной переменной).

Пример:

z = xy; z_x = y; z_y = x; z_x(0,0) = 0; z_y(0,0) = 0.

Обе частные производные в точке (0,0)  обращаются в 0. Однако точка (0,0)  не является точкой экстремума, так как в ней самой z = 0, а в любой её окрестности есть точки, где z(x,y) > 0 (это точки, лежащие внутри первого и третьего координатных углов), и есть точки, где z(x,y) < 0 (это точки, лежащие внутри второго и четвертого координатных углов).

Для ответа на вопрос, является ли точка области определения функции точкой экстремума, нужно использовать достаточное условие экстремума. Ниже приводится его формулировка.

Пусть z_x(x₀,y₀) = 0 и z_y(x₀,y₀) = 0, а вторые частные производные функции z непрерывны в некоторой окрестности точки (x₀,y₀). Введем обозначения: A = z_xx(x₀,y₀); B = z_xy(x₀,y₀); C = z_yy(x₀,y₀); D = AC - B².

Тогда, если D < 0, то в точке (x₀,y₀) экстремума нет.

Если D > 0, то в точке (x₀,y₀) экстремум функции z, причем если A > 0, то минимум, а если A < 0, то максимум.

Если D = 0, то экстремум может быть, а может и не быть. В данном случае требуются дополнительные исследования.

Исследование функции двух переменных на экстремум сводится к следующему: сначала выписываются необходимые условия экстремума:

z_x(x,y) = 0;

z_y(x,y) = 0

которые рассматриваются как система уравнений. Ее решением является некоторое множество точек. В каждой из этих точек вычисляются значения D и проверяется выполнение достаточных условий экстремума.

§6. Метод наименьших квадратов

Пусть проводится n однородных испытаний или экспериментов, и результатом каждого испытания является пара чисел – значений некоторых переменных x и y. Испытание с номером i приводит к числам x_i, y_i. В качестве испытания можно, например, рассматривать выбор определенного предприятия в данной отрасли промышленности, величиной x считать объем производства продукции (например в миллионах рублей), величиной y – объем экспорта этого вида продукции (в миллионах рублей), и обследовать n предприятий отрасли.

Итогом этих испытаний является таблица:

В качестве значений часто рассматриваются моменты времени: t₁, t₂, ..., t_n, взятые через равные промежутки. Тогда таблица

Нас интересует вопрос, как найти приближенную формулу для функции y = f(x), которая “наилучшим образом” описывала бы данные таблицы.

Пусть точки с координатами (x_i,y_i) группируются на плоскости вдоль некоторой прямой. Задача заключается в том, чтобы найти параметры a₀ и a₁ этой прямой:

y = a₀ + a₁x, (1)

причем это нужно сделать так, чтобы она лучше любой другой прямой соответствовала расположению на плоскости экспериментальных точек (x_i, y_i).

Признаком наилучшей прямой считается минимум суммы квадратов отклонений фактических значений y, полученных из таблицы, от вычисленных по формуле (1). Эта сумма квадратов рассчитывается по формуле

S² = (y₁ – (a₀ + a₁x₁))² + (y₂ – (a₀ + a₁x₂))² +...+ (y_n – (a₀ + a₁x_n))² =

.

Обратим внимание на то, что все x_i и y_i — известные из таблицы числа, а S² есть функция двух переменных a₀ и a₁.

S² = S²(a₀,a₁)

Отсюда следует, что точку минимума можно искать, используя лишь необходимые условия экстремума:

, (2)

. (3)

На самом деле для фунуции S² = S²(a₀,a₁) достаточно легко проверить выполнение достаточных условия экстремума, тогда не нужно обращаться к графику функции. Проверку выполнения достаточных условий предоставляем читателю сделать самому.

Уравнения (2) и (3) можно преобразовать:

. (4)

Получилась так называемая система нормальных уравнений относительно неизвестных величин a₀ и a₁.

Формула (1) с параметрами a₀, a₁ определенными из системы (4), называется уравнением регрессии. Прямая линия, описываемая этим уравнением, называется линией регрессии. Для временных рядов обычно вместо слова “регрессия” употребляется слово тренд.

Если экспериментальные точки в плоскости группируются вдоль некоторой кривой линии, то можно подобрать вместо формулы (1) другую подходящую формулу, например, y = a₀ + a₁x + a₂x² или y = a₀ exp(a₁x) с параметрами соответственно a₀, a₁, a₂ и a₀, a₁, подставить ее в выражение и искать минимум получившейся функции S² при помощи частных производных по параметрам.

Упражнения

1. Найти частные производные первого порядка от следующих функций: