Реферат: Теорема Безу

Этьен Безу –

французский математик, член Парижской Академии Наук( с 1758 года ), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.

С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей , развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном ) о том , что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе . Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.

Теорема Безу.

Остаток от деления полинома P n ( x )

на двучлен ( x - a ) равен значению

этого полинома при x = a .

Пусть :

P n ( x ) – данный многочлен степени n ,

двучлен ( x - a ) - его делитель,

Q n -1 ( x ) – частное от деления P n ( x ) на x - a (многочлен степени n-1 ) ,

R – остаток от деления ( R не содержит переменной x как делитель первой степени относительно x ).

Доказательство :

Согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать :

P n (x) = (x-a)Q n-1 (x) + R .

Отсюда при x = a :

P n (a) = (a-a)Q n-1 (a) + R =0*Q n-1 (a)+R=

=0+ R = R .

Значит , R = P n ( a ) , т.е. остаток от деления полинома на ( x - a ) равен значению этого

полинома при x = a , что и требовалось доказать .

Следствия из теоремы .

Следствие 1 :

Остаток от деления полинома P n ( x )

на двучлен ax + b равен значению

этого полинома при x = - b / a ,

т . е . R=P n (-b/a) .

Доказательство :

Согласно правилу деления многочленов :

P n (x)= (ax + b) * Q n-1 (x) + R .

При x= -b/a :

Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. Значит , R = Pn (-b/a) , что и требовалось доказать.

Следствие 2 :

Если число a является корнем

многочлена P ( x ) , то этот

многочлен делится на ( x - a ) без

остатка .

Доказательство :

По теореме Безу остаток от деления многочлена P ( x ) на x - a равен P ( a ) , а по условию a является корнем P ( x ) , а это значит , что P ( a ) = 0 , что и требовалось доказать .

Из данного следствия теоремы Безу видно , что задача решения уравнения P ( x ) = 0 равносильна задаче выделения делителей многочлена P , имеющих первую степень ( линейных делителей ) .

Следствие 3 :

Если многочлен P ( x ) имеет

попарно различные корни

a 1 , a 2 , … , a n , то он делится на

произведение ( x - a 1 ) … ( x - a n )

без остатка .

Доказательство :

Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней . При n =1 утверждение доказано в следствии 2 . Пусть оно уже доказано для случая , когда число корней равно k , это значит , что P(x) делится без остатка на ( x - a 1 )( x - a 2 ) … ( x - a k ) , где

a 1 , a 2 , … , a k - егокорни .

Пусть P ( x ) имеет k +1 попарно различных корней .По предположению индукции a 1 , a 2 , a k , … , a k +1 являются корнями многочлена, а , значит, многочлен делится на произедение ( x - a 1 ) … ( x - a k ) , откуда выходит , что

P(x) = (x-a 1 ) … (x-a k )Q(x).

При этом a k +1 – корень многочлена P ( x ) , т. е. P ( a k +1 ) = 0 .

Значит , подставляя вместо x a k +1 , получаем верное равенство :

P(a k+1 ) = (a k+1 -a 1 ) … (a k+1 -a k )Q(a k+1 ) =

=0 .

Но a k +1 отлично от чисел a 1 , … , a k , и потому ни одно из чисел a k +1 - a 1 , … , a k +1 - a k не равно 0 . Следовательно , нулю равно Q ( a k +1 ) , т. е. a k +1 – корень многочлена Q ( x ) . А из следствия 2 выходит , что Q ( x ) делится на x - a k + 1 без остатка .

Q ( x ) = ( x - a k +1 ) Q 1 ( x ) , и потому

P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) =

=( x - a 1 ) … ( x - a k )( x - a k +1 ) Q 1 ( x ) .

Это и означает , что P ( x ) делится на ( x - a 1 ) … ( x - a k +1 ) без остатка .

Итак, доказано , что теорема верна при k =1 , а из её справедливости при n = k вытекает , что она верна и при n = k +1 . Таким образом, теорема верна при любом числе корней , что и требовалось доказать .

Следствие 4 :

Многочлен степени n имеет не более

n различных корней .

Доказательство :

Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен P n ( x ) степени n имел бы более n корней - n + k (a 1 , a 2 , … , a n + k - его корни ) , тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он

бы делился на произведение ( x - a 1 ) … ( x - a n + k ) , имеющее степень n + k , что невозможно .

Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен степени n не может иметь более , чем n корней , что и требовалось доказать .

Следствие 5 :

Для любого многочлена P ( x )

и числа a разность

( P ( x )- P ( a )) делится без

остатка на двучлен ( x - a ) .

Доказательство :

Пусть P ( x ) – данный многочлен степени n , a - любое число .

Многочлен P n ( x ) можно представить в виде : P n ( x )=( x - a ) Q n -1 ( x )+ R ,

где Q n -1 ( x ) – многочлен , частное при делении P n ( x ) на ( x - a ) ,

R – остаток от деления P n ( x ) на ( x - a ) .

Причём по теореме Безу :

R = P n (a) , т.е.

P n (x)=(x-a)Q n-1 (x)+P n (a) .

Отсюда

Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) ,

а это и означает делимость без остатка ( P n ( x ) – P n ( a ) )

на ( x - a ) , что и требовалось доказать .

Следствие 6 :

Число a является корнем

многочлена P ( x ) степени

не ниже первой тогда и

только тогда , когда

P ( x ) делится на ( x - a )

без остатка .

Доказательство :

Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия .

1. Необходимость .

Пусть a – корень многочлена P ( x ) , тогда по следствию 2 P ( x ) делится на ( x - a ) без остатка .

Таким образом делимость P ( x ) на ( x - a ) является необходимым условием для того , чтобы a являлось корнем P ( x ) , т.к. является следствием из этого .

2. Достаточность .

Пусть многочлен P ( x ) делится без остатка на ( x - a ) ,

тогда R = 0 , где R – остаток от деления P ( x ) на ( x - a ) , но по теореме Безу R = P ( a ) , откуда выходит , что P ( a ) = 0 , а это означает , что a является корнем P ( x ) .

Таким образом делимость P ( x ) на ( x - a ) является и достаточным условием для того , чтобы a являлось корнем P ( x ) .

Делимость P ( x ) на ( x - a ) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем P ( x ) , что и требовалось доказать .

Следствие 7(авторское) :

Многочлен , не имеющийй действи-

тельных корней , в разложении

на множители линейных множителей

не содержит .

Доказательство :

Воспользуемся методом от противного: предполо-жим , что не имеющий корней многочлен P ( x ) при разложении на множители содержит линейный множитель ( x – a ) :

P(x) = (x – a)Q(x) ,

тогда бы он делился на ( x – a ) , но по следствию 6 a являлось бы корнем P ( x ) , а по условию он корней не содержит . Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен ,

не имеющий действительных корней , в разложении на множители линейных множителей не содержит , что и требовалось доказать .

На основании теоремы Безу и следствия 5 можно доказать следующие утверждения:

1. Разность одинаковых натуральных степеней на разность их оснований делится без остатка :

ПустьP(x) = xⁿ , P(a) = aⁿ ,

тогда xⁿ – aⁿ – разность одинаковых натуральных степеней .

По следствию 5

P(x) - P(a) = xⁿ – aⁿ = (x – a)Q(x) ,

а это значит , что

(xⁿ –aⁿ )/(x–a)=Q(x) , т.е. разность одинаковых натуральных степеней на разность их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .

Итак

(xⁿ – aⁿ )/(x – a) = x^n-1 + ax^n-2 + a² x^n-3 + … +a^n-2 x + a^n-1 .

2. Разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка .

ПустьP(x) = x^2k , тогда P(a) = a^2k .

Разность одинаковых чётных степеней x ^{2 k} - a ^{2 k} равна P ( x ) – P ( a ) .

P(a) = a^2k = (-a)^2k = P(-a) , т . е . x^2k - a^2k = P(x) – P(-a).

По следствию 5

P(x) - P(-a) = (x –(- a))Q(x)=

= (x + a)Q(x)

а это значит , что

x^2k – a^2k = (x + a)Q(x) или

(x^2k – a^2k )/(x + a) = Q(x) ,

т.е. разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .

Итак ,

(x^2k – a^2k )/(x + a) = x^2k-1 – ax^2k-2 + … +a^2k-2 x + a^2k-1 .

3. Разность одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится .

Пусть P ( x ) = x ^{2 k +1} - a ^{2 k +1} – разность одинаковых нечётных степеней .

По теореме Безу при делении x^{2 k +1} - a^{2 k +1} на x + a = x – (- a ) остаток равен

R = P(-a) = (-a)^2k+1 – a^2k+1 = -2a^2k+1

Т. к. остаток при делении не равен 0 , то разность одинаковыхнечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится , что и требовалось доказать .

4. Сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка .

Пусть P ( x ) = x ^2л+1 , P (- a ) = (- a )^2л+1 = -а^2л+1 ,

тогда P ( x ) – P (- a ) = x ^{2 k +1} + a ^{2 k +1} – сумма одинаковых нечётных натуральных степеней .

По следствию 5

P(x) - P(-a) = x^2k+1 + a^2k+1 = (x –(- a))Q(x)=

= (x + a)Q(x),

а это значит , что

(x^2k+1 + a^2k+1 )/(x + a) = Q(x) ,

т.е. сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .

Итак ,

(x^2k+1 + a^2k+1 )/(x + a) = x^2k - ax^2k-1 + … - a^2k-1 x + a^2k .

5. Сумма одинаковых чётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится .

Пусть P ( x ) = x ^{2 k} + a ^{2 k} – сумма одинаковых чётных степеней .

По теореме Безу при делении x ^{2 k} + a ^{2 k} на x + a = x – (- a ) остаток равен

R = P(-a) = (-a)^2k + a^2k = 2a^2k .

Т. к. остаток при делении не равен 0 , тосумма одинаковых чётных натуральных степеней на сумму

их оснований не делится, что и требовалось доказать.

Остановимся на рассмотрении некоторых случаев применения теоремы Безу к решению практических задач .

Пример 1.

Найти остаток от деления многочлена

x ³ – 3 x ² + 6 x – 5

на двучлен x – 2 .

По теореме Безу

R = P₃ (2) = 2³ – 3*2² + 6*2 – 5 = 3 .

Ответ: R = 3 .

Пример 2.

Найти остаток от деления многочлена

32 x ⁴ – 64 x ³ + 8 x ² + 36 x + 4

на двучлен 2 x – 1 .

Согласно следствию 1 из теоремы Безу

R=P₄ (1/2)=32*1/2⁴ –64*1/2³ + 8*1/2² +36*1/2+4=

= 2 – 8 + 2 + 18 + 4 =18 .

Ответ: R = 18 .

Пример 3.

При каком значении a многочлен

x⁴ + ax³ + 3x² – 4x – 4

делится без остатка на двучлен x – 2 ?

По теореме Безу

R = P ₄ (2) = 16 + 8 a + 12 – 8 – 4 = 8 a +16.

Но по условию R = 0 , значит

8a + 16 = 0 ,

отсюда

a = -2 .

Ответ: a = -2 .

Пример 4.

При каких значениях a и b многочлен

ax³ + bx² – 73x + 102

делится на трёхчлен

x ² – 5 x + 6 без остатка ?

Разложим делитель на множители :

x² – 5 x + 6 = ( x – 2)( x – 3) .

Поскольку двучлены x – 2 и x – 3 взаимно просты , то данный многочлен делится на x – 2 и на x – 3 , а это значит , что

по теореме Безу

R₁ = P₃ (2) = 8a + 4b – 146 + 102 =

= 8a + 4b – 44 = 0

R₂ = P₃ (3) = 27a+9b – 219 + 102 =

= 27a +9b -117 =0

Решим систему уравнений :

8a + 4b – 44 = 0

27a + 9b – 117 = 0

2a + b = 11

3a + b = 13

Отсюда получаем :

a = 2 , b = 7 .

Ответ: a = 2 , b = 7 .

Пример 5.

При каких значениях a и b многочлен

x⁴ + ax³ – 9x² + 11x + b

делится без остатка на трёхчлен

x² – 2x + 1 ?

Представим делитель так :

x ² – 2 x + 1 = ( x – 1)²

Данный многочлен делится на x – 1 без остатка ,

если по теореме Безу

R₁ = P₄ (1) = 1 + a – 9 + 11 + b = a + b + 3 = 0.

Найдём частное от деления этого многочлена на x – 1 :

_ x⁴ + ax³ –9x² + 11x–a –3 x – 1

x⁴ – x³ x³ +(a+1)x² +(a–8)x+(a+3)

_(a + 1)x³ – 9x²

(a + 1)x³ – (a + 1)x²

_(a – 8)x² + 11x

(a – 8)x2 – (a –8)x

_(a + 3)x – a – 3

(a + 3)x – a – 3

0

Частное

x³ +(a+1)x² +(a–8)x+(a+3)

делится на ( x – 1) без остатка , откуда

R₂ = P₃ (1) = 1 + (a + 1)*1 +(a – 8)*1 + a+3 =

=3a – 3 = 0 .

a + b + 3 = 0

3a – 3 = 0

a + b =-3

a = 1

Из системы : a = 1 , b = -4

Ответ: a = 1 , b = -4 .

Пример 6.

Разложить на множители многочлен P ( x ) = x ⁴ + 4 x ² – 5 .

Среди делителей свободного члена число 1 является корнем данного многочлена P ( x ) , а это значит , что по следствию 2 из теоремы Безу P ( x ) делится на ( x – 1) без остатка :

_ x ⁴ + 4 x ² – 5 x – 1

x ⁴ – x ³ x ³ + x ² + 5x + 5

_ x ³ + 4 x ² – 5

x ³ – x ²

_5 x ² – 5

5 x ² – 5 x

_5 x – 5

5 x – 5

0

P ( x )/( x – 1) = x ³ + x ² + 5 x + 5 , значит

P(x) = (x – 1)(x³ + x² + 5x + 5).

Среди делителей свободного члена многочлена x ³ + x ² + 5 x + 5 x = -1 является его корнем , а это значит , что по следствию 2 из теоремы Безу x ³ + x ² + 5 x + 5 делится на ( x + 1) без остатка :

_ x ³ + x ² +5 x + 5 x + 1

x ³ + x ² x ² +5

_5x + 5

5 x + 5

0

( x ³ + x ² +5 x + 5)/( x + 1) = x ² +5 ,

значит

x ³ + x ² +5 x + 5 = ( x +1)( x ² +5) .

Отсюда

P(x) = (x – 1)(x +1)(x² +5) .

По следствию 7 ( x ² + 5) на множители не раскладывается , т.к. действительных корней не имеет , поэтому P ( x ) далее на множители не раскладывается .

Ответ : x ⁴ + 4 x ² – 5 = ( x – 1)( x +1)( x ² +5) .

Пример 7.

Разложить на множители многочлен P ( x ) = x ⁴ + 324 .

P ( x ) корней не имеет , т.к. x ⁴ не может быть равен -324 , значит , по следствию 7 P ( x ) на множители не раскладывается .

Ответ : многочлен на множители не раскладывается .

Пример 8.

Какую кратность имеет корень 2 для многочлена

P(x) = x⁵ - 5x⁴ + 7x³ – 2x² + 4x – 8 .

Определение: Если многочлен P ( x ) делится без остатка на ( x – a ) ^k , но не делится на ( x – a ) ^{k +1} , то говорят , что число a является корнем кратности k для P ( x ).

_x⁵ - 5x⁴ + 7x³ – 2x² + 4x – 8 x – 2

x ⁵ - 2 x ⁴ x ⁴ – 3 x ³ + x ² + 4

_-3 x ⁴ + 7 x ³ – 2 x ² + 4 x – 8

-3x⁴ + 6x³

_x³ – 2x² + 4x – 8

x ³ – 2 x ²

_4x – 8

4x – 8

0

_x⁴ – 3x³ + x² + 4 x – 2

x⁴ – 2x³ x³ – x² – x – 2

_-x³ + x² + 4

-x³ +2x²

_-x² + 4

-x² + 2x

_-2x + 4

-2x + 4

0

_ x³ – x² – x – 2 x – 2

x³ – 2x² x² + x + 1

_x² – x – 2

x² – 2x

_x – 2

x – 2

0

x ² + x + 1 на x – 2 не делится , т.к. R =2² + 2 + 1=

=7 .

Значит , P ( x )/( x – 2)³ = x ² + x + 1 , т.е. корень 2 имеет кратность 3 для многочлена P ( x ) .

Ответ: корень 2 имеет кратность 3 для многочлена P ( x ) .

Пример 9.

Составить кубический многочлен , имеющий корень 4 кратности 2 и корень -2 .

По следствию 3 , если многочлен P ( x ) имеет корень 4 кратности 2 и корень –2 , то он делится без остатка на ( x – 4)² ( x + 2) , значит

P(x)/(x – 4)² (x + 2) = Q(x) ,

т.е. P(x) = (x – 4)² (x + 2)Q(x) =

= (x² – 8x +16)(x + 2)Q(x) =

= (x³ – 8x² + 16x +2x² – 16x + 32)Q(x) =

= (x³ – 6x² + 32)Q(x).

( x ³ – 6 x ² + 32) - кубический многочлен , но по условию P ( x ) – также кубический многочлен, следовательно , Q ( x ) – некоторое действительное число .

Пусть Q ( x ) = 1 , тогда P ( x ) = x ³ – 6 x ² + 32 .

Ответ: x ³ – 6 x ² + 32 .

Пример 10.

Определите a и b так , чтобы -2 было корнем многочлена P( x) = x ⁵ + a x ² + bx + 1 , имеющим по крайней мере кратность два .

Если -2 – корень многочлена P ( x ) кратности два , то по следствию 3 P ( x ) делится на ( x + 2)² без остатка ( R = 0)

( x + 2)² = x ² + 4 x + 4

_x⁵ + a x² + bx + 1 x² + 4x + 4

x⁵ + 4x⁴ + 4x³ x³ – 4x² + 12x – (a + 32)

_-4x⁴ –4x³ –ax² +bx+1

-4x⁴ – 16x³ – 16x²

_12x³ + (16 – a)x² + bx + 1

12x³ +48x² + 48x

_-(a + 32)x² + (b – 48)x + 1

-(a + 32)x² – 4(a + 32)x – 4(a + 32)

(4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129

R = (4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129 =

= (4a +b + 80)x + 4a + 129

НоR = 0 , значит

(4a +b + 80)x + 4a + 129 = 0 прилюбыхx .

Это возможно при условии , что

4a +b + 80 = 0 ,

4a + 129 = 0

Решим систему двух уравнений :

4a +b + 80 = 0 a = -32,25

4a + 129 = 0 b = 49

Ответ: a = -32,25 , b = 49 .

Из рассмотренных примеров видно , что теорема Безу находит применение при решении задач , связанных с делимостью многочленов (нахождение остатка при делении многочленов , определение кратности многочленов и т.д. ) , с разложением многочленов на множители , с определением кратности корней и многих других .

Теорема Безу находит применение при рассмотрении одной из важнейших задач математики – решении уравнений .

Литература.

1. Бородин А.И., Бугай А.С.

Биографический словарь деятелей в области математики.

2. Математическая энциклопедия.

3. Яремчук Ф.П., Рудченко П.А.

Алгебра и элементарные функции.

4. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварц- бурд С.И.

Алгебра и математический анализ.

5. Курош А.Г.

Курс высшей алгебры.