Антон Никифоров
Напомню для начала некоторые факты из теории универсальности Митчелла Фейгенбаума. Будем называть непрерывное отображение отрезка в себя унимодальным, если внутри отрезка имеется точка экстремума  и по обе стороны от неё отображение является строго монотонным (с одной из сторон возрастающим, с другой убывающим). Условимся далее рассматривать только унимодальные отображения вида
 |
(1) |
Если последовательность { } при данном r состоит из n точек, такую последовательность будем называть n-циклом, что  =f( ),  =f( ), …, =f(  ) или  . Заметим, что производная порядка n функции  (n раз вычисленной функции f(x)) в точке x по правилу дифференцирования сложной функции равна  .
Точки цикла, удовлетворяющие соотношению
 |
(2) |
называются неподвижными.
Величина  (так называемый мультипликатор) определяет устойчивость n-цикла и её принято называть устойчивостью (stability, [2], p.121). n-цикл называется устойчивым, если  <1.
n-цикл, содержащий в качестве одной из своих точек, называются сверхустойчивым. Для такого цикла =0.
Как было продемонстрировано в 1978 году М.Фейгенбаумом [4], значения параметра  , при которых число устойчивых периодических точек удваивается и становится равным  , удовлетворяют масштабному соотношению, или как говорят имеют скейлинг:
 |
(3) |
Данное соотношение встречается также и в следующей записи:
 ,n>>1 ([1], стр. 49), |
(3.1) |
Сказку о том, как Фейгенбаум сидел в тени деревьев и вычислял их на своём калькуляторе HP-65 с золотистыми кнопочками вы, наверное, слышали. Это был первый программируемый калькулятор и стоил ни много ни мало аж 400 (четыреста!) долларов. Наивно полагать, что своё удивительное открытие Фейгенбаум сделал, пользуясь исключительно калькулятором: все-таки в то время он работал в Лос-Аламосе, а у военных всегда были и будут самые мощные компьютеры в мире, однако открытие действительно было чудесным - какие бы унимодальные отображения мы не рассматривали, скейлинг для них (т.е. "волшебные" числа  и  ) будет тем же самым.
Алгоритм
Интересно, что точки  также можно использовать для расчета  , этим факт мы и будем использовать в дальнейшем. Обратим внимание, что в точках мультипликатор всегда равен нулю, что автоматически означает устойчивость этих циклов:
| (a) |
Например, для цикла периода два: |
 , где  |
 , таким образом |
 |
(5.1) |
| (б) |
Цикл периода четыре: |
 , где  |
 , таким образом |
 |
(5.2) |
Для произвольных же -циклов справедливо выражение:
 |
(6) |
Уравнение (5.3) легко решается относительно параметра  , например, с помощью метода последовательных итераций Ньютона:
 |
(6.1) |
Здесь i - номер итерации. Таким образом, весь процесс вычисления, скажем, константы сводится к нахождению таких значений параметра R, при которых бифуркационная диаграмма пересекает линию  . Для этого необходимо решить уравнение (6), проитерировав его раз.
НА ВХОД ПОДАЕМ:
Начинаем итерировать функцию f cо следующего значения: 
Итерируем производную функции начиная с 
Начальные приближения двух значений параметра R:  , 
Разумное начальное приближение для постоянной : 
НА ВЫХОДЕ ПОЛУЧАЕМ:
А весь процесс может быть описан следующими выражениями:
 , n=2,3,4,…
, i=0,1,2,…
Рассмотрим на примерах как выглядят непосредственные вычислительные формулы.
ПРИМЕР 1: 
При данном значении функция f будет зависеть только от константы r, обозначим эту функцию как  . Тогда предыдущее уравнение можно будет переписать: 
ПРИМЕР 2: 
ПРИМЕР 3: 
Программу расчета константы вы можете найти здесь. Её легко модицифировать для расчета постоянной , что предоставляется проделать читателю. Результат расчета в зависимости от шага i приводится ниже.
| i |
|
| 1 |
6.9032539091... |
| 2 |
4.7443094689... |
| 3 |
4.6744478277... |
| 4 |
4.6707911502... |
| 5 |
4.6694616483... |
| 6 |
4.6692658098... |
| ... |
... |
| 11 |
4.66920173800930... |
Список литературы
[1] Г.Шустер, "Детерминированный хаос. Введение", М:Мир, 1988
[2] K.Briggs "Feigenbaum Scaling in Discrete Dynamical Systems", PhD thesis, 1997
[3] Е.Б.Вул, Я.Г.Синай, К.М.Ханин, "Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм", УМН, т.39, вып.3(237), 1984
[4] М.Фейгенбаум, "Универсальность в поведении нелинейных систем", УФН, т.141, вып.2, октябрь 1983
[5] Н.Н.Калиткин, "Численные методы", М:Наука, 1978
[6] Метод Ньютона
|