Курсовая работа
Выполнил студент 2 курса 1222 группы Труфанов Александр Николаевич
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный университет»
Механико-математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений и теории управления
Самара 2004
Теорема существования и единственности решения уравнения
Пусть дано уравнение
с начальным условием
Пусть в замкнутой области R функции  и  непрерывны). Тогда на некотором отрезке  существует единственное решение, удовлетворяющее начальному условию  .
Последовательные приближения определяются формулами:
  k = 1,2....
Задание №9
Перейти от уравнения
к системе нормального вида и при начальных условиях
 ,  , 
построить два последовательных приближения к решению.
Произведем замену переменных
 ; 
и перейдем к системе нормального вида:
Построим последовательные приближения
Задание №10
Построить три последовательных приближения  к решению задачи
 , 
Построим последовательные приближения
Задание №11
а) Задачу
 , 
свести к интегральному уравнению и построить последовательные приближения 
б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, и доказать их равномерную сходимость.
Сведем данное уравнение к интегральному :
Докажем равномерную сходимость последовательных приближений
С помощью метода последовательных приближений мы можем построить последовательность
непрерывных функций, определенных на некотором отрезке  , который содержит внутри себя точку  . Каждая функция последовательности определяется через предыдущую при помощи равенства
  i = 0, 1, 2 …
Если график функции  проходит в области Г, то функция  определена этим равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция  , нужно, чтобы и график функции проходил в области Г. Этого удается достичь, выбрав отрезок  достаточно коротким. Далее, за счет уменьшения длины отрезка , можно достичь того, чтобы для последовательности выполнялись неравенства:
 , i = 1, 2, …,
где 0 < k < 1. Из этих неравенств вытекает следующее:
 , i = 1, 2, …,
Рассмотрим нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим  , например, на  . На этом промежутке все последовательные приближения являются непрерывными функциями. Очевидно, что т.к. каждое приближение представляет из себя функцию от бесконечно малого более высокого порядка, чем предыдущее приближение, то выполняются и описанные выше неравенства. Из этих неравенств следует:
что и является условием равномерной сходимости последовательных приближений.
С другой стороны, на нашем отрезке выполняется  , что также совершенно очевидно. А так как последовательность  сходится, то последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке.
Список литературы
Л.С. Понтрягин. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961
А.Ф. Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.: Интеграл-Пресс, 1998
О.П. Филатов «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям»,Самара: Издательство «Самарский университет», 1999
А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука. Физматлит, 1998
|