Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургская государственная

инженерно-экономическая академия

Институт Информационных систем в экономике и управлении

Кафедра исследований операций в экономике

Отчет по лаборотной работе

по дисциплине «Статистика»

Выполнила:

Проверила:

Нименья И. Н.

Санкт-Петербург

2000

«Группировки»

Цель работы- определить влияние технических характеристик на цены сотовых телефонов.

Сотовые телефоны рассматриваются по следующим признакам.

1) Размеры, мм

2) Вес, гр.

3)тип аккумулятора

4) мощность аккумулятора (мА*ч),

5)Максимальное время работы в режиме ожидания, часов

6)Максимальное время работы в режиме разговора, часов

7) Максимальное число строк дисплея, ед.

8) Цена, дол.

База данных состоит из 42 сотовых телефонов.

Так как вариации признаков проявляются в сравнительно узвих границах и распределение носит равномерный характер, будем строить группировки с равными интервалами.

Определим число групп:

n= 1+3,322*lg42=6,39

Таким образом разбиваем совокупность на 6 групп.

Структурная группировка по размерам сотовых телефонов

Определим величину интервала по формуле :

=(X_max-X_min)/n,

где X_max - максимальное значение признака,

X_min - минимальное значение признака,

n - число групп.

= (222372- 70500)/6=25312

Из таблицы видно, что в основном преобладают сотовые телефоны, размеры которых лежат в интервале 95813– 121125 мм, на долю которых приходится 28, 571%

Структурная группировка по мощности аккумулятора

= (1800 -380)/6=236,6

Из таблицы видно, что в основном преобладают сотовые телефоны, мощности аккумуляторов которых лежат в интервале 618 – 855 мА*ч, на долю которых приходится 38,095 %.

Структурная группировка по цене сотовых телефонов

= (245 -80)/6=27,5

Из таблицы видно, что в основном преобладают недорогие сотовые телефоны, цены которых лежат в интервале 80 –108 долларов, на долю которых приходится 30,952%.

Структурная группировка по максимальному времени работы в режиме ожидания

= (300 -30)/6=45

Из таблицы видно, что в основном преобладают сотовые телефоны, максимальное время работы в режиме ожидания которых лежит в интервале 76 –121 часов, на долю которых приходится 28,571%.

Структурная группировка по максимальному времени работы в режиме разговора

Из таблицы видно, что в основном преобладают сотовые телефоны, максимальное время работы в режиме разговора которых лежит в интервале 1,5 – 4,5 часов, на долю которых приходится 69,048 %.

Структурная группировка по весу

= (220- 78)/6=23,6

Из таблицы видно, что в основном преобладают сотовые телефоны, вес которых лежит в интервале 128 – 152 грамм, на долю которых приходится 40,476%.

Структурная группировка по типу аккумулятора

Из таблицы видно, что в основном преобладают сотовые телефоны, тип аккумулятора которых NiMH, на долю которых приходится 52,381%.

Структурная группировка по максимальному числу строк дисплея

Из таблицы видно, что в основном преобладают сотовые телефоны, Максимальное число строк дисплея которых 3 и 5, на долю которых приходится по 28,571%.

Аналитическая группировка по максимальному числу строк дисплея

Из таблицы видно, что цена прямо зависит от максимального числа строк дисплея, т.к. с возрастанием кол-ва строк увеличивается цена. Преобладают сотовые телефоны с числом строк 3 и средней ценой 128,00 долларов, а также с числом строк 5 и средней ценой 155,50.

Аналитическая группировка по весу

Из таблицы видно, что между ценой и весом сотового телефона присутствует обратная связь, т.к. чем легче телефон, тем он дороже. Преобладают сотовые телефоны с весом в интервале 128–152 грамм с средней ценой 128,24 долларов.

Аналитическая группировка по размерам

Из таблицы видно, что между ценой и размерами сотового телефона присутствует обратная связь, т.к. чем меньше телефон, тем он дороже. Преобладают сотовые телефоны с размерами в интервале 95813 – 121125 мм и средней ценой 172,33долларов.

«Анализ распределения»

Среднее x_ар= (1*2+2*2+3*12+4*8+5*12+6*3+7*3)/42=4,12 ед.

Средним значением максимального числа строк дисплея для данной совокупности является значение 4,12 .

Мода Мо=3 ед. и Mo=5 ед.

Наиболее распространенное значение числа строк дисплея для данной совокупности равно 3 и 5.

Медиана Ме=4 ед.

50% сотовых телефонов имеет кол-во строк дисплея менее 4, а остальные – более 4.

Размах вариации R=X_max-X_min

где X_max - максимальное значение признака

X_min - минимальное значение признака

R=7-1=6 ед.

Размах вариации показывает, что значение максимального числа строк дисплея варьирует между крайними значениями 7 и 1 ед.

Среднеквадратическое отклонение х=_(X_i-Xср)²/n;

х=_(2*(1-4,12)²+2*(2-4,12)²+12*(3-4,12)²+8*(4-4,12)²+12*(5-4,12)²+3*(6-4,12)²+3*(7-4,12)²)/42=

1,45 ед.

Дисперсия ²х=(X_i-Xср)²/n ²х=(1,45)² =2,105 ед.²

Дисперсия, равная 2,105 ед.², и среднеквадратическое отклонение, равное 1,45 ед. характеризуют меру рассеивания значений показателя относительно среднего арифметического 4,12 ед.

Коэффициент вариации: V= 1,45/4,12*100%=35%

Коэффициент вариации превышает 33 %, но не значительно, поэтому совокупность можно считать относительно однородной.

As= (2*(1-4,12)³+2*(2-4,12)³+12*(3-4,12)³+8*(4-4,12)³+12*(5-4,12)³+3*(6-4,12)³+3*(7-4,12)³)/

(42*3,04)=0,024

Т.к. показатель асимметрии < 0,25, то асимметрия незначительна и As близок к нулю, поэтому распределение можно считать симметричным. Рассчитаем показатель экцесса:

Ex= (2*(1-4,12)⁴+2*(2-4,12)⁴+12*(3-4,12)⁴+8*(4-4,12)⁴+12*(5-4,12)⁴+3*(6-4,12)⁴+3*(7-4,12)⁴)/

(42*4,43)=-0,31

Показатель экцесса< 0, что характеризует распределение как пологое.

Среднее

x=(78+83+87+95*3+98,5+99+103+110+112+117+125*2+128+129*2+130+133+135*3+140*2+141+142+145+146*2+150+151+165+167+170+175+185+186+195*3+210+220)/42=139,06 гр

Средним значением веса для данной совокупности является значение 139,06 гр .

Мода

Мо=Х_о+_Мо((n_mo-n_mo-1)/ ((n_mo-n_mo-1)+ (n_mo-n_mo+1))),

где Хо- нижняя граница модального интервала,

_Мо- величина модального интервала,

n_mo - частота модального интервала,

n_mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному,

n_mo+1 - частота послемодального интервала.

Мо=128 +24*((17-6)/((17-6)+(17-4)))=139 гр

Наиболее распространенное значение веса для данной совокупности равно 139 гр.

Медиана

M_e=x_o+_Me((1/2*N - F_-1)/n_Мe),

где x_о - нижняя граница медианного интервала,

_Me- величина медианного интервала,

N – объем совокупности

F_-1 - Накопленная частота интервала, предшествующего медианному

n_Мe - частота медианного интервала.

Ме=128 +24*((21-14)/17)= 137,88 гр

50% сотовых телефонов имеет вес менее 137,88 гр, а остальные – более 137,88 гр.

Размах вариации R=220-78=142 гр

Размах вариации показывает, что значение веса варьирует между крайними значениями 78 и 220 гр.

Среднеквадратическое отклонение х=((83-139,06)²+(78-139,06)²+(95-139,06)²+(103-139,06)²+(117-139,06)²+(151-139,06)²+2*(95-139,06)²+(87-139,06)²+2*(129-139,06)²+(112-139,06)²

+(110-139,06)²+….(167-139,06)²)/42=35,28 гр

Дисперсия ²х =1245,3 гр²

Дисперсия, равная 1245,3 гр², и среднеквадратическое отклонение, равное 35,28 гр, характеризуют меру рассеивания значений показателя относительно среднего арифметического 139,06.

Коэффициент вариации: V= 35,28/139,06*100%=25,37%

Коэффициент вариации равен 25,37%, что не превышает 33 %, поэтому совокупность считается однородной.

Показатель асимметрии As=((83-139,06)³+(78-139,06)³+(95-139,06)³+(103-139,06)³+(117-139,06)³+(151-139,06)³+2*(95-139,06)³+(87-139,06)³+….(167-139,06)³)/(42*43945,78)=0,37

Т.к. показатель асимметрии As> 0, то имеется правосторонняя асимметрия.

Среднее x= (70500+70800+83460+95172+98064+98400+99450…..+223372)/42=135117,7 мм³

Средним значением размеров для данной совокупности яавляется значение 135117,7 мм³ .

Мо=95813+25312*((12-4)/((12-4)+(12-11)))=118312,6 мм³

Наиболее распространенное значение размеров для данной совокупности равно 118312,6 мм³.

Ме=121126 +25312*(21-16)/11=132631,5 мм³

50% сотовых телефонов имеет размеры менее 132631,5 мм³, а остальные – более 132631,5мм³.

Размах вариации R=222372-70500=151872 мм³

Размах вариации показывает, что значение размеров варьирует между крайними значениями 70500 и 222372 мм³.

Среднеквадратическое отклонение х=((70500-135117,7)²+(70800-135117,7)²+(83460-135117,7)²+(95172-135117,7)²+(98064-135117,7)²+(98400-135117,7)²+(99450-135117,7)²+…..

+(223372-135117,7)²)/42=35161,42 мм³

Дисперсия ²х =1236325701 мм⁶

Дисперсия, равная 1236325701мм⁶, и среднеквадратическое отклонение, равное 35161,42 мм³ характеризуют меру рассеивания значений размеров относительно среднего арифметического 135117,7 мм³ .

Коэффициент вариации: V= 35161,42/135117,7*100%=26%

Коэффициент вариации равен 26%, что не превышает 33 %, поэтому совокупность считается однородной.

As=((70500-135117,7)³+(70800-135117,7)³+(83460-135117,7)³+(95172-135117,7)³+(98064-135117,7)³+(98400-135117,7)³+(99450-135117,7)³+…..+(223372-135117,7)³)/

(42*43470971520782)=0,39

Т.к. Moар и As>0_, то это свидетельствует о правосторонней асимметрии.

«Корреляционный анализ, множественная линейная регрессия»

Система нормальных уравнений имеет вид:

na+bx_i=y_i

ax_i+ bx²_i =y_ix_i

42a+173b=6067

173a+ 801b=27637

y = 29,928x + 21,179

R² = 0,8902

a=21,179

Параметр а показывает усредненное влияние на цену неучтенных факторов.

b=29,928

Параметр b показывает в среднем отклонение цены от 144,45 дол. при отклонении числа строк от 4,12 ед. на 1 ед.

Теоритический коэффициент детерминации R² = 0,8902 показывает, что уравнение y = 29,928x + 21,179 достаточно хорошо описывает эмпирические данные.

Коэффициент эластичности : Эх=b*(x/y)

Эх=29,928*(4,12/144,45)=0,85%

При изменении числа строк дисплея на 1% цена изменится на 0,85%.

Средняя ошибка апроксимации E=1/n*|yi-yi*|/yi

E=(|245-230,675|/245+|205-170,819|/205+|145-140,891|/145+|200-170,819|/200+….+|89-50,1|/89)/42

=0,096

Коэффициент детерминации

² =² _факт/(²_ост +² _факт)

² _факт= 83506,62/42= 1994,044 дол.²

²_ост=292,2 дол.²

² =1994,044 /(1994,044+292,2)=0,87

Коэффициент детерминации 0,87 свидетельствует о том, что 87% общей вариации цен на сотовые телефоны вызвано влиянием числа строк дисплея.

=0,93 Связь между числом строк дисплея и ценой заметная.

Коэффициент корреляции

r=(658-4,12*145,44)/(46,02*1,45)=0,88 Связь между признаками высокая.

Линейный коэффициент корреляции показывает,что отклонение максимального числа строк дисплея от их средней величины 4,12 ед. на величину 1,45 в среднем по совокупности приводит к отклонению цены от 145,44 дол. на величину 0,88 от средне квадратического отклонения 46,02 дол.

Вывод: Е принимает значение близкие к нулю, а R и R² значения близкие к единице.Из этого следует, что данная зависимость (цены от максимального числа строк дисплея ) вполне может быть описана уравнением : y = 29,928x + 21,179

² _факт= 46130,66/42= 1098,35 дол.²

²_ост=1177,5 дол.²

² =1098,35/ (1177,5+1098,35) =0,38

Коэффициент детерминации 0,38 свидетельствует о том, что 38 % общей вариации цен на сотовые телефоны вызвано влиянием их размеров.

Корреляционное отношение показывает тесноту связи между факторным и результативным признаками.

=
0,62 Связь между размерами и ценой заметная.

Коэффициент корреляции

r=(18509521,29-135117,7*145,44)/( 46,01*35161,42)=-0,62 Связь заметная, обратная.

Линейный коэффициент корреляции показывает,что отклонение размеров от их средней величины 135117,7 мм³ на величину 35161,42 мм³ в среднем по совокупности приводит к отклонению цены от 145,44 дол. на величину -0,62 от средне квадратического отклонеия 46,01 дол.

y = -0,0008x +259,83

R² = 0,7789

a=259,83

Параметр а показывает усредненное влияние на цену неучтенных факторов.

b= -0,0008

Коэффициент регрессии b показывают в среднем отклонение цены от 144,45 дол. при отклонении размеров от 135117,7 мм³ на 1 мм³.

Теоритический коэффициент детерминации R² = 0,8119 показывает, что уравнение y = -0,0008x +259,83 достаточно хорошо описывает эмпирические данные.

Средняя ошибка апроксимации:

E=1/n*|yi-yi*|/yi

E=(|205-215,48|)/205+|245-214,99|/245+|200-196,01|/200+|220-180,86|/220+…+|105-122,89|/105)/42

=0,2

y = -0,7743x + 252,12

R² = 0,3525

a=252,12

Параметр а показывает усредненное влияние на цену неучтенных факторов.

b= -0,7743

Параметр b показывает в среднем отклонение цены от 144,45 дол. при отклонении веса от 139,06 гр. на 1 гр.

Теоритический коэффициент детерминации R² = 0,3525 показывает, что уравнение y = -0,7743x + 252,12 недостаточно хорошо описывает эмпирические данные.

Средняя ошибка апроксимации:

E=1/n*|yi-yi*|/yi

E=(|205-209,4|)/205+|245-218,63|/245+|200-188,92|/200+|220-176,56|/220+…+|105-129,07|/105)/42

=0,21

² _факт= 41123,67/42= 979,13 дол.²

²_ост =1818,384 дол.²

² =979,13 /(979,13 +1818,384 )=0, 35

Коэффициент детерминации 0, 35 свидетельствует о том, что 35 % общей вариации цен на сотовые телефоны вызвано влиянием их весов.

=0,59 Связь между весами и ценой заметная.

Коэффициент корреляции

r=(19123,26-139,06*145,44)/( 46,01*35,28)=-0,59 Связь заметная, обратная.

Линейный коэффициент корреляции показывает,что отклонение весов от их средней величины 139,06 гр на величину 35,28гр в среднем по совокупности приводит к отклонению цены от 145,44 дол. на величину -0,59 от средне квадратического отклонеия 46,01 дол.

Из корреляционной матрицы, мы видим, что наибольшее влияние на результативный признак цену оказывают следующие факторные признаки: размеры (x1), вес(x2) и максимальное число строк дисплея (x6).

Рассмотрим три модели многофакторной регрессии (параметры получим с помошью EXCEL):

y1=a₀+a₁x₁+a₂x₂+a₆x₆

y1=91,807-0,00029x₁-0,155x₂+21,236x₆

Рассчитаем стандартизованные коэффициенты регрессии:

i = ai *( _xi/_yi)

1=-0,00029*(35161,42/46,02) =-0,221 – показывает уменьшение цены на 0,221 часть от среднеквадратического отклонения 46,02 при изменении размеров на величину 35161,42 мм³

2=-0,155*(35,28/46,02)=-0,118 – показывает уменьшение цены на 0,118 часть от среднеквадратического отклонения 46,02 при изменении веса на величину 35,28 гр.

6=21,236*(1,45/46,02)=0,669 – показывает увеличение цены на 0,669 часть от среднеквадратического отклонения 46,02 при изменении числа строк на величину 1,45 ед.

y2=a₀+a₁x₁+a₆x₆

y2=91,807-0,00029x₁+21,236x₆

y3=a₀+a₂x₂+a₆x₆

y3=91,807-0,155х₂+21,236x₆

Найдем коэффициенты множественной корреляции для каждого уравнения:

R²=i*r_xiyi

R²₁=0,221*0,623+0,118*0,594+0,669*0,882=0,79

Т.к. между факторными признаками х1 (размеры) и х2 (вес) существует тесная зависимость, то существует проблема мультиколлинеарности. Поэтому будем выбирать только из двух уравнений:

R²₂=0,221*0,623+0,669*0,882=0,72

R²₃=0,118*0,594+0,669*0,882=0,66

Чем ближе коэффициет детерминации к 1, тем связь между признаками сильнее. При сочетании факторов размеры и число строк дисплея коэффициент детерминации наибольший ( R²₂>R²₃ ). R²=0,72 означает, что выбранные факторные признаки в своей совокупности влияют на изменение результативного признака в пределах 72%, а оставшиеся 28% результативного признака остаются неизменными в силу того, что осталось без рассмотрения влияние некоторых других факторных признаков.

Уравнение множественной регрессии будет выглядеть так:

y=91,807-0,00029x₁+21,236x₆

а0=91,807 – свободный коэффициент уранвения регрессии, показывающий усредненное влияние на результативный признак неучтенных факторов.

а1=-0,00029 показывает, что при увеличении размеров на 1 мм³ , значение цены уменьшится на 0,00029 дол.

а2=21,236 - показывает, что при увеличении числа строк на 1 ед. , значение цены увеличится на 21,236 дол.

Число строк дисплея

r_x1x6=-0,58

r_yx1=-0,623

r_yx6=0,882

6=0,669

1=-0,221

r_yx1=1+6*r_x6x1

r_yx6=6+1*r_x6x1

Коэффициенты r_yx1 и r_yx6 определяют полное влияние двух факторных признаков на цену сотового телефона. r_yx1складывается из непосредственного влияния признака-фактора 1 на результативный признак и косвенного влияния через второй признак 6*r_x6x1.

Частичные коэффициенты эластичности:

Эх1=-0,00029*(135117,7/144,45)=-0,27 – показывает , что при увеличении размеров на 1 % цена уменьшится на 0,27 %.

Эх6=21,236*(4,12/144,45)=0,6– показывает, что при увеличении числа строк на 1 % цена увеличится на 0,6 %.

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургская государственная

инженерно-экономическая академия

Институт Информационных систем в экономике и управлении

Кафедра исследований операций в экономике

Отчет по лаборотной работе № 1

по теме «Группировки»

по дисциплине «Статистика»

Выполнила:

Проверила:

Нименья И. Н.

Санкт-Петербург

2000

Цель работы- определить влияние технических характеристик на цены сотовых телефонов.

База данных составлена на основе данных сайта в Интернете по адресу sotovik.ru на 18.12.2000 . Сотовые телефоны рассматриваются по следующим признакам.

1) Размеры, мм

2) Вес, гр.

3)тип аккумулятора

4) мощность аккумулятора (мА*ч),

5)Максимальное время работы в режиме ожидания, часов

6)Максимальное время работы в режиме разговора, часов

7) Максимальное число строк дисплея, ед.

8) Цена, дол.

База данных состоит из 42 сотовых телефонов.

Так как вариации признаков проявляются в сравнительно узвих границах и распределение носит равномерный характер, будем строить группировки с равными интервалами.

Определим число групп:

n= 1+3,322*lg42=6,39

Таким образом разбиваем совокупность на 6 групп.

Структурная группировка по размерам сотовых телефонов

Определим величину интервала по формуле :

=(X_max-X_min)/n,

где X_max - максимальное значение признака,

X_min - минимальное значение признака,

n - число групп.

= (222372- 70500)/6=25312

Из таблицы видно, что в основном преобладают сотовые телефоны, размеры которых лежат в интервале 95813– 121125 мм, на долю которых приходится 28, 571%

Структурная группировка по мощности аккумулятора

= (1800 -380)/6=236,6

Из таблицы видно, что в основном преобладают сотовые телефоны, мощности аккумуляторов которых лежат в интервале 618 – 855 мА*ч, на долю которых приходится 38,095 %.

Структурная группировка по цене сотовых телефонов

= (245 -80)/6=27,5

Из таблицы видно, что в основном преобладают недорогие сотовые телефоны, цены которых лежат в интервале 80 –108 долларов, на долю которых приходится 30,952%.

Структурная группировка по максимальному времени работы в режиме ожидания

= (300 -30)/6=45

Из таблицы видно, что в основном преобладают сотовые телефоны, максимальное время работы в режиме ожидания которых лежит в интервале 76 –121 часов, на долю которых приходится 28,571%.

Структурная группировка по максимальному времени работы в режиме разговора

= 3

Из таблицы видно, что в основном преобладают сотовые телефоны, максимальное время работы в режиме разговора которых лежит в интервале 1,5 – 4,5 часов, на долю которых приходится 69,048 %.

Структурная группировка по весу

= (220- 78)/6=23,6

Из таблицы видно, что в основном преобладают сотовые телефоны, вес которых лежит в интервале 128 – 152 грамм, на долю которых приходится 40,476%.

Структурная группировка по типу аккумулятора

Из таблицы видно, что в основном преобладают сотовые телефоны, тип аккумулятора которых NiMH, на долю которых приходится 52,381%.

Структурная группировка по максимальному числу строк дисплея

Из таблицы видно, что в основном преобладают сотовые телефоны, Максимальное число строк дисплея которых 3 и 5, на долю которых приходится по 28,571%.

Аналитическая группировка по максимальному числу строк дисплея

Из таблицы видно, что цена прямо зависит от максимального числа строк дисплея, т.к. с возрастанием кол-ва строк увеличивается цена. Преобладают сотовые телефоны с числом строк 3 и средней ценой 128,00 долларов, а также с числом строк 5 и средней ценой 155,50.

Аналитическая группировка по весу

Из таблицы видно, что между ценой и весом сотового телефона присутствует обратная связь, т.к. чем легче телефон, тем он дороже. Преобладают сотовые телефоны с весом в интервале 128–152 грамм с средней ценой 128,24 долларов.

Аналитическая группировка по размерам

Из таблицы видно, что между ценой и размерами сотового телефона присутствует обратная связь, т.к. чем меньше телефон, тем он дороже. Преобладают сотовые телефоны с размерами в интервале 95813 – 121125 мм и средней ценой 172,33долларов.

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургская государственная

инженерно-экономическая академия

Институт Информационных систем в экономике и управлении

Кафедра исследований операций в экономике

Отчет по лаборотной работе № 2

по теме «Анализ распределения»

по дисциплине «Статистика»

Выполнила:

Проверила:

Нименья И. Н.

Санкт-Петербург

2000

Среднее x_ар= (1*2+2*2+3*12+4*8+5*12+6*3+7*3)/42=4,12 ед.

Средним значением максимального числа строк дисплея для данной совокупности является значение 4,12 .

Мода Мо=3 ед. и Mo=5 ед.

Наиболее распространенное значение числа строк дисплея для данной совокупности равно 3 и 5.

Медиана Ме=4 ед.

50% сотовых телефонов имеет кол-во строк дисплея менее 4, а остальные – более 4.

Размах вариации R=X_max-X_min

где X_max - максимальное значение признака

X_min - минимальное значение признака

R=7-1=6 ед.

Размах вариации показывает, что значение максимального числа строк дисплея варьирует между крайними значениями 7 и 1 ед.

Среднеквадратическое отклонение х=_(X_i-Xср)²/n;

х=_(2*(1-4,12)²+2*(2-4,12)²+12*(3-4,12)²+8*(4-4,12)²+12*(5-4,12)²+3*(6-4,12)²+3*(7-4,12)²)/42=

1,45 ед.

Дисперсия ²х=(X_i-Xср)²/n ²х=(1,45)² =2,105 ед.²

Дисперсия, равная 2,105 ед.², и среднеквадратическое отклонение, равное 1,45 ед. характеризуют меру рассеивания значений показателя относительно среднего арифметического 4,12 ед.

Коэффициент вариации: V= 1,45/4,12*100%=35%

Коэффициент вариации превышает 33 %, но не значительно, поэтому совокупность можно считать относительно однородной.

As= (2*(1-4,12)³+2*(2-4,12)³+12*(3-4,12)³+8*(4-4,12)³+12*(5-4,12)³+3*(6-4,12)³+3*(7-4,12)³)/

(42*3,04)=0,024

Т.к. показатель асимметрии < 0,25, то асимметрия незначительна и As близок к нулю, поэтому распределение можно считать симметричным. Рассчитаем показатель экцесса:

Ex= (2*(1-4,12)⁴+2*(2-4,12)⁴+12*(3-4,12)⁴+8*(4-4,12)⁴+12*(5-4,12)⁴+3*(6-4,12)⁴+3*(7-4,12)⁴)/

(42*4,43)=-0,31

Показатель экцесса< 0, что характеризует распределение как пологое.

Среднее

x=(78+83+87+95*3+98,5+99+103+110+112+117+125*2+128+129*2+130+133+135*3+140*2+141+142+145+146*2+150+151+165+167+170+175+185+186+195*3+210+220)/42=139,06 гр

Средним значением веса для данной совокупности является значение 139,06 гр .

Мода

Мо=Х_о+_Мо((n_mo-n_mo-1)/ ((n_mo-n_mo-1)+ (n_mo-n_mo+1))),

где Хо- нижняя граница модального интервала,

_Мо- величина модального интервала,

n_mo - частота модального интервала,

n_mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному,

n_mo+1 - частота послемодального интервала.

Мо=128 +24*((17-6)/((17-6)+(17-4)))=139 гр

Наиболее распространенное значение веса для данной совокупности равно 139 гр.

Медиана

M_e=x_o+_Me((1/2*N - F_-1)/n_Мe),

где x_о - нижняя граница медианного интервала,

_Me- величина медианного интервала,

N – объем совокупности

F_-1 - Накопленная частота интервала, предшествующего медианному

n_Мe - частота медианного интервала.

Ме=128 +24*((21-14)/17)= 137,88 гр

50% сотовых телефонов имеет вес менее 137,88 гр, а остальные – более 137,88 гр.

Размах вариации R=220-78=142 гр

Размах вариации показывает, что значение веса варьирует между крайними значениями 78 и 220 гр.

Среднеквадратическое отклонение х=((83-139,06)²+(78-139,06)²+(95-139,06)²+(103-139,06)²+(117-139,06)²+(151-139,06)²+2*(95-139,06)²+(87-139,06)²+2*(129-139,06)²+(112-139,06)²

+(110-139,06)²+….(167-139,06)²)/42=35,28 гр

Дисперсия ²х =1245,3 гр²

Дисперсия, равная 1245,3 гр², и среднеквадратическое отклонение, равное 35,28 гр, характеризуют меру рассеивания значений показателя относительно среднего арифметического 139,06.

Коэффициент вариации: V= 35,28/139,06*100%=25,37%

Коэффициент вариации равен 25,37%, что не превышает 33 %, поэтому совокупность считается однородной.

Показатель асимметрии As=((83-139,06)³+(78-139,06)³+(95-139,06)³+(103-139,06)³+(117-139,06)³+(151-139,06)³+2*(95-139,06)³+(87-139,06)³+….(167-139,06)³)/(42*43945,78)=0,37

Т.к. показатель асимметрии As> 0, то имеется правосторонняя асимметрия.

Среднее x= (70500+70800+83460+95172+98064+98400+99450…..+223372)/42=135117,7 мм³

Средним значением размеров для данной совокупности яавляется значение 135117,7 мм³ .

Мо=95813+25312*((12-4)/((12-4)+(12-11)))=118312,6 мм³

Наиболее распространенное значение размеров для данной совокупности равно 118312,6 мм³.

Ме=121126 +25312*(21-16)/11=132631,5 мм³

50% сотовых телефонов имеет размеры менее 132631,5 мм³, а остальные – более 132631,5мм³.

Размах вариации R=222372-70500=151872 мм³

Размах вариации показывает, что значение размеров варьирует между крайними значениями 70500 и 222372 мм³.

Среднеквадратическое отклонение х=((70500-135117,7)²+(70800-135117,7)²+(83460-135117,7)²+(95172-135117,7)²+(98064-135117,7)²+(98400-135117,7)²+(99450-135117,7)²+…..

+(223372-135117,7)²)/42=35161,42 мм³

Дисперсия ²х =1236325701 мм⁶

Дисперсия, равная 1236325701мм⁶, и среднеквадратическое отклонение, равное 35161,42 мм³ характеризуют меру рассеивания значений размеров относительно среднего арифметического 135117,7 мм³ .

Коэффициент вариации: V= 35161,42/135117,7*100%=26%

Коэффициент вариации равен 26%, что не превышает 33 %, поэтому совокупность считается однородной.

As=((70500-135117,7)³+(70800-135117,7)³+(83460-135117,7)³+(95172-135117,7)³+(98064-135117,7)³+(98400-135117,7)³+(99450-135117,7)³+…..+(223372-135117,7)³)/

(42*43470971520782)=0,39

Т.к. Moар и As>0_, то это свидетельствует о правосторонней асимметрии.

Sheet 1: Лист8

Карман	Частота	Интегральный %
95812	4	9.52%			4	70500
121125	12	38.10%			12	95812
146438	11	64.29%			11	121125
171751	10	88.10%			10	146438
197064	3	95.24%			3	171751
222377	2	100.00%			2	197064
Еще	0	100.00%				222377
	139

Sheet 2: Лист9

Sheet 3: Лист10

Карман	Частота	Интегральный %
102	8	19.05%
127	6	33.33%
152	17	73.81%
177	4	83.33%
202	5	95.24%
226	2	100.00%
Еще	0	100.00%

Sheet 4: Лист1

Sheet 5: Лист2

Sheet 6: Лист3

Sheet 7: Лист4

Максимальное число строк дисплея	Число cотовых телефонов , ед.	Число cотовых телефонов, % к итогу	Накопленная частота, %
1	2	4.762	4.762
2	2	4.762	9.524
3	12	28.571	38.095
4	8	19.048	57.143
5	12	28.571	85.714
6	3	7.143	92.857
7	3	7.143	100.000
Итого	42	100

Sheet 8: Лист5

	Вес, гр.	Число cотовых телефонов , ед.	Число cотовых телефонов, % к итогу	Накопленная частота, %	Середина интервала xi
	78 - 102	8	19.048	19.048	90
	103 - 127	6	14.286	33.333	115
	128 - 152	17	40.476	73.810	140
	153 - 177	4	9.524	83.333	165
	178 - 202	5	11.905	95.238	190
	203 - 226	2	4.762	100.000	215
	Итого	42	100

Sheet 9: Лист6

	Размеры, мм	Число cотовых телефонов , ед.	Число cотовых телефонов, % к итогу	Накопленная частота, %
	70500 - 95812	4	9.524	9.524
	95813 - 121125	12	28.571	38.095
	121126 - 146438	11	26.190	64.286
	146439 - 171751	10	23.810	88.095
	171752 - 197064	3	7.143	95.238
	197065- 222377	2	4.762	100.000
	Итого	42	100.000

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургская государственная

инженерно-экономическая академия

Институт Информационных систем в экономике и управлении

Кафедра исследований операций в экономике

Отчет по лаборотной работе № 3

по теме «Корреляционный анализ, множественная линейная регрессия»

по дисциплине «Статистика»

Выполнила:

Проверила:

Нименья И. Н.

Санкт-Петербург

2000

Система нормальных уравнений имеет вид:

na+bx_i=y_i

ax_i+ bx²_i =y_ix_i

42a+173b=6067

173a+ 801b=27637

y = 29,928x + 21,179

R² = 0,8902

a=21,179

Параметр а показывает усредненное влияние на цену неучтенных факторов.

b=29,928

Параметр b показывает в среднем отклонение цены от 144,45 дол. при отклонении числа строк от 4,12 ед. на 1 ед.

Теоритический коэффициент детерминации R² = 0,8902 показывает, что уравнение y = 29,928x + 21,179 достаточно хорошо описывает эмпирические данные.

Коэффициент эластичности : Эх=b*(x/y)

Эх=29,928*(4,12/144,45)=0,85%

При изменении числа строк дисплея на 1% цена изменится на 0,85%.

Средняя ошибка апроксимации E=1/n*|yi-yi*|/yi

E=(|245-230,675|/245+|205-170,819|/205+|145-140,891|/145+|200-170,819|/200+….+|89-50,1|/89)/42

=0,096

Коэффициент детерминации

² =² _факт/(²_ост +² _факт)

² _факт= 83506,62/42= 1994,044 дол.²

²_ост=292,2 дол.²

² =1994,044 /(1994,044+292,2)=0,87

Коэффициент детерминации 0,87 свидетельствует о том, что 87% общей вариации цен на сотовые телефоны вызвано влиянием числа строк дисплея.

=0,93 Связь между числом строк дисплея и ценой заметная.

Коэффициент корреляции

r=(658-4,12*145,44)/(46,02*1,45)=0,88 Связь между признаками высокая.

Линейный коэффициент корреляции показывает,что отклонение максимального числа строк дисплея от их средней величины 4,12 ед. на величину 1,45 в среднем по совокупности приводит к отклонению цены от 145,44 дол. на величину 0,88 от средне квадратического отклонения 46,02 дол.

Вывод: Е принимает значение близкие к нулю, а R и R² значения близкие к единице.Из этого следует, что данная зависимость (цены от максимального числа строк дисплея ) вполне может быть описана уравнением : y = 29,928x + 21,179

² _факт= 46130,66/42= 1098,35 дол.²

²_ост=1177,5 дол.²

² =1098,35/ (1177,5+1098,35) =0,38

Коэффициент детерминации 0,38 свидетельствует о том, что 38 % общей вариации цен на сотовые телефоны вызвано влиянием их размеров.

Корреляционное отношение показывает тесноту связи между факторным и результативным признаками.

=
0,62 Связь между размерами и ценой заметная.

Коэффициент корреляции

r=(18509521,29-135117,7*145,44)/( 46,01*35161,42)=-0,62 Связь заметная, обратная.

Линейный коэффициент корреляции показывает,что отклонение размеров от их средней величины 135117,7 мм³ на величину 35161,42 мм³ в среднем по совокупности приводит к отклонению цены от 145,44 дол. на величину -0,62 от средне квадратического отклонеия 46,01 дол.

y = -0,0008x +259,83

R² = 0,7789

a=259,83

Параметр а показывает усредненное влияние на цену неучтенных факторов.

b= -0,0008

Коэффициент регрессии b показывают в среднем отклонение цены от 144,45 дол. при отклонении размеров от 135117,7 мм³ на 1 мм³.

Теоритический коэффициент детерминации R² = 0,8119 показывает, что уравнение y = -0,0008x +259,83 достаточно хорошо описывает эмпирические данные.

Средняя ошибка апроксимации:

E=1/n*|yi-yi*|/yi

E=(|205-215,48|)/205+|245-214,99|/245+|200-196,01|/200+|220-180,86|/220+…+|105-122,89|/105)/42

=0,2

y = -0,7743x + 252,12

R² = 0,3525

a=252,12

Параметр а показывает усредненное влияние на цену неучтенных факторов.

b= -0,7743

Параметр b показывает в среднем отклонение цены от 144,45 дол. при отклонении веса от 139,06 гр. на 1 гр.

Теоритический коэффициент детерминации R² = 0,3525 показывает, что уравнение y = -0,7743x + 252,12 недостаточно хорошо описывает эмпирические данные.

Средняя ошибка апроксимации:

E=1/n*|yi-yi*|/yi

E=(|205-209,4|)/205+|245-218,63|/245+|200-188,92|/200+|220-176,56|/220+…+|105-129,07|/105)/42

=0,21

² _факт= 41123,67/42= 979,13 дол.²

²_ост =1818,384 дол.²

² =979,13 /(979,13 +1818,384 )=0, 35

Коэффициент детерминации 0, 35 свидетельствует о том, что 35 % общей вариации цен на сотовые телефоны вызвано влиянием их весов.

=0,59 Связь между весами и ценой заметная.

Коэффициент корреляции

r=(19123,26-139,06*145,44)/( 46,01*35,28)=-0,59 Связь заметная, обратная.

Линейный коэффициент корреляции показывает,что отклонение весов от их средней величины 139,06 гр на величину 35,28гр в среднем по совокупности приводит к отклонению цены от 145,44 дол. на величину -0,59 от средне квадратического отклонеия 46,01 дол.

Из корреляционной матрицы, мы видим, что наибольшее влияние на результативный признак цену оказывают следующие факторные признаки: размеры (x1), вес(x2) и максимальное число строк дисплея (x6).

Рассмотрим три модели многофакторной регрессии (параметры получим с помошью EXCEL):

y1=a₀+a₁x₁+a₂x₂+a₆x₆

y1=91,807-0,00029x₁-0,155x₂+21,236x₆

Рассчитаем стандартизованные коэффициенты регрессии:

i = ai *( _xi/_yi)

1=-0,00029*(35161,42/46,02) =-0,221 – показывает уменьшение цены на 0,221 часть от среднеквадратического отклонения 46,02 при изменении размеров на величину 35161,42 мм³

2=-0,155*(35,28/46,02)=-0,118 – показывает уменьшение цены на 0,118 часть от среднеквадратического отклонения 46,02 при изменении веса на величину 35,28 гр.

6=21,236*(1,45/46,02)=0,669 – показывает увеличение цены на 0,669 часть от среднеквадратического отклонения 46,02 при изменении числа строк на величину 1,45 ед.

y2=a₀+a₁x₁+a₆x₆

y2=91,807-0,00029x₁+21,236x₆

y3=a₀+a₂x₂+a₆x₆

y3=91,807-0,155х₂+21,236x₆

Найдем коэффициенты множественной корреляции для каждого уравнения:

R²=i*r_xiyi

R²₁=0,221*0,623+0,118*0,594+0,669*0,882=0,79

Т.к. между факторными признаками х1 (размеры) и х2 (вес) существует тесная зависимость, то существует проблема мультиколлинеарности. Поэтому будем выбирать только из двух уравнений:

R²₂=0,221*0,623+0,669*0,882=0,72

R²₃=0,118*0,594+0,669*0,882=0,66

Чем ближе коэффициет детерминации к 1, тем связь между признаками сильнее. При сочетании факторов размеры и число строк дисплея коэффициент детерминации наибольший ( R²₂>R²₃ ). R²=0,72 означает, что выбранные факторные признаки в своей совокупности влияют на изменение результативного признака в пределах 72%, а оставшиеся 28% результативного признака остаются неизменными в силу того, что осталось без рассмотрения влияние некоторых других факторных признаков.

Уравнение множественной регрессии будет выглядеть так:

y=91,807-0,00029x₁+21,236x₆

а0=91,807 – свободный коэффициент уранвения регрессии, показывающий усредненное влияние на результативный признак неучтенных факторов.

а1=-0,00029 показывает, что при увеличении размеров на 1 мм³ , значение цены уменьшится на 0,00029 дол.

а2=21,236 - показывает, что при увеличении числа строк на 1 ед. , значение цены увеличится на 21,236 дол.

Число строк дисплея

r_x1x6=-0,58

r_yx1=-0,623

r_yx6=0,882

6=0,669

1=-0,221

r_yx1=1+6*r_x6x1

r_yx6=6+1*r_x6x1

Коэффициенты r_yx1 и r_yx6 определяют полное влияние двух факторных признаков на цену сотового телефона. r_yx1складывается из непосредственного влияния признака-фактора 1 на результативный признак и косвенного влияния через второй признак 6*r_x6x1.

Частичные коэффициенты эластичности:

Эх1=-0,00029*(135117,7/144,45)=-0,27 – показывает , что при увеличении размеров на 1 % цена уменьшится на 0,27 %.

Эх6=21,236*(4,12/144,45)=0,6– показывает, что при увеличении числа строк на 1 % цена увеличится на 0,6 %.

Sheet 1: Лист7

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0.59
R-квадрат	0.35
Нормированный R-квадрат	0.34
Стандартная ошибка	37.94
Наблюдения	42
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	31356.03	31356.03	21.78	0
Остаток	40	57588.37	1439.71
Итого	41	88944.4
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%
Y-пересечение	252.12	23.8	10.59	0	204.02	300.23	204.02	300.23
Вес, гр.	-0.77	0.17	-4.67	0	-1.11	-0.44	-1.11	-0.44
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Цена, дол.	Остатки
1	187.86	17.14	78	245	19110	218.64	0.11
2	191.73	53.27	83	205	17015	209.41	0.02
3	178.57	21.43	87	145	12615	202.32	0.4
4	172.37	47.63	95	200	19000	188.93	0.06
5	161.53	78.47	95	225	21375	188.93	0.16
6	135.21	-5.21	95	180	17100	188.93	0.05
7	178.57	46.43	98.5	100	9850	183.4	0.83
8	178.57	1.43	99	213	21087	182.62	0.14
9	184.76	-39.76	103	220	22660	176.58	0.2
10	152.24	7.76	110	150	16500	166.65	0.11
11	152.24	2.76	112	160	17920	163.95	0.02
12	165.4	-5.4	117	240	28080	157.51	0.34
13	166.95	-16.95	125	170	21250	148.06	0.13
14	175.47	37.53	125	155	19375	148.06	0.04
15	147.6	-67.6	128	135	17280	144.78	0.07
16	149.14	80.86	129	160	20640	143.72	0.1
17	155.34	14.66	129	155	19995	143.72	0.07
18	139.08	10.92	130	120	15600	142.68	0.19
19	139.08	-29.08	133	230	30590	139.65	0.39
20	147.6	-52.6	135	80	10800	137.71	0.72
21	175.86	-75.86	135	95	12825	137.71	0.45
22	155.34	-0.34	135	95	12825	137.71	0.45
23	101.14	38.86	140	100	14000	133.15	0.33
24	101.14	28.86	140	135	18900	133.15	0.01
25	101.14	-1.14	141	170	23970	132.29	0.22
26	124.37	-34.37	142	120	17040	131.45	0.1
27	135.98	-45.98	145	105	15225	129.01	0.23
28	147.6	-52.6	146	150	21900	128.23	0.15
29	153.02	-18.02	146	110	16060	128.23	0.17
30	139.85	-34.85	150	90	13500	125.27	0.39
31	142.95	27.05	151	130	19630	124.57	0.04
32	116.62	-26.62	165	90	14850	116.52	0.29
33	143.72	-43.72	167	130	21710	115.63	0.11
34	151.47	-31.47	170	106	18020	114.42	0.08
35	143.72	-8.72	175	90	15750	112.74	0.25
36	108.11	51.89	185	144	26640	110.59	0.23
37	142.18	-22.18	186	160	29760	110.47	0.31
38	108.88	35.12	195	140	27300	110.09	0.21
39	89.52	10.48	195	130	25350	110.09	0.15
40	120.5	-14.5	195	100	19500	110.09	0.1
41	81.78	7.22	210	100	21000	112.41	0.12
42	122.82	7.18	220	89	19580	116	0.3
					803177		8.88
			-0.68		19123.26		0.21