Реферат: Лекция по ТТМС (моделирование систем)

Глава I Математическое моделирование системных элементов

Выдающийся итальянский физик и астроном, один из основателей точного естес-

твознания, Галилео Галилей (1564 - 1642гг.) говорил, что "Книга природы написана на языке математики". Почти через двести лет родоначальник немецкой классической фи-

лософии Иммануил Кант (1742 - 1804гг.) утверждал, что "Во всякой науке столько ис-

тины, сколько в ней математики". Наконец, ещё через почти сто пятьдесят лет, практи-

чески уже в наше время, немецкий математик и логик Давид Гильберт (1862 - 1943гг.) констатировал: "Математика - основа всего точного естествознания".

Приведенные высказывания великих ученых, без дополнительных комментариев, дают полное представление о роли и значении математики как в научно-теоретической, так и предметно-практической деятельности специалистов.

1.1. Три этапа математизации знаний

Современная методология науки выделяет три этапа математизации знаний: ма-

тематическая обработка эмпирических (экспериментальных) данных, моделирование и относительно полные математические теории.

Первый этап - это математическая, чаще всего именно количественная обработка эмпирических (экспериментальных) данных. Это этап выявления и выделения чисто фе-

номенологических функциональных взаимосвязей (корреляций) между входными сигна-

лами (входами µ §) и выходными реакциями (откликами µ §) на уровне целостного объекта (явления, процесса), которые наблюдают в экспериментах с объектами-оригиналами µ §. Данный этап математизации имеет место во всякой науке и может быть определён как этап первичной обработки её эмпирического материала.

Второй этап математизации знаний определим как модельный. На этом этапе не-которые объекты выделяются (рассматриваются) в качестве основных, базовых (фун-даментальных), а свойства (атрибуты), характеристики и параметры других объектов исследования объясняются и выводятся исходя из значений, определяемых первыми (назовем их оригиналами). Второй этап математизации характеризуется ломкой старых теоретических концепций, многочисленными попытками ввести новые, более глубокие и фундаментальные. Таким образом, на "модельном" этапе математизации, т.е. этапе математического моделирования, осуществляется попытка теоретического воспроизве-дения, "теоретической реконструкции" некоторого интересующего исследователя объек-та-оригинала в форме другого объекта - математической модели.

Третий этап - это этап относительно полной математической теории данного уровня организации материи в данной или рассматриваемой предметной области. Тре-

тий этап предполагает существование логически полной системы понятий и аксиомати-

ки. Математическая теория даёт методологию и язык, пригодные для описания явлений, процессов и систем различного назначения и природы. Она даёт возможность преодоле-

вать узость мышления, порождаемую специализацией.

1.2. Математическое моделирование и модель

Математическое моделирование - это теоретико-экспериментальный метод позна-

вательно-созидательной деятельности, это метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов - матема-

тических моделей.

Под математической моделью принято понимать совокупность соотношений (уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.п.), определяющих характе-

ристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения - реакции

µ §, в зависимости от параметров объекта-оригинала µ §, входных воздей-

ствий µ §, начальных и граничных условий, а также времени.

Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства (атрибуты) объекта-оригинала µ §, которые отражают, определяют и представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования. Следовательно, в зависимости от целей моделирования, при рассмотрении одного и того же объекта-оригинала µ § с различных точек зрения и в различных аспектах, последний может иметь различные математичес-

кие описания и, как следствие, быть представлен различными математическими моделя-

ми.

Принимая во внимание изложенное выше, дадим наиболее общее, но в то же время строгое конструктивное определение математической модели, сформулированное П.Дж.Коэном.

Определение 2. Математическая модель - это формальная система, представляю-

щая собой конечное собрание символов и совершенно строгих правил оперирования этими символами в совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта некоторыми отношениями, символами или константами.

Как следует из приведенного определения, конечное собрание символов (алфавит) и совершенно строгих правил оперирования этими символами ("грамматика" и "синтак-

сис" математических выражений) приводят к формированию абстрактных математичес-

ких объектов (АМО). Только интерпретация делает этот абстрактный объект математи-

ческой моделью.

Таким образом, исходя из принципиально важного значения интерпретации в тех-нологии математического моделирования, рассмотрим ее более подробно.

1.3. Интерпретации в математическом моделировании

Интерпретация (от латинского "interpretatio" - разъяснение, толкование, истолко-

вание) определяется как совокупность значений (смыслов), придаваемых каким-либо об-

разом элементам некоторой системы (теории), например, формулам и отдельным симво-

лам. В математическом аспекте интерпретация - это экстраполяция исходных положе-

ний какой-либо формальной системы на какую-либо содержательную систему, исход-

ные положения которой определяются независимо от формальной системы. Следова-

тельно, можно утверждать, что интерпретация - это установление соответствия между некоторой формальной и содержательной системами. В тех случаях, когда формальная система оказывается применимой (интерпретируемой) к содержательной системе, т.е. ус-

тановлено что между элементами формальной системы и элементами содержательной системы существует взаимно однозначное соответствие, все исходные положения фор-

мальной системы получают подтверждение в содержательной системе. Интерпретация считается полной, если каждому элементу формальной системы соответствует некото-

рый элемент (интерпретант) содержательной системы. Если указанное условие наруша-

ется, имеет место частичная интерпретация.

При математическом моделировании в результате интерпретации задаются значе-

ния элементов математических выражений (символов, операций, формул) и целостных конструкций.

Основываясь на приведенных общих положениях, определим содержание интер-

претации применительно к задаче математического моделирования.

Определение 3. Интерпретация в математическом моделировании - это информа-

ционный процесс преобразования абстрактного математического объекта (АМО) в кон-

кретную математическую модель (ММ) конкретного объекта на основе отображения

непустого информационного множества данных и знаний, определяемого АМО и называе-

мого областью интерпретации, в кообласть - информационное множество данных и зна-

ний, определяемое предметной областью и объектом моделирования и называемое об-

ластью значений интерпретации.

Таким образом, интерпретацию следует рассматривать как один из основопола-

гающих механизмов (инструментов) технологии математического (научного) модели-

рования.

Именно интерпретация, придавая смысл и значения элементам (компонентам) ма-

тематического выражения, делает последнее математической моделью реального объек-

та.

1.4. Виды и уровни интерпретаций

Создание математической модели системного элемента - многоэтапный процесс. Основным фактором, определяющим этапы перехода от АМО к ММ, является интер-

претация. Количество этапов и их содержание зависит от начального (исходного) ин-

формационного содержания интерпретируемого математического объекта - математи-

ческого описания и требуемого конечного информационного содержания математичес-

кого объекта - модели. Полный спектр этапов интерпретации, отражающий переход от АМО - описания к конкретной ММ, включает четыре вида интерпретаций: синтаксичес-

кую (структурную), семантическую(смысловую), качественную(численную) и количес-

твенную. В общем случае, каждый из перечисленных видов интерпретации может иметь многоуровневую реализацию. Рассмотрим более подробно перечисленные виды интер-

претаций.

Cинтаксическая интерпретация

Синтаксическую интерпретацию будем рассматривать как отображение морфоло-

гической (структурной) организации исходного АМО в морфологическую организацию структуру заданного (или требуемого) АМО. Синтаксическая интерпретация может осуществляться как в рамках одного математического языка, так и различных матема-

тических языков.

При синтаксической интерпретации АМО возможны несколько вариантов задач реализации.

Задача 1. Пусть исходный АМО не структурирован, например, задан кортежем элементов. Требуется посредством синтаксической интерпретации сформировать мор-

фологическую структуру математического выражения

µ § (1)

Задача 2. Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую структуру,

которая по тем или иным причинам не удовлетворяет требованиям исследователя (эксперта). Требуется посредством синтаксической интерпретации преобразовать в со-

ответствии с целями и задачами моделирования исходную структуру Stµ §в адекватную требуемую Stµ §,т.е.

µ § (2)

Задача 3. Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую структуру Stµ §, удовлетворяющую общим принципам и требованиям исследователя с точки зрения её синтаксической организации. Требуется посредством синтаксической интерпретации конкретизировать АМО со структурой Stµ §до уровня требований, определяемых целями и задачами моделирования

µ § (3)

Таким образом, синтаксическая интерпретация математических объектов даёт воз-

можность формировать морфологические структуры АМО, осуществлять отображение (транслировать) морфологические структуры АМО с одного математического языка на другой, конкретизировать или абстрагировать морфологические структурные представ-

ления АМО в рамках одного математического языка.

Семантическая интерпретация

Семантическая интерпретация предполагает задание смысла математических вы-

ражений, формул, конструкций, а также отдельных символов и знаков в терминах сфе-

ры, предметной области и объекта моделирования. Семантическая интерпретация даёт возможность сформировать по смысловым признакам однородные группы, виды, клас-

сы и типы объектов моделирования. В зависимости от уровней обобщения и абстраги-

рования или, наоборот, дифференциации или конкретизации, семантическая интерпре-

тация представляется как многоуровневый, многоэтапный процесс.

Таким образом, семантическая интерпретация, задавая смысл абстрактному ма-

тематическому объекту, "переводит" последний в категорию математической модели с объекта-оригинала, в терминах которого и осуществляется такая интерпретация.

Качественная интерпретация

Интерпретация на качественном уровне предполагает существование качествен-

ных параметров и характеристик объекта-оригинала, в терминах (значениях) которых и производится интерпретация. При качественной интерпретации могут использоваться графические и числовые представления, посредством которых, например, интерпретиру-

ется режим функционирования объекта моделирования.

Количественная интерпретация

Количественная интерпретация осуществляется за счет включения в рассмотрение количественных целочисленных и рациональных величин, определяющих значение па-

раметров, характеристик, показателей.

В результате количественной интерпретации появляется возможность из класса, группы или совокупности аналогичных математических объектов выделить один един-

ственный, являющийся конкретной математической моделью конкретного объекта-ори-

гинала.

Таким образом, в результате четырех видов интерпретаций - синтаксической, се-

мантической, качественной и количественной происходит поэтапная трансформация

АМО, например, концептуальной метамодели (КММ) функциональной системы µ § , в конкретную математическую модель (ММ) конкретного объекта моделирования.

Глава II Концептуальное метамоделирование функционирования системного

элемента

2.1. Системный элемент как объект моделирования

Понятие "элемент" является одним из фундаментальных в общей теории систем (ОТС) - системологии. Оно происходит от латинского "Elementarius" и имеет смысл: начальный, простой, простейший, конечный, неделимый, лежащий в основе чего-либо.Впервые понятие "элемент" встречается, по-видимому, у Аристотеля в его работе "Метафизика".

Согласно ОТС, любая система (обозначим ее S), независимо от ее природы и наз-

начения, а также от сознания субъекта (эксперта), существует только в структуриро-ванной форме. Структурированность выступает в качестве всеобщего свойства мате-

рии - ее атрибута. Именно свойство структурированности, а следовательно, и члени-

мости целостной системы S на части µ § приводит к образованию компо-

нент-подсистем µ § и элементов µ §

В целенаправленных действующих системах S любой компонент µ § целого характеризуется как поведением, так и строением. В тех случаях, когда при моделиро-вании рассматривается (исследуется) и поведение (j) и строение (m), компонент µ § определяется как подсистема системы S. Если же рассмотрению подвергается только поведение компонента µ §, то его определяют как элемент µ § где Е - комплект элементов, выступающий носителем системы S. Таким образом, сущность компонента "подсистема" дуальна. Для вышерасположенных компонент µ § подсистема выступает как элемент, а для нижерасположенных - как система.

В системологии понятие "элемент" трактуется двояко - как абсолютная и как от-

носительная категории. Абсолютное понятие элемента определяется физико-химичес-

ким подходом, относительное - системологическим.

Понятие абсолютного элемента µ § связано с определением начального мини-мального компонента системы S, т.е. такой ее части, которая сохраняет основные

свойства исходной целостной системы S. При таком подходе, назовем его молекуляр-

ным, понятие "элемент" включает в себя и фиксирует существенные свойства целост-

ной системы S.

Понятие относительного элемента µ § (µ §) связано с уровнем познания

исходной целостной системы S. При этом элемент µ § рассматривается как системная

категория, зависящая от "взгляда" и "отношения" к нему субъекта (исследователя, эксперта). Такой подход к определению элемента µ § назовем системологическим. При системологическом подходе компонент µ § является элементом µ § (µ §) толь-

ко в рамках данного рассмотрения на выделенном уровне анализа. Для системологи-

ческого подхода понятие элемента, как относительной категории, может быть сформу-

лировано следующим образом.

Определение 1. Элемент - это относительно самостоятельная часть системы,

рассматриваемая на данном уровне анализа как единое целое с интегральным поведени-

ем, направленным на реализацию присущей этому целому функции.

С учетом изложенного выше, рассмотрим элемент с точки зрения целостности.

2.2. Целенаправленность системного элемента

Фундаментальным свойством системного элемента µ § является его целенаправленность и, как следствие, способность функционировать. Под функциони-

рованием принято принято понимать реализацию присущей элементу µ § функции, т.е.

возможность получать некоторые результаты деятельности системного элемента µ §, определяемые его целевым назначением.

Целенаправленно действующий системный элемент µ § должен обладать, по край-

ней мере, тремя основными атрибутами:

- элемент µ § выполняет одну или несколько функций,

- элемент µ § обладает определенной логикой поведения,

- элемент µ § используется в одном или нескольких контекстах.

Функция указывает на то, "что делает элемент µ §".

Логика описывает внутренний алгоритм поведения элемента µ §, т.е. определяет "как элемент µ § реализует свою функцию".

Контекст определяет конкретные условия применения ( приложения ) элемента µ § в тех или иных условиях, в той или иной среде.

Таким образом, принимая во внимание изложенное, можно определить содержа-

тельно что такое модель функционирования системного элемента µ §.

Определение 4. Модель функционирования элемента ( МФЭ ) - это отражение на неко-тором языке совокупности действий, необходимых для достижения целей ( целевой функции ), т.е. результата µ § функционирования элемента µ §. МФЭ не учитывает строение, а также способы и средства реализации элемента. Такая модель устанавли-вает факт "Что делает элемент µ § для достижения результата µ §", определяемого его целевым назначением.

2.3. Целостность системного элемента

Целостность одно из основных свойств (атрибутов) системного элемента. Она от-

ражает завершенную полноту его дискретного строения. Правильно сформированный

системный элемент µ § (µ §) характеризуется явно выраженной обособленностью (границами) и определенной степенью независимости от окружающей его среды. Относительная независимость системного элемента определяется (характеризуется) совокупностью факторов, которые назовем факторами целостности.

Факторы целостности Полная совокупность факторов целостности элемента µ § определяется двумя группами, которые назовем внешние факторы целостности и внут-ренние.

Внешние факторы 1. Низкий уровень связности (число взаимосвязей) элемента µ § с ок-ружающей его средой µ § , т.е. минимальная внешняя связность элемента µ §. Обозначив полную совокупность внешних связей элемента µ § через µ §, рассматриваемый фактор запишем как условие минимизации: µ §® Min.

2. Низкий уровень взаимодействия µ § элемента µ § с окружающей его средой

µ §,т.е. слабое взаимодействие, определяемое минимальной совокупной интенсивностью обмена сигналами µ § ® Min.

Внутренние факторы 1. Высокая степень связности друг с другом частей, из которых состоит элемент µ §, т.е. суммарная внутренняя связность µ § максимальна µ §®Max.

2. Высокая интенсивность µ § взаимодействия частей, из которых состоит элемент µ §. Иными словами, имеет место сильное внутреннее взаимодействие µ §®Max.

Оценка целостности элемента Перечисленные выше факторы могут быть использова-

ны для оценки целостности системного элемента µ §. Такая оценка, в определенной мере, характеризует степень "прочности" элемента по отношению к окружающей его

среде µ §.

Введем понятие "прочность" как показатель внутренней целостности элемента и

определим его через суммарную композицию показателей взаимосвязей µ § и взаимо-

действий µ § всех частей, из которых состоит элемент µ §. Прочность элемента при

этом определяется выражением

µ § (1)

Для обобщенной оценки внешних взаимосвязей µ § и взаимодействий µ § элемента

µ § с окружающей его средой µ § введем показатель "сцепленности" и определим его как композицию показателей µ § и µ §, т.е.

µ § (2)

Полученные показатели прочности (1) и сцепленности (2) используем для оценки

целостности µ § элемента µ §. Такая оценка определяется отношением вида

µ § (3)

т.е. как отношение прочности µ § элемента µ § к его сцепленности µ § со средой µ §.

С учетом (1) и (2) выражение (3) принимает вид

µ § (4)

Уровни целостности элемента Анализ выражений (3) и (4) дает возможность ранжи-ровать элементы µ §по уровням целостности и качественно определить их устойчи-вость по отношению к окружающей среде.

Случай 1. Если значение показателя прочности µ § элемента µ § превосходит зна-

чение показателя сцепленности µ § элемента µ § с его средой µ §, т.е. µ § > µ §, а как

следствие и µ § > 1, то элемент µ § по своим целостным свойствам устойчив. В рассмат-

риваемом случае имеет место супераддитивная целостность.

Случай 2. Пусть значения показателей прочности µ § и сцепленности µ § равны,

т.е. µ § = µ §. В этом случае показатель целостности µ § = 1. Тогда элемент µ § по сво-

им целостным свойствам находится на грани устойчивости. Такой уровень целостности элемента µ § определим как аддитивная целостность.

Случай 3. Наконец, пусть значения показателя прочности µ § элемента µ § ниже значений показателя сцепленности µ § элемента µ § с его средой µ §. В рассматривае-

мом случае условия записываются в виде µ § < µ § и µ § < 1. При этом элемент µ § по сво-

им целостным свойствам не устойчив к интегральному вовлечению (растворению) в окружающей среде µ §. Рассматриваемый уровень целостности элемента µ § определим

как субаддитивная целостность.

Таким образом, введенный показатель µ § может использоваться как критерий

оценки качества целостных свойств элемента µ §, а также для сравнения раэличных элементов µ § (n = 1, 2, ... , N) по критерию целостности.

2.4. Метод концептуального метамоделирования

Концептуальное метамоделирование ( КММ ) основано на использовании индук-

тивно-дедуктивного подхода. Создание КММ осуществляется на основе индуктивного подхода ( от конкретного к абстрактному, от частного к общему ) посредством обобще-

ния, концептуализации и формализации.

Использование КММ предполагает переходы от общего к частному, от абстракт-

ного к конкретному на основе интерпретаций.

КММ функционирования системного элемента µ § предполагает описание динами-

ки поведения на заданном уровне абстракции с точки зрения его взаимодействия с окру-

жающей средой, т.е. внешнего поведения. Математическое описание такого элемента должно отражать последовательность причинно-следственных связей типа "вход - вы-

ход" с заданной временной направленностью из прошлого в будущее. КММ функциони-

рования системного элемента µ § должна учитывать базовые концепции и существенные факторы, к числу которых, в первую очередь, следует отнести следующие.

1. Элемент µ §, как компонент системы µ §, связан и взаимодействует с другими компонентами этой системы.

2. Компоненты µ § системы µ § воздействуют на элемент µ § посредст-

вом входных сигналов, в общем случае, обозначаемых векторным множеством µ §.

3. Элемент µ § может выдавать в окружающую его среду µ § выходные сигна-лы, обозначаемые векторным множеством µ §.

4. Функционирование системного элемента µ § ( µ § ) происходит во време-

ни с заданной временной направленностью от прошлого к будущему: µ § где µ §

5. Процесс функционирования элемента µ § представляется в форме отображения µ § входного векторного множества µ § в выходное - µ §, т.е. по схеме "вход - выход" и представляется записью вида

µ §.

6. Структура и свойства отображения µ § при моделировании на основе метода прямых аналогий определяется внутренними свойствами элемента µ §, во всех остальных случаях - инвариантны и связаны феноменологически.

7. Совокупность существенных внутренних свойств элемента µ §, представ-ляется в модели "срезом" их значений для фиксированного момента времени µ §, при

условии фиксированного "среза" значений входных воздействий µ § и опреде-

ляется как внутреннее состояние µ § элемента µ §.

8. Внутренние свойства элемента µ § характеризуются вектором параметров

µ §, которые назовем функциональными ( j - параметры ).

Концептуальное математическое описание системного элемента µ § ( µ § )

с учетом изложенных выше положений, представим кортежем

µ § . ( 1 )

Такое описание определим как концептуальную метамодель - КММ функционирования системного элемента µ §.

2.5. Стратифицированный анализ и описание КММ системного элемента

Концептуальные метамодели элемента, основанные на записи ( 1 ), могут образо-

вывать некоторые иерархии. Уровни таких иерархий определяются степенью ( этапами ) конкретизации свойств элемента. Ранжирование КММ ( 1 ) по шкале "Абстрактное - Конкретное" на основе метода стратификации, следовательно, приводит к иерархичес-

кой дедуктивной системе концептуальных метамоделей. Такая система может быть ис-

пользована для математического моделирования конкретных элементов как некоторый исходный базовый инвариант, интерпретируемый в конкретную математическую мо-

дель.

В зависимости от степени конкретизации, сформируем дедуктивную систему, вклю-чающую следующие уровни КММ элемента µ §:

КММ элемента µ § на теоретико-системном уровне ( ТСУ );

КММ элемента µ § на уровне непараметрической статики ( УНС );

КММ элемента µ § на уровне параметрической статики ( УПС );

КММ элемента µ § на уровне непараметрической динамики ( УНД );

КММ элемента µ § на уровне параметрической динамики ( УПД ).

Рассмотрим более подробно КММ на каждом из перечисленных уровней.

КММ теоретико-системного уровня

Наиболее общую и абстрактную форму описания функционирования системного

элемента µ § дает концептуальная метамодель теоретико-системного уровня ( ТСУ ). Это описание включает векторное множество входных воздействий на элемент µ §

µ §

и векторное множество выходных реакций ( откликов ) элемента µ §

µ §.

Кроме того, на рассматриваемом уровне абстракции учитывается факт связности век-

торного множества µ § с соответствующим векторным множеством µ § посредством отображения "j". Однако, отображение "j" не указывает каким образом рассматривае-

мые множества связаны.

Таким образом, КММ теоретико-системного уровня задаются тройкой

µ §. ( 2 )

КММ уровня непараметрической статики

Второй уровень представления КММ включает в рассмотрение отображение µ §, определяющее правила преобразования входов µ § в выходы µ §, т.е. что необходимо сделать, чтобы при условии µ § получить µ §, адекватное целевому функционированию элемента µ §. В общем случае µ § - отображение может быть представлено скалярной или векторной функцией, а также функционалом или оператором. Концептуальная метамо-

дель уровня непараметрической статики, следовательно, представляется кортежем вида

µ §. ( 3 )

Раскрытие структуры преобразования вида µ § является основной задачей КММ уровня µ § . Рассмотрим в качестве иллюстрации функциональное описание элемента µ §, представленное скалярной функцией µ §, причем: µ §.

Функционирование элемента µ § ( µ § ) на УНС описывается как отобра-

жение µ §. Это отображение называется функцией, если оно однозначно. Ус-

ловия однозначности определяются следующим образом. Пусть заданы пары значений

сигналов "вход - выход":

µ § ( 4 )

Если из условия ( µ § ), следует, что ( µ § ), то отображе-

ние µ § однозначно. Значение величины µ § в любой из пар µ § называется функ-

цией от данного µ § . Общий вид записи функции µ § позволяет дать формальное

определение функции элемента µ § в скалярной форме представления

µ § ( 5 )

Таким образом, КММ ( 3 ) проинтерпретирована в КММ того же уровня, но в скаляр-

ной форме функционального представления. Отметим, что богатство концептуальных метамоделей µ § функционирования системного элемента µ § ( µ § ) на уровне непараметрической статики определяется многообразием ее интерпретаций на матема-

тическом, логическом или логико-математическом языках описания ( представления )

µ § - отображения.

КММ уровни параметрической статики

Дальнейшая конкретизация КММ функционирования системного элемента µ §

осуществляется за счет включения в рассмотрение функциональных параметров µ §, определяющих статические режимы. Для элемента µ § рассматриваются три группы параметров

µ § ( 6 )

где µ § - совокупность параметров { µ § } входных воздействий µ §

µ § - совокупность параметров { µ § } выходных реакций ( откликов ) µ §

µ § - совокупность параметров { µ § } отображения µ §.

Перечни ( номенклатура ) параметров µ § и их значений определяются для каждого ти-

па конкретной модели µ § . Для µ § - отображения, по аналогии со структурными моде- лями, вводится понятие конфигурации. С учетом параметрического описания и интер-

претаций КММ задается четверкой

µ § ( 7 )

КММ уровня непараметрической динамики

Следующий, четвертый уровень конкретизации КММ функционирования систем-

ного элемента µ § определяется учетом в модели его динамических свойств. Динамика элемента µ § рассматривается в нескольких аспектах. Первый аспект характеризуется реакцией элемента µ § на динамику изменения входных воздействий µ §

при неизменном отображении µ §, т.е. когда µ § - скалярная или векторная функция. Второй аспект определяется реакцией элемента µ § на входные ( статические µ § или ди-

намические µ § ) воздействия при времязависимом отображении µ §, т.е. когда µ § -

функционал или оператор, зависящий от времени µ §.

При изложенных условиях КММ рассматриваемого уровня абстракции представ-

ляется кортежем, включающем следующие четыре компоненты

µ § ( 8 )

Отметим, что на данном уровне представления КММ время µ § указывает на факт

наличия динамических свойств, но не характеризует их конкретно.

КММ уровня параметрической динамики

Последний - пятый уровень дедуктивного представления КММ функционирова-

ния системного элемента µ §, определяемый как уровень параметрической динамики, включает все рассмотренные ранее аспекты модели, представляемые кортежем ( 1 )

µ §.

В КММ рассматриваемого уровня выполняются условия концептуальной полноты представления функциональных свойств элемента µ §. Интерпретация та- кой модели на семантическом, синтаксическом, качественном и количественном уров-

нях дает возможность порождать ( генерировать ) любые конкретные математические модели функционирования системного элемента.

Отметим, что выражения ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 7 ) и ( 8 ) могут быть представлены в форме традиционных аналитических зависимостей вида

µ § ( 9 )

Выводы

Таким образом, концептуальное метамоделирование функционирования систем-

ного элемента µ § на основе дедуктивного подхода приводит к пятиуровневой иерархии моделей, представленной на рис. .

Практическое использование представленных выше КММ для моделирования функций системных элементов µ § осуществляется посредством их ретрансляции в тер-минах выбранного математического языка и последующей интерпретации на четырех перечисленных выше уровнях конкретизации.