Реферат: Теоретическая физика: механика
Название: Теоретическая физика: механика Раздел: Рефераты по физике Тип: реферат | ||||||||||||||||||||||||
План-конспект занятияПо теоретической физике Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61 Филатова Александра Сергеевича Дата проведения занятия: 20.12.2000 Тема: «Канонические преобразования. Функция Гамильтона-Якоби. Разделение переменных»Цели: Развить навык использования канонических преобразований. Закрепить умение осуществлять преобразования Лежандра для перехода к производящей функции от необходимых переменных. Научить использовать метод Гамильтона-Якоби при решении задач с разделением переменных. Сформировать понимание сути и могущественности метода. Воспитывать трудолюбие, прилежность. Тип занятия: практическое. Ход занятияКраткие теоретические сведенияКанонические преобразованияКанонические преобразования переменных – это такие преобразования, при которых сохраняется канонический вид уравнений Гамильтона. Преобразования производят с помощью производящей функции, которая является функцией координат, импульсов и времени. Полный дифференциал производящей функции определяется следующим образом: Выбирая
производящую
функцию от тех
или иных переменных,
получаем
соответствующий
вид канонических
преобразований.
Заметим, что
если частная
производная
будет браться
по "малым"
Функция Гамильтона-ЯкобиПри рассмотрении действия, как функции координат (и времени), следует выражение для импульса: Из представления полной производной действия по времени следует уравнение Гамильтона-Якоби:
Здесь
действие
рассматривается
как функция
координат и
времени:
Путем интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби , находят представление действия в виде полного интеграла, который является функцией s координат, времени, и s+1 постоянных (s – число степеней свободы). Поскольку действие входит в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде производной, то одна из констант содержится в полном интеграле аддитивным образом, т.е. полный интеграл имеет вид:
Константа А не играет существенной роли, поскольку действие входит везде лишь в виде производной. А определяет, что, фактически, лишь s констант меняют действие существенным образом. Эти константы определяются начальными условиями на уравнения движения, которые для любого значения А будут иметь одинаковый вид, как и само уравнение Гамильтона-Якоби. Для того чтобы выяснить связь между полным интегралом уравнения Г.-Я. и интересующими нас уравнениями движения, необходимо произвести каноническое преобразование, выбрав полный интеграл действия в качестве производящей функции. Константы
тоже будут константы, поскольку Выражая
из уравнения
координаты
Решение
задачи на нахождение
зависимости
существенно
упрощается
в случае разделения
переменных.
Такое возможно,
когда какая-то
координата
Итак, нахождение уравнений движения методом Гамильтона-Якоби сводится к следующему:
Примеры решения задач№11.14 []
Как известно,
замена функции
Лагранжа
где
Решение: Перепишем
штрихованную
функцию Лагранжа,
представив
полную производную
функции
Функции Гамильтона, соответствующие штрихованной и не штрихованной функциям Лагранжа, определяются следующим образом:
Распишем
Подставляя формулы и в выражение для штрихованной функции Гамильтона , получим: Взаимно сократив второе слагаемое с последним, учитывая зависимость , получим:
Или Но согласно каноническим преобразованием с производящей функцией Ф: Следовательно,
Полученное соотношение определяет условие на временную часть производящей функции канонического преобразования, соответствующего преобразованию функции Лагранжа . Поскольку вид обобщенных импульсов и координат при преобразовании функции Лагранжа не изменился, координатно-импульсная часть производящей функции должна соответствовать тождественному каноническому преобразованию. Как было показано в задаче №9.32 [] (д/з пред. занятия), производящая функция определяющая тождественное каноническое преобразование с неизменным гамильтонианом, имеет вид: Учитывая условие на временную часть производящей функции, окончательно получим: Полученная производящая функция определяет тождественное каноническое преобразование с заменой функции Гамильтона соответствующей замене функции Лагранжа . З
Решение: Составим функцию Гамильтона системы:
Здесь потенциальная энергия состоит из энергии гармонических колебаний и потенциальной энергии шариков в поле сил земного тяготения. По определению потенциального поля:
Мы имеем дело с одномерным движением, поэтому градиент в формуле заменяется производной по х. В то же время сила, является суммарной силой тяжести. Принимая во внимание принцип суперпозиции гравитационного поля, проинтегрируем последнее уравнение:
Значение
смещения пружины
Подставив выражения и в формулу , получим вид функции Гамильтона, выраженной через импульсы и координаты явно: Переход к новым каноническим переменным производится в случае, когда возможно упростить вид функции Гамильтона, а соответственно и исходящих из нее уравнений движения. В данной ситуации удобно выбрать новые координаты так, чтобы одна описывала движение центра масс системы, а вторая колебания пружины в собственной системе отсчета. Убедимся, что заданная в условии производящая функция отвечает именно такому преобразованию. Новая
координата
Новая
координата
Сложив оба уравнения, получим: Соответственно где – приведенная масса. Запишем функцию Гамильтона в новых переменных: где – суммарная масса системы. Действительно, функция Гамильтона в новых переменных распалась на две части, что соответствует двум парам канонических уравнений. Одна часть описывает колебания шариков в собственной системе отсчета, другая – движение системы как целого в поле сил тяжести. №9.21 [] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. и закон свободного движения материальной точки. Решение: 1. Составим функцию Гамильтона свободной частицы: 2. Запишем уравнение Г.-Я.:
3. Произведем разделение переменных и проинтегрируем по времени.
Используем начальное условие: Тогда подставляя вид функции S в уравнение Г.-Я. , последнее примет вид: Откуда Следовательно, полный интеграл уравнения Г.-Я.: 4. Закон движения определяется из канонического преобразования: Откуда сам закон движения: 5. Импульс свободно движущейся материальной точки определяется следующим образом: Действительно, частица в отсутствии внешнего поля движется с постоянным импульсом. Домашнее задание:№11.2 []
Найти производящую
функцию вида
Решение: №9.38 []
Найти уравнение,
которому
удовлетворяет
производящая
функция
№9.23 [] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. для тела, движущегося по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. №12.1
a) [] Найти траекторию
и закон движения
частицы в поле
Литература:
Студент-практикант: Филатов А.С.
План-конспект занятияПо теоретической физике Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61 Филатова Александра Сергеевича Дата проведения занятия: 06.12.2000 Тема: «Функция Гамильтона. Функция Рауса. Канонические уравнения»Цели: Развить у учащихся навык решения задач на составление и использование функции Гамильтона и функции Рауса. Сформировать понимание взаимосвязи между функцией Гамильтона, Рауса и функцией Лагранжа. Закрепить знание свойств функции Лагранжа. Воспитывать трудолюбие, прилежность. Тип занятия: практическое. Ход занятияКраткие теоретические сведения
Функция Гамильтона:
Функция Рауса:
Канонические
уравнения:
Схема составления функции ГамильтонаКак
следует из
определения
функции Гамильтона
для составления
самой функции
необходимо
знать вид функции
Лагранжа. Однако
при подстановке
функции Лагранжа
в явном виде
в выражение
в правой части
будут присутствовать
переменные
Итак,
при решении
задач на нахождение
функции Гамильтона,
когда вид функции
кин. энергии
Примеры решения задач№10.3 [] Определить функцию Гамильтона ангармонического осциллятора, функция Лагранжа которого: Решение:
Откуда Подставляя полученное выражение в , имеем: № Решение: а) 1. Действуя согласно предлагаемой схеме составления функции Гамильтона, определим функцию Лагранжа системы:
Где
Согласно выбранной системе координат: Учитывая,
что
Или
2. Найдем
зависимость
обобщенной
скорости
3. Следовательно, функция Гамильтона: б) Используя формулы , найдем уравнения движения системы:
В
частности,
представляет
интерес случай,
когда
Откуда:
Первое
уравнение дает
тривиальное
решение
Где
№9.5 [] Найти траекторию одномерного гармонического осциллятора в фазовом пространстве. Решение: Фазовым пространством называется такое 2s-мерное пространство, по осям которого откладываются s импульсов и s координат. (s – число степеней свободы). Изменение состояния системы соответствует непрерывной линии – траектории движения системы в фазовом пространстве. Функция Гамильтона гармонического осциллятора имеет вид: Из
закона сохранения
энергии
Т.е. траекторией является эллипс. №10.4 [] Найти закон движения частицы, функция Гамильтона которой: Решение: Закон движения частицы дают функции: вид которых можно получить исходя из уравнений Гамильтона . Поделив 1-ое уравнение на 2-ое получим: откуда Интегрируя, получим:
Выражая
отсюда
где
Или после интегрирования: Подставляя полученную зависимость в выражение , получим: Задача №1. Математический маятник массы т прикреплен к движущейся вдоль горизонтальной прямой муфте, масса которой М. Определить функцию Рауса системы. Решение: Составим функцию Лагранжа:
Где
Координату х можно представить в виде суммы:
Где х1 – координата муфты (координата лабораторной системы отсчета), а х2 – координата смещения шарика мат. маятника в системе отсчета муфты. Из выражения следует: Имеем: Заметим, что х1 – циклическая переменная. Найдем
обобщенный
импульс
Откуда:
Следовательно, по определению функция Рауса с учетом выражения : Подставляя в последнее выражение зависимость , окончательно получим: Запишем уравнение связи импульса с функцией Рауса: Но
поскольку х1
не входит в
функцию Рауса
явно, то правая
часть записанного
равенства есть
ноль. Т.е. импульс
в процессе
движения остается
постоянным.
Следовательно,
функция Рауса
фактически
зависит только
от 2-х независимых
переменных:
Задача №2.
Определить
функцию Рауса
симметричного
волчка в поле
Решение: Используем известное нам значение функции Лагранжа для симметричного волчка: По определению обобщенных импульсов: Откуда
Следовательно, по определению функция Рауса с учетом выражения : Домашнее задание:Задача№1. Исходя из функции Гамильтона для гармонического осциллятора, получить закон движения гармонического осциллятора. №49.7 [] №10.5
[] Найти уравнения
движения частицы,
функция Гамильтона
которой:
Указание:
получить
Литература:
Студент-практикант: Филатов А.С.
План-конспект занятияПо теоретической физике Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61 Филатова Александра Сергеевича Дата проведения занятия: 27.12.2000 Тема: «Функция Гамильтона-Якоби. Разделение переменных»Цели: Закрепить умение использования метода Гамильтона-Якоби при решении задач с разделением переменных. Сформировать понимание сути и могущественности метода. Воспитывать трудолюбие, прилежность. Тип занятия: практическое. Ход занятияКраткие теоретические сведенияПри рассмотрении действия, как функции координат (и времени), следует выражение для импульса: Из представления полной производной действия по времени следует уравнение Гамильтона-Якоби:
Здесь
действие
рассматривается
как функция
координат и
времени:
Путем интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби , находят представление действия в виде полного интеграла, который является функцией s координат, времени, и s+1 постоянных (s – число степеней свободы). Поскольку действие входит в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде производной, то одна из констант содержится в полном интеграле аддитивным образом, т.е. полный интеграл имеет вид:
Константа А не играет существенной роли, поскольку действие входит везде лишь в виде производной. А определяет, что, фактически, лишь s констант меняют действие существенным образом. Эти константы определяются начальными условиями на уравнения движения, которые для любого значения А будут иметь одинаковый вид, как и само уравнение Гамильтона-Якоби. Для того чтобы выяснить связь между полным интегралом уравнения Г.-Я. и интересующими нас уравнениями движения, необходимо произвести каноническое преобразование, выбрав полный интеграл действия в качестве производящей функции. Константы
тоже будут константы, поскольку Выражая
из уравнения
координаты
Решение
задачи на нахождение
зависимости
существенно
упрощается
в случае разделения
переменных.
Такое возможно,
когда какая-то
координата
Итак, нахождение уравнений движения методом Гамильтона-Якоби сводится к следующему:
Примеры решения задачНа прошлом занятии был продемонстрирован пример нахождения закона движения для свободной точки. Что же будет происходить при помещении точки в поле? №9.22 [] Составить уравнения Г.-Я. для точки, движущейся в однородном гравитационном поле. Найти полный интеграл этого уравнения, а также траекторию и закон движения точки. Решение: 1. Направим ось Oz вверх по вертикали. Тогда функция Гамильтона точки в декартовых координатах примет вид: 2. Соответственно уравнение Г.-Я.:
3. Все
переменные
в этом уравнении
разделяются.
Здесь
Тогда, к примеру, изменение х, повлечет за собой изменение лишь первого слагаемого в квадратных скобках уравнения . Слагаемое может меняться, а все выражение все равно тождественный ноль. Следовательно, это слагаемое есть константа. Выполняя такого рода действия, получим следующий вид полного интеграла уравнения Г.-Я.:
Заметим,
что в выражении
полного интеграла
уже содержится
три константы.
Система имеет
три степени
свободы. Поэтому
эти три константы
уже однозначно
определяют
уравнения
движения. 4-ая
константа может
входить в действие
только аддитивным
образом и не
играет существенной
роли. Соответственно
функция
Интегрирование последнего уравнения приводит к функции: Окончательно полный интеграл: 4. Отсюда на основании теоремы Якоби:
Первые два из этих уравнения показывают, что траекторией частицы является парабола, а третье уравнение представляет собой закон движения. Далее
найдем, что
компоненты
В
частности, при
нулевых значениях
Найдем
также компоненту
№9.24 [] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. для мат. маятника и закон его движения в квадратуре. Решение: 1. Чтобы составить функцию Гамильтона, можно пойти двумя путями.
Но
поскольку длина
стержня мат.
маятника –
величина постоянная,
то
2) Записать функцию Лагранжа, и из нее получить вид функции Гамильтона, который будет совпадать с представлением . Предлагается учащимся убедиться в этом самостоятельно в качестве домашнего задания. 2. Запишем уравнение Г.-Я.:
3. И время t и координата – разделяются. Следовательно, полный интеграл имеет вид: Подставляя
его в уравнение
Г.-Я. получим
вид функции
На основании теоремы Якоби найдем закон движения маятника: или Литература:
Студент-практикант: Филатов А.С.
План-конспект занятияПо теоретической физике Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61 Филатова Александра Сергеевича Дата проведения занятия: 13.12.2000 Тема: «Скобки Пуассона. Канонические преобразования»Цели: Развить навык обращения со скобками Пуассона. Развить навык использования канонических преобразований. Научить осуществлять преобразования Лежандра для перехода к производящей функции от необходимых переменных. Воспитывать трудолюбие, прилежность. Тип занятия: практическое. Ход занятияКраткие теоретические сведения
Скобки
Пуассона: Канонические преобразования переменных – это такие преобразования, при которых сохраняется канонический вид уравнений Гамильтона. Преобразования производят с помощью производящей функции, которая является функцией координат, импульсов и времени. Полный дифференциал производящей функции определяется следующим образом: Выбирая производящую функцию от тех или иных переменных, получаем соответствующий вид канонических преобразований. Примеры решения задач№9.6 [] Показать, что уравнения Гамильтона можно записать в виде: №9.7 []
Показать, что
для функции
№9.10 [] С помощью скобок Пуассона показать, что импульс системы является интегралом движения, если ее гамильтониан инвариантен относительно произвольного параллельного переноса системы в пространстве. Решение: По определению обобщенный импульс есть: Но в силу однородности времени функция Лагранжа явно от времени не зависит, следовательно, и выражение для импульса также не содержит в себе явной зависимости по времени: Тогда следуя формуле :
При параллельном переносе тела в пространстве координаты каждой точки этого тела преобразуются по закону: При этом изменение гамильтониана равно нулю. Но с другой стороны изменение гамильтониана равно: Где
суммирование
идет по всем
частицам системы.
Но поскольку
при параллельном
переносе для
каждой частицы
С другой стороны для каждой декартовой компоненты имеет место соотношение вида: Здесь было использовано свойство аддитивности скобок Пуассона. Запишем совокупность этих соотношений в краткой форме:
Сопоставляя и находим: Т.о. согласно : Что
означает, что
импульс системы
№9.9а) [] Доказать,
что скобки
Пуассона
Принимая
во внимание,
что
По определению: Проверяя
равенство для
всех значений
i, т.е. для
№10.14
а-1) [] Вычислить
скобки Пуассона
В силу равенств :
Компоненты вектора момента инерции можно записать как свертку тензоров (сам вектор является тензором I ранга):
где
остальные компоненты тензора равны нулю. Подставляя формулу в выражение , получим:
Посчитаем
по полученной
формуле , к примеру,
№9.31
[] Найти
каноническое
преобразование,
соответствующее
производящей
функции:
Решение:
Поскольку
производящая
функция явно
от времени не
зависит,
Такое преобразование явно не меняет вид канонических уравнений, к тому же сводит просто к взаимному переименованию координат и импульсов. Следовательно, в гамильтоновом формализме понятие обобщенных координат и импульсов лишено их первоначального смысла. Мы всегда можем назвать координаты импульсами, а импульсы координатами (см. ). Ввиду этой условности терминологии переменные p и q в формализме Гамильтона часто называют канонически сопряженными величинами. №9.37 [] Показать, что гамильтониан является инвариантом при бесконечно малом каноническом преобразовании с производящей функцией где
Решение: Запишем канонические преобразования:
Изменение гамильтониана в случае бесконечно малого канонического преобразования есть
Из канонических уравнений следует, что
Выражая
Подставим и в выражение для изменения гамильтониана . Получим:
По условию функция f является интегралом движения. А значит
С другой стороны Подставляя в последнее выражение равенства , получаем:
Сопоставляя и , делаем вывод, что изменение гамильтониана что и требовалось доказать. Т.е. гамильтониан является инвариантом при бесконечно малом каноническом преобразовании с заданной производящей функцией. Домашнее задание:№9.8
[] Показать,
что функция
Решение: Для свободной частицы: Согласно : №9.9б) [] Доказать,
что скобки
Пуассона
№10.14
а) [] Вычислить
скобки Пуассона:
№9.32
[] Показать, что
производящая
функция
Литература:
Студент-практикант: Филатов А.С.
|