Реферат: Техника и электроника СВЧ (Часть 1)
Название: Техника и электроника СВЧ (Часть 1) Раздел: Рефераты по физике Тип: реферат | |||||||||
Лекція 1Існують локаційні пристрої, які повинні працювати на ~мм, ~100ГГц. Оскільки ~1м мають малу роздільну здатність, а оптичний діапазон швидко поглинаються постає необхідність вивчення НВЧ діапазону.
Перші НВЧ прилади виникли під час 2-ї світової війни при створенні РЛС. Застосування НВЧ електроніки:
Фізичні причини виділення діапазону НВЧD – розмір об’єкта. При - закон Кірхгофа, Ома, - використовуються закони променевої оптики, - НВЧ діапазон, диференційна інтерференція. Отже в НВЧ не можемо користуватись законами Кірхгофа і геометричної оптики. Закони Кірхгофа мають місце до якихось частот та швидкості розповсюдження інформації – швидкості світла. Розглянемо малюнок. Даний ланцюг можна розрахувати за допомогою закону Ома, поки генератор – постійного струму. Розглянемо змінну напругу: електрон почне рух тоді, коли сигнал про потенціал дійде до нього: . Якщо частота генератора така, що , то в той час, як електрон рухається в одну сторону, генератор вже сформував зворотній потенціал, тобто існують струми в різних напрямках. Отже не можна використовувати звичайні закони. Описаний ефект – ефект запізнення.
Найбільш розвинутий оптичний діапазон НВЧ. Рівняння Максвела 2-ого порядку описують всі електромагнітні явища:
де - густина струму, - напруженість ЕП, - напруженість МП, - індукція МП, - індукція ЕП, - густина заряду, - поверхневий струм. Поки що монополь Дірака не виявлено. Знаки розставлено відповідно до положення векторів , та напрямку розповсюдження хвилі - утворюють праву трійку. Це – не всі рівняння Максвела, у такій формі їх іноді називають рівняннями Герца. Рівняння записано в СГСЕ. В системі СІ не буде , - це зручно, але в СІ опір вільного простору скінчений, що немає фізичного змісту. Ці диференційні рівняння в частинних похідних другого порядку неоднорідні. Хоча з точки зору математики рівняння Максвела лінійні. Але лінійні рівняння ніколи не описують підсилення, генерації і т.д. Електромагнітні процеси нелінійні. Нелінійність обумовлюється речовиною, яку описують рівняння: . Народження електрону - позитивної пари в вакуумі – нелінійний процес. Крім цього можна генерувати гармоніки, 1 з 1050 фотонів зливаються і дають новий фотон. , (А/см2), поверхневий струм - , (А/см). Матеріальне рівняння – рівняння неперервності. . Ніякого струму не може бути якщо заряд не виноситься. - що виноситься - що залишається в середині. - це рівняння в частинних похідних, тому дуже важливі граничні та початкові умови. Всі фізичні поля неперервні з точки зору фізики. Граничні умови: , . Магнітне поле всередині металу(має уявні розриви): . Не буває нульової товщини тому всередині металу буде плавний перехід, тому що поля неперервні. В векторному вигляді:
(1) (2) Якщо змінимо граничні умови, то все повністю змінюється. - права трійка. Тому знак “-“ в . У рівняннях в комплексній формі цього немає. Мінус там може бути в 1-му і 2-му рівнянні в системі (*). Граничні умови в металі: . Гранична умова в ідеальному металі: (для нетензорного середовища). - для металу. Якщо присутнє , то за рахунок сили Лоренца виникає струм. Для напівпровідника: У застосуванні граничних умов головне те, що ми не розв’язуємо рівняння в середині матеріалу, а розв’язуємо рівняння лише на поверхні. Лекція 10Реальний смушковий несиметричний хвильовід.У попередній задачі ми нехтували всіма розмірами – розглядали ідеальний випадок. Тепер розглянемо реальний: скористаємося тими самими моделями: нехай розповсюджується Т – хвиля, а ми розглядаємо одну половину (симетрія).
Використаємо конформні відображення: . Тут , , , , , .
Точка визначається обраним масштабом; ми знайдемо її потім з граничних умов. Таким чином ми маємо: . Проінтегрувавши, маємо: . Лінія з втратами
Нехай існують лише втрати в металі. Для їх розрахунку потрібно знайти струм . Для цього можна використати вектор Умова-Пойтінга. Треба розрахувати потік енергії з лінії в метал. Знайдемо частину :
. Оскільки ми розглядаємо Т – хвилю, то ; тому втрат енергії немає (це для ідеальної хвилі). Щоб наблизити задачу до реальної, потрібно використати граничні умови Леонтовича: . Тоді все рівно але друга складова зберігається: . Підставивши, одержимо: , тут - середовище куди іде хвиля.
Тепер знайдемо повну потужність, що входить у метал: це , але можна розрахувати на одиницю довжини хвильовода. Для цього розрахуємо по контуру , і це буде потужність на 1 см. . Тоді втрати характеризуються - потужність, що розповсюджується в лінії. Вона зменшується з відстанню: . Стала затухання: . Ми знаємо , знайдемо . Для цього запишемо вектор Умова-Пойтінга для хвилі, що розповсюджується в хвилеводі: . Ця хвиля розповсюджується по всій площині , тому . Ми одержали в (*) знак “-“. Однак ми не будемо ставити його (оскільки при зміні напрямку знак змінюється, то вважатимемо просто завдяки симетрії задачі). Таким чином: . Оцінимо цю величину: Введемо наближення: будемо враховувати поле лише у заштрихованій ділянці, оскільки тут більша частина (тому, що ця потужність зумовлена ємністю, а вона сконцентрована в цій ділянці). - характеризує якість лінії, але частіше використовують добротність лінії: , де (по аналогії з добротністю КК: ). Для
Оцінимо довжину хвильовода, в якому хвиля затухає в разів при : . Крім втрат у металі, існують і інші механізми – для них теж можна обчислити , яке додається до нашого. Наприклад, це витрати на випромінювання (радіаційні): . Де - опір лінії. Існують також діелектричні втрати (розглянемо нижче); найкращий діелектрик – тефлон. Розглянемо хвильовий опір лінії: ; або , де С – ємність лінії. Обчисливши її, одержимо: [Ом]. Лекція 11Симетрична смушкова хвильовід.Скористаємося тими самими наближеннями:
Застосуємо перетворення Кристофеля-Шварца. Далі – аналогічно попереднім задачам. Розв’язавши, одержимо картинку полів:
Її параметри: . Тут менше, аніж у попередній лінії, оскільки ємність тут більша. Однак, тут менше не в 2 рази, оскільки у попередньому хвильоводі ємність враховувалась і до верхньої сторони верхньої смужки, і до нижньої (див. Мал.), тому там ємність більша, аніж у звичайному конденсаторі.
Довжина хвилі для симетрично смушкової лінії , якщо всі три смушки знаходяться в середовищі . Відкриті лінії.Тут смужка на шарі діелектрику. Тоді:
Тому використовують деяке ефективне : , треба знайти частину енергії, яка йде по діелектрику. Нехай ця частина в . Тоді: . Часто використовують таку наближену формулу: . Лекція 12Повільні хвилі.Для багатьох електричних приладів необхідно отримати хвилю, що рухається зі швидкістю . Це зокрема стосується приладів, у яких відбувається передача енергії та інформації від хвилі іншим носіям. Однак, згідно Ейнштейну, хвилі у вакуумі рухаються зі швидкістю світла, а будь-який інший носій (наприклад ) не може рухатися зі швидкістю .
Передача енергії від електричного потоку до ЕМ – поля називається ефектом Вавілова-Черенкова. Він виникає, коли швидкості електричного потоку та ЕМ – хвилі рівні.
Розглянемо прямокутний хвильовід з діелектрику:
Розповсюдження хвилі в бруску з діелектриком – за рахунок повного відбиття. Це – відкриті діелектричні хвильоводи (бо немає металевих стінок) або світловоди. На практиці використовуються круглі волокна (див. мал.) – fiber-glass.
Досягнення полягає в тому, що немає металу, яким обумовлена більшість втрат. Ця лінія також є уповільнюючою, бо:
Хвиля існує не лише в хвильоводі, але й в металі, бо хвильовід – відкритий.
Висновки Ейнштейна про те, що фотон у вакуумі рухається зі швидкістю , стосується вільного нескінченного простору, тому за межами хвильовода неподалік від нього поле є, і воно рухається зі швидкістю ; проте на поля бути не може через експоненційне спадання поля. З інших міркувань: хвиля не виходить з діелектрику, тому, що всередині швидкість тобто імпульс ; і згідно з законом збереження імпульсу хвиля не може вийти з хвильоводу, бо за його межами імпульс має бути . Єдина умова виходу хвилі з хвильоводу – тоді, коли швидкість хвилі в хвильоводі стане рівною с (імпульси всередині і зовні – однакові). Розрахуємо поле у fiber-glass: шукаємо хвилю Е або ТМ.
Розв’язки обох рівнянь (для зовнішнього та внутрішнього середовища) необхідно прирівняти при (на границі): ; . В циліндричній СК: . Запишемо рівняння для скалярної функції: . Розглянемо симетричні розв’язки: . . . Якщо область містить точку ; то розв’язок зручно брати у вигляді функцій Ханкеля, бо саме в базисі є функція, що експоненційно прямує до нуля при . - йде в з хвильовода, - йде з в хвильовід. Отже, розв’язок треба брати у вигляді: , , тобто . Граничні умови для похідних . Врахуємо для або ; циліндрична функція. Тоді . Таким чином з граничних умов одержали: . Це – лінійна однорідна система відносно А та В. Вона має розв’язок за умови : . . Розв’язок позначається (перший індекс в - нуль, бо брали ). Знайдемо сталу розповсюдження: , тоді одержуємо: . Тут також існує критична довжина хвилі, яка відповідає : . Однак існує більш жорстка умова – умова того, щоб хвиля не пішла з хвильоводу: : . Умовою визначення критичної хвилі у відкритих системах є не рівність сталої розповсюдження , а більш жорстка умова . Це – умова невитікання хвилі з хвильоводу. Фізично вона є законом збереження імпульсу (коли імпульси зовні і всередині співпадають, з’являється можливість для витікання хвилі. Приблизна картина розподілу та у хвильоводі та зовні показана на малюнку:
Ця картина - для (, 1 – номер кореня). Лекція 13Гібридні хвилі.Раніше ми розглядали всі види хвиль (Е, Н чи Т) окремо. Однак у загальному випадку хвиля є суперпозицією Е, Н, Т – повний розв’язок рівняння Максвела. Гібридна хвиля – це хвиля, яка має всі компоненти; це суперпозиція Е, Н, Т. У випадку розглянутому вище, хвильовода (стержня), ми маємо три граничні умови і дві константи в рівняннях, а тому рівняння в загальному випадку не буде мати розв’язків. Однак, тут нам потрібно розглядати не тільки , , , а і хвилю : . Тепер поле описується чотирма константами і відповідно чотирма граничними умовами. Метод узгодження поперечного імпедансу. Гофра.
Покажемо, що ця система – уповільнююча. Розглянемо модель:
Уявимо, що в цій системі дійсно існує хвиля, близька до хвилі біля круглого хвильоводу. Нехай це буде Е – хвиля, що розповсюджується в напрямку . По аналогії зі стержнем . Виходячи з цього, можна знайти інші компоненти: . Це – компоненти зовні. Що буде всередині? Всередині будуть стоячі хвилі: . Це – дві Т - хвилі (пряма і відбита). Можна розглянути таке рішення для всередині: . Тоді Пом’якшимо умову (це метод узгодження поперечного імпедансу) так, щоб неперервні були відношення полів.
Тоді . Поперечна стала розповсюдження хвилі . Тоді . . В точках отримаємо . Іноді будують фотонну криву:
Маємо ділянку, де , тобто маємо уповільнення. Це – звичайний резонатор для ЕМ – хвилі. При розрахунках у нас переходило в , а це можливо при . Це – ще одна умова. Спіраль.
Тут , . Така система по своїй конструкції уповільнююча, з коефіцієнтом уповільнення . Але тут теж є резонансні ефекти, що призводять до уповільнення, якщо . Лекція 14Об’ємні резонатори.У них хвиля “б’ється” між стінками (див. Мал.):
, тоді хвиля, що заходить у резонатор, і відбита, будуть у фазі; тобто це – умова резонансу. Розв’яжемо рівняння Максвела для даної системи – знайдемо коливання, що існують у цій коробці.
. З урахуванням граничних умов на бокових стінках (стінках хвильовода): . Накладемо ще дві граничні умови: звідки одержимо - неправильно. Це тому, що не врахували відбиття від торців; правильно буде записати: . Тоді при накладанні умови одержимо . . Розглянемо , одержимо . Тоді . Типи коливань: (останній індекс – кількість півхвиль)
В круглому резонаторі:
Існує дуже багато типів резонаторів. Наприклад, резонатор хвилі, що біжить, такий резонатор ще називають кільцевим. Резонанс: .
Добротність резонаторів .Для будь-якого резонатора звичайно існує АЧХ, яка має ширину.
Напівширина вимірюється для на 0.5; а для вихідної амплітуди – на 0.7 висоти контуру. . Хвиля затухає із декрементом : , . Доведемо, що . Це випливає з розв’язку рівняння: . Втрати - тут добротність . Втрати можуть бути в металі, на випромінювання в діелектрику:
Підрахуємо добротність, пов’язану з втратами у діелектрику:
Таким чином, ( - коливання резонатора з діелектриком, - порожнього) . , де , отже . Таким чином ми одержали , . Для розрахунку в металі треба знайти потік енергії (як у смушковому резонаторі). Лекція 15Відкриті резонатори.Це резонатори на основі відкритих ліній передач. Вони мають електромагнітний контакт з відкритим простором. Звичайно використовуються в лазерах сферичні діелектричні резонатори. Нас цікавлять шари діелектрика для лінії . Тут не можна використовувати геометричні наближення, потрібно розв’язувати рівняння Максвела. Розв’яжемо рівняння Максвела для сферичного діелектричного резонатора. Тут потрібно використати ССК: , . В сферичній СК не можна перейти до скалярних рівнянь звичайним чином. Використовують заміну:, , , , , . Це – ТМ чи Е – заміна, оскільки . Аналогічно можна зробити Н – заміну:
Ми будемо використовувати Е – заміну, перейшовши до потенціалу , в результаті одержимо: . Щоб отримати саме хвильове рівняння, де була б ще й похідна , необхідно зробити заміну: . Потенціали та називають потенціалами Дебаю. Вони мають методичне значення. Розв’яжемо простіше рівняння для та - методом відокремлених змінних: тоді . Рівняння для - це рівняння Лежандра. Його розв’язки – поліноми Лежандра. Рівняння для можна звести до рівняння Бесселя заміною . Це рівняння для сферичних функцій Бесселя (або функцій Бесселя напівцілого вигляду). Стандартний вигляд рівняння: , його розв’язки : . Таким чином розв’язки: . Щоб використати граничні умови, необхідно виразити , через . , отримаємо два рівняння для А та В, причому А і В будуть відмінні від нуля лише тоді, коли системи рівна нулю. Користуючись виразами для та , отримаємо: з цього рівняння отримаємо . Для : . Поле має вигляд:
Таким чином, поля тут ідуть таким же чином, як і в кільці, по якому біжить струм. Це була строга, точна теорія резонаторів сферичної форми. Проте, їх важко виготовляти, вони незручні у використанні. Використовують:
Розрахувати таку систему неможливо, бо немає регулярних граничних умов (наприклад при ). Можна вважати, що резонансна частота є проміжним значенням між резонансною частотою у вписаній та описаній кулі.
Відмінність формування граничних умов:
- регулярна гранична умова - нерегулярна гранична умова Коли є металева поверхня, можна записати . Це так звані електричні стінки. Лекція 16Метод магнітної стінки.Він застосовується при аналізі діелектричних резонаторів.
Обернена ситуація – хвиля виходить з металу (або діелектрика) в вакуум.
Зліва – стояча хвиля, справа – біжуча, звичайна, зі сталою амплітудою. Тільки таким чином можна досягти виконання умов: , ; якщо на границі ЕП має максимум, а МП – мінімум (вузол). В середині з великим ЕП сильно поглинається, а МП залишається сталим. Магнітна стінка виникає при виході хвилі з діелектрика з . Це означає, що на межі (на відміну від електричної стінки, яка утворюється при виході хвилі, де ). Метал: . Діелектрик : . Самостійно: Знайти умови існування хвилі, частоти за аналогією з задачею для металу. Вимушені коливання.Лема Лоренца і теорема взаємності. В лінійних полях немає взаємодії між полями. Однак, існують випадки, коли лінійні поля впливають одне на одне. Уявимо, що є два незалежних ЕМ – процеси:
- диференціальний вигляд леми Лоренца. - лема Лоренца. (поля не незалежні, а залежать одне від одного). Розглянемо ситуацію, коли : , бо на всі фотони затухають. , . Розглянемо два диполі: - енергія першого диполя у полі . - теорема взаємності.
Приймач не тільки приймає, але й випромінює. Для того, щоб десь збудити поле, потрібно, щоб це поле збуджувало струм в нашій антені тобто потрібно розмістити антену в центрі, де поле найбільше. Збудження хвиль у хвильоводі.У хвильоводі можуть існувати лише Е та Н – хвилі. Лекція 17Ортогональність власних хвиль у хвильоводі.Запишемо лему Лоренца для цього випадку. ( - стала розповсюдження.)
У вигляді хвилі візьмемо властивість хвилі у хвильоводі: ; - позначення.
бо розглядаємо власні хвилі і зовнішніх струмів немає. Таким чином: . Незалежно від поверхні . Для того, щоб це була константа, необхідно . Сталість не буде залежати від , коли хвиля йде , і також хвиля йде ; для всіх інших хвиль =0.
. Підрахуємо норму хвилі (співвідношення ортогональне) для хвилі .
, . - це . Доведемо ортонормованість. Уявимо, що є деякий хвильовід і струми (див. Мал.)
. Звернемося до леми Лоренца. Будемо вважати, що: , - зворотна власна хвиля.
- формула для визначення коефіцієнтів через струми.
Нехай, наприклад, у прямокутному хвильоводі через отвір у точці введений стержень, по якому від генератора Г йде струм . Необхідно розрахувати амплітуду хвилі . , де , . Отже : , бачимо, що амплітуда хвиль максимальна, якщо , і дорівнює нулю, коли стержень коло стінки: . Лекція 18Збудження об’ємних резонаторів.
, , бо задача про власні коливання розв’язується без струмів. Для другого коливання: . , . Проінтегрувавши обидві рівності по всьому об’єму та врахувавши властивості векторного добутку, отримаємо: , . Враховуючи, що та позначивши маємо лінійну однорідну систему відносно з коефіцієнтами та : . Система має нетрівіальні розв’язки якщо ; . Тоді , тобто . Таким чином маємо ортонормованість власних функцій резонатора з нормою , яку легко знайти.
- рівняння Максвела. Псевдовектор в математиці – вектор, що змінює свій напрямок при інверсії системи координат (напрямок, векторний добуток). У фізиці псевдовектор змінює напрямок при інверсії часу . Наприклад, при інверсії часу електрон починає обертатися в протилежному напрямку, а відповідно змінює і напрямок МП. Таким чином, МП – псевдовектор, ЕП – вектор. Звідси можна зробити висновок, що гамільтоніан не може містити (щоб він був інваріантний до інверсії часу). Ще один висновок – що немає магнітного п’єзоефекту. Існує іще одна класифікація: соленоїдальні та потенціальні. Потенціальний (поздовжній): - немає вихорів. Соленоїдальний (поперечний): - немає вузлів. Записавши ми зробили помилку, бо не врахували потенційні поля, пов’язані з електростатичними полями зарядів, що збуджують струми. Отже, , , де , . Взагалі то, , бо магнітних зарядів не існує. Проте, є припущення про існування магнітних зарядів – монополь Дірака; тоді . , . Підставимо в рівняння Максвела: . Прирівнявши відповідні коефіцієнти при базисних функціях та , одержимо - з рівняння а). Оскільки , то . . ; . Таким чином, для гармонічних полів: . Тоді . Використаємо , . , бо . Таким чином, довели строге рівняння Пуансона для електростатичної частини полів. Проінтегруємо по , попередньо помноживши на :
. В результаті отримаємо: , маємо систему двох рівнянь з двома невідомими. Амплітуда . Ми отримали формулу для резонансного збудження. Тут не враховано дисипацію, тому можливо . Якщо дисипацію врахувати наступним чином: , то отримаємо Лоренцівську резонансну криву: . Лекція 19Неоднорідності у хвильоводі.Неоднорідності є в будь-якому хвильоводі, вони мають різний характер. Для цих систем поля можна розбити на:
Наприклад, якщо буде заклепка на стінці хвильовода, то:
По хвильоводу буде розповсюджуватися лише одна хвиля за рахунок вибору розмірів. Отже, біля неоднорідності буде зона з енергією, яка не розповсюджується. Тому це деякий еквівалент індуктивності або ємності. Нам необхідно:
Розглянемо неоднорідність яка називається Діафрагма. Вона може бути індуктивна чи ємнісна у залежності від опору.
Діафрагма.Ми розглянемо лише індуктивну діафрагму, для іншої – аналогічно.
Припущення:
Тоді можна записати, що при : , тобто хвиля є сумою прямої, відбитої (р – коефіцієнт відбиття) хвилі та вищих хвиль, що виникають на діафрагмі. Всі інші компоненти розраховуються за допомогою системи рівнянь Максвела:
Таким чином, ми маємо всі компоненти поля зліва від діафрагми. Тепер запишемо хвилю справа : , де - коефіцієнт пропускання (діафрагма генерує в обох напрямках).
Таким чином ми розв’язали рівняння Максвела, не розв’язуючи їх. (Зауваження: ми не враховували електростатичних полів). Тепер зашиємо розв’язки справа та зліва, наклавши граничні умови при (всі поля повинні бути неперервні): . Розглянемо:
Фізичні міркування: повинна бути чи в межах діафрагми.
Знайдемо : оскільки; то буде ; . Таким чином, це дійсно індуктивна діафрагма. Лекція 2Класифікація електромагнітних явищІснують загальні підходи для спрощення:
Було б зручно звести рівняння Максвела до хвильових, але це можна зробити лише у деяких випадках, які і розглянемо. Плоскі хвиліРозглядатимемо плоскі хвилі в однорідному ізотропному середовищі. Задача: знайти характеристики плоскої хвилі в такому середовищі.
Розв’язок:
Перейдемо до справжньої компоненти поля: де - рівняння хвильового фронту (фаза ). Цей фронт розповсюджується зліва направо. Якби ми взяли замість компоненту , то одержали б - фронт, що рухається справа наліво. Розглянемо . . ; , тобто маємо дійсно праву трійку . Оскільки , то . Таким чином у плоскій хвилі і залежні величини: якщо одне з них задане, то друге визначається лише серидовищем (див. *). Це в СГСЕ, в інших системах по іншому. Наприклад, в СІ у вакуумі 377 (Ом) – опір вільного простору (хвильовий опір простору). Затухання електромагнітних хвиль (ЕМХ).Нехай вздовж осі розповсюджується ЕМХ: ; тут . Розглянемо в середовищі, де , (найрозповсюдженіший випадок); . Тоді . З’явилася дійсна величина в експоненті. Тобто кожна хвиля затухає. Лекція 3Затухання у металі, скін – шар.У попередньому пункті ми записали ЕМХ як , для металу , тоді маємо . Оскільки , то . В металі хвиля затухає як . Глибина, на якій хвиля спадає в раз називається скін – шаром. . Для постійного поля . Перехід хвилі з одного середовища в інше.Розглянемо такий випадок: (див. Мал.) Це – гранична задача електродинаміки. Для її розв’язку необхідно:
Спочатку обираємо повну систему рівнянь Максвела, однак оскільки обидва середовища – однорідні ізотропні, можна використати векторне рівняння Максвела: . Межа – пряма, тому обираємо декартову СК: . У даних середовищах буде: Нехай , тоді .
З Підставивши одержимо: - система несумісна. Ми не врахували те, що існує також відбита хвиля у середовищі (1): . При відбитті трійка векторів залишається правою, тому напрямок вектора змінюється, тому у виразі для - мінус: . Підставивши одержимо:
Таким чином, найбільша (повна) передача енергії в друге середовище при - коефіцієнт відбиття . По аналогії з електротехнікою величини називають опорами. Лекція 4Узагальнена плоска хвиля.Для рівняння загальний розв’язок (можна перевірити підстановкою). Таким чином хвиля розповсюджується в багатьох напрямках: - хвиля в напрямку . - хвиля в напрямку . Задача: Нехай хвиля падає під кутом до поверхні середовища, знайти характеристики відбитої хвилі та заломленої.
Розв’язок: Вважаємо, що . Раніше ми показали, що розв’язком рівнянь Максвела є узагальнене рівняння хвилі. Тоді для даних хвиль:
( ми розглянули плоску задачу в ). Гранична умова: . Тоді , де ; ; ; коефіцієнти не повинні залежати від . В цьому випадку (*). Тоді (**). Виходячи з (*), маємо . (очевидно якщо відкласти відрізки на малюнку). Аналогічно . - перший закон Смеліуса. - другий закон Смеліуса. Наближені граничні умови Леонтовича.Розглянемо ідеальну металеву поверхню. Для неї граничні умови: ; . Однак, тут - не враховувалися втрати в металі. Їх врахував Леонтович:
Відбивання від ідеально провідної границі (метал) ТЕ, ТМ хвилі.- падаюча хвиля (індекс “п”). Обираємо знак “+” для . Тоді . Сумарне поле над металом Таким чином, сумарна хвиля розповсюджується в напрямку . Отже в результаті розв’язку рівняння Максвела ми маємо хвилю, що падає, і хвилю, що відбита. Сума цих полів дає нову хвилю, що розповсюджується вздовж і є сумою цих двох хвиль. Падаюча і відбита хвиля називаються парціальними; Сумарна зветься неоднорідною плоскою хвилею. Неоднорідна плоска хвиля теж є розв’язком рівняння Максвела. Властивості неоднорідної плоскої хвилі:
а
Висновок: Існують неоднорідні плоскі хвилі: ; ; ; . Існують компоненти , . Лекція 5Рівняння Максвела для Т, ТЕ, ТМ хвиль.Для однорідного ізотропного середовища в декартовій СК: . Т - хвиля розповсюджується зі швидкістю світла, . Для неї . Підставимо в рівняння Максвела: ; оскільки , таким чином для Т – хвилі: - рівняння Лапласа. Для ТЕ та ТМ: , (хвиля розповсюджується в напрямку ). . Маємо - для ТЕ, ТМ. Ми отримали систему рівнянь Максвела:
. Т – хвиля існує там, де є розв’язок рівняння Лапласа (електрика). Ми знаємо, що рівнянням Лапласа описується електростатичне поле, наприклад у конденсаторі. Тому якщо існує електростатичне поле, то може існувати і Т – хвиля. Таким чином вона може існувати у конденсаторі, коаксіальному кабелі. Оскільки одне рівняння і однакові граничні умови для електростатичного поля і Т – хвиля, то їх силові лінії співпадають. Для того, щоб розв’язати задачу про хвилю, треба знайти:
Знайдемо ЕМ – поля між ║ пластинами: Тут може існувати Т – хвиля, бо існує розв’язок рівняння Лапласа для конденсатора. Картина полів зображена на малюнку, таким чином ми розв’язали задачу без викладок. А чи може у цій системі розповсюджуватися Е чи Н хвиля? Для того щоб відповісти на це запитання, необхідно розв’язати задачу (розрахувати картину полів і знайти ): , будемо вважати, що . Ми отримали задачу Коші: . Її розв’язок . ; . . . Де - довжина хвилі у хвилі у хвилеводі. Очевидно, що при ; тобто існує деяка критична довжина хвилі - така, що при хвиля не буде розповсюджуватися у хвилеводі: при : - уявне, тобто присутнє затухання. ; нижня . Таким чином у хвилевід зайде Т – хвиля з будь-яким і Е – хвиля лише з . Можна отримати, що . Якщо зменшувати , то збільшується. Також змінюється при зміні . Існує критична частота, коли , тоді хвиля не розповсюджується. - довжина Т – хвилі у вільному просторі , ; Таким чином, в результаті розв’язку рівняння Максвела ми знайшли лише одну компоненту хвилі . Однак для побудови картини необхідно знайти всі інші компоненти (у ТЕ та ТМ хвиль може бути не більше п’яти компонент). Скористаємося рівняннями Максвела: будемо виходити з .
Аналогічно для , таким чином, для неоднорідної хвилі ми отримали повний розв’язок: . Розглянемо пари: . В нашій Е – хвилі обов’язково , тоді з системи легко отримати інші компоненти:. Таким чином маємо картину полів ТМ (Е – хвилі). Для ТЕ – хвилі – аналогічно. Лекція 6Прямокутний хвильовід.В середині металевого проводу не може бути електростатичних полів. Можуть бути лише Е, Н. . Граничні умови: Нехай ; тоді ; ; ; ; . таким чином . . Тут ; звідси . Аналогічно . за симетрією . отже . . Розв’язок: ; де , можна також знайти , але . Ця задача в частинних похідних має безліч розв’язків . Загальна хвиля буде . Розглянемо один з розв’язків: -це хвиля . Отримаємо . Інші компоненти: , тут . У хвилеводі будуть розповсюджуватися хвилі з .
Визначимо фізичний зміст індексів: розглянемо . - по одна півхвиля. Таким чином, перший індекс означає скільки варіацій має поле в напрямку . Другий індекс - вздовж . Розглянемо типову картину полів у хвильоводі для :
Оскільки хвиля рухається з певною швидкістю, зсунуте в часі на (в формулі це ), тому маємо картину не а) а б).
Для хвилі :
Для хвилі завдяки граничним умовам на стінках , а по певній координаті (там, де індекс = 0 ) це поле однорідне, тоді буде всюди, тобто цієї хвилі не буде. Лекція 7Хвильовий опір хвильовода.Для Т – хвилі: (для вакууму). Для ТЕ, ТМ хвиль введення хвильового опору не є однозначною задачею, бо існує кілька компонент. Домовились відносити опір до поперечної компоненти: .
Електродинамічні потенціалиВекторний і скалярний потенціали вводяться наступним чином: ; . У першому рівнянні, очевидно, можна задавати з точністю до . При цьому рівняння Максвела:
Тоді отримаємо рівняння для ЕД потенціалів:
Рівняння для Т, ТЕ, ТМ хвиль різні. Щоб звести їх до одного виду, використовуючи потенціали , , де - електрична скалярна функція, - магнітна скалярна функція. Якщо для Т – хвилі завжди, то , а перетворюється в нуль завдяки . Рівняння для : . При цьому компоненти . Інші компоненти можна отримати методом, який розглядався раніше. Для циліндричної СК: . Круглий хвильовід.Очевидно, будемо користуватися циліндричною СК :
Шукатимемо хвилю . Можна розв’язати , однак ми розв’яжемо рівняння для скалярних потенціалів: . З урахуванням вигляду оператора Лапласа у циліндричній системі координат одержимо: . Використаємо метод відокремлення змінних: ;
. Звідки очевидно, що: а) , тут - будь-який кут повороту, залежить лише від вибору координат (з’явився через симетрію задачі). Оберемо . б) - ЛДР зі змінними коефіцієнтами, тому звичайним шляхом його розв’язувати неможливо; потрібно застосувати спеціальні функції. Приведемо рівняння до стандартного вигляду: заміною воно зводиться до рівняння Бесселя: . Його розв’язками є циліндричні функції (функції Бесселя): (*) Функції Неймана , а тому очевидно, що , тому що поле при повинно бути скінченим. Таким чином, якщо в задачі існує точка , то розв’язок завжди береться у вигляді (*), де , тобто у вигляді функції Бесселя: . Таким чином, , . Скористаємося граничними умовами. Оскільки ; а ; то можна записати: . Отже, - це є умова для визначення . Корені цього рівняння аналітично не отримуються, але їх можна знайти чисельно:
, де - номер хвилі, - номер рядку.
Отже, . Таким чином, для хвилі . Критична довжина хвилі у хвилеводі визначається з умови . Аналогічно . Тепер знайдемо картину хвиль. Для цього скористаємося топологічними перетвореннями:
Перетворюючи в декартову СК, одержали в циліндричній СК.
Перший індекс – змінна по , другий – змінна по . Таким чином у круглому хвильоводі “головною”, “найкращою” є хвиля (в той час як у квадратному - . Лекція 8Коаксіальна лінія.Тут можуть розповсюджуватись хвилі Т (бо тут можна утворити конденсатор), ТЕ, ТМ. , , . . Розглянемо хвилю Т. Нам необхідно розв’язати рівняння . Зробимо це методом конформних відображень. Його можна застосувати для аналітичних функцій (тих, що задовольняють рівнянню Лапласа), яким і є поле Т-хвиль. Для того, щоб скористатись методом КВ, необхідно:
Метод конформних відображень можна застосувати для Т – хвилі, бо вона є розв’язком рівняння Лапласа: , . Доведемо, що відображення перетворює циліндричний конденсатор в плоский: , , тобто , . Таким чином, якщо . , . Таким чином, можна перетворити межу циліндричної області в межу плоскої. Тому й область перетворюється в область . Розв’язок задачі в плоскому конденсаторі:має вигляд: . Поклавши (скориставшись тим, що потенціал визначається з точністю до константи), маємо: . Скориставшись зворотнім перетворенням, одержимо: . Знайдемо поле: , . Хвильовий опір: . Проте такий опір не вимірюється. Більш практичне означення хвильового опору: - відношення напруг лінії до струмів у цій лінії. Знайдемо для Т – лінії, використавши інтегральні рівняння Максвела: , тут - заряд, - ємність на одиницю довжини. З урахуванням можна записати: . . Окрім Т – хвилі, в коаксіальному кабелі може існувати ще й ТЕ чи ТМ хвиля: . Картина хвиль:
. Наприклад, для R1=1мм, R2=6мм: . Лекція 9Лінії передач для інтегральних схем.В інтегральній електроніці використовуються в основному плоскі лінії.
Поля в несиметрично – смушковій лінії.Складність розв’язання цієї задачі полягає в тому, що граничні умови тут – нерегулярні; не можна покласти, що на поверхні . Використовують наближені методи; зокрема конформних відображень.
Наближення: Існує Т – хвиля (нехтуємо випромінюванням). Використаємо симетрію задачі. Цікавимося випромінюванням на краю.
Треба розв’язати задачу: знайти розв’язок рівняння Лапласа у верхній площині з напівнескінченним розрізом. Використаємо метод конформних відображень: тут застосовується інтегральне конформне перетворення Кристофеля – Шварца.
Розглянемо ламану лінію, що в точці а змінює напрямок на кут :
. Якщо є два зломи, то , де , , . В нашій конкретній задачі ламану можна подати у вигляді:
Кут відраховується проти годинникової стрілки від наступного напрямку до попереднього. , , перенесемо точки: . Проінтегрувавши отримаємо шукане перетворення: . Константи та визначаються з умов: , отже . Умовою ми не можемо скористатися, бо одержимо . Використаємо фізичні міркування:
Загальний вид відображення ; бо область інваріанта відносно зсуву вздовж ОХ (трансляційна симетрія). Зрозуміло, у нашій задачі область при . При перетворення набуває вигляду: . Порівнюючи з , . Отже шукане перетворення: . Для того, щоб знайти розв’язок у верхній півплощині, необхідно перетворити її в конденсатор, використовуючи перетворення зворотне до : . Тоді відображення, що перетворить вихідну область () (край конденсатора) у конденсатор (), має вигляд: . Тепер необхідно розв’язати рівняння у плоскому конденсаторі та скористатись зворотнім перетворенням: , . .
Таким чином: . Запишемо рівняння еквіпотенційних поверхонь: . ЕПП переходить в . ЕПП переходить в . Таким чином, отримаємо таку картину еквіпотенціальних поверхонь:
Тепер знайдемо електричні силові лінії. Ці лінії перпендикулярні ЕПП, однак ми знайдемо їх в аналітичний спосіб. Очевидно, в () такі силові лінії, як на малюнку. Знайдемо образ цих ліній у просторі (). Наприклад, ,. Отримаємо картину ЕП в ():
Часто важливо знайти напруженість поля в певній точці: .
|