Статья: Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка
Название: Коллокационная модель прогнозирования количественных характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка Раздел: Рефераты по экономике Тип: статья | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Л.О. Бабешко, доцент кафедры "Математическое моделирование экономических процессов" Аннотация Данная работа посвящена вопросу прогнозирования характеристик основных финансовых инструментов фондового рынка при помощи модели средней квадратической коллокации (* Термин "коллокация" (англ. collocation - взаиморасположение; расстановка) после пуб-ликации работы советского математика и экономиста Л.В. Канторовича "Об одном мето-де приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных" (1934) широко используется в современной вычислительной математике для прибли-женного решения дифференциальных уравнений. Под коллокацией, с математической точки зрения, понимается определение функции путем подбора аналитической аппрок-симации к определенному числу заданных линейных функционалов. "Математическая" ("чистая") коллокация нашла широкое применение в технических приложениях при ре-шении интерполяционных задач. Дальнейшее обобщение теории коллокации связано с применением к объектам стохастической природы и вслед за работами Г. Морица (на-пример: Moritz H. Least-Squares Collocation // Reviews of Geophysics and Space Physics. V. 16. No. 3. Aug. 1978. P. 421-430) под коллокацией понимается обобщение метода наименьших квадратов на случай бесконечномерных гильбертовых пространств.). Коллокационная модель прогнозирования сохраняет основные преимущества классических регрессионных моделей - инвариантность по отношению к линейным преобразованиям исходных данных и результатов, оптимальность решения (в смысле наиболее точного прогноза из всех возможных вариантов линейных решений на основе заданных исходных данных) - и имеет дополнительные достоинства: результат не зависит от числа оцениваемых величин; как наблюдаемые, так и оцениваемые величины могут быть разнородными (иметь различную физическую, экономическую или математическую природу). Коллокационная модель может быть использована не только для построения оптимального прогноза однородных данных, но и для оценивания любых интересующих характеристик финансовых инструментов фондового рынка по неоднородной исходной информации (доходностей, курсов, объемов продаж, индексов и т.д.). Потребность в прогнозировании как специфическом научно-прикладном анализе (нацеленном на будущее или учитывающем неопределенность, связанную с отсутствием или неполнотой информации) возникает со стороны самых разнообразных областей человеческой деятельности – политики, международных отношений, экономики, финансов и т.д. Предвидение вероятного исхода событий дает возможность заблаговременно подготовиться к ним, учесть их положительные и отрицательные последствия, а если это возможно – вмешаться в ход развития, что особенно важно в финансовой сфере, подверженной различного рода рискам. В общем виде задачу прогнозирования можно сформулировать следующим образом: по имеющейся информации X (измерениям, наблюдениям) требуется предсказать (спрогнозировать, оценить) некоторую величину Y, стохастически связанную с X. Например, по имеющейся информации о динамике цен на ту или иную ценную бумагу оценить ее значение на какой-то период в будущем или оценить доходность одних ценных бумаг, используя информацию о доходности других ценных бумаг, и т.д. Искомое значение Y можно оценить различными способами, но в любом случае это приближенное значение будет базироваться лишь на исходной информации:
Различные функции определяют различные методики прогноза оценки Y. Ниже мы рассмотрим методику линейного стохастического прогнозирования. Итак, пусть имеется два множества случайных величин: множество значений независимой переменной (измерений) Предполагается, что каждая из переменных является центрированной случайной величиной, т.е. имеет математическое ожидание равное нулю: E{X} = 0, E{Y} = 0. (1) Если это не так, то выполняется центрировка, то есть значения E{X} 0 и E{X} 0 вычитаются из заданных значений переменных X и Y соответственно. Пусть имеется дополнительная информация в виде ковариационных функций: 1) автоковариационных функций векторов X и Y,
где Xj = X(tj) – значение переменной в момент tj, j=1, … , n, Yk = Y(tk) – значение переменной в момент tk, k=1, … , m, – интервал времени между соответствующими моментами; 2) взаимных ковариационных функций между X и Y
По данным ковариационным функциям для различных интервалов можно составить соответствующие ковариационные матрицы:
Предполагается, что данные ковариационные матрицы имеют полный ранг, т.е. ранг равный наименьшему из чисел m и n. Задача состоит в оценке вектора Y по измеренным значениям вектора X. Причем связь между векторами будет определяться не через функциональное соотношение, а только через ковариационные матрицы (4) . Ограничиваясь методикой линейного прогноза, будем искать оценку вектора Y в виде
или в координатной форме:
т.е. каждый элемент вектора Y аппроксимируется линейной комбинацией исходных данных X = (X1, X2, ..., Xn)'. Ошибка аппроксимации (вектор ошибок) определяется как разность между истинным значением переменной и оценкой = Y – Ковариационная матрица и дисперсии ошибок определяются по формулам
соответственно. Согласно общей теории статистического оценивания наилучшая (оптимальная) линейная оценка определяется как несмещенная линейная оценка с минимальной дисперсией. Несмещенность линейной оценки (5) проверяется непосредственно
с учетом (1) и свойств математического ожидания. Для того чтобы дисперсия линейной оценки (5) была минимальной, матрица H должна определяться из следующих соображений. Ковариационная матрица ошибок для произвольной матрицы H имеет вид:
Вычитая из правой части квадратичную форму
= где A = Матрица А одинакова для всех линейных оценок, так как она не зависит от матрицы H. Заметим, что элементы матрицы В являются неотрицательными числами (поскольку ковариационная матрица Kxx является невырожденной, а как известно, все невырожденные ковариационные матрицы положительно определены), поэтому диагональные элементы матрицы K , представляющие собой дисперсии ошибок, будут наименьшими только в том случае, когда матрица В является нулевой B = Отсюда следует, что дисперсии ошибок будут минимальными, если матрица Н определяется выражением
Таким образом, выражение для оптимальной (несмещенной, с минимальной дисперсией) линейной оценки получается подстановкой в формулу (5) выражения (10):
При этом ковариационная матрица ошибок прогнозирования переменной Y с учетом (9) принимает вид K = KYY – При практической реализации алгоритма прогнозирования (11) целесообразно сначала вычислить вектор C C = поскольку сомножители в данном выражении не зависят от значений переменной Y, а затем выполнять умножение на матрицу взаимных ковариаций
Если выполняется прогноз одного значения переменной Y, например на момент t = p,
где
Данный метод может быть использован при прогнозировании значений переменных как по пространственным данным (пространственный срез) (cross-sectional data), например, по набору сведений о доходностях разных ценных бумаг (X и Y) за один и тот же период (момент) времени, так и по данным временных рядов (time-series data), например, доходности ценной бумаги данного вида (Y) за несколько лет. Во втором случае, т.е. в случае, когда прогноз
где При этом формулу для дисперсии ошибки прогноза в момент t = p (с учетом выражения (12)) можно переписать следующим образом
где Dy – дисперсия случайного процесса Y. Поскольку ковариационная матрица положительно определена и, следовательно, квадратичная форма D (P) = Dy. Если момент t = p, на который выполняется прогноз переменной Y, совпадает с моментом t = i, на который известно ее значение Yi, элементы вектора ковариаций
и в соответствии с (15) ошибка дисперсии прогноза D (P) = 0, так как квадратичная форма Формулы (10) и (14) называются средним квадратическим прогнозом или коллокацией [1] и представляют собой аналог формулы прогноза Колмогорова–Винера, известной из теории стохастических процессов. И как показано выше, вся методика линейного прогноза сводится к простейшим матричным операциям. Используя данные временных рядов по годовым доходностям долгосрочных облигаций корпораций США и доходностям рыночного портфеля (портфеля, включающего акции 500 фирм и выбранного корпорацией Standard & Poor's для характеристики рынка в среднем) за период исследования (с 1984 по 1993 г.) [2], выполним сравнительный анализ результатов прогнозирования, полученных при помощи парной регрессионной модели и модели коллокации (табл. 1). Таблица 1
В качестве исходных данных будем использовать значения доходностей за девять лет (с 1984 по 1992 г. включительно), а последнее значение, соответствующее 1993 г., будем использовать для контроля качества прогноза, поэтому число данных n в обеих моделях будем принимать равным 9. Регрессионная модель прогноза, с оцененными по методу наименьших квадратов параметрами, имеет вид:
Для определения точностных характеристик модели (оценка дисперсии параметров модели, дисперсии прогноза и т.д.) вычисляются остатки регрессии Таблица 2
Оценка дисперсии ошибок регрессии и оценки дисперсии параметров модели для данных табл. 2 соответственно равны: При помощи регрессии (17) выполним прогноз доходности долгосрочных облигаций корпораций на 1993 г. Y93 по значению доходности рыночного портфеля на этот год X93=9,99:
и, таким образом, отклонение от истинного значения составляет Y93 – а оценка дисперсии прогноза индивидуального значения Теперь выполним прогноз, используя модель коллокации (11). Для этого необходимо построить модели ковариационных функций: автоковариационной функции вектора X, взаимной ковариационной функции между X и Y, взаимной ковариационной функции между Y и X. Первым шагом при построении ковариационных функций является вычисление оценок ковариаций по данному динамическому ряду:
где Вторым шагом является выбор подходящей аппроксимирующей функции, и если нет каких-либо дополнительных соображений теоретического характера, то в качестве таковых обычно выбирают непрерывные функции вида:
где , , K(0) = DY – параметры модели. Поскольку члены последовательностей На третьем шаге выполняется оценка параметров модели ковариационной функции (например, по методу наименьших квадратов). В данной работе воспользуемся методом, основанным на использовании "существенных" параметров: 1) дисперсии процесса K(0) = DY ; 2) радиуса корреляции 0,5 – значение аргумента ковариационной функции, при котором ее значение равно половине дисперсии, т.е. K( 0,5) = 3) наименьшего положительного корня 0 уравнения: K( ) = 0. Связь параметров модели с существенными параметрами устанавливается следующим образом:
Значения существенных параметров и параметров моделей ковариационных функций представим в табл. 3. Таблица 3
По построенным ковариационным функциям, для различных интервалов ( = 0, ..., 9) между моментами ti, tj, i = 1, ..., 9, j = 1, …, 9 рассчитаем соответствующие ковариационные матрицы: Обращая матрицу KXX и перемножая обратную матрицу t = 1, …, 9, соответствующие периоду исследования (с 1984 по 1992 г.). Добавляя к центрированным значениям прогнозов среднее по выборке Таблица 4
Для прогнозирования доходности долгосрочных облигаций корпораций на 1993 г. Y93(t = 10) вектор значений ковариаций (14) (-0,006 0,020 -0,036 -0,017 0,362 -1,346 2,578 0,370 -22,446), вычисленный по моделям взаимных ковариационных функций
и, таким образом, отклонение от истинного значения составляет Y93 – Продемонстрируем работу модели (14) для прогнозирования значений временного ряда – доходности долгосрочных облигаций корпораций США на 1992 г. и 1993 г. по данным за девять лет (с 1984 по 1992 г. включительно). Элементы ковариационной матрицы KYY и вектора Умножая вектор на вектор
Умножая вектор на вектор |