Н.Л. Шаламова, Омский государственный университет, кафедра математическогомоделирования,
644077 Омск, пр. Мира,55-A
Изучение упорядоченных аффинных пространств An, n>2, связано, как известно, прежде всего с основаниями теории относительности [1]. Следуя же квантовой теории, мы не можем распространять причинно-следственные связи на явления микромира и поэтому вынуждены рассматривать так называемые "несвязные порядки". Предполагая при этом, что скорость передачи взаимодействия и в микромире ограничена, автор получает результаты, изложенные в данной статье.
Рассмотрим в n-мерном аффинном пространстве An, n>2, несвязный порядок  , заданный семейством  подмножеств An, для которого выполнены условия: (1)  ; (2) если  , то  ; (3) если  , то  . Несвязность порядка означает, что  . Предполагаем далее, что верно следующее: (i)  ; (ii)  для любой  .
Замечание 1. Для любого множества A, будем через  , int A, и  обозначать соответственно замыкание, внутренность и границу множества A.
Назовем внешним конусом множества Px следующее множество:
где lxy - луч, идущий из точки x и проходящий через точку  . Считаем далее, что Cx - конус "с острой вершиной", то есть не содержит прямой. Известным является факт [1], что семейство  внешних конусов задает порядок в An.
Гомеоморфизм  , для которого f(Px)=Pf(x) для любой точки , назовем порядковым -автоморфизмом. Множество всех порядковых -автоморфизмов будет группой, которую обычно обозначают  . Подгруппа группы  , сохраняющая фиксированную точку  , обозначается  .
Порядок  называется  - однородным или гранично однородным, если для любых  найдется  такой, что f(x)=y.
Имеет место следующая
Теорема. Пусть  , n>2, инвариантной относительно группы параллельных переносов несвязный порядок в n-мерном аффинном пространстве An, для которого выполнены условия:
(1) существует семейство  равных и параллельных телесных одинарных замкнутых выпуклых конусов с острой вершиной такое, что  для любых и  ;
(2) порядок - гранично однородный.
Тогда любой порядковый -автоморфизм будет аффинным преобразованием.
Доказательство .
Для любой точки  рассмотрим следующее множество
где объединение берется по всем -автоморфизмам f из стабилизатора  таких, что f(v) = uo .
Нетрудно видеть, что  , так как тождественное преобразование id, очевидно, принадлежит  и для него имеем: id(u0) = u0,  и поэтому  . В частности,  ,  , так как для любого  f(e) = e.
По условию (1)  и, кроме того, если  , то
то есть семейство  сохраняется -автоморфизмами из .
Замечание 2. Не следует думать, что в определении множества  ,  , f(v) = x точка v- фиксированная. Точка  , то есть v- точка из орбиты точки x, для которой определяется множество Dx.
Рассмотрим далее множества
Легко видеть, что  (здесь C-v, K-v- это конусы, центрально симметричные конусам Cv и Kv относительно точки v). В самом деле, для любой точки  , имеем  (семейство  задает порядок в An). Поэтому для  , f(v) = u0 имеем  и  . Если же  то  и  . Это противоречит тому, что  . Значит  для любой точки  .
Отметим теперь следующее: каждое множество Dx содержит Cx, а каждое множество D-x- содержит конус C-x. Далее, поскольку Kx, K-x- выпуклые конусы с острой вершиной, то существует гиперплоскость Tx такая, что  ,  , где  ,  - полупространства, на которые Tx разбивает An. Утверждается, что в качестве Tx можно выбрать такую гиперплоскость, которая пересекает конус Cy,  по компактному множеству. Известно, что по отношению к замкнутому однородному выпуклому телесному конусу Ce с острой вершиной все гиперплоскости, имеющие с  непустое пересечение, можно разделить на три непересекающихся класса. К первому классу A1 отнесем все гиперплоскости, пересекающие  по компактному множеству. Во второй класс A2 попадут гиперплоскости, имеющие с некомпактное пересечение и параллельные при этом какой-либо прямолинейной образующей конуса Ce, принадлежащей его границе  . Все остальные гиперплоскости будут принадлежать к третьему классу A3. Нетрудно видеть, что вышеупомянутая гиперплоскость Tx не может быть параллельна какой-либо гиперплоскости из класса A3. Это следует из того, что  , а  и также  ,  , что противоречит выбору Tx.
Если же Tx параллельна гиперплоскости из класса A2, то  и  , что также противоречит выбору Tx. Значит Tx параллельна некоторой гиперплоскости из класса A1. Итак, пусть  - эта та самая гиперплоскость, о которой идет речь выше, то есть Te параллельна гиперплоскости Tv из класса A1 и разбивает An на два полупространства  и  такие, что  ,  . Очевидно, что в этом случае найдется гиперплоскость Ty0, параллельная Te, такая, что  и множество  - компактно. Если теперь точка  , то  . Поскольку  и порядок - гранично однородный, то для любой точки  будет верно следующее:
Действительно, вследствие граничной однородности порядка для любых точек  найдется такой, что f(p0) = q0 и, значит, f(D)-p0 = D-f(p0) = D-q0. Но , поэтому  и, следовательно,  .
Покажем теперь, что наш порядок будет максимально линейчатым, то есть для любой точки  имеем  . Предположим, что это не так и найдется точка  такая, что луч  не лежит полностью в Qe, то есть  .
Если  , то есть луч l+x0, за исключением точки x0 лежит вне Qe, поступим следующим образом: Пусть  ,  точка, которая вместе с некоторым шаром  с центром в точке v0 положительного радиуса  лежит в  . Точка , значит найдется  такое, что шар  имеет непустое пересечение с int Q. Выберем точку  . Нетрудно видеть, что для прямой lm, проходящей через точку m и параллельной лучу l+x0 число точек пересечения с  уже наверняка больше двух: первая точка лежит на отрезке [m1, m), где  , вторая точка лежит на отрезке (m, m2), где  , так как  ,  ,  . В этом случае в качестве точки x0 возьмем любую точку из множества  .
Пусть точка  . Тогда по доказанному выше  (см. ( )), но, поскольку  , множество  содержат, кроме точки w0 еще и точку x0, что, очевидно, противоречит (). Значит порядок - максимально линейчатый и в соответствии с результатами Э.Б.Винберга [2] и А.К.Гуца [3] любой порядковый -автоморфизм  будет аффинным преобразованием.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть  , n>2, - несвязный порядок в An, о котором идет речь в теореме и, кроме того, семейство  внешних конусов порядка является семейством равных и параллельных эллиптических конусов.
Тогда любой порядковый -автоморфизм  будет преобразованием Лоренца.
Список литературы
Гуц А.К. Аксиоматическая теория относительности // Успехи мат. наук. 1982. Т. 37. N 2. C. 39-79.
Винберг Э.Б. Строение группы автоморфизмов однородного выпуклого конуса // Труды ММО. 1965. Т.13. С.56-83.
Гуц А.К. Порядковые и пространственно-временные структуры на однородных многообразиях : Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск: Ин-т мат. СО РАН, 1987. 203 с.
|