С.В. Никитин, Омский государственный университет, кафедра математического анализа
1. Введение
В 1973 г. Костант в своей работе [1] показал, что если G компактная группа и  ее алгебра Ли, то для элемента X из подалгебры Картана  алгебры выполнено равенство
где  - ортогональная проекция (относительно формы Киллинга);  - группа Вейля алгебры ,  означает выпуклую оболочку множества A.
Теорема Костанта о выпуклости является обобщением более ранних результатов Шура и Хорна. В 1923 г. Шур доказал, что диагональ  эрмитовой матрицы A=(aij) порядка n с собственными числами  содержится в выпуклой оболочке множества  , где Sn - симметрическая группа, действующая на  перестановками координат. Затем Хорн показал, что каждая точка этой выпуклой оболочки может быть получена таким способом.
Таким образом, проекция орбиты  - это выпуклый многогранник с вершинами в точках  . В 1982 г. Guillemin и Stenberg [2], а также Atiyah [3] дали интерпретацию теоремы Костанта как теоремы о выпуклости отображения моментов. Следующий естественный шаг - нахождение проекции инвариантной меры с орбиты на подалгебру Картана. Существует формула Duistermaat-Heckman'а [4, 5] для преобразования Лапласа проекции инвариантной меры, по которой она может быть восстановлена, но представляет интерес и прямая геометрическая конструкция для нахождения проекции инвариантной меры, которая предложена в этой статье.
2. Предварительные сведения
Пусть - конечномерная вещественная простая компактная алгебра Ли, - ее подалгебра Картана. Группа Ли G алгебры действует на  с помощью коприсоединенного представления  :  , где  ,  . Определим орбиту элемента :
На каждой орбите  существует единственная с точностью до пропорциональности инвариантная мера  , т.е. такая, что для любой непрерывной функции  и для любого
Пусть  ортогональная проекция. Определим проекцию меры на  - это мера  , задаваемая соотношением:
где - финитная непрерывная функция на . Мера абсолютно непрерывна и  , где  - плотность проекции меры . Нахождению плотности и посвящена эта статья.
Введем некоторые обозначения:  - система корней алгебры  ,  - множество положительных корней,  - их полусумма. Пусть  - решетка весов алгебры , кроме того, пусть  обозначает множество  , где  - камера Вейля. представляет собой множество всех старших весов . Каждому неприводимому представлению группы G соответствует единственный старший вес  . Если  - характер этого представления, то формула Кириллова утверждает, что
где
Интеграл в правой части формулы Кириллова можно понимать как обратное преобразование Фурье от функции  :
Таким образом, формулу Кириллова можно переписать в следующем виде:
или
Пусть  неприводимое представление . Обозначим множество весов как  . Если  , то  обозначает кратность веса  в представлении . Известно, что
Поэтому, применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства, получаем:
где  - дельта-функция в точке . Найдя функцию  , мы получим выражение для функции :
или
Точное выражение для функции  в дальнейшем не требуется, нам достаточно знать, что это положительная, финитная, кусочно-непрерывная функция.
3. Функция 
В этом разделе мы определим функцию , через которую выражается функция , а также укажем некоторые ее свойства.
В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения: в - ранг алгебры, т.е. размерность подалгебры Картана , s - число положительных корней, r - разность s-d, которая строго больше нуля для всех алгебр Ли (кроме алгебры A1). Для того чтобы определить , мы рассмотрим систему положительных корней  как проекцию набора из s попарно ортогональных векторов. Остановимся на этом более подробно.
Пусть  , где  - векторное пространство, порожденное , т.е. линейная оболочка множества ,  . Рассмотрим некоторое векторное пространство L, в которое  вложено как подпространство векторов, имеющих ненулевыми первые в координат. Имеется естественная ортогональная проекция  . Нетрудно проверить, что если выбрать подходящую (достаточно большую) размерность пространства L, то в L можно найти набор из s векторов  таких, что (ei,ej)=0, если  и, кроме того,  . Пространство V - линейная оболочка векторов  , которые образуют в нем ортогональный базис. Введем следующее обозначение:
V+ - это конус в пространстве V, порожденный векторами  . Определим на функцию следующим образом:
где mes - мера Лебега на  .
Замечание. В случае алгебры Ли A1 множество  0-мерно. В этом случае можно считать, что функция имеет следующий вид:
Функция определена всюду в , непрерывна, кусочно-полиномиальна и определяется алгеброй с точностью до пропорциональности, т.е. при выборе другого базиса функция лишь умножается на константу.
Можно рассматривать функцию как непрерывное продолжение дискретной функции Костанта. Функция Костанта  , где  - решетка корней алгебры; - это число способов представить в виде суммы положительных корней, Q(0)=1. Пусть  - решетка в V. Тогда  равно числу элементов в множестве  , а  - это мера или объем  . Для примера функция Костанта и функция для алгебры Ли A2 связаны следующим образом:  ,  . Формула Костанта для кратностей весов в неприводимом представлении со старшим весом  такова:
4. Основной результат
Теорема. Пусть  . Тогда проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления, проходящей через точку , имеет плотность :
Кроме того, функция  является непрерывной, кусочно-полиномиальной, инвариантной относительно действия группы Вейля  функцией, носитель которой содержится в множестве  .
НАБРОСОК ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. Докажем равенство (*) для  . Сечение  орбиты  , проходящее через точку  , имеет размерность r, поэтому  . Таким образом, мы получаем:
Для вычисления используется формула Костанта для кратностей весов. Если  , то
Затем обе части равенства умножаются на непрерывную финитную функцию  , интегрируются по и, наконец, n устремляется к бесконечности (при этом сумма в правой части рассматривается как интегральная сумма). После некоторых преобразований получается следующее равенство:
Так как это верно для любой непрерывной функции , то получаем (*) для всех  После этого, используя однородность функции , (*), доказывается для всех  ,  , где  ,  , а затем, используя предельный переход, и для всех . Непрерывность и кусочно-полиномиальность следуют из соответствующих свойств функции .
Докажем инвариантность относительно действия группы Вейля, т.е. равенство  . Так как для функции j(X) выполнено равенство j(wX)=j(X), то верно и  . Далее, если  , то
Затем равенство  доказывается для всех  . Из равенства (*) легко получить, что  . Так как функция -инвариантна, то  .
Список
литературы
Kostant B. On convexity, the Weyl group and the Iwasawa decomposition // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1973. N.6. С.413-455.
Guillemin V., Stenberg S. Convexity properties of the moment mapping // Invent. Math. 1982. N.67. С.491-513.
Atiyah M. Convexity and commuting hamiltonians // Bull. London Math. Soc. 1982. N.14. С.1-15.
Duistermaat J. J., and Heckman G. J. On the variation in the cohomology in the symplectic form of the reduced phase space // Invent. Math. 1982. N.69. С.259-268.
Neeb K.-H. A Duistermaat-Heckman formula for admissible coadjoint orbits, preprint.
|