М.В. Мамонова, Р.В. Потерин, В.В. Прудников, Омский государственный университет, кафедра теоретической физики
В последнее время интенсивно развиваются методы аналитического описания поверхностных свойств твердых тел, основанные на определении энергетического состояния поверхности с привлечением методов квантовой механики. При описании поверхностных явлений в металлах особенно эффективно применяется метод функционала электронной плотности [1,2]. В предлагаемой работе в рамках метода функционала плотности проведен расчет поверхностной энергии для ряда металлов. Исследованы влияния различных приближений, учитывающих дискретность кристаллической структуры и неоднородность электронного газа в поверхностном слое металлов. Для расчета влияния электрон-ионного взаимодействия на величину поверхностной энергии металлов впервые был использован обобщенный псевдопотенциал Хейне-Абаренкова. Проведен сравнительный анализ результатов, полученных с его использованием, с результатами, полученными с привлечением иных моделей, в частности псевдопотенциала Ашкрофта.
Рассмотрим полуограниченный металл, граничащий с вакуумом. При расчете поверхностных свойств определяющей является функция распределения электронной плотности n(z) вблизи поверхности. Она должна удовлетворять требованию экспоненциального затухания вне металла и стремиться к объемному значению электронной плотности внутри металла. Распределение электронной плотности n(z) находится как функция, обеспечивающая минимум функционала полной энергии неоднородной системы. Представим функционал полной энергии в виде градиентного разложения :
 |
(1) |
где
 |
(2) |
есть плотность энергии однородного электронного газа в атомных единицах, включающая последовательно электростатическую, кинетическую, обменную и корреляционную энергии, а
 |
(3) |
где
 - фермиевский волновой вектор. являются соответственно градиентными поправками второго порядка на неоднородность электронного газа для кинетической энергии в приближении Вейцзекера-Киржница и обменно-корреляционной энергии в приближении Вашишты-Сингви (VS) [3].
В качестве пробных функций для потенциала  и электронной плотности n(z) были выбраны решения линеаризованного уравнения Томаса-Ферми:
 |
(4) |
где n0 - объемная электронная плотность,  - ступенчатая функция.
В дальнейшем параметр  считался вариационным, определяемым при минимизации функционала энергии (1). С физической точки зрения величина  представляет собой характерную толщину поверхностного слоя, на котором резко меняется электронная плотность.
Поверхностную энергию металла представим в виде следующей суммы :
 |
(5) |
где  - вклад от электронной системы в рамках модели "желе", когда заряд положительных ионов в металле считается равномерно и непрерывно размазанным по всему объему;  возникает от электростатического взаимодействия ионов между собой;  - связан с разностью в электростатическом взаимодействии электронов с дискретными ионами и с однородным фоном "желе". Для можно воспользоваться аналитическим выражением работы [5]:
 |
(6) |
где Z - валентность ионов; с - расстояние между ближайшими соседями в плоскости параллельной поверхности; в - межплоскостное расстояние.
Для вычисления поправки на электрон-ионное взаимодействие воспользуемся широко применяемым в физике металлов обобщенным псевдопотенциалом Хейне-Абаренкова. Явный вид данного псевдопотенциала можно записать следующим образом:
 |
(7) |
Псевдопотенциал Хейне-Абаренкова переходит в выражение для другого широко используемого псевдопотенциала Ашкрофта при V0=0. Для получения нами была использована методика, развитая в работе [6], согласно которой
 |
(8) |
где  имеет смысл среднего по плоскостям от суммы ионных псевдопотенциалов за вычетом потенциала полубесконечного однородного фона заряда. Нами было получено для  при -d<z<0 следующее выражение:
 |
(9) |
Проводя суммирование по ионным плоскостям с z=-(i+d/2), i=1,2,... и воспользовавшись периодичностью потенциала  , из (8) получим
 |
(10) |
Проводя численное интегрирование и минимизацию полной поверхностной энергии (5), определяем параметр  , а затем и само значение  . В настоящей работе для определения параметров псевдопотенциала Хейне-Абаренкова использовалось условие минимума объемной энергии металла при наблюдаемом равновесном атомном объеме  В соответствии с приближением локальной плотности объемная энергия металла выражалась через параметр плотности rs :
 |
(11) |
Минимизация данного соотношения по rs приводит к выражению, связывающему V0 и Rm :
 |
(12) |
В результате возникает проблема определения второго параметра потенциала (7). Обычно его определяют по сопоставлению расчетов, проведенных с использованием данного псевдопотенциала, с какими-либо эмпирическими характеристиками. В данной работе в качестве такой
Таблица 1
| Металл |
Z |
n0, |
d, |
c, |
rc, |
 |
Rm, |
V0, |
 |
| ат.ед. |
ат.ед. |
ат.ед. |
ат.ед. |
эрг/см2 |
ат.ед. |
ат.ед. |
эрг/см2 |
| Na (ОЦК) |
1 |
0.0038 |
5.71 |
6.99 |
1.736 |
265 |
1.800 |
0.529 |
280 |
| Pb (ГЦК) |
4 |
0.0194 |
5.38 |
6.59 |
1.457 |
1064 |
1.355 |
0.172 |
560 |
| Al (ГЦК) |
3 |
0.0269 |
4.92 |
5.25 |
0.960 |
1269 |
1.150 |
0.100 |
1140 |
| Cu (ГЦК) |
2 |
0.0252 |
3.92 |
4.80 |
0.923 |
898 |
1.350 |
0.588 |
1750 |
| Fe (ОЦК) |
4 |
0.0504 |
4.84 |
4.70 |
0.945 |
631 |
1.090 |
0.343 |
1910 |
| Cr (ОЦК) |
4 |
0.0492 |
3.85 |
4.72 |
0.956 |
649 |
1.120 |
0.364 |
2060 |
| Mo (ОЦК) |
6 |
0.0570 |
4.21 |
5.16 |
1.094 |
887 |
1.210 |
0.227 |
2200 |
экспериментальной характеристики была использована величина поверхностной энергии. В таблице 1 приведены значения параметров, использованные для расчета поверхностной энергии металлов, и рассчитанные значения параметров псевдопотенциала Хейне-Абаренкова для ряда простых и переходных металлов, дающие в соответствии с развитой методикой значения поверхностной энергии, наиболее хорошо согласующиеся с экспериментальными. Следует заметить, что для определения параметра обрезания rc псевдопотенциала Ашкрофта достаточно использования условия минимальности объемной энергии металла. Получающиеся при этом значения параметра обрезания rc и соответствующие значения поверхностной энергии также приведены в табл. 1. Проведенные нами расчеты поверхностной энергии металлов с использованием псевдопотенциала Ашкрофта и различного типа обменно-корреляционных поправок на неоднородность электронного газа [7] показали, что ни одна из поправок не является универсальной, а модель псевдопотенциала Ашкрофта неприменима для описания поверхностных характеристик благородных и переходных металлов,так как дает для них чересчур заниженные значения. Модель, использующая псевдопотенциал Хейне-Абаренкова, позволяет решить эту проблему. Отсутствие универсальных обменно-корреляционных поправок для металлов в рамках модели псевдопотенциала Ашкрофта [], приводит к значительным трудностям при расчетах адгезионных характеристик. Применение псевдопотенциала Хейне-Абаренкова с единой обменно-корреляционной поправкой в приближении Вашишты-Сингви позволяет избежать данных трудностей и позволяет применять данную модель для расчета адгезионных свойств как простых, так и переходных металлов.
Список литературы
Партенский М.Б. Самосогласованная электронная теория металлической поверхности // УФН. 1979. 128. Вып.1. С.69-106.
Ухов В.Ф., Кобелева Р.М., Дедков Г.В., Темроков А.И. Электронностатистическая теория металлов и ионных кристаллов. М.:Наука, 1982.
Vashishta P., Singwi K.S. Electron correlations at metallic densities. // Phys.Rev., 1972. B6. N3. P.875-887.
Ferrante J., Smith J.R. A theory of adhesional bimetallic interface overlap effects. // Surface Science. 1973. 38. N1. P.77-92.
Кобелева Р.М., Гельчинский Б.Р., Ухов В.Ф. К расчету поверхностной энергии металлов в модели дискретного положительного заряда // ФММ. 1978. 48. N1. С.25-32.
Вакилов А.Н., Прудников В.В., Прудникова М.В. Расчет решеточной релаксации металлических поверхностей с учетом влияния градиентных поправок на неоднородность электронной системы // ФММ. 1993. 76. N6. С.38-48.
Вакилов А.Н., Потерин Р.В. Прудников В.В., Прудникова М.В. Расчет адгезионных характеристик металлов и их расплавов. // ФММ, 1995, 79, N4, с.13-22.
|