Министерство высшего и профессионального образования

Томский государственный архитектурно-строительный университет

Кафедра Теоретической механики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по теоретической механике № 1

«Определение угловых скоростей и угловых ускорений звеньев механизма манипулятора по заданному движению рабочей точки»

Вариант № 1

Выполнил:

студент группы 013/12т

Шмидт Дмитрий

Проверил:

Евтюшкин Е.В.

ТОМСК – 2004

Решение.

а=0,5 м; b=1,2 м; c=0,4 м; Х_А =1,4091 м; (1)

φ₀ =60⁰ ; ψ₀ =15⁰ ; Y_А =0,7436-0,1 *tм;

X_A =0; X_A =0;

Y_A =-0,1; Y_A =0.

Уравнениясвязей:

|OA|=|OD|+|DA| (2) |OD|=a=const; |DA|=b=const;

|DC|=|DB|+|BC| (3) |DC|=c=const;|BC|=c=const;

Проекции (2) на оси координат:

X_A =a*cos φ+b*cos ψ; (4)

Y_A =a*sin φ-b*sin ψ;

После дифференцирования (4) по tимеем:

a*sin φ*φ+b*sin ψ*ψ=0; (4)’

-a*cos φ*φ-b*cos ψ*ψ=0.1;

Решения (4)’ в общем виде:

φ_i =0,1*sin ψ _i /a*sin (φ_i - ψ _i ); (4.1)’

ψ_i =-0,1*sin φ_i /b*sin (φ_i -ψ_i ); (4.2)’

(4.1)’ и (4.2)’ с учетом заданных параметров:

φ_i =0,2*sin ψ_i /sin(φ_i -ψ_i ); [1]

ψ_i =-0,0833*sin φ_i / sin (φ_i -ψ_i ); [2]

После дифференцирования по t(4)’ имеет вид:

a*sin φ*φ+b*sin ψ*ψ=-(a*φ² *cosφ -b*ψ² *cos ψ); (4)”

-a*cos φ*φ-b*cos ψ*ψ=-(a*φ² *sin φ+b*ψ² *sin ψ);

Решения (4)” вобщемвиде:

φ_i = -[(a*φ_i ² *cos (φ_i -ψ_i )+b*ψ_i ² )/a*sin(φ_i -ψ_i )]; (4.1)”

ψ_i = (b* ψ_i ² *cos (φ_i -ψ_i )+a*φ_i ² )/b*sin(φ_i -ψ_i )]; (4.2)”

(4.1)” и (4.2)” с учетом заданных параметров:

φ_i =-[( φ_i ² *cos (φ_i -ψ_i )+2.4*ψ_i ² )/ sin(φ_i -ψ_i )];] [3]

ψ_i = (ψ_i ² *cos (φ_i -ψ_i )+0.4167*φ_i ² )/sin (φ_i -ψ_i ); [4]

Проекции [3] на оси координат:

c*cos ψ =c*cos θ +S*cos φ; (5)

c*sin ψ =-c*sin θ +S*sin φ;

Находим параметры Sи θдля t=0:

(-c*cos θ₀ ) ² =(-c*cos ψ ₀ +S₀ *cos φ₀ ) ² ;

(c*sin θ₀ ) ² =(-c*sin ψ ₀ +S₀ *sin φ₀ ) ² ;

c² =c² -2*c*S₀ *cos (φ₀ -ψ₀ )+S₀ ² , отсюдаS₀ =2*c* cos (φ₀ -ψ₀ )=0.5657м;

Разделив первое уравнение (5) на второе, имеем:

- сtg θ₀ =(-c*cos ψ ₀ +S₀ *cos φ ₀ )/ -c*sin ψ ₀ +S₀ *sin φ ₀ =(-0.4*0.965+0.5657)/-0.4*0.2588+0.5657*0.866=-0.2668

Тогда θ₀ =75.⁰ 0.4’

После дифференцирования (5) по tимеем:

c*sin θ*θ-cos φ *S=c*ψ*sin ψ -S*φ*sin φ; (5)’

c*сos θ*θ-sin φ *S=-c*ψ*cosψ +S*φ*cos φ;

Решения (5)’ в общем виде:

θ_i =(-c*ψ_i *cos (φ_i -ψ_i )+S_i * φ _i )/c*cos (θ_i + φ _i ); (5.1)’

S_i =S*φ_i *sin (θ_i +φ_i )-c_i *ψ_i *sin (θ_i +φ_i )/cos (θ_i + φ _i ); (5.2)’

(5.1)’ и (5.2)’ с учетом заданных параметров:

θ_i =-ψ _i *cos (φ_i -ψ_i )+2.5*S_i * φ _i /cos (θ_i +ψ_i ); [5]

S_i =S*φ_i *sin (θ_i +φ_i )-0.4*ψ_i *sin (θ_i +ψ_i )/cos (θ_i + φ _i ); [6]

После дифференцирования (5)’по t имеем:

с*sinθ*θ-cosφ *S=-2S*φ*sinφ-S(φ*sinφ+ φ² cosφ)+c(ψ*sinψ+ ψ² *cosψ)-с*θ² *cosθ (5)”

с*cosθ*θ-sinφ*S=2S*φ*cosφ+S(φ*cosφ- φ² sinφ)- c(ψ*cosψ- ψ² *sinψ)-с*θ² *sinθ

Решения (5)” в общем виде:

θ_i =[2S*φ+S* φ-c[ ψ*cos(φ-ψ)+ ψ² *sin(φ- ψ)]+c* θ_i ² *sin (φ +θ)]/c*cos(θ+φ) (5.1)”

S_i = 2S*φ*sin (θ+φ) +S*[ φ *sin(φ+θ)+ φ ² *cos(φ+θ)]-c*[ ψ_i *sin (ψ+θ)+ ψ² cos(θ+ψ)]+с * θ_i ² /c*cos(θ+φ) (5.2)”

(5.1)” и (5.2)” с учетом заданных параметров:

θ_i =[2,5*(2*S* φ+Sφ)-[ ψcos (φ-ψ)+ φ² sin(φ-ψ)]+ θ_i ² *sin(θ+φ)]/ cos (θ+φ); [7]

S_i =[2*S* φsin(θ+φ)+S[φsin(θ+φ)+ φ² cos (θ+φ)]-0.4[ψsin(φ+ ψ)+ ψ² *cos(θ+ ψ)+ θ_i ² ]/ cos (θ+φ); [8]

Используя формулы [1]÷[8] вычисляем текущие параметры, а с помощью формул [9] находим последующие параметры:

φ_{i +1} =φ_i +φ_i *∆t+φ_i *∆t² /2; φ_{i +1} =φ_i +0,2*φ_i +0,02*φ_i ;

ψ_{i +1} =ψ_i +ψ_i *∆t+ψ_i *∆t² /2; ψ_{i +1} =ψ_i +0,2*ψ_i +0,02*ψ_i ; [9]

θ_{i +1} =θ_i +θ_i *∆t+θ_i *∆t² /2; θ_{i +1} =θ_i +0,2*θ_i +0,02*θ_i ;

S_i+1 =S_i +S_i *∆t+S_i *∆t² /2; S_i+1 =S_i +0,2*S_i +0,02*S_i ;

где ∆t=0,2 c.

Полученные результаты заносим в сводную таблицу.

Параметры для t=0,4;0,6;0,8;1,0 (с) находим по алгоритму для t=0 и t=0,2 (c), приведенному ниже.

t=0 : sin ψ₀ =0,2588; sin φ₀ =0,866; sin (φ₀ -ψ₀ )=0,7071;

cos (φ₀ -ψ₀ )=0,7071;

[1] φ₀ =0,2*0,2588/0,7071=0,0732; φ₀ ² =0,0053;

[2] ψ₀ =-[0,0833*0,866/0,7071]=-0,1020; ψ₀ ² =0,0104;

[3] φ₀ =-[2,4*0,0104+0,0053*0,7071/0,7071]=-0,0479;

[4] ψ₀ =0,4167*0,0053+0,01040*0,7071/0,7071=0,0281;

[9] φ₁ =1,0440+0,0146-0,0009=1,0577 (60⁰ 37’); φ₁ -ψ₁ =46⁰ 49’

ψ₁ =0,2610-0,0204+0,005=0,2411 (13⁰ 48’); sin (φ₁ -ψ₁ )=0,7292;

cos(φ₁ -ψ₁ )=0,6843;

θ₀ ² =0,0615;

θ₀ +φ₀ =135⁰ 04’: sin (θ₀ +φ₀ )=0,7062;

cos (θ₀ +φ₀ )=-0,7079;

θ₀ +φ₀ =90⁰ 04’: sin (θ₀ + ψ ₀ )=1.0;

cos (θ₀ + ψ ₀ )=-0,0012;

[5] θ₀ =-0,1290*0,5736-1,25*0,9178*0,2034/0,0.7079=-2480;

[6] S₀ =-0,8*0,1290*0,9397-0,9178*0,2034*0,7660/0,7079=-0,0988;

[7] θ₀ =-0,0496*0,5736-0,0266*0,8192-2,5*0,0802*0,2034-1,25*0,9178*0,0559+0,0772*

*0,8192/0,7079=0,1233;

[8] S₀ =-0,8*(-0,0496*0,9397-0,0166*0,3420+0,0772)-2*0,0802*0,8192*0,2034+0,9178*

*(-0,0559*0,8192-0,0414*0,5736)/0,7079=0,0947;

[9] θ₁ =1,3061-0,0496+0,0024=1,2589 (72⁰ 10’);

S₁ =0,5657-0,0197+0,0018=0,5478м;

θ₁ +ψ₁ =85⁰ 58’; θ₁ +φ₁ =132⁰ 47’;

sin (θ₁ +ψ₁ )=0,9976; sin (θ₁ +φ₁ )=0,7339;

cos (θ₁ +ψ₁ )=0,0704; cos (θ₁ +φ₁ )=-0,6792;

t=0,2 c : sin ψ₁ =0,2386; sin φ₁ =0,8714; sin (φ₁ -ψ₁ )=0,7292;

cos (φ₁ -ψ₁ )=0,6843;

[1] φ₁ =0,25*0,3832/0,8076=0,0654; φ₁ ² =0,0042;

[2] ψ₁ =-0,3333*0,52/0,8076=-0,0995; ψ₁ ² =0,099;

[3] φ₁ =-0,0141*0,5896+0,75*0,0461/0,8076=-0,0363;

[4] ψ₁ =-0,0461*0,5896+1,3333*0,0141/0,8076=0,0115;

[9] φ₂ =1,0577+0,0130-0,0007=1,0700 (61⁰ 20’); φ₂ -ψ₂ =48⁰ 39’;

ψ₂ =0,3932-0,0429-0,0011=0,2214(12⁰ 41’);

S₁ =0,5478 м; sin (θ+ψ₁ )=0,9976; sin (θ+φ₁ )=0,7339;

cos (θ₁ +ψ-₁ )=0,0704; cos (θ₁ +φ₁ )=-0,6792;

[5] θ₁ =0,1186*0,5896+1,25*0,9363*(-0,2146)/-0,6792=-0,2318; θ₁ ² =0,0537;

[6] S₁ =0,8*0,1186*0,9508-0,9363*0,2146*0,7118/-0,6792=-0,0970;

[7] θ₁ =-0,0531*0,5896-0,0146*0,8076-2,5*0,0902*0,2146-1,25*0,9363*0,057+0,096*

*0,8109/-0,6792=0,0833;

[8] S₁ =-0,8*(-0,0531*0,9508-0,0141*0,3098+0,0960)-2*0,0902*0,2146*0,8109+0,9363*

*(-0,057*0,8109-0,0461*0,5852)/-0,6792=0,0758;

[9] θ₂ =1,2589-0,0463+0,0016=1,2136 (69⁰ 33’);

S₂ =0,5478-0,0194+0,0015=0,5299 м;

θ₂ +ψ₂ =127⁰ 01’; θ₂ +φ₂ =157⁰ 42’;

sin (θ₂ +ψ₂ )=0,6533; sin (θ₂ +φ₂ )=0,1684;

cos (θ₂ +ψ₂ )=-0,1568; cos (θ₂ +φ₂ )=-0,3875;