Статья: Целая и дробная части действительного числа
Название: Целая и дробная части действительного числа Раздел: Рефераты по математике Тип: статья |
Т.С. Кармакова , доцент кафедры алгебры ХГПУ В различных вопросах теории чисел, математического анализа, теории рекурсивных функций и в других вопросах математики используются понятия целой и дробной частей действительного числа. В программу школ и классов с углубленным изучением математики включены вопросы, связанные с этими понятиями, но на их изложение в учебнике алгебры для 9 класса [1] отведено всего 34 строки. Рассмотрим более подробно эту тему. Определение 1 Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Целая часть числа обозначается символом [х ] и читается так: “целая часть х” или: “целая часть от х ”. Иногда целая часть числа обозначается Е(х) и читается так: “антье х ” или “ антье от х ”. Второе название происходит от французского слова entiere – целый. Пример. Вычислить [x], если х принимает значения: 1,5; 3; -1.3; -4. Решение Из определения [x] следует: [1,5] = 1, т.к. 1 [ 3 ] = 3, т.к. 3 [-1,3]=-2, т.к. –2 [-4] =-4, т.к. -4 Свойства целой части действительного числа. 1°. [ x ] = x , если х 2°. [ x ] 3°. [ x + m ] = [ x ] + m , где m Рассмотрим примеры использования этого понятия в различных задачах. Пример 1 Решить уравнения: 1.1[ x ] = 3 [ x + 1,3 ] = - 5 [ x + 1 ] + [ x – 2] – [x + 3 ] = 5 1.4 [ x ] Решение 1.1 [ x ] = 3. По свойству 2° данное уравнение равносильно неравенству 3 Ответ : [ 3 ; 4 ) [ x + 1,3 ] = - 5. По свойству 2° : - 5 Ответ : [ -6,3 ; -5,3 ) [ x + 1 ] + [ x – 2 ] – [ x + 3 ] = 5. По свойству 3°: [ x ] + 1 + [ x ] – 2 – [ x ] – 3 = 5
Ответ : [ 9 ; 10 ) 1.4 [ x ] Ответ : [ 2 ; 3 ) Пример 2. Решить неравенства: 2.1 [ x ] [ x ] > 2 [ x ] [ x ] < 2 [ x ] Решение 2.1 Согласно определению [ x ] и 1°, этому неравенству удовлетворяют х Ответ : [ 2 ; 2.2 Решение этого неравенства: х Ответ : [ 3 ; 2.3 x < 3 2.4 x < 2 2.5 Пусть [ x ] = t , тогда данное неравенство равносильно системе
Ответ : [ 3; 6 ). 2.6 Пусть [ x ] = t , тогда получим . Ответ : (- Пример 4. Постройте график функции y = [ x ] Решение 1). ООФ: х 2). МЗФ: y 3). Т.к. при х О [ m ; m + 1), где m О Z , [ x ] = m, то и y = m, т.е. график представляет совокупность бесконечного множества горизонтальных отрезков, из которых исключены их правые концы. Например, х О [ -1 ; 0 ) Ю [ x ] = -1 Ю y = - 1 ; x О [ 0; 1) Ю [ x ] = 0 Ю y = 0. Примечание. 1. Имеем пример функции, которая задается разными аналитическими выражениями на разных участках. 2. Кружочками отмечены точки, не принадлежащие графику. Определение 2. Дробной частью действительного числа х называется разность х – [ x ]. Дробная часть числа х обозначается символом { x }. Пример. Вычислить { x }, если х принимает значение : 2,37 ; -4 Решение { 2,37 } = 0,37 , т.к. { 2,37 } = 2,37- [ 2,37 ] = 2,37 – 2 = 0,37.
{ 3,14…} = 0,14… , т.к. { 5 } = 0 , т.к. { 5 } = 5 – [ 5 ] = 5 – 5 = 0. Свойства дробной части действительного числа. 1°. { x } = x – [ x ] 2°. 0 3°. { x + m } = { x }, где m О Z 4°. { x } = x , если х О [ 0 ; 1) 5° Если { x } = а , a О [ 0 ; 1), то х =а +m, где m О Z 6°. { x } = 0 , если х О Z. Рассмотрим примеры применения понятия { x } в различных упражнениях. Пример 1. Решить уравнения: 1.1 { x } = 0,1 1.2 { x } = -0,7 { x } = 2,5 { x + 3 } = 3,2 { x } Решение По 5° решением будет множество х = 0,1 + m , m О Z 1.2 По 2° уравнение не имеет корней, х ОЖ 1.3 По 2° уравнение не имеет корней, х ОЖ По 3° уравнение равносильно уравнению { x }+ 3 = 3,2 Ю { x } = 0,2 Ю x = 0,2 + m , m О Z 1.5 Уравнение равносильно совокупности двух уравнений
х Пример 2. Решить неравенства: 2.1 { x } 2.2 { x } { x + 4 } < 4,7 { x } Решение 2.1 По 5° : 0,4 + m 2.2 По 1° : х О R По 3° : {x } + 4 < 4,7 Ю { x }< 0,7. По 5° : m < x < 0,7 + m , m О Z 2.4 Так как { x } 2.5 Решим соответствующее квадратное уравнение: { x } Ответ : ( 0,5 + m ; 1 + m ) m О Z , k О Z Пример 3. Построить график функции y = { x } Построение. 1). ООФ : x О R 2). МЗФ : y О [ 0 ; 1 ) 3). Функция y = { x } периодическая и ее период T = m , m О Z, т.к. если х О R, то (x+m) О R и (x-m) О R, где m О Z и по 3° { x + m } = { x – m } = { x }. Наименьший положительный период равен 1, т.к. если m > 0, то m = 1, 2, 3, . . . и наименьшее положительное значение m = 1. 4). Так как y = { x } – периодическая функция с периодом 1, то достаточно построить ее график на каком-нибудь промежутке, длиной 1, например, на промежутке [ 0 ; 1 ), тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного на m, m О Z, график будет таким же. а). Пусть х О [ 0 ; 1 ), тогда { x } = x и y = x . Получим , что на промежутке [ 0 ; 1 ) график данной функции представляет отрезок биссектрисы первого координатного угла, из которого исключен правый конец. б). Воспользовавшись периодичностью, получаем бесконечное множество отрезков, образующих с осью Ох угол в 45° , из которых исключен правый конец. Примечание. Кружочками отмечены точки, не принадлежащие графику. Пример 4. Решить уравнение 17 [ x ] = 95 {x } Решение Т.к. { x } О [ 0 ; 1 ), то 95 { x }О [ 0 ; 95), а, следовательно, и 17 [ x ]О [ 0 ; 95 ). Из соотношения 17 [ x ]О [ 0 ; 95 ) следует [ x ]О Из данного уравнения следует, что { x } = [ x ] делаем вывод : { x }, соответственно, может равняться 0 ; Т. к. требуется найти х, а х = [ x ] + { x }, то получаем, что х может равняться 0 ; Ответ : Примечание. Аналогичное уравнение предлагалось в 1 туре краевой математической олимпиады для десятиклассников в 1996 году. Пример 5. Построить график функции y = [ { x } ]. Решение
y
Пример 6. Постройте на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению { x } = Решение Т. к. данное уравнение равносильно уравнению х =
Список литературы Алгебра для 9 класса: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изучением математики /Н. Я. Виленкин и др., по ред. Н. Я. Виленкина.- М. Просвещение, 1995 г. В. Н. Березин, И. Л. Никольская, Л. Ю. Березина Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике - М. 1985 А. П. Карп Даю уроки математики - М., 1982 г. Журнал “Квант”, 1976, № 5 Журнал “Математика в школе”: 1973 №1, №3; 1981 №1; 1982 №2; 1983 №1; 1984 №1; 1985 №3. |