Т.
Сумма смежных
углов = 180°
Т.
Вертикальные
углы равны (общая вершина,стороны одного сост.продолжение сторон друг.)
Две прямые наз-ся параллельн.
, если они лежат в 1-й плоскости и не пересекаются.
Акс.
(осн.св-во паралл.прямых)
Через точку, не леж. на данной прямой можно провести на плоскости только 1
прямую, параллельную данной.
Сл.
: 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то перес-ет и другую.
2. Если две прямые | | 3-ей, то | | друг другу.
 Признаки параллельности прямых.
Е
      А В В А А В
С Д Д
Д С С
ÐВАС ÐДСА внутр. одностор. (1рис)
ÐВАС ÐДСА внутр. накрест лежащ. (2)
ÐЕАВ ÐАСД соответств. (3)
Т 1.
Если при пересеч. 2-х прямых на плоскости внутр.накрест лежащ. Ð =, то прямые параллельны.
Т 2.
Если при пересеч 2-х прямх секущей соответственные углы равны,-прямые| |.
Док-во
Пусть (а) и (b) обр-т к секущей АВ равные соотв. Ð1=Ð2
Но Ð1=Ð3 (вертикальные)-Ð3=Ð2.Но Ð2 и Ð3-накрестлежщие.-По Т
1 a | | b-
Т3.
Если при пересеч. 2-х прямых секущей на плоскости, сумма внутр. одност. Ð=180°, то прямые | |-
Для ТТ 1-3 есть обратыные.
Т4.
Если 2 паралл.прямые пересечны 3-й
прямой, то внутр.накрестлеащие Ð=, со-
ответств.Ð=, сумма внутр.одностÐ=180°.
Перпедикулярные пр-е
пересек-ся Ð90°.
1.Через кажд.тчку прямой можно провести ^ ей прямую, и только 1.
2. Из любой тчки (Ï данной прямой) можно опустить перпендикуляр^ на данную прямцю и только 1.
3. две прямые ^ 3-й параллельны.
4. Если прямая ^ 1-й из | | прямых, то она ^ и другой.
Многоугольник
(n-
угольник)
Т.
Любой правильный выпуклый мн-к можно вписать в окружность и описать около окружности. (R- опис., r- впис.)
R = a / 2sin(180°/n); r = a / 2 tg (180°)
Треугольник
NB! 1. Все 3 высоты каждогоÑ пересек. в 1 тчке (ортоцентр).
2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) - делит кажд. Медиану в отн 2:1 (счит. От вершины).
3. Все 3 биссектр. Ñ пересек. в 1 тчке -
центр впис. Круга.
4. Все 3 ^, восстановленные из середин сторон Ñ, пересе. в 1 тчке - центр опис. круга.
5. Средняя линия
| | и =Ѕ основания
H(опущ. на стор. a) = 2
v
p(p-a)(p-b)(p-c)
a
M(опущ на стор a) = Ѕv 2b2+2c2 -a2
B (-‘’-)= 2v bcp(p-a) / b+c
p - полупериметр
aІ=bІ+cІ-2bx,х-проекция 1-й из сторон
Признаки равенства
Ñ
:
2Ñ=, если = сотв.
1. 2 стороны и Ð между ними.
2. 2 Ð и сторона между ними.
3. 2 Ð и сторона, противолеж. 1-му из Ð
4. три стороны
5. 2 стороны и Ð , лежащий против большей из них.
Прямоугольный
Ñ
C=90
°
aІ+bІ=cІ
NB! TgA= a/b; tgB =b/a;
sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c
Равносторонний
Ñ
H= v3 * a/2
SÑ= Ѕ h a =Ѕ a b sin C
Параллелограмм
dІ+d`І=2aІ+ 2bІ
S =h a=a b sinA(между а и b)
= Ѕ в d` sinB (между в d`)
Трапеция S= (a+b) h/2 =ЅuvsinZ= Mh
Ромб
S
=a h=aІsinA= Ѕ в d`
Окружность
L= pRn° / 180°,n°-центрÐ
Т.
Впис.Ð= ЅL , L-дуга,на ктрую опирÐ
S(cектора)= Ѕ RІa= pRІn° / 360°
Векторы.. Скалярное произведение
`а`b=|`a| |`b| cos (`a Ù`b),
|`a| |`b| - длина векторов
Скалярное произведение
|`a|{x`; y`}и |`b|{x``; y``}, заданных своими коорди-натами, =
|`a| |`b| = x` × y` + x``× y``
Преобразование фигур
1. Центр. Симметрия
2. Осевая симметрия
(^)
3. Симм. Отн-но плоскости
(^)
4. Гомотетия
(точки Х О Х`` лежат на 1 прямой и расст. ОХ``=k OX, k>0 - это гомотетия отн-но О с коэфф. К .
5. Движение
(сохр расст. Между точками фигуры)
6. Поворот
7. Вращение
- вокруг оси - преобр. Пространства, когда:
- все точки оси переходят сами в себя
- любая точка АÏ оси р А-А` так, что
А и А`Îa, a^р, ÐАОА` = j= const, О- точка пересеч. a и р.
Результвт 2-х движений= композиции.
8. Паралeн.перенос
(x,y,z)-(x+a,y=b,x=c)
9. Преобразование подобюием
- расст. Между тчками измен-ся в k раз
К=1 - движение.
Св-ва подобия.
1.АВСÎ(а); A`B`C` Î(a`)
2. (p)- (p`); [p)-[p`); a-a`; ÐA-ÐA`
3. Не всякое подобие- гомотетия
NB! S` = kІ S``; V ` = k 3 V ``
Плоскости.
Т.
Если прямая, Ï к.-л. плоскости a,| | к.-л. прямой, Îa, то она | |a
Т.
(а) | | (b), через (а)и (b) провести плоскость, то линия их пересеч.| | (а)и (b)
T.
(Признак парал. 2-х плоск.).Если 2 пересек. прямые 1-й a| | двум пересек. прямым другой b, то a| | b.
Т.
Если 2 парал. Плоск-ти пересеч. 3-й, то линии пересечения | |.
Т.
Через тчку вне плоскости можно провести плоск-ть | | данной и только 1.
Т.
Отрезки парал. Прямых, заключенные между 2-мя плоскостями, =.
Т.
Признак
^
прямой и пл-сти.
Если прямая, перек-ая плос-ть, ^каждой из 2-х перек-ся прямых, то прямая и пл-сть ^.
Т.
2 ^ к пл-сти | |.
Т.
Если 1 из 2-х паралл. прямых ^, то и другая ^ плоскости.
Т.
Признак
^
2-х плос-тей.
Если пл-сть проходит через ^ к др. п-сти, то он ^ этой л-сти.
Дано [a)^b,[a) Îa,aÈb= (p).Д-ть:a^b
Док-во. [a)^b=·М. Проведем (b) через М, (b)^(p). (a)Ù(b) - линейный Ð двугранного угла между aиb. Так как [a)^b-(a)^(b)- (a)Ù(b)=90°-a^b-
Т.
Если 2 пл-сти взаимно ^, то прямая
1-й пл-сти ^ линии пересеч. пл-стей, ^ 2-й пл-сти.
Т.
О 3-х
^
..
Для того, чтобы прямая, леж-я в пл-сти,, была ^ наклонной, необх-мо и достаточно, чтобы эта прямая была ^ проекции наклонной.
Многогранники
Призма.
V = S осн × a - прямая призма
a - боковое ребро, S пс- S ^-го сечения
V = S пс × а - наклонная призма
V = Sбок. пов-сти призмы + 2Sосн.
Если основание пр. = параллелограмм, то эта призма - параллелепипе
д.
V=h Sосн. ;Vпрямоуг.параллел-да = abc
S=2(ab+ac+bc)
Пирамида
V= 1/3 * НS осн. S=S всех Ñ.
Фигуры вращения
Цилиндр
V=pRІH; S= 2pR (R+H)
Конус
V= 1/3 * НS осн= 1/3 * pRІH
S= Sосн+ Sбок= pR (r + L); L-образующая
Сфера
“оболочка” S= 4pRІ
Шар
М= 4/3 pR3
|