Реферат: Теорема Штольца

Название: Теорема Штольца
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат

Содержание работы:

1. Формулировка и доказательство теоремы Штольца.

2. Применение теоремы Штольца:

a) ;

b) нахождение предела “среднего арифметического” первых n значений варианты ;

c) ;

d) .

3. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей.

4. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца.

Для определения пределов неопределенных выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.

Пусть варианта , причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и возрастает: . Тогда =,

Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).

Допустим, что этот предел равен конечному числу :

Тогда по любому заданному найдется такой номер N, что для n>N будет

или

Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби , , …, , лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания y_n вместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N

Напишем теперь тождество:

откуда

Второе слагаемое справа при n>N становится <; первое же слагаемое, ввиду того, что , также будет <, скажем, для n>N^’ . Если при этом взять N^’ >N, то для n>N^’ , очевидно, , что и доказывает наше утверждение.

Примеры:

1. Пусть, например, . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n) , следовательно, вместе с y_n и x_n , причем варианта x_n возрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению

(ибо здесь предел уже конечен ), откуда и следует, что , что и требовалось доказать.

2. При а>1

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:

3. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения:

Если варианта a_n имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта

(“среднее арифметическое” первых n значений варианты а_n ).

Действительно, полагая в теореме Штольца

X_n =a₁ +a₂ +…+a_n, y_n =n,

Имеем:

Например, если мы знаем, что ,

то и

4. Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)

которая представляет неопределённость вида .

Полагая в теореме Штольца

x_n =1^k +2^k +…+n^k , yⁿ =n^k+1 ,

будем иметь

Но

(n-1)^k+1 =n^k+1 -(k+1)n^k +… ,

так что

n^k+1 -(n-1)^k+1 =(k+1)n^k +…

5. Определим предел варианты

представляющей в первой форме неопределенность вида , а во второй – вида . Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида :

Полагая x_n равным числителю этой дроби, а y_n – знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим

Но ,

а ,

так что, окончательно,

Пример 1.

====== ===.

Пример 2.

Пример 3.

Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций.

Теорема.

Пусть функция , причем, начиная с некоторой x_k , g(x_k +1)>g(x_k ), т.е. функция возрастающая.

Тогда,

если только существует предел справа конечный или бесконечный.

Доказательство:

Допустим, что этот предел равен конечному числу k

Тогда, по определению предела

или

Значит, какой бы ни взять, все дроби

, , …,

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(x_n ) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при

Напишем тождество(которое легко проверить):

Откуда

Второе слагаемое справа при становится ; первое же слагаемое, ввиду того, что , так же будет , скажем, для . Если при этом взять , то для , очевидно , что и доказывает теорему.