Курсовая работа: Ряды и интеграл Фурье
Название: Ряды и интеграл Фурье Раздел: Рефераты по математике Тип: курсовая работа |
ГЛАВА 1 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Основные сведения Функция f
(x
),
определенная на всей числовой оси называется периодической
, если существует такое число Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции: 1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т . 2) Если функция f
(x
) период Т
, то функция f
(ax
)имеет период 3) Если f
(x
)- периодическая функция периода Т
, то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т
(при этом интеграл существует), т. е. при любых a
и b
справедливо равенство Тригонометрический ряд. Ряд Фурье Если f
(x
) разлагается на отрезке
,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:
Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье
, а Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье Точка ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если ТЕОРЕМА 2. Если f
(x
) периодическая функция с периодом Ряды Фурье для четных и нечетных функций Пусть f (x ) - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f (-x ) = f (x ) . Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так: Пусть теперь f (x ) - нечетная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f (-x ) = - f (x ). Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так: Если функция f
(x
) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке , где
Если f (x ) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L ], то доопределив заданную функцию f (x ) соответствующим образом на [-L, 0]; далее периодически продолжив на (T =2L ), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье. Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a ,b ], надо : доопределить на [b ,a +2L ] и периодически продолжить, либо доопределить на [b -2L ,a ] и периодически продолжить. Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций Последовательность функций Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b], если выполняется условие Пусть теперь f (x ) - любая функция непрерывная на отрезке [a ,b ]. Рядом Фурье такой функции f (x ) на отрезке [a ,b ] по ортогональной системе называется ряд: коэффициенты которого определяются равенством:
Если ортогональная система функций на отрезке [a ,b ] ортонормированная, то в этом случаи
Пусть теперь f (x ) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a ,b ]. Рядом Фурье такой функции f (x ) на томже отрезке по ортогональной системе называется ряд:
Если ряд Фурье функции f (x ) по системе (1) сходится к функции f (x ) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a ,b ]. В этом случае говорят что f (x ) на отрезке [a ,b ] разлагается в ряд по ортогональной системе (1). Комплексная форма ряда Фурье Выражение
Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:
Задача о колебании струны Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x= 0 и x =l . Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости. При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u (x,t ) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению
Наша з а д а ч а - найти функцию u (x,t ) , график которой дает форму струны в любой момент времени t , т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:
и начальных условиях:
Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u
(x
,t
) Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает: Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений: Используя это условие X
(0)=0, X
(l
)=0, докажем, что a) Пусть откуда б) Пусть получим в) Уравнения имеют корни : получим: где откуда
Учитывая это, можно записать:
и, следовательно
но так как A и B разные для различных значений n то имеем
где Итак, подчиним функцию u
(x,t
) начальным условиям, т. е. подберем Эти равенства являются соответственно разложениями функций где
Интеграл Фурье Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье. Для того, чтобы f (x ) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно: 1) абсолютной интегрируемости на
2) на любом конечном отрезке [-L , L ] функция была бы кусочно-гладкой 3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f (x ) Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида: , где
Интеграл Фурье для четной и нечетной функции Пусть f (x )-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье. Учитывая, что
Таким образом, интеграл Фурье четной функции f (x ) запишется так:
где a (u ) определяется равенством (3). Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f (x ) :
и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:
где b (u ) определяется равенством (4). Комплексная форма интеграла Фурье
где
Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f (x ). Если в формуле (5) заменить c (u ) его выражением, то получим:
Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул: Формулы дискретного преобразования Фурье Обратное преобразование Фурье.
где n =1,2,... , k =1,2,... Дискретным преобразованием Фурье - называется N
-мерный вектор при этом, ГЛАВА 2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье Исходные данные :
Функция периодическая с периодом Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине Рис. 1 Производная также непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье. 1) F(x) - кусочно-непрерывна на интервале 2) F(x) - кусочно-монотонна. Так как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия - то рассматриваемая функция произвольна. Представление функции рядом Фурье. Из разложения видим, что при n нечетном Поэтому формулу для ( так как Отдельно рассмотрим случай когда n=1:
Подставим найденные коэффициенты в и вообще
Найдем первые пять гармоник для найденного ряда: 1-ая гармоника 2-ая гармоника 3-ая гармоника 4-ая гармоника 5-ая гармоника и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники. Запишем комплексную форму полученного ряда Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. теорию)
но при
и случай когда n =-1:
И вообще комплексная форма: или или |