Реферат: Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции
Название: Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Примеры Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции. Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики. Решение: Рассмотрим 1-ю функцию
![]() ![]() ![]()
![]() ![]() ![]()
![]() ![]()
( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )
Функция нечетная ( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;π/2] )
![]()
Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )
Четная f(x) убывает на пр. [0;1]
![]()
f(z) убывает на пр. [-1;1] от π до 0.
Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2 -1)) Решение: Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +∞ ) Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:
Тригонометрические операции над аркфункциями Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение. В силу определения аркфункций: sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x (справедливо только для x є [-1;1] ) tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x (справедливо при любых x ) Графическое различие между функциями, заданными формулами: y=x и y=sin(arcsin(x))
Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.
Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже: 1. Т.к. cos2 x + sin2 x = 1 и φ = arcsin(x) Перед радикалом Значит, имеем 2. Из тождества 3. Имеем 4. Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул. Пример №1. Преобразовать выражение Решение: Применяем формулу Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств: Пример №3. Пользуясь Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества: Пример №5. Положив в формулах
Пример №6. Преобразуем Положив в формуле Получим: Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга Соотношения между аркфункциями Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг. Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:
![]() ![]() ![]()
![]() ![]() Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов). Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности. Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-π/2; π/2). Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса: А если бы дуга α была заключена в интервале ( 0 ; π ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса: Так, например: Аналогично: Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней). 1. Выражение Пусть Дуга Дуга Следовательно,
(в интервале ( -1 : 1 ) 2. Выражение Т.к. в интервале 3. Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства
Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например, Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции. Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку. Так, например, дуга Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях. 4. Выражение арксинуса через арккосинус. Пусть При
так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:
Х>0 X<0 При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и Таким образом, имеем окончательно:
Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом:
![]() ![]()
5. Аналогичноустановим, что при
Таким образом:
6. Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения
Если же х<0, то Итак,
7. Выражение арккосинуса через арктангенс. Если При Итак,
8. Выражение арктангенса через арккотангенс.
При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то
9. Выражение арксинуса через арккотангенс.
10. Выражение арккотангенса через арксинус.
11. Выражение арккотангенса через арктангенс.
Примеры: Пример №1. Исследовать функцию Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:
-π , если x<0
данной функции
Пример №2. Исследовать функцию Решение: Первое слагаемое определено для значений Т.к.
откуда:
Пример №3. Исследовать функцию Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4). Приняв во внимание равенство
получим:
Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями. При преобразовании выражений вида следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений: Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x ;
Областью определения функции Так, например, при х=π/6 имеем: но при х=5π/6 В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-π/2; 3π/2] величиной 2π. Если значение х принадлежит сегменту [-π/2; π/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла. Если значение х принадлежит сегменту [π/2; 3π/2], то в этом случае дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и, так как
в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-х. Если значение х принадлежит сегменту [3π/2; 5π/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим: y=х-2π Если значение х принадлежит сегменту [-3π/2; -π/2], то y=-π-х Если значение х принадлежит сегменту [-5π/2; -3π/2], то y=х+2π Вообще, если y=х-2πk и если y=(π-х)+2πk График функции
Рассмотрим функцию Согласно определению арккосинуса, имеем: cos y =
cos x
, где Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π. Если значение Х принадлежит сегменту [0; π], то y = x. Если х принадлежит сегменту [π; 2π], то дуга 2π-х принадлежит сегменту [0; π] и Следовательно, на сегменте [π; 2π] имеем y = 2π - x Если х принадлежит сегменту [2π; 3π], то y = x - 2π Если х принадлежит сегменту [3π;4π], то y = 4π – x Вообще, если Если же Графиком функции
Формулы сложения Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции. Сказанное пояснено ниже на числовых примерах. Примеры. Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму Решение: эта сумма является суммой двух дуг α и β, где
В данном случае Вычислив синус дуги γ, получим: Т.к. сумма γ заключена на сегменте [-π/2; π/2], то Пример №2. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем: Откуда Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга γ оканчивается во второй четверти, т.к. В рассматриваемом примере
В данном случае Пример №4. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса. Решение: имеем Обе дуги γ и Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях. Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов. Пусть α и β – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до π/2 (первая четверть):
Сумма α + β заключена в верхней полуокружности
Разность α – β заключена в правой полуокружности: Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:
Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; π/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса. Ниже приведены образцы соответствующих преобразований. 1. Преобразуем в арккосинус Имеем: Откуда 2. Аналогично
Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов. 1. Выразить сумму По определению арксинуса
откуда Для дуги γ возможны следующие три случая: Случай 1: Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1. В самом деле, при
откуда При x > 0, y > 0 для дуги γ имеет место одна из следующих двух систем неравенств: а) Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:
В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия Вычислив При x
> 0, y
> 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. Откуда
Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств
но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому
Случай 2. В этом случае x
> 0, y
> 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия Случай 3. Этот случай имеет место при x
< 0, y
< 0, и Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю: откуда Дуги γ и в случае 2 Итак, имеем окончательно:
Пример:
2. Заменив в (1) x на –x получим:
3. Выразить сумму
имеем Возможны следующие два случая. Случай 1: Приняв во внимание, что обе дуги и следовательно, Случай 2:
откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим
Из равенства
В случае 1
4. Аналогично
пример: 5.
При xy =1не имеет смысла 6.
7.
8.
9.
10.
|